流體力學（第二版）課件：3 流體運動理論與動力學基礎(chǔ)

1、 流體運動的描述方法流體運動的描述方法 流場的基本概念流場的基本概念 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 本章包括兩部分的內(nèi)容：流體運動學和流體動力學。本章包括兩部分的內(nèi)容：流體運動學和流體動力學。 流體運動學：研究描述流體運動的方法，確定能夠表征流體運動學：研究描述流體運動的方法，確定能夠表征 流體運動特征的運動要素，根據(jù)運動要素研究流體運動流體運動特征的運動要素，根據(jù)運動要素研究流體運動 的特征。的特征。 流體動力學：研究流體機械運動的基本規(guī)律，即研究流體動力學：研究流體機械運動的基本規(guī)律，即研究 流體運動要素與引起運動的動力要素流體運動要素與引起運動的動力要素力之間的關(guān)系，力之間的關(guān)系， 其方法是根據(jù)

2、物理學與理論力學中的能量守恒和動量其方法是根據(jù)物理學與理論力學中的能量守恒和動量 守恒定律，建立流體運動的動力學方程。守恒定律，建立流體運動的動力學方程。 恒定總流的伯努利方程恒定總流的伯努利方程 恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程 流體質(zhì)點流體質(zhì)點 著眼于著眼于流體各質(zhì)點流體各質(zhì)點的運動情況，研究各質(zhì)點運動要素（位的運動情況，研究各質(zhì)點運動要素（位 置、速度、加速度等）的變化過程，通過綜合所有被研究流體置、速度、加速度等）的變化過程，通過綜合所有被研究流體 質(zhì)點的運動情況來獲得整個流體運動的規(guī)律，又稱質(zhì)點系法。質(zhì)點的運動情況來獲得整個流體運動的規(guī)律，又稱質(zhì)點系法。 流體質(zhì)點坐標：流體質(zhì)點坐

3、標： 流體質(zhì)點速度：流體質(zhì)點速度： 流體質(zhì)點加速度：流體質(zhì)點加速度： ),( ),( ),( tcbazz tcbayy tcbaxx ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x y z xx a b c t u tt yy a b c t u tt zz a b c t u tt 2 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x x y y z z ux a b c t a tt u y a b c t a tt uz a b c t a tt 著眼于著眼于流場中各空間點流場中各空間點時的運動情況，通過綜合流場中所時的運動情況，通過綜合流場中所

4、有被研究空間點上流體質(zhì)點的運動變化規(guī)律，來獲得整個流場有被研究空間點上流體質(zhì)點的運動變化規(guī)律，來獲得整個流場 的運動特性，又稱流場法。的運動特性，又稱流場法。 流場流場 充滿運動流體的空間。充滿運動流體的空間。 流速場：流速場： 壓強場：壓強場： ),( ),( ),( tzyxuu tzyxuu tzyxuu zz yy xx ),(tzyxpp 密度場：密度場： ),(tzyx xxxxx x duuuuudxdydz a dttx dtydtzdt xxxx x yyyy y zzzz z uuuudxdydz a txdtydtzdt uuuu dxdydz a txdtydtzdt

5、uuuudxdydz a tx dtydtzdt () u auu t 或或 當?shù)丶铀俣?。表示通過固定空間點當?shù)丶铀俣?。表示通過固定空間點 的流體質(zhì)點速度隨時間的變化率，的流體質(zhì)點速度隨時間的變化率， 由流場的非恒定性引起的；由流場的非恒定性引起的； 遷移加速度。表示流體質(zhì)點所在空間遷移加速度。表示流體質(zhì)點所在空間 位置的變化所引起的速度變化率，由位置的變化所引起的速度變化率，由 流場的非均勻性引起的。流場的非均勻性引起的。 u t ： ()uu ： () u auu t dA () d A uA tt 密度：密度： yy d d x uuuu ttxyzt （） 隨體導數(shù)隨體導數(shù) 拉格朗日法

6、拉格朗日法 歐拉法歐拉法 分別描述有限質(zhì)點的軌跡分別描述有限質(zhì)點的軌跡 表達式復雜表達式復雜 不能直接反映參數(shù)的空間分布不能直接反映參數(shù)的空間分布 不適合描述流體微元的運動變形特性不適合描述流體微元的運動變形特性 拉格朗日觀點是重要的拉格朗日觀點是重要的 同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù)同時描述所有質(zhì)點的瞬時參數(shù) 表達式簡單表達式簡單 直接反映參數(shù)的空間分布直接反映參數(shù)的空間分布 流體力學最常用的解析方法流體力學最常用的解析方法 適合描述流體微元的運動變形特性適合描述流體微元的運動變形特性 如果您有任何問題，如果您有任何問題， 請毫不猶豫地提出請毫不猶豫地提出 ! ! In case of you

7、have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 流場中流體質(zhì)點通過空間點時所有的運動要素都不隨時間而變流場中流體質(zhì)點通過空間點時所有的運動要素都不隨時間而變 化的流動稱為恒定流；反之，只要有一個運動要素隨時間而變化，化的流動稱為恒定流；反之，只要有一個運動要素隨時間而變化， 就是非恒定流。本課程主要討論恒定流運動。就是非恒定流。本課程主要討論恒定流運動。 水位 0 up tt 1. 1. 凡流動中任一點的運動要素只與一個空間自變

8、量有關(guān)，這種流動凡流動中任一點的運動要素只與一個空間自變量有關(guān)，這種流動 稱為一元流動。稱為一元流動。 2. 2. 流場中任何點的流速和兩個空間自變量有關(guān)，此種水流稱為二元流場中任何點的流速和兩個空間自變量有關(guān)，此種水流稱為二元 流動。流動。 3. 3. 若流動中任一點的流速，與三個空間位置變量有關(guān)，這種流動稱若流動中任一點的流速，與三個空間位置變量有關(guān)，這種流動稱 為三元流動。為三元流動。 例：例：元流為一元流動；過流斷面上各點的流速用斷面平均流速代替元流為一元流動；過流斷面上各點的流速用斷面平均流速代替 的總流也可視為一元流動；寬直矩形明渠為二元流動，即為平面的總流也可視為一元流動；寬直矩

9、形明渠為二元流動，即為平面 流動；實際中，大部分水流的運動為三元流動。流動；實際中，大部分水流的運動為三元流動。 xyz dxdydz dt uuu O y z x B ux u ds A uz dx dz dy uy 一、跡線一、跡線 某一流體質(zhì)點的運動軌跡，是從某一流體質(zhì)點的運動軌跡，是從 拉格朗日方法拉格朗日方法研究的角度提出的。研究的角度提出的。 1. 1. 定義定義 2. 2. 跡線微分方程跡線微分方程 x y z dxu dt dyu dt dzu dt 2. 2. 流線微分方程流線微分方程 u 2 1 u u 2 1 3 3u 6 5 4 5u 4 6 u 流線流線 d0us 0

10、 xyz ijk udsuuu dxdydz xyz dxdydz uuu 注意：注意：跡線和流線方程雖形式上有相似之處，但含義截然不同。而跡線和流線方程雖形式上有相似之處，但含義截然不同。而 且跡線方程中且跡線方程中dt不可去掉。對于恒定流，流線和跡線重合；對于非不可去掉。對于恒定流，流線和跡線重合；對于非 恒定流，流線和跡線一般不重合。恒定流，流線和跡線一般不重合。 二、流線二、流線 流線是速度場的矢量線，它是表示某一確定時刻流體各點流動趨流線是速度場的矢量線，它是表示某一確定時刻流體各點流動趨 勢的曲線，該曲線上任意質(zhì)點在該時刻的速度矢量都與曲線相切適于勢的曲線，該曲線上任意質(zhì)點在該時刻

11、的速度矢量都與曲線相切適于 歐拉方法歐拉方法。 1. 1. 定義定義 3. 3. 流線的性質(zhì)流線的性質(zhì) （1 1）一般情況下流線彼此不能相交。）一般情況下流線彼此不能相交。 （2 2）流線是一條光滑的曲線，）流線是一條光滑的曲線， 不可能出現(xiàn)折點。不可能出現(xiàn)折點。 （5 5）恒定流動時流線形狀不變，與跡線相同；）恒定流動時流線形狀不變，與跡線相同； 非恒定流動時流線形狀發(fā)生變化。非恒定流動時流線形狀發(fā)生變化。 v1 v2 s1 s2 交點 v1 v2 折點 s （3 3）在流動的邊界上，流線與固體邊界重合。）在流動的邊界上，流線與固體邊界重合。 （4 4）流線充滿整個流場。對不可壓縮流）流線充

12、滿整個流場。對不可壓縮流 體，流線簇的疏密反映了速度的大小。流體，流線簇的疏密反映了速度的大小。流 線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。線密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。 1.1.流管流管 在流體運動中任意一微分面積在流體運動中任意一微分面積dAdA（如圖），通過該面積的周界上的（如圖），通過該面積的周界上的 每一個點，均可作一根流線，這樣就構(gòu)成一個封閉的管狀曲面，稱為每一個點，均可作一根流線，這樣就構(gòu)成一個封閉的管狀曲面，稱為流流 管管。充滿流體的流管稱為。充滿流體的流管稱為流束流束。 2.2.過流斷面過流斷面 與與在流束上所作的與流線相垂直的斷面，稱為過流斷面。在流束上所作的與流線相

13、垂直的斷面，稱為過流斷面。 注意：注意：過流斷面可為過流斷面可為 平面也可為曲面。平面也可為曲面。 3.3.元流元流 元流是過流斷面無限小的流束，幾何特征與流線相同。元流是過流斷面無限小的流束，幾何特征與流線相同。 性質(zhì)：性質(zhì)：元流內(nèi)外流體不會發(fā)生交換；恒定流元流的形狀和位置不元流內(nèi)外流體不會發(fā)生交換；恒定流元流的形狀和位置不 會隨時間而改變，非恒定流時將隨時間改變；橫斷面上各點的流會隨時間而改變，非恒定流時將隨時間改變；橫斷面上各點的流 速和壓強可看作是相等的。速和壓強可看作是相等的。 3.3.總流總流 任何一個實際流體的流動都具有一定規(guī)模的邊界，這種有一定任何一個實際流體的流動都具有一定規(guī)

14、模的邊界，這種有一定 大小尺寸的實際流動稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o限多個元流大小尺寸的實際流動稱為總流?？偭骺梢钥醋魇怯蔁o限多個元流 所組成。所組成。 1.1.流量流量 單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體量稱為該過流斷面的單位時間內(nèi)通過某一過流斷面的流體量稱為該過流斷面的流量流量。 若通過的量以體積計量就是若通過的量以體積計量就是體積流量體積流量，簡稱，簡稱流量流量。流量常用的單位。流量常用的單位 為米為米 秒（ 秒（m m3 3/s/s），符號表示。），符號表示。 微小流束流量微小流束流量 d dQ Q，總流流量，總流流量 質(zhì)量流量質(zhì)量流量： 重量流量重量流量： 2.2.斷面平均流速斷面平均

15、流速 總流過流斷面上的平均流速，是一個想象的流速，如果過流斷總流過流斷面上的平均流速，是一個想象的流速，如果過流斷 面上各點的流速都相等，此時所通過的流量與實際上流速為不均勻面上各點的流速都相等，此時所通過的流量與實際上流速為不均勻 分布時所通過的流量相等，則流速就稱為斷面平均流速。分布時所通過的流量相等，則流速就稱為斷面平均流速。 AA QdQudA 1 A Q vVudA AA m QQ QgQ 1.1.均勻流、非均勻流均勻流、非均勻流 根據(jù)流線的形狀，將流動分為均勻流與非均勻流。根據(jù)流線的形狀，將流動分為均勻流與非均勻流。 均勻流均勻流是指流線為相互平行直線的流動。若流線不是相互平行直線

16、是指流線為相互平行直線的流動。若流線不是相互平行直線 時，此流動稱為非均勻流，可分為漸變流與急變流。時，此流動稱為非均勻流，可分為漸變流與急變流。 ()uu =0 均勻流具有以下特性：均勻流具有以下特性： 1 1均勻流的過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變。均勻流的過流斷面為平面，且過流斷面的形狀和尺寸沿程不變。 2 2均勻流中，同一流線上不同點的流速應(yīng)相等，從而各過流斷面上均勻流中，同一流線上不同點的流速應(yīng)相等，從而各過流斷面上 的流速分布相同，斷面平均流速相等。的流速分布相同，斷面平均流速相等。 3 3均勻流過流斷面上的動壓強分布規(guī)律與靜壓強分布規(guī)律相同，即均勻流過流斷面上的動壓

17、強分布規(guī)律與靜壓強分布規(guī)律相同，即 在同一過流斷面上各點測壓管水頭為一常數(shù)。在同一過流斷面上各點測壓管水頭為一常數(shù)。 p zC g 2. 2. 急變流、漸變流急變流、漸變流 漸變流：流線平行或接近平行的流動。漸變流：流線平行或接近平行的流動。 急變流：流線間相互不平行，有夾角的流動。急變流：流線間相互不平行，有夾角的流動。 漸變流 急變流 漸變流 急變流 漸變流 急變流 漸變流 急變流 漸變流 急變流 漸變流過流斷面上的動壓強分布規(guī)律近似漸變流過流斷面上的動壓強分布規(guī)律近似 符合靜壓強的分布規(guī)律。符合靜壓強的分布規(guī)律。 例題例題1 1：不可壓縮流體的速度場為：不可壓縮流體的速度場為 式中式中t

18、 為時間變量，試求：為時間變量，試求： （1 1）t =2s時，在（時，在（2 2，4 4）點的）點的加速度矢量；加速度矢量； （2 2）判別流動是否恒定；）判別流動是否恒定； （3 3）判別流動是否均勻。）判別流動是否均勻。 (46 ) (69 ) 0 x y z uyx t uyx t u 則：則：通過控制體前表面中心通過控制體前表面中心M M點在點在x x方向的分速度為方向的分速度為 通過控制體后表面中心通過控制體后表面中心N N點在點在x x方向的分速度為方向的分速度為 因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。因所取控制體無限小，故認為在其各表面上的流速均勻分布。 所以單

19、位時間內(nèi)沿所以單位時間內(nèi)沿x x軸方向流入控制體的質(zhì)量為軸方向流入控制體的質(zhì)量為 1 2 x Mx u uudx x 1 2 x Nx u uudx x 1 2 x x u udx dydz x 流出控制體的質(zhì)量為流出控制體的質(zhì)量為 于是，單位時間內(nèi)在于是，單位時間內(nèi)在x x方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為 同理可得在單位時間內(nèi)沿同理可得在單位時間內(nèi)沿y y，z z方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為方向流出與流入控制體的質(zhì)量差為 和和 由連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，并根據(jù)質(zhì)量守恒原理知：單位時間內(nèi)流出與流入由連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，并根據(jù)質(zhì)量守恒原理知：單位時間內(nèi)流出與流入 控制體的質(zhì)量差的總

20、和應(yīng)等于六面體在單位時間內(nèi)所減少的質(zhì)量?？刂企w的質(zhì)量差的總和應(yīng)等于六面體在單位時間內(nèi)所減少的質(zhì)量。 所以所以 11 22 xxx xx uuu udx dydzudx dydzdxdydz xxx y xz u uu dxdydzdxdydzdxdydz xyztt 1 2 x x u udx dydz x y u dxdydz y z u dxdydz z 整理得整理得 此式即為連續(xù)性微分方程的一般形式。適用于任意運動流體。此式即為連續(xù)性微分方程的一般形式。適用于任意運動流體。 對于恒定流：對于恒定流： ，上式成為，上式成為 對于均質(zhì)不可壓縮流體對于均質(zhì)不可壓縮流體 ，則不論恒定流或非恒定流

21、均有，則不論恒定流或非恒定流均有 對二維流動連續(xù)性微分方程為對二維流動連續(xù)性微分方程為 上面四個方程對于理想流體和實際流體均適用。上面四個方程對于理想流體和實際流體均適用。 0 y xz u uu txyz 0 t 0 y xz u uu xyz 0 y xz u uu xyz 0 y x u u xy C 如圖，從總流中任取一段，進、出口斷如圖，從總流中任取一段，進、出口斷 面的面積分別為面的面積分別為A A1 1、A A2 2，在從總流中任，在從總流中任 取一個元流，其進、出口斷面的面積和取一個元流，其進、出口斷面的面積和 流速分別為流速分別為dAdA1 1、u u1 1；dAdA2 2、

22、u u2 2。根據(jù)質(zhì)量。根據(jù)質(zhì)量 守恒原理，單位時間內(nèi)從守恒原理，單位時間內(nèi)從dAdA1 1流進的流體流進的流體 質(zhì)量等于從質(zhì)量等于從dAdA2 2流出的流體質(zhì)量，即流出的流體質(zhì)量，即 1 11222 dQu dAu dA 對于不可壓縮均質(zhì)流體，對于不可壓縮均質(zhì)流體， 。上式變?yōu)椤Ｉ鲜阶優(yōu)?總流是流場中所有元流的總和，所以積分可得總流連續(xù)性方程總流是流場中所有元流的總和，所以積分可得總流連續(xù)性方程 12 C 1122 dQu dAu dA 12 1122 QAA dQu dAu dA 1122 QV AV A 在有固定邊界的恒定總流中，沿程的斷面平均流速與其過流斷面在有固定邊界的恒定總流中，沿

23、程的斷面平均流速與其過流斷面 積成反比的，斷面積大的斷面平均流速小，斷面積小的平均流速大。積成反比的，斷面積大的斷面平均流速小，斷面積小的平均流速大。 Q2 Q3 Q1 21 12 VA VA 上式是沿程流量沒有發(fā)生變化的連上式是沿程流量沒有發(fā)生變化的連 續(xù)性方程，對于沿程有流量流入或流出續(xù)性方程，對于沿程有流量流入或流出 的分叉管流道，連續(xù)性方程的形式如下的分叉管流道，連續(xù)性方程的形式如下 123 QQQ 1122 V AV A 2121 QQQQQQ 1 Q 2 Q QQ 1 Q 2 Q 1 1 2 2 2 2 1 1 【例題例題2】 假設(shè)有一不可壓縮流體三維流動，其速度分布 規(guī)律為）：

24、試分析該流動是否連續(xù)。 3 x ux 4 y u y 2 z uz 09 z u y u x u z y x zyxuzyuyxu zyx 2,4),(3 2 【例題例題3】 有一輸水管道，如圖所示。水自截面1-1流向截面2-2。測得 截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，試求 截面2-2處的平均流速 為多少？ 【解解】 由式（3-24）得 2 1 v 2 v 2 22 2 11 44 dvdv 5 . 0 1 5 . 0 2 2 2 2 1 12 d d vv(m/s) 1 d 2 d 1 v 2 v 如果您有任何問題，如果您有任何問題， 請毫不猶豫地提出請毫不

25、猶豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 歐拉運動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用。歐拉運動微分方程是牛頓第二定律在理想流體中的具體應(yīng)用。 這里采用微元體積法導出歐拉運動微分方程。對理想流體這里采用微元體積法導出歐拉運動微分方程。對理想流體 3.4 3.4 恒定總流的伯努利方程恒定總流的伯努利方程 取如圖所示的平行六面體作為研究對象，首先分析受力：取如圖所示的平

26、行六面體作為研究對象，首先分析受力： 六面體中心點六面體中心點A(x(x，y y，z)z)的動壓強為的動壓強為p， 以以x軸方向為例說明。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式軸方向為例說明。根據(jù)泰勒級數(shù)展開式 2 1 ( )()()()()() 2 ooooo f xf xfxxxfxxx 1 (, , ) 2 m xdx y z() 2 p dx p x 點的壓強為點的壓強為 1 (, , ) 2 n xdx y z() 2 p dx p x 點的壓強為點的壓強為 表面力表面力 理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程 則作用在沿則作用在沿x軸方向上兩軸方向上兩 個作用面的表面力分別為個作用面的表面力分別為

27、1 () 2 n p Ppdxdydz x 1 () 2 m p Ppdxdydz x 質(zhì)量力質(zhì)量力 x FX dxdydz 其中，加速度為全加速度，即包括當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度。即其中，加速度為全加速度，即包括當?shù)丶铀俣群瓦w移加速度。即 11 ()()() 22 x pp pdxdydzpdxdydzXdxdydzdxdydz a xx 1 x p aX x 在在x x軸方向運用牛頓第二定律軸方向運用牛頓第二定律 1 xxxx xyz uuuup uuuX txyzx 理想流體運動微分方程理想流體運動微分方程 1 1 1 xxxx xyz yyyy xyz zzzz xyz uuuup uu

28、uX txyzx uuuu p uuuY txyzy uuuup uuuZ txyzz 同理可得同理可得y y、z z軸方向的方程，即軸方向的方程，即 上式即為理想流體的運動微分方程，又稱歐拉運動方程。上式即為理想流體的運動微分方程，又稱歐拉運動方程。 寫成矢量式如下寫成矢量式如下 1 () u uufp t 黏性流體運動微分方程黏性流體運動微分方程 對于黏性流體，考慮到切應(yīng)力的作用，其運動微分方程變成對于黏性流體，考慮到切應(yīng)力的作用，其運動微分方程變成 2 2 2 1 1 1 xxxx xyzx yyyy xyzy zzzz xyzz uuuup uuuXu txyzx uuuu p uuu

29、Yu txyzy uuuup uuuZu txyzz 0 y xz u uu txyz 維納維納- -斯托克斯方程，簡稱斯托克斯方程，簡稱N- -S方程，常常和連續(xù)性方程聯(lián)合求解。方程，常常和連續(xù)性方程聯(lián)合求解。 3.4 3.4 恒定總流的伯努利方程恒定總流的伯努利方程 我們推導的歐拉運動微分方程和連續(xù)性方程聯(lián)立，再加上確定的初我們推導的歐拉運動微分方程和連續(xù)性方程聯(lián)立，再加上確定的初 始條件和邊界條件，理論上可以求解。但由于其為非線性的偏微分方程始條件和邊界條件，理論上可以求解。但由于其為非線性的偏微分方程 組，實際求解很困難，而且大多數(shù)情況下流體運動過程又比較復雜，目組，實際求解很困難，而

30、且大多數(shù)情況下流體運動過程又比較復雜，目 前只能在一些簡單的流動情況下對歐拉運動方程進行積分，求得方程的前只能在一些簡單的流動情況下對歐拉運動方程進行積分，求得方程的 解析解。最常見的就是伯努利積分。對理想流體，推導如下：解析解。最常見的就是伯努利積分。對理想流體，推導如下： 1 (1) 1 (2) 1 (3) xxxx xyz yyyy xyz zzzz xyz uuuup Xuuu xtxyz uuuu p Yuuu ytxyz uuuup Zuuu ztxyz 理想流體元流伯努利方程理想流體元流伯努利方程 對（對（1 1）式兩邊乘以）式兩邊乘以dxdx，則，則 1 () xxxx xyz

31、 uuuup Xdxdxuuudx xtxyz 對于恒定流對于恒定流 ，由流線方程，由流線方程， 0 u t , yxzxzy u dxu dy u dxu dz u dyu dz 則上式可變?yōu)閯t上式可變?yōu)?1 () xxx xxx uuup Xdxdxudxdydzu du xxyz 同理同理1 yy p Ydydyu du y 1 zz p Zdzdzu du z 以上三式相加以上三式相加 1 xxyyzz XdxYdyZdzdpu duu duu du 222 2 ()() 22 xyz uuu u dd 若為均質(zhì)不可壓縮流體，若為均質(zhì)不可壓縮流體， ， ，帶入前面的式，帶入前面的式 子

32、得子得 理想流體元流伯努利方程理想流體元流伯努利方程 如果質(zhì)量力有勢（質(zhì)量力是重力、慣性力）如果質(zhì)量力有勢（質(zhì)量力是重力、慣性力） C WWW XYZ xyz ， WWW XdxYdyZdzdxdydzdW xyz 以以W（x,y,zx,y,z）表示質(zhì)量力勢函數(shù)，于是）表示質(zhì)量力勢函數(shù)，于是 1 () p dpd 2 ()0 2 pu d W 沿流線積分沿流線積分 2 2 pu WC （伯努利積分）（伯努利積分） 總結(jié)一下應(yīng)用條件：總結(jié)一下應(yīng)用條件： 1.1.理想流體；理想流體；2.2.恒定流；恒定流；3.3.質(zhì)量力有勢；質(zhì)量力有勢； 4.4.不可壓縮均質(zhì)流體；不可壓縮均質(zhì)流體；5.5.沿流線

33、積分。沿流線積分。 對元流任意兩斷面的中心點或一條流線上的任意兩點對元流任意兩斷面的中心點或一條流線上的任意兩點1 1與與2 2，上，上 式可改寫為式可改寫為 此式即為理想流體元流或流線的伯努利方程，又稱能量方程。此式即為理想流體元流或流線的伯努利方程，又稱能量方程。 它表示了重力場中理想流體的元流（或在流線上）作恒定流動時，流它表示了重力場中理想流體的元流（或在流線上）作恒定流動時，流 速速u u、動壓強、動壓強p p與位置高度與位置高度z z三者之間的關(guān)系。三者之間的關(guān)系。 若流動發(fā)生在重力場中，作用在流體上的質(zhì)量力只有重力，選若流動發(fā)生在重力場中，作用在流體上的質(zhì)量力只有重力，選z 軸垂

34、直向上，則質(zhì)量力勢函數(shù)軸垂直向上，則質(zhì)量力勢函數(shù)W=-gz, ,代入伯努利積分得代入伯努利積分得 2 2 pu zC gg 22 1122 12 22 pupu zz gggg 2 2 pu zC gg 適用范圍：適用范圍： （1 1）理想流體；）理想流體； （2 2）不可壓縮流體；）不可壓縮流體； （3 3）恒定流；）恒定流； （4 4）質(zhì)量力只有重力；）質(zhì)量力只有重力； （5 5）沿元流（流線）。）沿元流（流線）。 對元流任意兩斷面的中心點或一條流線上的任意兩點對元流任意兩斷面的中心點或一條流線上的任意兩點1 1與與2 2， 22 1122 12 22 pupu zz gggg 理想流體元

35、流伯努利方程理想流體元流伯努利方程 理想流體元流伯努利方程理想流體元流伯努利方程 流體各種水頭線沿程變化的圖形稱為流體各種水頭線沿程變化的圖形稱為水頭線圖。水頭線圖。 2 0 2 pv zH gg 常數(shù) b c 1 aa 2 c b H 總水頭線 測壓管水頭線 gv2/ 2 1 gp/ 1 1 z gv2/ 2 2 gp/ 2 2 z 速速 度度 水水 頭頭 位位 置置 水水 頭頭 壓壓 強強 水水 頭頭 總總 水水 頭頭 不可壓縮理想流體在重力場不可壓縮理想流體在重力場 中作恒定流動時，沿流線單位重中作恒定流動時，沿流線單位重 力流體的總水頭線為一平行于基力流體的總水頭線為一平行于基 準線的

36、水平線。準線的水平線。 如果您有任何問題，如果您有任何問題， 請毫不猶豫地提出請毫不猶豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 3.4.2 3.4.2 重力作用下元流伯努利方程重力作用下元流伯努利方程 實際流體具有黏性，若我們把單位重量的元流在實際流體具有黏性，若我們把單位重量的元流在1-11-1，2-22-2斷面間的斷面間的 機械能損失稱為元流的水頭損失，以機械能損失稱為元

37、流的水頭損失，以 表示，則表示，則1 1，2 2斷面間的伯努利斷面間的伯努利 方程為方程為 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg w h 因為黏性的存在，流體在流動過程中總是有能量損失的，即水頭損因為黏性的存在，流體在流動過程中總是有能量損失的，即水頭損 失總是大于零的，失總是大于零的，總水頭線總是沿程下降的。將單位流程內(nèi)的水頭損總水頭線總是沿程下降的。將單位流程內(nèi)的水頭損 失稱為能量損失坡度，又稱水力坡度，用失稱為能量損失坡度，又稱水力坡度，用J表示，表示，J為正值為正值，即，即 0w dhdH J dldl 將單位流程內(nèi)的測壓管水頭損失稱為測壓管坡度，用將單位流程內(nèi)的

38、測壓管水頭損失稱為測壓管坡度，用Jp p表示，它表示，它 可正可負，表示測壓管水頭線可能上升，也可能下降?？烧韶摚硎緶y壓管水頭線可能上升，也可能下降。 一、畢托管一、畢托管 畢托管是一種測定空間點流速的儀器。如圖，若要測定管流液畢托管是一種測定空間點流速的儀器。如圖，若要測定管流液 體中體中A A點的流速點的流速v v，可由測壓管測出該點的測壓管液柱高度，可由測壓管測出該點的測壓管液柱高度 ，并，并 在在A A點下游相距很近的地方放一根測速管。測速管是彎成直角而兩端點下游相距很近的地方放一根測速管。測速管是彎成直角而兩端 開口的細管，一端的出口置于與開口的細管，一端的出口置于與A A點相距

39、很近的點相距很近的B B點處，并正對來流，點處，并正對來流， 另一端向上。在另一端向上。在B B點處由于測速管的阻滯，流速為點處由于測速管的阻滯，流速為0 0，動能全部轉(zhuǎn)化為，動能全部轉(zhuǎn)化為 壓能，測速管中液面升高為壓能，測速管中液面升高為 。 B B點稱為滯止點或駐點。點稱為滯止點或駐點。 應(yīng)用理想流體恒定流沿流線應(yīng)用理想流體恒定流沿流線 的伯努利方程于的伯努利方程于A A、B B兩點，并取兩點，并取 ABAB連線的平面作為基準面，則有連線的平面作為基準面，則有 pg pg 即即 對于實際流體在應(yīng)用上式計算對于實際流體在應(yīng)用上式計算A A點流速時，需考慮液體粘性點流速時，需考慮液體粘性 對液

40、體運動的阻滯作用，以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應(yīng)使對液體運動的阻滯作用，以及畢托管放入流場后對流動的干擾，應(yīng)使 用修正系數(shù)用修正系數(shù) ，對該式的計算結(jié)果加以修正。一般，對該式的計算結(jié)果加以修正。一般 小于小于1 1，即，即 式中式中 為校正系數(shù)，其值一般約為為校正系數(shù)，其值一般約為0.980.981 1，由試驗率定。，由試驗率定。 2 0 2 pup ggg 2 2 upp h ggg 22 pp ugg h g 2ug h 3.4 3.4 恒定總流的伯努利方程恒定總流的伯努利方程 前面學習了元流的伯努利方程，把它沿過流斷面進行積分就可以前面學習了元流的伯努利方程，把它沿過流斷面進行積分

41、就可以 得到總流的能量方程。得到總流的能量方程。 不可壓縮實際流體恒定流微小流束的能量方程為不可壓縮實際流體恒定流微小流束的能量方程為 各項乘以各項乘以 ，并分別在總流的兩個過流斷面，并分別在總流的兩個過流斷面A A1 1及及A A2 2上進上進 行積分得：行積分得： 2 22 2 2 11 1 22 w h g u g p z g u g p z gdQ gdQhgdQ g u gdQ g p zgdQ g u gdQ g p z Q w QQQQ 2 22 2 2 11 1 2 )( 2 )( 共含有三種類型積分：共含有三種類型積分： 1 1第一類勢能積分第一類勢能積分 若過流斷面為漸變流

42、，則在斷面上若過流斷面為漸變流，則在斷面上 積分可得積分可得 ()()() QQ ppp zgdQzgdQzgQ ggg gdQ g p z Q )( C g p z)( 2 2第二類動能積分第二類動能積分 因因 所以所以 式中式中 為動能修正系數(shù)，流速分布愈均勻，愈接近于為動能修正系數(shù)，流速分布愈均勻，愈接近于1 1；不；不 均勻分布時，均勻分布時，11； 在漸變流時，一般在漸變流時，一般 =1.05 =1.051.11.1。為計算簡便起見，通常取。為計算簡便起見，通常取11。 2222 2 33 2 QAdAugdQ g u AQ 3 3 Au dA v A gdQ g u Q 2 2 u

43、dAdQ 3 3第三類積分第三類積分 假定各個微小流束單位重量液體所損失的能量假定各個微小流束單位重量液體所損失的能量 都用一個都用一個 平均值平均值 來代替則第三類積分變?yōu)椋簛泶鎰t第三類積分變?yōu)椋?得不可壓縮實際液體恒定總流的能量方程。得不可壓縮實際液體恒定總流的能量方程。 上式反映了總流中不同過流斷面上上式反映了總流中不同過流斷面上 ( )( )值和斷面平均流值和斷面平均流 速速v v的變化規(guī)律。的變化規(guī)律。 www QQ hgdQghdQgQh 21 2 222 2 2 111 1 22 w h gg p z gg p z Q gdQhw w h g p z w h 應(yīng)用條件：應(yīng)用條件

44、： 1 1流動必須是恒定流；流動必須是恒定流； 2 2流體的密度是常數(shù)，即不可壓縮流體；流體的密度是常數(shù)，即不可壓縮流體； 3 3作用于流體上的質(zhì)量力只有重力；作用于流體上的質(zhì)量力只有重力； 4. 4. 在所選的兩個過流斷面上，水流應(yīng)符合均勻流或漸變流條件，但在所選的兩個過流斷面上，水流應(yīng)符合均勻流或漸變流條件，但 在所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流；在所取的兩個斷面之間，水流可以不是漸變流； 5. 5. 兩個過流斷面間除了水頭損失外，無其它機械能的輸入或輸出；兩個過流斷面間除了水頭損失外，無其它機械能的輸入或輸出； 6. 6. 在所取的兩過流斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量輸入或在

45、所取的兩過流斷面之間，流量保持不變，其間沒有流量輸入或 輸出。輸出。 0 0 1 2 z1 hw 1 2 z2 z p1 p2 1v12 2g 2v22 2g 測壓管水頭線測壓管水頭線 總水頭線總水頭線 p v 2 2g 水頭線水頭線 v2 1 2 1 2 水面測壓管水頭線水面測壓管水頭線 v1 1v12 2g 2v22 2g z1 z2 hw 總水頭線總水頭線 應(yīng)用能量方程的注意點應(yīng)用能量方程的注意點 1. 1. 選擇同一基準面；選擇同一基準面； 2. 2. 選取選取p p為同一標準；為同一標準； 3.3. 的選取，管道選軸線點，明渠選自由表面；的選取，管道選軸線點，明渠選自由表面； 4.4

46、. 令令 。 p z g 12 1 應(yīng)用能量方程的解題步驟應(yīng)用能量方程的解題步驟 1. 1. 選擇基準面和過流斷面；選擇基準面和過流斷面； 2. 2. 分析計算分析計算 ； 3.3. 聯(lián)立連續(xù)性方程，分析計算聯(lián)立連續(xù)性方程，分析計算v v； 4.4. 列能量方程求解。列能量方程求解。 p z g 能量方程的應(yīng)用舉例能量方程的應(yīng)用舉例 文丘里流量計文丘里流量計 1. 文丘里流量計的組成文丘里流量計的組成 h1 2 h h 收縮段 喉管 擴散段 1 1 2 2 文丘里流量計文丘里流量計 文丘里流量計文丘里流量計 2. 文丘里流量計的測流原理文丘里流量計的測流原理 111 vpA、 、 222 vp

47、A、 、 文丘里流量計文丘里流量計 2 2 1 1 h h2 1 h 00 文丘里流量計文丘里流量計 22 11 1222 12 22 w pvpv zzh gggg 0 w h 12 1.0 22 1221 12 ()() 2 ppvv zz ggg 12 hhh 22 21 2 vv h g 文丘里流量計文丘里流量計 1122 v Av A 2 2 1222 2 2111 /4 () /4 vAdd vAdd 2 1 21 2 () d vv d 2 4 11 2 ()1 2 vd h gd 1 4 1 2 2 ()1 gh v d d 文丘里流量計文丘里流量計 2 1 1 1 4 1 2

48、 2 4 ()1 ghd QAv d d 2 1 4 1 2 2 4 ()1 gd K d d QK h 分析：分析： QKh 文丘里流量計文丘里流量計 討論：討論： 當管道的直徑當管道的直徑d d1 1 和喉管的直徑和喉管的直徑d d2 2 確定以后，確定以后，K K 值值 就是一定的，可以預(yù)先計算得出。由（就是一定的，可以預(yù)先計算得出。由（4 4）式可知，）式可知， 只要測出管道只要測出管道1-11-1斷面與喉管斷面與喉管2-22-2斷面的測壓管的高度斷面的測壓管的高度 差差h h，就很快可以算出流量，就很快可以算出流量Q Q 值，這就是文丘里流量值，這就是文丘里流量 計測流的原理。計測流

49、的原理。 對于壓差比較大的管道，有時候兩個斷面間的水對于壓差比較大的管道，有時候兩個斷面間的水 頭高差達到頭高差達到1 1米以上，讀數(shù)就不是很方便，那怎么解米以上，讀數(shù)就不是很方便，那怎么解 決這個問題呢？決這個問題呢？ 0.95 0.98 文丘里流量計文丘里流量計 文丘里流量計文丘里流量計 思考：思考：1.1.當文丘里流量計接上水銀壓差當文丘里流量計接上水銀壓差 計的后，其計算公式變?yōu)橛嫷暮?，其計算公式變?yōu)?1 1 2 2 h 水 銀 文丘里流量計文丘里流量計 12.6QKh 式中式中h為水銀壓差計兩支水銀面為水銀壓差計兩支水銀面 的高差，為什么？的高差，為什么？ 2.2.文丘里流量計的計算

50、公式（文丘里流量計的計算公式（4 4） 能不能用來測量傾斜管道中的流能不能用來測量傾斜管道中的流 量，為什么？量，為什么？ 文丘里流量計文丘里流量計 流速流速v的變化的變化 0v 3.4.4 3.4.4 總流伯努利方程的擴展總流伯努利方程的擴展 22 11 1222 121 2 22 w pvpv zzh gggg 22 33 311 1 131 3 22 w pvpv zzh gggg 12 312 22 11 122 2 12 2 33 3 31 32 3 ()() 22 () 2 vv vvwvw pvpv gQzgQz gggg pv gQzgQ hgQ h gg 一、有分流或匯流時實

51、際流體總流能量方程一、有分流或匯流時實際流體總流能量方程 對于匯流情況，也可分別列出對于匯流情況，也可分別列出1 1、3 3及及2 2、3 3的伯努利方程的伯努利方程 同理可得總能量守恒的伯努利方程同理可得總能量守恒的伯努利方程 3.4.4 3.4.4 總流伯努利方程的擴展總流伯努利方程的擴展 22 33 311 1 131 3 22 w pvpv zzh gggg 32 333 3 222 2 22 w h g v g p Z g v g p Z 3231 333 3 222 2 111 1 213 21 ) 2 ( ) 2 () 2 ( wvwvv vv hgQhgQ g v g p Zg

52、Q g v g p ZgQ g v g p ZgQ 3.4.4 3.4.4 總流伯努利方程的擴展總流伯努利方程的擴展 二、有機械能輸入或輸出時總流能量方程二、有機械能輸入或輸出時總流能量方程 沿總流兩過流斷面間裝有水泵、風機或水輪機等裝置，沿總流兩過流斷面間裝有水泵、風機或水輪機等裝置， 流體流經(jīng)水泵或風機時將獲得能量，流經(jīng)水輪機時將失去能量。流體流經(jīng)水泵或風機時將獲得能量，流經(jīng)水輪機時將失去能量。 設(shè)流體獲得或失去能量頭為設(shè)流體獲得或失去能量頭為 ，則總流伯努利方程為，則總流伯努利方程為 式中式中 前的正、負號，獲得能量為正，失去能量為負。前的正、負號，獲得能量為正，失去能量為負。 H 22

53、 11 1222 121 2 22 w pvpv zHzh gggg H 對馬達和水泵對馬達和水泵 對水輪機與發(fā)電機對水輪機與發(fā)電機 pp P H gQ g g P H gQ 3.4.4 3.4.4 總流伯努利方程的擴展總流伯努利方程的擴展 三、氣流的伯努利方程三、氣流的伯努利方程 對流速不是很大，壓強變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風對流速不是很大，壓強變化不大的系統(tǒng)，如工業(yè)通風 管道、煙道等，氣流在運動過程中密度的變化很小。在這樣的條管道、煙道等，氣流在運動過程中密度的變化很小。在這樣的條 件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于氣流的密度同外部空氣的件下，伯努利方程仍可用于氣流。由于氣流的密度同外部空

54、氣的 密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進行計算時，需要考慮外部密度是相同的數(shù)量級，在用相對壓強進行計算時，需要考慮外部 大氣壓在不同高度的差值。大氣壓在不同高度的差值。 22 11 122 2 1212 (1) 22 absabs w pvpv zzh gggg w p ww pgh 為壓強損失，為壓強損失， wabsabs p v pgz v pgz 22 2 2 22 2 1 11 3.4.4 3.4.4 總流伯努利方程的擴展總流伯努利方程的擴展 三、氣流的伯努利方程三、氣流的伯努利方程 11 2221 () absa absaa ppp pppg zz 22 12 1212 () ()

55、22 aw vv pg zzpp 如果您有任何問題，如果您有任何問題， 請毫不猶豫地提出請毫不猶豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 例例 ：已知：已知: d=200mm H=4.5m Q=100 (l/s) ， 求求: 水流的總水頭損失水流的總水頭損失 解解: H 2 2 11 選選1-1與與2-2兩個斷面間的流動兩個斷面間的流動 ) 2 ( 2 2 222 2 2 1

56、11 1 g v g p z g v g p zhw 將將 H=z1-z2和和 p1=p2=0 及及 v1=0 2=1.0 則有：則有： m97.353.05.4 031.08.92 1.0 5.4 22 2 2 2 22 2 w w h gA Q H g v Hh 伯努利方程應(yīng)用實例伯努利方程應(yīng)用實例 分析：分析：v v1 1相對于相對于v v2 2可以忽略不可以忽略不 計。計。p p1 1和和p p2 2 均等于當?shù)卮髿鈮海?均等于當?shù)卮髿鈮海?其相對壓強為零。其相對壓強為零。 w h g v H 2 00000 2 22 m/s592. 1 2 A Q v m63. 3 2 2 22 w

57、 h g v H 0 . 1 2 1 1 2 2 H 伯努利方程應(yīng)用實例伯努利方程應(yīng)用實例 已知已知: zc=9.5m zB=6m 不計損失，不計損失， 求求: c 點壓能和動能。點壓能和動能。 8m 0 0 3.5m 1.5m 2 B c A 2 V2 11 解解: 1-1與與2-2兩截面兩截面 間流動間流動, 由伯努利方由伯努利方 程有：程有： g v g v g v g p zH c 2 m2 2 m8 2 22 2 2 22 21 列列1-1與與c斷面間能量方程有斷面間能量方程有 m5 . 325 . 98 2 2 2 01 2 01 g v zH g p g v g p zH c c

58、 c ccc c 伯努利方程應(yīng)用實例伯努利方程應(yīng)用實例 w h p g v z p g v z 2 2 2 2 1 2 1 1 22 s Hzvpz 2111 ; 0; 0; 0 ws a v h g v H pp h 2 2 22 m0 . 6 v h s H 11 2 2 Q 伯努利方程應(yīng)用實例伯努利方程應(yīng)用實例 解：分別選取渠底抬高處前后兩漸變流過流斷面解：分別選取渠底抬高處前后兩漸變流過流斷面1 11 1和和2 22 2，計算點，計算點 均取在自由面上（相對壓強為零），基準面均取在自由面上（相對壓強為零），基準面0 00 0取與抬高前渠底沖合，取與抬高前渠底沖合， 則據(jù)則據(jù)1 11 1

59、和和2 22 2過流斷面列恒定總流的伯努利方程：過流斷面列恒定總流的伯努利方程： g v g v hh g v h t 2 5 . 0 2 0)( 2 0 2 22 2 22 2 2 11 1 連續(xù)性方程：連續(xù)性方程： 0 . 1 21 2211 bhvbhvQ /sm m/s 3 89. 5 606. 1 )/(2/3 )(2 2 12 21 2 Q hh hhhg v t 1 1 2 2 0 0 t h 1 h2 hQ 伯努利方程應(yīng)用實例伯努利方程應(yīng)用實例 質(zhì)點系運動的動量定律：質(zhì)點系的動量在某一方向的變化，質(zhì)點系運動的動量定律：質(zhì)點系的動量在某一方向的變化， 等于作用于該質(zhì)點系上所有外力

60、的沖量在同一方向上投影的代數(shù)和。等于作用于該質(zhì)點系上所有外力的沖量在同一方向上投影的代數(shù)和。 今在恒定總流中，取出某一今在恒定總流中，取出某一 流段來研究。該流段兩端過水斷流段來研究。該流段兩端過水斷 面為面為1-11-1及及2-22-2。經(jīng)微小時段。經(jīng)微小時段dtdt后后, , 設(shè)原流段設(shè)原流段1-21-2移至新的位置移至新的位置1-21-2。 流段內(nèi)動量的變化流段內(nèi)動量的變化 應(yīng)等于應(yīng)等于 1-21-2與與1-21-2流段內(nèi)液體的動量流段內(nèi)液體的動量 P1-2P1-2和和P1-2P1-2之差。之差。 3.5 3.5 恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程 p 一、動量方程式一、動量方程式 3