軸對稱及中心對稱變換平移及旋轉(zhuǎn)變換.doc

1、軸對稱及中心對稱變換、平移及旋轉(zhuǎn)變換變換是極為重要的數(shù)學(xué)思維方法，利用幾何變換解題在數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常用到，本文介 紹幾何變換中的基本變換：軸對稱及中心對稱變換、平移及旋轉(zhuǎn)變換。一、軸對稱變換把一個圖形F沿著一直線1折過來，如果它能夠與另一個圖形F重合，我們就說圖形 F和F關(guān)于這條直線1對稱。兩個圖形中的對應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于這條直線1的對稱點(diǎn)，這條直線1叫做對稱軸，如右軸對稱圖形有以下兩條性質(zhì)：1. 對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分：2. 對應(yīng)點(diǎn)到對稱軸上任一點(diǎn)的距離相等。例1凸四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于0,且AC丄BD,已知0A0C, 0B0D,求 證：BC+ADAB+CDo分析：題中條件比較

2、分散，故考慮“通過反射使條件相對集中”，注意到AC丄BD,于 是以BD(AC)為對稱軸，將BC(AD)反射到BC(AD),把有關(guān)線段集中到AABO內(nèi)，利用三角 形中兩邊之和大于第三邊易證得結(jié)果。證明：TAC丄BD,且OAOC OBOD,于是以BD為對稱軸，作C點(diǎn)關(guān)于直線BD為對 稱點(diǎn)C,以AC為對稱軸作D點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)D。連結(jié)BC , AD相交于E點(diǎn)，則BC二 BC, AD二AD, CD二CD。 BE+AEAAB EC+EDCD +，得 BC+ADAB+CD。.BC+ADAB+CD。注：（1）本題的結(jié)論對于凹四邊形仍然成立：（2）還可將四邊形推廣成2n邊形，也有類似結(jié)論。英證明思路也完全相

3、同，讀者試自 證。二、中心對稱變換如果平而上使任意一對對應(yīng)點(diǎn)A, A的連線段都通過一個點(diǎn)0,且被這一點(diǎn)所平分，則 這個變換叫做中心對稱變換（亦稱點(diǎn)反射或點(diǎn)對稱），點(diǎn)0叫對稱中心，點(diǎn)A和A叫做關(guān)于 對稱中心的對稱點(diǎn)，如果一個圖形F在中心對稱變換下保持不變（還是自身），則這個圖形 F叫做中心對稱圖形。中心對稱變換有以下性質(zhì)：（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。這 個性質(zhì)的逆命題也成立，即如果兩個圖形的對應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平 分，那么兩個圖形關(guān)于這一點(diǎn)對稱。（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應(yīng)線段平行（或在同一條宜線上）且相等。例3如圖所示，地面

4、上有不在同一直線的A、B、C三點(diǎn)，一只青蛙位于地而異于A、 B、C的P點(diǎn)，第一步青蛙從P跳到P關(guān)于A的對稱點(diǎn)P,第二步從P,跳到P,關(guān)于B的對稱 點(diǎn)匕，第三步從P：跳到匕關(guān)于C的對稱點(diǎn)P,第四步從P,跳到關(guān)于A的對稱點(diǎn)R,， 以下跳法類推，問青蛙跳完第1992步，落在地而的什么位置？解：青蛙每跳一次，就是完成一個中心對稱變換，如圖，根據(jù)中位線泄理，有PP： = 2AB = PR 并且由PQCPs, PQCP,可知PBP只是平行四邊形。.-.P=P6 = P：PO 由、及平行公理可知P和莊重合，這表明青蛙每跳6步，都可以回到起點(diǎn)P,而 1992是6的倍數(shù)，因此跳完第1992步青蛙應(yīng)落在P點(diǎn)。三、

5、平移變換把圖形F上的所有的點(diǎn)都按一泄方向移動一泄距離d形成圖形F，則由F到F的變換 叫做平移變換。一般地，題設(shè)條件中有彼此平行的線段，或有造成平行的因素，又需要將有關(guān)線段與 角由分散到相應(yīng)集中，使圖形中諸元素之間的聯(lián)系變得明顯，可以采用平移變換。例4設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，ZPAB二ZPCB,求證：ZPBA=ZPDAo證明：如圖，TAB生CD,故可將AABP沿AD方向平移至ADCP處，.AP生DP,BP = CP o因此四邊形APPD, BCPP都是平行四邊形， ZPDC二ZPAB, ZPCD二ZPBA,ZBCP=ZCPP，, ZPDA二ZDPP,又ZPAB二ZPCB, ZCPP二

6、ZPDC,.c、P、D、P四點(diǎn)共圓，ZDPP二ZP CD, ZPBA=ZPDAo例5由平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)作它的高AE和AF,已知EFp, AC二b,求點(diǎn)A到AAEF 的三條髙的交點(diǎn)H的距離。解：VAD/7BC, AE丄BC,過C作CG丄AD垂足為G,（即將AE平移到CG）,得矩形 AECG,連結(jié) FG, EG, CG,得 EG二AC二b, AG 生EC。TEH丄AF, CF丄AF, FH丄AE, CE丄AE“EHCF, ECHF, ECFH為平行四邊形，因此EC生HF。又AGEC, AG生肝，AH生FG是平行四邊形，AAH=GF又AH丄EF,因此ZkEFG是直角三角形。注：本題是經(jīng)過若干

7、平移而獲得解決的。四、旋轉(zhuǎn)變換將平而圖形F繞這平而內(nèi)的一個左點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一個定角而形成的圖形F,由F到F這 種變換稱旋轉(zhuǎn)變換。點(diǎn)0稱旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)中心是旋轉(zhuǎn)變換下唯一位置不變點(diǎn)，。稱旋轉(zhuǎn) 角。運(yùn)用旋轉(zhuǎn)變換的關(guān)鍵在于選好旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角。旋轉(zhuǎn)變換在解題中的主要應(yīng)用有以下兩個方而：(1) 在題設(shè)條件與結(jié)論間聯(lián)系不易溝通或條件分散不易集中利用的情形下，通過旋轉(zhuǎn)變 換起到鋪路架橋作用。(2) 圖形錯綜復(fù)雜，但圖形中等量關(guān)系多，可通過旋轉(zhuǎn)變換，移動部分圖形，使題設(shè)中 隱蔽著的關(guān)系明朗起來，從而找到解題途徑。例6設(shè)0是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，已知ZAOB二115 , ZBOC二125 ,求以線段0A、 OB、0C為邊構(gòu)成的三角形的各角。解：以B為中心，將ABOA逆時針方向旋轉(zhuǎn)60 ,則點(diǎn)A落在點(diǎn)C,點(diǎn)0落在點(diǎn)D,連 結(jié) OD, CD, TOB二BD, ZOBD二60 ,/. AB0D是等邊三角形；則0D二0B,又 CD=OA,/. ACOD是以0A, OB, 0C為邊構(gòu)成一個三角形。A ZB0C=125 , ZBOD二60。AZCOD=65。又 VZBDC=ZAOB=115 ,而 ZODB二60 ,/. Z0DC=55 ,從而Z0CD=180o -