Mathematica-教程03mathematica基本符號運算

1、8/5/2021 MathematicaMathematica基本符號運算基本符號運算 n化簡化簡 n因式分解因式分解 n解方程解方程 n解不等式解不等式 8/5/2021 化簡化簡 n化簡計算結果化簡計算結果 n在在Mathematica中，符號運算的結果經常是沒有化簡的，中，符號運算的結果經常是沒有化簡的， 與人工計算的答案不同。但是與人工計算的答案不同。但是Mathematica提供了很強的提供了很強的 化簡功能，能自動或在人工參與下將結果化簡，最終得到化簡功能，能自動或在人工參與下將結果化簡，最終得到 形式滿意的答案。形式滿意的答案。 n常用的化簡函數(shù)有兩個常用的化簡函數(shù)有兩個: nS

2、implifyexpr 使用變換化簡表達式。使用變換化簡表達式。 nFullSimplifyexpr使用更廣泛的變換化簡表達式。使用更廣泛的變換化簡表達式。 n如果使用前一個函數(shù)不滿意，再使用后一個函數(shù)。如果使用前一個函數(shù)不滿意，再使用后一個函數(shù)。 8/5/2021 例例 nSimplifyCosx2+Sinx2 nSimplifyCosx2+2SinxCosx+Sinx2 nFullSimplifyCosx2+2SinxCosx+Sinx2 nSimplify nSimplify ,a0 說明說明:從例中可以看到這兩個函數(shù)的差異，后一個功能更強。從例中可以看到這兩個函數(shù)的差異，后一個功能更強

3、。 從從Out 4看到根式沒有化簡，因看到根式沒有化簡，因Mathematics不知道不知道a是什是什 么類型的數(shù)，不化簡反倒是正確的。從么類型的數(shù)，不化簡反倒是正確的。從In 5中可以看出，中可以看出， 這兩個函數(shù)允許加上含有條件的第二個可選參數(shù)，使化簡這兩個函數(shù)允許加上含有條件的第二個可選參數(shù)，使化簡 得以進行。得以進行。 2 a 2 a 8/5/2021 帶有條件的化簡帶有條件的化簡 n化簡函數(shù)允許帶有條件，條件可以是等式或不等式，還可以使 用下面的表達式指明數(shù)的取值范圍。 nxdom 或Elementx,dom ndom 只能取下列集合之一 nIntegers 整數(shù)集合。 nRatio

4、nals 有理數(shù)集合。 nReals 實數(shù)集合。 nComplexes 復數(shù)集合 nPrimes 素數(shù)集合。 nAlgebraics 代數(shù)數(shù)集合。 nBooleans True或False . 注意注意:以上集合都按常規(guī)的定義，以上集合都按常規(guī)的定義， 但是也有例外如小數(shù)不算作有理但是也有例外如小數(shù)不算作有理 數(shù)數(shù). 8/5/2021 測試實例測試實例: : 8/5/2021 帶條件的化簡帶條件的化簡 n化簡特殊函數(shù)化簡特殊函數(shù) 8/5/2021 常用的因式分解函數(shù)常用的因式分解函數(shù) n因式分解因式分解 nFactorexpr 用于和式的因式分解，也可以分解分式用于和式的因式分解，也可以分解分

5、式 的分子、分母還可以先通分再分解的分子、分母還可以先通分再分解)。 8/5/2021 合并同類項合并同類項 n合并同類項的函數(shù)是合并同類項的函數(shù)是Collect nCollectexpr, x 將表達式將表達式expr中的中的x的同次冪合并。的同次冪合并。 nCollectexpr,x,y,. v將表達式將表達式expr按按x,y,的同次幕的同次幕 合并。合并。 注意注意:上例中表明，當?shù)谏侠斜砻?，當?shù)?個參數(shù)有多個變量時，答案個參數(shù)有多個變量時，答案 與第與第2個參數(shù)中變量的次序有關。個參數(shù)中變量的次序有關。 8/5/2021 表達式的展開表達式的展開 n將表達式展開的函數(shù)有將表達式展開

6、的函數(shù)有: nExpandexpr nExpandAllexpr n這兩個函數(shù)都可用于乘積的展開，也可以展開分式。后這兩個函數(shù)都可用于乘積的展開，也可以展開分式。后 者展開得更為徹底，前者展開分式時只展開分子，而后者展開得更為徹底，前者展開分式時只展開分子，而后 者將分子、分母都進行展開。者將分子、分母都進行展開。 還有兩個特殊的展開函數(shù)還有兩個特殊的展開函數(shù): ExpandNumeratorexpr 只展開分式的分子。只展開分式的分子。 ExpandDenominatorexpr 只展開分式的分母只展開分式的分母 8/5/2021 8/5/2021 分式的化簡與展開分式的化簡與展開 n下列函

7、數(shù)分別用于有理式的合并、化簡與展開下列函數(shù)分別用于有理式的合并、化簡與展開: nTogetherexpr 用于通分，把所有的項放在同一個分用于通分，把所有的項放在同一個分 母上并化簡母上并化簡 nCancelexpr 用于約去分子、分母的公因式。用于約去分子、分母的公因式。 nApartexpr 將有理式分解為最簡分式的和。將有理式分解為最簡分式的和。 說明說明:由上例可以看出，這由上例可以看出，這 三個函數(shù)對于同一個分式的三個函數(shù)對于同一個分式的 作用效果不同。函數(shù)作用效果不同。函數(shù)Apart 通常用于求有理式的積分，通常用于求有理式的積分， 它的第二個可選參數(shù)表明誰它的第二個可選參數(shù)表明誰

8、 是變量，在上例是變量，在上例In 5中的中的a， b則作為常數(shù)。則作為常數(shù)。 8/5/2021 輸出的縮減形式輸出的縮減形式 n 有時輸出結果很長，并不需要了解其中的細節(jié)，只需知道它有時輸出結果很長，并不需要了解其中的細節(jié)，只需知道它 的結構，這時可以使用函數(shù)的結構，這時可以使用函數(shù)Short簡化結果的輸出形式簡化結果的輸出形式; nShortexpr 將輸出結果縮略成一行顯示。將輸出結果縮略成一行顯示。 nShortexpr,n 將輸出結果縮略成將輸出結果縮略成n行顯示。行顯示。 說明說明:Out1/Short中中表示省略了表示省略了41項。指定項。指定 行數(shù)行數(shù)n后，有時實際顯示會少于后

9、，有時實際顯示會少于n行。上例第行。上例第3句的函句的函 數(shù)數(shù)Length用于求表達式的項數(shù)。用于求表達式的項數(shù)。 8/5/2021 三角函數(shù)式的化簡三角函數(shù)式的化簡 n三角函數(shù)專用的分解、展開、化簡函數(shù)三角函數(shù)專用的分解、展開、化簡函數(shù) nTrigExpandexpr 將三角函數(shù)式展開。將三角函數(shù)式展開。 nTrigFactorexpr 將三角函數(shù)式因式分解。將三角函數(shù)式因式分解。 nTrigReduceexpr 用倍角化簡三角函數(shù)式。用倍角化簡三角函數(shù)式。 nTrigToExpexpr 將三角函數(shù)式轉換成指數(shù)形。將三角函數(shù)式轉換成指數(shù)形。 nExpToTrigexpr 前一個函數(shù)的逆變換。

10、前一個函數(shù)的逆變換。 8/5/2021 n注意注意:從實際常用的倍角公式知道，從實際常用的倍角公式知道，In1的答案應該有的答案應該有 3種、但種、但Out1只能給出一種，因此使用機器化簡遠不只能給出一種，因此使用機器化簡遠不 如人靈活，有時還需要人機結合。如人靈活，有時還需要人機結合。 8/5/2021 nMathematica在求不定積分時，答案常出現(xiàn)雙曲函數(shù)，在求不定積分時，答案常出現(xiàn)雙曲函數(shù)， 不符合人工解題習慣，可以使用不符合人工解題習慣，可以使用TrigToExp轉換轉換 8/5/2021 多項式的運算多項式的運算 n兩個多項式的四則運算使用通常的兩個多項式的四則運算使用通常的+，

11、-，*, / 運算符，其運算符，其 中乘號可以用空格代替中乘號可以用空格代替 注意注意:可以看到，乘法和除法其實什么也沒做，需可以看到，乘法和除法其實什么也沒做，需 要用前面介紹的化簡函數(shù)將結果再化簡要用前面介紹的化簡函數(shù)將結果再化簡。 8/5/2021 n介紹四個常用函數(shù)介紹四個常用函數(shù): nPolynomialQuotientpl, p2,x 求求x的多項式的多項式p1被被p2除的商。除的商。 nPolynomialRemainderpl, p2,x 求求x的多項式的多項式p1被被p2除的余。除的余。 nPolynomialGCDp1,p2, 求多個多項式的最大公因式。求多個多項式的最大公

12、因式。 nPolynomialLCMpl,p2, 求多個多項式的最小公倍式。求多個多項式的最小公倍式。 p1x43 x3x24 x3; p23 x310 x22 x3; PolynomialQuotient p1, p2, x PolynomialGCD p1, p2 PolynomialLCM p1, p2 8/5/2021 解方程解方程 n解符號方程解符號方程(組組) n在在Mathematica中中“=”號用于給變量賦值，而方程中的等號使號用于給變量賦值，而方程中的等號使 用符號用符號“=”(即兩個等號即兩個等號)表示。方程組用花括號括起來，各表示。方程組用花括號括起來，各 個方程用逗號

13、分隔。所有未知量也用花括號括起來，未知量之個方程用逗號分隔。所有未知量也用花括號括起來，未知量之 間用逗號分隔。單個方程和未知量不必使用花括號。以下用間用逗號分隔。單個方程和未知量不必使用花括號。以下用 eqns表示方程組，用表示方程組，用vars表示未知量組。表示未知量組。 n下列函數(shù)用于解符號方程下列函數(shù)用于解符號方程(組組): nSolveeqns,vars 對系數(shù)按常規(guī)約定求出方程對系數(shù)按常規(guī)約定求出方程(組組)的全部解。的全部解。 nReduceeqns,vars 討論系數(shù)出現(xiàn)的各種可能情況，分別求解。討論系數(shù)出現(xiàn)的各種可能情況，分別求解。 8/5/2021 8/5/2021 n說明

14、說明:上例首先用這兩個解方程的函數(shù)解同一個方程，上例首先用這兩個解方程的函數(shù)解同一個方程， Solve不考慮，不考慮，a=0的情況，而的情況，而Reduce則進行討論。則進行討論。 n然后再用它們解同一個方程組，然后再用它們解同一個方程組，Solve給出的答案遵循通給出的答案遵循通 常的常的“系數(shù)行列式不等于系數(shù)行列式不等于0”的約定，而的約定，而Reduce給出的答給出的答 案就令人厭煩了，因此解符號方程案就令人厭煩了，因此解符號方程(組組)時主要使用時主要使用Solve. n應當指出它們不僅能解一般的代數(shù)方程，還可以解一些應當指出它們不僅能解一般的代數(shù)方程，還可以解一些 無理方程、三角函數(shù)

15、方程和含有指數(shù)、對數(shù)的方程等無理方程、三角函數(shù)方程和含有指數(shù)、對數(shù)的方程等(但但 是在解超越方程時，是在解超越方程時，Mathematics有時會提示答案不是有時會提示答案不是 全部解全部解)。 n如果在方程的系數(shù)中使用小數(shù)，則改為求近似解。如果在方程的系數(shù)中使用小數(shù)，則改為求近似解。 8/5/2021 說明說明:其中例其中例2無解，則輸出一個空括號。無解，則輸出一個空括號。Mathematica 的解集輸出優(yōu)于的解集輸出優(yōu)于MATLAB的同類函數(shù)的輸出，有幾個的同類函數(shù)的輸出，有幾個 解、各個未知量的值都一目了然。解、各個未知量的值都一目了然。 8/5/2021 解集的再處理解集的再處理 n

16、解集的表達式也有不方便之處，如何提取解的值供后解集的表達式也有不方便之處，如何提取解的值供后 面引用呢面引用呢?下例給出一種實用的方法下例給出一種實用的方法: 提示提示:用以上方法可以將全部解的值存入一個表，后面用以上方法可以將全部解的值存入一個表，后面 需要時可以用提取表的元素的方法隨意引用。需要時可以用提取表的元素的方法隨意引用。 8/5/2021 n下例是解集輸出的另一個不便之處及其解決辦法下例是解集輸出的另一個不便之處及其解決辦法: 用鍵入用鍵入“: ”得到得到。下劃線下劃線 說明說明:這里復數(shù)解的標準輸出不符合習慣，按照上例中的方這里復數(shù)解的標準輸出不符合習慣，按照上例中的方 法使用

17、復數(shù)展開函數(shù)就可以解決法使用復數(shù)展開函數(shù)就可以解決 求近似解求近似解 很多方程是根本不能求出準確解的，前面介紹的那些函數(shù)很多方程是根本不能求出準確解的，前面介紹的那些函數(shù) 也無能為力。下列函數(shù)專門用于求方程也無能為力。下列函數(shù)專門用于求方程(組組)的數(shù)值解，其的數(shù)值解，其 調用格式如下調用格式如下: 8/5/2021 nNSolveeqns,vars 求代數(shù)方程求代數(shù)方程(組組)的全部數(shù)值解。的全部數(shù)值解。 nFindRooteqns,x,x0,y,y0, 從從(x0，y0,，)出發(fā)找出發(fā)找 方程方程(組組)的一個解。的一個解。 注意注意:上例中上例中In1說明，如果方程中出現(xiàn)小數(shù)，則說明，如

18、果方程中出現(xiàn)小數(shù)，則Solve 也求近似解也求近似解. 還有求多項式根的函數(shù)還有求多項式根的函數(shù)Roots，通常可用，通常可用 Solve代替，這里就不介紹了。代替，這里就不介紹了。 8/5/2021 消去某些變量消去某些變量 nEliminateeqns,elims 從一組等式中消去變量從一組等式中消去變量(組組)elims. 注意注意:上例中上例中In3表明，表明，Solveeqns,Vars，elims的功能是消的功能是消 去去y,z，求出，求出x的值。同樣，函數(shù)的值。同樣，函數(shù)Reduce也有此功能也有此功能. 8/5/2021 解不等式解不等式 nMathematica沒有解不等式的

19、內部函數(shù)，但是它自帶的外部沒有解不等式的內部函數(shù)，但是它自帶的外部 函數(shù)有此功能，必須將含有此函數(shù)的程序文件調入后才能函數(shù)有此功能，必須將含有此函數(shù)的程序文件調入后才能 使用，文件位于使用，文件位于Mathematica的標準擴展程序包集中。的標準擴展程序包集中。 n 標準擴展程序包集是標準擴展程序包集是Mathematica的一個子目錄的一個子目錄 StandardPackages.它的子目錄本書稱為程序包子集。程序它的子目錄本書稱為程序包子集。程序 包子集按數(shù)學學科分類，如包子集按數(shù)學學科分類，如Algebra,Calculus等。每個程序等。每個程序 包子集中有多個文件，文件擴展名為包子集中有多個文件，文件擴展名為m。每個文件中有一。每個文件中有一 個或多個外部函數(shù)，將這類文件稱為程序包個或多個外部函數(shù)，將這類文件稱為程序包(文件文件)。 8/5/2021 調入方法是鍵入調入方法是鍵入: : n程序包子集名程序包子集名文件名文件名(文件名不必帶擴展名文件名不必帶