文科二輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)11立體幾何

1、專(zhuān)題限時(shí)集訓(xùn)(十一)立體幾何組真題重組練1. (2019-全國(guó)卷I)如圖,直四棱柱ABCD-ABCD的底面是菱形,A4i=4,AB=2, ZBAD = 60。，E, M, N 分別是 BC, BBi, AiD 的中點(diǎn).(1) 證明：MN平面CiDE；(2) 求點(diǎn)C到平面Ci DE的距離.解I (1)證明：連接5C,ME.因?yàn)镸,E分別為BBi,BC的中點(diǎn)，所以MEBC,由題設(shè)知AiBi練DC,可得BC紋AD,故ME狹ND,因此四邊形MNDE 為平行四邊形，所以MNED.又MNG平面CQE,所以MN平面CDE.(2)過(guò)點(diǎn)C作CE的垂線，垂足為由已知可得DE丄BC, DECiC,所以DE丄平而C、

2、CE,故DE丄CH. 從而CH丄平面CQE,故CH的長(zhǎng)即為點(diǎn)C到平面CQE的距離.由已知可得 CE=1, CiC=4,所以 CiE=yTj,故 CH=. 從而點(diǎn)C到平而CiDE的距離為斗辛.2. (2020全國(guó)卷II)如圖，已知三棱柱ABC-AxBxCx的底面是正三角形，側(cè)面BBiCiC是矩形，M, N分別為BC, Ci的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn).過(guò)Ci和P1/ 12的平面交A3于E，交AC于F.(1) 證明：AAiMN,且平面AiAMN丄平面EBCF；(2) 設(shè) O 為AAiBiCi 的中心，若 AO=AB=6, AO平面 EBCF,且ZMPN= 扌，求四棱錐B-EBxCF的體積.解(1)證明：

3、因?yàn)镸, N分別為BC, BiCi的中點(diǎn)，所以MN/CC.又由已知得A41/7CG,故AAiMN.因?yàn)锳AiBiCi是正三角形，所以BiCi丄AiN.又BiCi丄MN,故BiCi丄平面AiAMM所以平面AiAMN丄平而EBQF.(2)AO平岳 EBiCiF, AOU 平面 ASMN,平面 AAMNQ 平而 EBCF=PN, 故 AO/PN.又AP/ON,故四邊形APNO是平行四邊形，所以PN=AO = b, AP=ON= PM=AM=2y/3t EF=*BC=2.因?yàn)锽C平而EBiCiF,所以四棱錐B-EBCXF的頂點(diǎn)3到底面EBCXF的距 離等于點(diǎn)M到底而EBGF的距離.如圖，作 MT丄PN

4、,垂足為T(mén),則由(1)知，丄平面EBQF,故MT= PMsinZMPN=3.c,底而 EBXCF 的面積為*X(5Ci+EF)XPN=4(6+2)X6 = 24.所以四棱錐B-EBiCF的體積為|x24X3 = 24.3. (2019-全國(guó)卷III)圖1是由矩形ADEB, RtAABC和菱形BFGC組成的一個(gè) 平面圖形，其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60.將其沿AB, BC折起使得BE 與重合，連接DG,如圖2.圖1圖2(1) 證明：圖2中的A, C, G, D四點(diǎn)共面，且平面ABC丄平面BCGE；(2) 求圖2中的四邊形ACGD的面積.解(1)證明：由已知得AD/BE, CG/

5、BE,所以AD/CG,故AD, CG確定一個(gè)平面，從而A, C, G, 四點(diǎn)共面.由已知得 AB丄BE, AB丄BC,又 BE, BCU 面 BCGE, BECBC=B,故 43丄 平面BC.GE.又因?yàn)槠絫Sj ABC,所以平ABC丄平面BCGE.(2)取CG的中點(diǎn)M,連接EM, DM.因?yàn)锳B/DEt 丄平面BCGE,所以DE丄平面BCGE,故DE丄CG.由已知，四邊形BCGE是菱形，且ZEBC=60,得EW丄CG,故CG丄平面DEM.因此DW丄CG.在 RtADEM 中，DE=1, EM=書(shū),故 DM=2.所以四邊形ACGD的面積為4.4. (2018-全國(guó)卷III)如圖，矩形ABCD所

6、在平面與半圓弧所在平面垂直，M是CD上異于C, D的點(diǎn)h (1) 證明：平面AMD丄平面BMC；(2) 在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC平面P3D?說(shuō)明理由.解 證明：由題設(shè)知，平而CMD丄平而ABCD,交線為CD.因?yàn)锽C丄CD,BCU平面A3CD,所以BC丄平面CMD,故BC丄DM.因?yàn)镸為上異于C, D的點(diǎn)、,且DC為直徑，所以DM丄GW. 又BCHCM=C,所以DM丄平面BMC.而DWU平面AMD,故平AMD丄平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC平面PBD.證明如下：如圖，連接AC, BD, AC交3D于O.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC的中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所

7、 以MC/OP.又MCQ平面PBD, OPU平而PBD,所以MC平面PBD.B組模擬重組練1. (2020-懷仁模擬)如圖，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，M, N分別是AB, PC的中點(diǎn).(1) 求證：MN平面P1D；(2) 若MN=BC=4,鳳=4書(shū),求異面直線與MN所成的角的大小.解|(1)取PD的中點(diǎn)H,連接AH, NH,A m nTN 是 PC 的中點(diǎn)，:.NHDC,TM是AB的中點(diǎn)，且DC狹AB,NH紋AM,即四邊形AMNH為平行四邊形.:-MN/AH.又 MNQ平PAD, AHU 平面 PAD,MN平面PAD.(2)連接AC并取其中點(diǎn)O,連接OM, ON.ZONM就是異

8、面直線刊 與M/V所成的角，由 MN=BC=4,必=4邁，得 OM=2, ON=2 MO證明：BC丄B4： 若用= PC=*4C=V, Q在線段PB上,滿足PQ=2QB,求三棱錐P-ACQ 的體積.解(1)證明：不妨設(shè) AB=2af 則 AC=CD=DA=at+ON2=MN2, Z ONM =30,即異面直線以與MN成30。的角.2. (2020-汕頭一模)在四棱錐P-ABCD中，平面P1C丄平面ABCD,且有AB/DC, AC=CD=DA=AB.由心仞 是等邊三角形，可得ZACD= :ABDC, ZC4B = .由余弦定理可得BC求點(diǎn)B到平面SCD的距離.懈(1)證明：取SC的中點(diǎn)N,連接M

9、N和DV,=AC2+AB2-1ACAB-cos|= 3a2 ,即 BC=y3at BC2+AC求證：AM平面SCD；=AB1. ZqCB = 90。，即BC丄AC. 又平面必C丄平面ABCD, 平而PACD平面ABCD=AC,BCU平面ABCD, BC丄平而P4C, P1U平而必C,:BC丄BA.(2)依題意得，BA丄PC,Vp ACQ= V?？?=亍心C = XBC3（2020-深圳二模）如圖所示，四棱錐SJBCD中，SA丄平面ABCD, ZABC= ZBAD=90% AB=AD=SA=, BC=2, M 為 S3 的中點(diǎn).VM為SB的中點(diǎn)、,:.MN/BC,且 MN=BC,V ZABC=

10、ZBD=90, AD=f BC=2,:.ADBC,且 AD*BC,：AD紋MN,四邊形AMND是平行四邊形，:.AM/DN,TAMG平而 SCD, DNU 平面 SCD,AM平而SCD.（2Y：AB=AS=f M 為 SB 的中點(diǎn)，:.AM 丄 SB,TSA丄平dQ ABCD, SA丄BC,I ZABC=ZBAD=9Q BC丄AB,:BC丄平dfi SAB, BC丄AM,AM丄平面SBC.由（1）可知 AM/DN,:DN丄平面SBC,：DNU平面 SCD,平面SCD丄平面SBC,作BE丄SC交SC于E,則3E丄平面SCD,在直角三角形SBC中，裝BBC=*SCBE,SB BC 22 23血=飛

11、廠=&= 3，即點(diǎn)B到平面SCD的距離為羊.4. (2020-長(zhǎng)沙模擬妝口圖，已知三棱錐P-ABC的平面展開(kāi)圖中，四邊形ABCD 為邊長(zhǎng)等于血的正方形，ABE和BCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中.(1) 證明：平面刊C丄平面ABC：(2) 求三棱錐P-ABC的表面積和體積.解(1)設(shè)AC的中點(diǎn)為O,連接BO, PO.由題意，得以=PB=PC=逗,PO=1, AO=BO=CO=.因?yàn)樵赯XPIC中，PA=PC, O為AC的中點(diǎn)，所以PO丄AC.因?yàn)樵赯XPOB 中，PO=1, 03=1, PB=dPO2+OB2 = PB2t 所以 PO丄OB.因?yàn)?ACQOB = O, AC, OEU 平

12、 ABC,所以PO丄平面ABC,因?yàn)镻OU平面PIC,所以平而PIC丄平而ABC.(2)三棱錐P-ABC的表而積S=2X*X也X述+2XX(邁尸=2+書(shū),由(1)知，PO丄平面ABC,所以三棱錐P-ABC的體積為V=S.abcXPO =|xC組重點(diǎn)強(qiáng)化練1. 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AD丄DC, AB=, AD=DC=2, AAi=2,且AAi丄平面ABCD. F為Aib的中點(diǎn).n(1) 在圖中畫(huà)出一個(gè)過(guò)BCi且與AF平行的平面(要求寫(xiě)出作法)；(2) 求四棱柱ABCD-AxBCD的表面積.解(1)在平面CDDC中，過(guò)作交Cih于P,在平面CDDC 中，過(guò)Ci作C

13、E/DP,交CD于E,連接BE,此時(shí)AF/CE,過(guò)3Ci且與AF 平行的平面為平面BECi.(2) V四棱柱ABCD-ABCD的底而是直角梯形，AD丄DC, AB=y AD=DC=2f A4i=2,且 A4|丄平而 ABCD,四棱柱ABCD-AiBCDi的表而積為：S=2S 枷 abcd+S 矩形 ABBiAS 矩形 ADDiAi+S 矩形 DCCDi+S 矩形 BCCi5i=2X-X2+l X2+2X2+2X2+V2求證：AC丄BE； 在線段BE上求點(diǎn)M(說(shuō)明M點(diǎn)的具體位置)，使得DE平面GMC,并證+PX2=16+2V5.2. 如圖，在三棱柱FAB-EDC中，側(cè)面ABCD是菱形，G是邊AD

14、的中點(diǎn).平 面ADEF丄平面ABCD. ZADE=90.明你的結(jié)論.解(1)證明：如圖，連接BD,則由四邊形ABCD是菱形可得AC丄BD,平面ABCD丄平而ADEF,平面ABCDH平面ADEF=AD,且DEYAD, :.DE 丄平 ABCD.又 ACU 平而 ABCD, :.AC 1.DE.BDQDE=D, AC丄平面BDE,TBEU平面 BDE, :.AC丄BE.(2)設(shè)BDGCG=O,在BDE中，過(guò)O作DE的平行線交BE于點(diǎn)M, M點(diǎn) 即為所求的點(diǎn).TOM在平而MGC內(nèi)，DE不在平面MGC內(nèi)，且OMDE, :.DE/平面MGC.四邊形ABCD為菱形，且G是AD的中點(diǎn)，AA、OD DG :.

15、DOGsBOC,且而=就=3, 又OM/DE,于是鐫=箸詁 故點(diǎn)M為線段BE上靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn).3. 如圖，在直角梯形 ABCD 中，AB/DC, ZABC=90。，AB=2DC=2BC, E為AB的中點(diǎn)，沿DE將/XADE折起，使得點(diǎn)A到點(diǎn)P位置，且PE丄EB, M為 PB的中點(diǎn)，N是BC上的動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)3, C不重合).(1) 求證：平面EMN丄平面PBC；(2) 設(shè)三棱錐B-EMN和四棱錐P-EBCD的體積分別為匕和，當(dāng)N為BC中 點(diǎn)時(shí)，求認(rèn)的值.解(1)證明：VPE1EB, PE丄ED, EBQED=E,PE丄平面EBCD,又PEU平面PEB,平面PEB丄平面EBCD,：BCU 平面

16、EBCD, BC丄EB,平面PBC丄平面PEB.：PE=EB, PM=MB, ：EM丄PB,BCCPB = B, :.EM丄平面 PBC,又*：EMU平而EMN,平而EMN丄平面PBC.1S.(2) VN 是 BC 的 中點(diǎn)，.= fr =N，Wmebcd Lddl 4點(diǎn)M, P到平面EBCD的距離之比為.w 評(píng)嘶11 11:厲=F 2=?4=8B刃EBCD4如圖，三棱柱ABCAiBiCi中，平面AAiBiB丄平面ABC, D是AC的中點(diǎn).(1) 求證：5C平面AxBDx(2) 若Z4AB=ZqCB = 60。，AB=BBlf AC=2, BC= 1,求三棱錐 C-AAB 的 體積.解連接A5交A/于點(diǎn)O,則O為A3的中點(diǎn)，T