[2018年最新整理]彈性力學(xué) 第六章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解

1、-作者xxxx-日期xxxx2018年最新整理彈性力學(xué) 第六章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解【精品文檔】第六章 平面問(wèn)題的直角坐標(biāo)解知識(shí)點(diǎn)平面應(yīng)變問(wèn)題應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程 平面問(wèn)題應(yīng)力解法逆解法簡(jiǎn)支梁?jiǎn)栴}矩形梁的級(jí)數(shù)解法平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題的近似性應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)應(yīng)力函數(shù)與面力邊界條件應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)懸臂梁?jiǎn)栴}楔形體問(wèn)題一、內(nèi)容介紹對(duì)于實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的某些特殊形式，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化和力學(xué)模型的抽象處理，就可以歸結(jié)為彈性力學(xué)的平面問(wèn)題，例如水壩，受拉薄板等。這些問(wèn)題的特點(diǎn)是某些基本未知量被限制在平面內(nèi)發(fā)生的，使得數(shù)學(xué)上成為二維問(wèn)題，從而簡(jiǎn)化了這些問(wèn)題的求解困難。本章的任務(wù)就是

2、討論彈性力學(xué)平面問(wèn)題：平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題。彈性力學(xué)平面問(wèn)題主要使用應(yīng)力函數(shù)解法，因此本章的工作從推導(dǎo)平面問(wèn)題的基本方程入手，引入應(yīng)力函數(shù)并且通過(guò)例題求解，熟悉和掌握求解平面問(wèn)題的基本方法和步驟。本章學(xué)習(xí)的困難是應(yīng)力函數(shù)的確定。雖然課程討論了應(yīng)力函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，但是應(yīng)力函數(shù)的確定仍然沒(méi)有普遍的意義。這就是說(shuō)，應(yīng)力函數(shù)的確定過(guò)程往往是根據(jù)問(wèn)題的邊界條件和受力等特定條件得到的。二、重點(diǎn)1、平面應(yīng)變問(wèn)題；2、平面應(yīng)力問(wèn)題；3、應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的平面問(wèn)題基本方程；4、應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)；5、典型平面問(wèn)題的求解。6.1 平面應(yīng)變問(wèn)題學(xué)習(xí)思路:對(duì)于彈性力學(xué)問(wèn)題，如果能夠通過(guò)簡(jiǎn)化力學(xué)模型，使三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題

3、，則可以大幅度降低求解難度。平面應(yīng)變問(wèn)題是指具有很長(zhǎng)的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長(zhǎng)度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長(zhǎng)度不變；柱體的兩端受固定約束的彈性體。這種彈性體的位移將發(fā)生在橫截面內(nèi)，可以簡(jiǎn)化為二維問(wèn)題。根據(jù)平面應(yīng)變問(wèn)題定義，可以確定問(wèn)題的基本未知量和基本方程。對(duì)于應(yīng)力解法，基本方程簡(jiǎn)化為平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、平面應(yīng)變問(wèn)題；2、基本物理量；3、基本方程；4、應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程1、平面應(yīng)變問(wèn)題部分工程構(gòu)件，例如壓力管道、水壩等，其結(jié)構(gòu)及其承載形式力學(xué)模型可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問(wèn)題，典型實(shí)例就是水壩，如圖所示這類(lèi)彈性體是具有很長(zhǎng)的縱向軸的柱形物體，橫截面大

4、小和形狀沿軸線長(zhǎng)度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長(zhǎng)度不變；柱體的兩端受固定約束。這類(lèi)工程問(wèn)題，我們可以認(rèn)為柱體是無(wú)限長(zhǎng)的。如果從中任取一個(gè)橫截面，則柱形物體的形狀和所受載荷將對(duì)此橫截面是對(duì)稱(chēng)的。因此物體變形時(shí)，橫截面上的各點(diǎn)只能在其自身平面內(nèi)移動(dòng)。設(shè)縱向軸為z軸，則沿z方向的位移恒等于零，位移只能發(fā)生在Oxy面內(nèi)。而且任一個(gè)橫截面都是對(duì)稱(chēng)面，因此只要具有相同的x、y坐標(biāo)，則有相同的位移。所以物體的位移為 2、基本物理量根據(jù)幾何方程平面應(yīng)變問(wèn)題的應(yīng)變分量 ex，ey，gxy 均為坐標(biāo)x,y的函數(shù)，而其余應(yīng)變分量ez = gxz= gyz = 0。 由于這類(lèi)問(wèn)題的位移和應(yīng)變都是發(fā)生在Oxy平面

5、內(nèi)的，所以稱(chēng)為平面應(yīng)變問(wèn)題。根據(jù)物理方程可得所以回代可得平面應(yīng)變問(wèn)題的物理方程其中因此，平面應(yīng)變問(wèn)題只有應(yīng)力sx，sy，sz = (sx+sy)和txy不等于零，而且這些應(yīng)力均為x，y的函數(shù)，與坐標(biāo)z無(wú)關(guān)。3、基本方程據(jù)上述的分析，可以將彈性力學(xué)的基本方程在平面應(yīng)變問(wèn)題中大為簡(jiǎn)化。平衡微分方程將簡(jiǎn)化為兩個(gè)幾何方程簡(jiǎn)化為三個(gè)變形協(xié)調(diào)方程由六個(gè)簡(jiǎn)化為一個(gè)面力邊界條件也簡(jiǎn)化為兩個(gè)4、應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程應(yīng)用上述平衡、物理、幾何方程和變形協(xié)調(diào)方程，再配以一定的邊界條件，例如面力邊界條件，則可求解平面應(yīng)變問(wèn)題。彈性力學(xué)平面問(wèn)題一般采用應(yīng)力解法，基本方程為平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程。變形協(xié)調(diào)方程是應(yīng)變分

6、量表達(dá)的，對(duì)于應(yīng)力解法，需要用基本未知量應(yīng)力分量來(lái)描述變形協(xié)調(diào)方程。將物理方程代入變形協(xié)調(diào)方程，可得在體力為常數(shù)的條件下，可以利用平衡微分方程簡(jiǎn)化上式，既對(duì)平衡微分方程的兩個(gè)公式分別對(duì)x，y求偏導(dǎo)數(shù)后相加，可得回代到變形協(xié)調(diào)方程，并作整理可得以上方程是平面應(yīng)變問(wèn)題中的由應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程，它表達(dá)了物體內(nèi)的變形協(xié)調(diào)關(guān)系，稱(chēng)為萊維（Lvy，M.）方程。6.2 平面應(yīng)力問(wèn)題學(xué)習(xí)思路:平面應(yīng)力問(wèn)題討論的彈性體為薄板，厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。因此應(yīng)力沿厚度方向不變。平面

7、應(yīng)力問(wèn)題與平面應(yīng)變問(wèn)題在應(yīng)力解法條件下，有類(lèi)似的基本方程。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、平面應(yīng)力問(wèn)題；2、基本物理量與本構(gòu)方程；3、基本方程與邊界條件1、平面應(yīng)力問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題和平面應(yīng)變問(wèn)題的力學(xué)模型是完全不同的。平面應(yīng)力問(wèn)題討論的彈性體為薄板，如圖所示薄壁厚度為h遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于結(jié)構(gòu)另外兩個(gè)方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面Oxy面內(nèi)，并沿厚度方向Oz不變。而且薄板的兩個(gè)表面不受外力作用。根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此應(yīng)力分量也沿厚度均勻分布，所以應(yīng)力分量不隨z改變。根據(jù)邊界條件可得而其余應(yīng)力分量為坐標(biāo)x, y的函數(shù)，即由于應(yīng)力分

8、量均發(fā)生在薄板的中面，所以稱(chēng)為平面應(yīng)力問(wèn)題。2、基本物理量與本構(gòu)方程根據(jù)物理方程的第三式可得與平面應(yīng)變問(wèn)題相比較，這里ez0，這表明薄板變形時(shí)，兩底面將發(fā)生畸變。但是由于平板很薄，這種畸變也是很小的。因此平面應(yīng)力問(wèn)題的物理方程為因此在平面應(yīng)力問(wèn)題中，只有應(yīng)變 存在，而且這些應(yīng)變均為坐標(biāo)x，y的函數(shù)，與z無(wú)關(guān)。3、基本方程與邊界條件根據(jù)與平面應(yīng)變問(wèn)題相同的分析，平面應(yīng)力問(wèn)題的基本方程也可以作相應(yīng)的簡(jiǎn)化。平衡、幾何、變形協(xié)調(diào)方程以及面力邊界條件均簡(jiǎn)化為與平面應(yīng)變問(wèn)題相同的形式，其簡(jiǎn)化形式分別為平衡微分方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程邊界條件6.3 平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)解法學(xué)習(xí)思路:本節(jié)討論平面問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)

9、解法。考察平面問(wèn)題的彈性力學(xué)基本方程平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程，在常體力條件下，可以通過(guò)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)應(yīng)力分量。這樣問(wèn)題的基本未知量由三個(gè)應(yīng)力分量簡(jiǎn)化為一個(gè)應(yīng)力函數(shù)。將應(yīng)力函數(shù)代入基本方程，可以得到由應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的基本方程雙調(diào)和方程。因此彈性力學(xué)平面問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為確定應(yīng)力函數(shù)雙調(diào)和函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、平面問(wèn)題的基本方程；2、應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)；3、應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程1、平面問(wèn)題的基本方程如果采用應(yīng)力作為基本未知量求解彈性力學(xué)平面問(wèn)題，在常體力的條件下基本方程歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解平衡微分方程和應(yīng)力表示的變形協(xié)調(diào)方程 。對(duì)于平衡微分方程的解，可以分解為其齊次方程的通解與任一特解

10、之和。齊次方程就是體力為零的平衡微分方程顯然，平衡微分方程的特解是容易尋找的，下列應(yīng)力分量均為齊次方程的特解，或者2、應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)根據(jù)微分方程理論，必有函數(shù) f（x，y），令則齊次方程的第一式恒滿足。同理必有函數(shù)g（x，y），如果則齊次方程的第二式恒滿足，所以引入任意函數(shù) (x，y)，使得將上式分別回代，可得應(yīng)力分量表達(dá)式上述應(yīng)力分量即為齊次平衡微分方程的通解。對(duì)于體力為零的彈性力學(xué)平面問(wèn)題，只要函數(shù)是四階連續(xù)可導(dǎo)的，總是滿足齊次微分方程的。3、應(yīng)力函數(shù)與雙調(diào)和方程將平衡微分方程特解代入應(yīng)力表達(dá)式，則自然滿足平衡微分方程。應(yīng)力分量不僅需要滿足平衡微分方程，而且還需要滿足變形協(xié)調(diào)方程，將上

11、述應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，可得上式說(shuō)明函數(shù) (x，y）應(yīng)滿足雙調(diào)和方程。根據(jù)應(yīng)力函數(shù)計(jì)算的應(yīng)力分量滿足平衡微分方程，而雙調(diào)和函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力函數(shù)自然滿足變形協(xié)調(diào)方程。因此雙調(diào)和方程就成為平面問(wèn)題應(yīng)力解法的基本方程。綜上所述，彈性力學(xué)平面問(wèn)題的應(yīng)力解法，包括平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題，歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。這里，函數(shù) (x，y)稱(chēng)為艾里（Airy）應(yīng)力函數(shù)，一般簡(jiǎn)稱(chēng)為應(yīng)力函數(shù)。6.4 平面應(yīng)力問(wèn)題的近似性學(xué)習(xí)思路:對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題，如果討論的物體截面形狀及側(cè)面受力相同，則它們所需滿足的基本方程和邊界條件相同，因此解和應(yīng)力函數(shù)均相同。但是問(wèn)題的z方向應(yīng)力和位移不同。應(yīng)該注意

12、的問(wèn)題是雖然二者方程相同，但是平面應(yīng)變問(wèn)題是完全滿足變形協(xié)調(diào)方程的，而平面應(yīng)力問(wèn)題卻是部分滿足的。問(wèn)題的求解又不能要求平面應(yīng)力問(wèn)題同時(shí)滿足所有變形協(xié)調(diào)方程，因此討論其近似性。對(duì)于薄板，雖然平面應(yīng)力問(wèn)題沒(méi)有完全滿足協(xié)調(diào)方程，但是誤差是比較小的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問(wèn)題；2、平面應(yīng)力問(wèn)題與基本方程；3、平面應(yīng)力問(wèn)題的誤差1、平面應(yīng)變與平面應(yīng)力問(wèn)題對(duì)于平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題，若討論的物體截面形狀及側(cè)面受力相同，則它們所需滿足的基本方程和邊界條件也相同，所得到的解和應(yīng)力函數(shù)均相同。因此，它們的應(yīng)力分量s x，s y和t xy也相同，應(yīng)力分量t xz和t yz均等于零， 所不同的是 z 向應(yīng)

13、力分量 s z，應(yīng)變e z和位移分量w。下表列出了兩種平面問(wèn)題的主要差別平面應(yīng)變問(wèn)題平面應(yīng)力問(wèn)題z向應(yīng)力分量s z =n (s x + s y )s z0z向位移分量w0w0正應(yīng)變分量上述分析表明，平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題的主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式。2、平面應(yīng)力問(wèn)題與基本方程雖然平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問(wèn)題的主要不同在于z向應(yīng)變，位移和正應(yīng)力的計(jì)算公式。但是應(yīng)該注意的問(wèn)題是平面應(yīng)力問(wèn)題解的近似性。由于討論平面應(yīng)力問(wèn)題時(shí)，僅用了一個(gè)變形協(xié)調(diào)方程，其余五個(gè)方程未做檢驗(yàn)。這五個(gè)方程對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題來(lái)講是完全滿足的，而對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題，變形協(xié)調(diào)方程除了第四，五兩式自動(dòng)滿足外，第二，三，六式

14、還要求這要求ez 為x，y的線性函數(shù)，因此ez = ax+by+c，但平面應(yīng)力問(wèn)題又要求，這要求sx+ sy滿足線性分布。這只有均勻應(yīng)力分布，例如單向、雙向拉伸，純彎曲和純剪切等可以滿足。這將使求解受到極大的限制，通過(guò)雙調(diào)和方程和邊界條件得到的彈性力學(xué)解，一般是不可能滿足此條件的3、平面應(yīng)力問(wèn)題的誤差由于平面應(yīng)力問(wèn)題ez0，這使得問(wèn)題的求解困難相對(duì)。為了簡(jiǎn)化分析，對(duì)于薄板問(wèn)題，ez很小，可以認(rèn)為ez近似為零。這樣平面應(yīng)力問(wèn)題也可以像平面應(yīng)變問(wèn)題一樣求解。對(duì)于這樣的假設(shè)，將不可避免產(chǎn)生誤差，下面將討論其誤差。假如重新假定應(yīng)力分量sx，sy，txy是x，y，z的函數(shù)，應(yīng)力分量sz，txz 和tyz

15、 仍然等于零，則可以選取新的應(yīng)力函數(shù)求解平面應(yīng)力問(wèn)題。如果上式中函數(shù) (x，y）為雙調(diào)和函數(shù)，則應(yīng)力函數(shù)Y(x，y，z)完全滿足平衡微分方程和六個(gè)變形協(xié)調(diào)方程。顯然，新的應(yīng)力函數(shù)Y(x，y，z)與平面應(yīng)力問(wèn)題近似解應(yīng)力函數(shù)的主要差別在于補(bǔ)充項(xiàng) 的影響。根據(jù)上述分析，可以對(duì)平面應(yīng)力簡(jiǎn)化解的誤差做量級(jí)上的分析。由于平面應(yīng)力問(wèn)題討論的板厚很小，補(bǔ)充項(xiàng)含有z的平方項(xiàng)，因此補(bǔ)充項(xiàng)對(duì)應(yīng)力計(jì)算的貢獻(xiàn)就是一個(gè)z的平方項(xiàng)。對(duì)于薄板問(wèn)題，一般來(lái)講，此項(xiàng)影響很小，因此可以忽略不計(jì)。6.5 應(yīng)力函數(shù)的物理意義及邊界條件表示學(xué)習(xí)思路:邊界平衡條件要求彈性體趨近于邊界的應(yīng)力分量滿足面力邊界條件。應(yīng)力分量可以通過(guò)應(yīng)力函數(shù)表

16、達(dá)，因此應(yīng)力函數(shù)也應(yīng)該滿足對(duì)應(yīng)的邊界條件。將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的邊界條件積分，并且應(yīng)用應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)，則可以得到應(yīng)力函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在邊界的性質(zhì)?？紤]應(yīng)力函數(shù)全微分的積分，可以確定應(yīng)力函數(shù)在邊界的性質(zhì)。分析表明：邊界上任意點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)等于由任一定點(diǎn)到該點(diǎn)的作用力對(duì)該點(diǎn)的力矩；而應(yīng)力函數(shù)對(duì)x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)分別等于作用力合力在x 軸和y軸負(fù)向的投影。這是一個(gè)非常有用的結(jié)論，它能夠幫助我們?cè)诎肽娼夥ㄖ写_定應(yīng)力函數(shù)的基本形式。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、應(yīng)力函數(shù)與面力邊界條件；2、應(yīng)力函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與邊界條件；3、應(yīng)力函數(shù)與邊界條件；4、應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)1、應(yīng)力函數(shù)與面力邊界條件在體力為常量的條件下，彈性力學(xué)平面問(wèn)題應(yīng)力解法由三

17、個(gè)未知函數(shù)簡(jiǎn)化為一個(gè)應(yīng)力函數(shù)，從而將問(wèn)題歸結(jié)為在給定的邊界條件下求解雙調(diào)和方程。因此，應(yīng)力函數(shù)的確定對(duì)于平面問(wèn)題的求解是極為重要的。本節(jié)將討論應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件，并由此進(jìn)一步分析應(yīng)力函數(shù)及其一階偏導(dǎo)數(shù)在平面物體內(nèi)任意一點(diǎn)的的物理意義。對(duì)于平面物體，如果應(yīng)力分量滿足面力邊界條件，則邊界應(yīng)力函數(shù)滿足設(shè)A為邊界上任一定點(diǎn)，而B(niǎo)為邊界上任一動(dòng)點(diǎn),如圖所示邊界上由A到B為正方向，也就是說(shuō)物體在ds的左側(cè)，邊界法線方向余弦為因此邊界條件可以表示為2、應(yīng)力函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與邊界條件對(duì)于上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)公式從定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)B作積分，可得由于在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)線性項(xiàng)ax+by+c，對(duì)于所求應(yīng)力是沒(méi)有影

18、響的。所以可以適當(dāng)?shù)倪x取a，b，c，使得應(yīng)力函數(shù) (x，y) 的一階偏導(dǎo)數(shù)在定點(diǎn)A的值為零。因此，上述公式可以簡(jiǎn)化為3、應(yīng)力函數(shù)與邊界條件另外，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的全微分對(duì)上式從定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)B作分部積分，則積分并將應(yīng)力函數(shù)邊界條件公式代入上式，則整理并且將公式代入，可得4、應(yīng)力函數(shù)性質(zhì)由于在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)線性項(xiàng)ax+by+c，對(duì)于所求應(yīng)力是沒(méi)有影響的。所以我們適當(dāng)?shù)倪x取a，b，c，使應(yīng)力函數(shù) (x,y)在定點(diǎn)的值為零。因此上式可以簡(jiǎn)化為另外顯然，上述公式的第一式表示由定點(diǎn)A到動(dòng)點(diǎn)B邊界上的面力對(duì)B點(diǎn)的合力矩，而第二和第三式分別表示由A到B邊界面力的合力沿x，y軸的投影。因此可以得出以下結(jié)論

19、，邊界上任意點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)等于由任一定點(diǎn)到該點(diǎn)的作用力對(duì)該點(diǎn)的力矩；而應(yīng)力函數(shù)對(duì)x，y的一階偏導(dǎo)數(shù)分別等于作用力合力在x軸和y軸負(fù)向的投影。這是一個(gè)非常有用的結(jié)論，將可幫助我們?cè)谀娼夥ㄖ写_定應(yīng)力函數(shù)的基本形式。上述公式也是應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的面力邊界條件，和面力邊界條件比較，三個(gè)公式中只有兩個(gè)是獨(dú)立的6.6 逆解法與多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)學(xué)習(xí)思路:彈性力學(xué)問(wèn)題的求解歸結(jié)為在給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程。由于偏微分方程的求解是相當(dāng)困難的，因此使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過(guò)逆解法，探討建立應(yīng)力函數(shù)的基本性質(zhì)。逆解法的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問(wèn)題，分別

20、選用冪次不同的多項(xiàng)式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由邊界條件確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、逆解法與線性應(yīng)力函數(shù)；2、二次和三次應(yīng)力函數(shù)與邊界條件；3、四次應(yīng)力函數(shù)與邊界應(yīng)力條件1、逆解法與線性應(yīng)力函數(shù)平面問(wèn)題的求解方法，歸結(jié)為給定邊界條件下求解雙調(diào)和方程。偏微分方程的求解是相當(dāng)困難的，對(duì)于某些矩形平面物體，可以使用逆解法求解。逆解法一方面是避免偏微分方程求解的困難，更重要的是通過(guò)逆解法，探討建立應(yīng)力函數(shù)的基本性質(zhì)。逆解法的基本思想是：對(duì)于一些具有矩形邊界并不計(jì)體力的平面問(wèn)題，分別選用冪次不同的多項(xiàng)式，令其滿足基本方程，求出應(yīng)力分量，并由

21、邊界條件確定這些應(yīng)力分量對(duì)應(yīng)邊界上的面力，從而確定該應(yīng)力函數(shù)所能解決的問(wèn)題。1、一次多項(xiàng)式 (x,y)=ax+by+c不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，其應(yīng)力分量為因此，一次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)無(wú)應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)。這個(gè)結(jié)論說(shuō)明在應(yīng)力函數(shù)中增加或減少一個(gè)x，y 的線性函數(shù)，將不影響應(yīng)力分量的值。2、二次多項(xiàng)式 (x, y)=ax2+bxy+cy2不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，應(yīng)力分量為二次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于均勻應(yīng)力狀態(tài)，如圖所示如僅a，b，c0，分別表示單向拉伸或者純剪切應(yīng)力狀態(tài)。3、三次多項(xiàng)式 (x, y)=ax3+bx2y+cxy2+dy3不論系數(shù)取何值，都能滿足雙調(diào)和方程，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分

22、量為三次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)的邊界應(yīng)力分布，如圖所示對(duì)應(yīng)于線性邊界應(yīng)力。如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對(duì)應(yīng)于矩形梁的純彎曲應(yīng)力狀態(tài)。4、四次多項(xiàng)式 (x,y)= ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4若使四次多項(xiàng)式滿足雙調(diào)和方程，其系數(shù)需滿足關(guān)系式 3a + c + 3e = 0因此四次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)只能有四個(gè)獨(dú)立的系數(shù)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為即其獨(dú)立的系數(shù)僅為四個(gè)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為邊界面力，如圖所示四次多項(xiàng)式應(yīng)力函數(shù)對(duì)應(yīng)于二次應(yīng)力分布狀態(tài)，如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0。該應(yīng)力狀態(tài)由矩形板邊界上三部分面力產(chǎn)生1、在邊界 上，作用有均勻分布的切應(yīng)力 2、在x

23、=0的邊界上，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力 3、在x=l，作用有按拋物線分布的切應(yīng)力 和線性分布的正應(yīng)力。對(duì)四次多項(xiàng)式構(gòu)成的應(yīng)力函數(shù)，其邊界上的應(yīng)力分量的分布可以是均勻的，線性分布的或者是二次拋物線分布的。6.7 懸臂梁受集中力作用學(xué)習(xí)思路:本節(jié)應(yīng)用平面問(wèn)題的基本方程討論懸臂梁的彎曲應(yīng)力、變形和位移。通過(guò)問(wèn)題的分析，全面介紹平面問(wèn)題應(yīng)力函數(shù)求解方法。作為一個(gè)典型的平面應(yīng)力問(wèn)題，問(wèn)題求解的關(guān)鍵是確定應(yīng)力函數(shù)。首先分析懸臂梁的邊界條件，根據(jù)懸臂梁彎矩分布建立應(yīng)力函數(shù)的基本表達(dá)式。然后應(yīng)用變形協(xié)調(diào)方程確定應(yīng)力函數(shù)。再通過(guò)面力邊界條件確定待定常數(shù)。分析所得懸臂梁的彎曲應(yīng)力解與材料力學(xué)解是一致的。彎曲應(yīng)力

24、確定后，通過(guò)本構(gòu)方程可以確定應(yīng)變分量；利用幾何方程可以得到位移偏導(dǎo)數(shù)公式。由于應(yīng)力分量是協(xié)調(diào)的，積分可得位移基本表達(dá)式。至于表達(dá)式中的待定系數(shù)，需要通過(guò)位移邊界條件確定。由于懸臂梁力學(xué)模型給定的位移邊界條件太強(qiáng)硬，因此分析中假設(shè)端面約束僅為排除剛體位移。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、懸臂梁作用集中力；2、邊界條件與應(yīng)力函數(shù)；3、懸臂梁應(yīng)力；4、懸臂梁變形；5、懸臂梁位移推導(dǎo)；6、懸臂梁端面位移邊界；7、邊界條件一；8、邊界條件二1、懸臂梁作用集中力本節(jié)討論懸臂梁的彎曲，考察薄板梁，左端固定，右端受切向分布力作用，其合力為F，懸臂梁在力的作用下將產(chǎn)生彎曲。設(shè)梁的跨度為l，高度為h，厚度為一個(gè)單位，自重忽略不計(jì)。

25、首先討論梁的彎曲應(yīng)力。對(duì)于懸臂梁，建立坐標(biāo)系如圖所示則梁的邊界條件為該邊界條件要完全滿足非常困難。但深入分析發(fā)現(xiàn)，只要梁是細(xì)長(zhǎng)的，則其上下表面為主要邊界，這是必須精確滿足；而左右端面的邊界條件，屬于次要邊界。根據(jù)圣維南原理，可以使用靜力等效的應(yīng)力分布來(lái)替代，這對(duì)于離端面稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力并無(wú)實(shí)質(zhì)性的影響。因此兩端面的邊界條件可以放松為合力相等的條件。此外由于梁是外力靜定的，固定端的三個(gè)反力可以確定，因此在求應(yīng)力函數(shù)時(shí)，只要三面的面力邊界條件就可以確定。固定端的約束，即位移邊界條件只是在求解位移時(shí)才使用。這樣問(wèn)題的關(guān)鍵就是選擇適當(dāng)?shù)膽?yīng)力函數(shù)，使之滿足面力邊界條件。2、邊界條件與應(yīng)力函數(shù)因?yàn)樵诹旱纳舷逻?/p>

26、界上，其彎矩為F(l-x)，即力矩與(l-x)成正比，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)應(yīng)力函數(shù)為其中f(y)為y的任意函數(shù)。將上述應(yīng)力函數(shù)代入變形協(xié)調(diào)方程，可得即 ，積分可得 。由于待定系數(shù)d不影響應(yīng)力計(jì)算，可令其為零。所以，應(yīng)力函數(shù)為將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，可得應(yīng)力分量3、懸臂梁應(yīng)力將上述應(yīng)力分量代入面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。在上下邊界， 自動(dòng)滿足。而 ，則要求在x= l 邊界上， 自動(dòng)滿足。而 ，則要求聯(lián)立求解上述三式，可得注意到對(duì)于圖示薄板梁，其慣性矩 。所以應(yīng)力分量為所得應(yīng)力分量與材料力學(xué)解完全相同。當(dāng)然對(duì)于類(lèi)似問(wèn)題，也可以根據(jù)材料力學(xué)的解答作為基礎(chǔ)，適當(dāng)選擇應(yīng)力函數(shù)進(jìn)行試解，如不

27、滿足邊界條件，再根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行修正。4、懸臂梁變形應(yīng)力分量求解后，可以進(jìn)一步求出應(yīng)變和位移。將應(yīng)力分量代入幾何方程和物理方程可得對(duì)于上述公式的前兩式分別對(duì)x，y積分，可得其中f（y），g（x）分別為y，x的待定函數(shù)。5、懸臂梁位移推導(dǎo)將上式代入應(yīng)變分量表達(dá)式的第三式，并作整理可得由于上式左邊的兩個(gè)方括號(hào)內(nèi)分別為x，y的函數(shù)，而右邊卻為常量，因此該式若成立，兩個(gè)方括號(hào)內(nèi)的量都必須為常量。所以上式的前兩式分別作積分，可得將上式回代位移表達(dá)式則其中m，n，c，d為待定常數(shù)，將由位移邊界條件確定。6、懸臂梁端面位移邊界顯然，上述位移不可能滿足位移邊界條件x = 0，u = v = 0。懸臂梁左端完全

28、固定的約束條件太強(qiáng)了，要嚴(yán)格滿足非常困難。對(duì)于工程構(gòu)件，端面完全固定僅僅是一種假設(shè)，真實(shí)的端面約束條件是非常復(fù)雜的。在彈性力學(xué)討論中，重要的是分析一般條件下，懸臂梁的彎曲變形。根據(jù)圣維南原理，真實(shí)約束條件對(duì)于懸臂梁位移分析的影響主要是端面附近的位移，對(duì)于遠(yuǎn)離端面處，這個(gè)影響主要是剛體位移。因此首先排除剛體位移，平面問(wèn)題只要有三個(gè)約束條件就足夠了。至于選用的約束條件與實(shí)際約束的差別，將在本節(jié)最后討論。為此首先假定左端截面的形心不能移動(dòng)，即當(dāng)x = y = 0u = v = 0代入位移表達(dá)式，可得c = d = 0為了確定m和n，除了利用位移邊界條件，還必須補(bǔ)充一個(gè)限制剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的條件。分別考慮兩種

29、情況：一是左端面形心處的水平微分線段被固定；二是左端面形心處的垂直微分線段固定。7、邊界條件一對(duì)于第一種情況，即增加約束條件 由此條件，可得對(duì)應(yīng)的位移為 懸臂梁變形后的撓曲線方程為這一結(jié)果與材料力學(xué)的解答完全相同。這時(shí)梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示其表達(dá)式為在左端面的形心，垂直微分線段將產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為8、邊界條件二對(duì)于第二種情況，即增加約束條件由此條件，可得對(duì)應(yīng)的位移為梁變形后的撓曲線方程為這時(shí)梁的左端面變形為三次曲面，如圖所示其表達(dá)式為在左端面的形心水平微分線段將產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)角為比較上述結(jié)果可見(jiàn)，假設(shè)的兩種情況實(shí)際上僅相差一個(gè)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。如果讓第一種情況順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè) 角度，即為第二種情

30、況。6.8 簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用學(xué)習(xí)思路:簡(jiǎn)支梁作用均勻分布力問(wèn)題是又一個(gè)經(jīng)典彈性力學(xué)平面問(wèn)題解。采用應(yīng)力解法的關(guān)鍵是確定應(yīng)力函數(shù)，首先根據(jù)邊界條件，確定應(yīng)力函數(shù)的基本形式。將待定的應(yīng)力函數(shù)代入雙調(diào)和方程得到多項(xiàng)式表達(dá)的函數(shù)形式。對(duì)于待定系數(shù)的確定，需要再次應(yīng)用面力邊界條件。應(yīng)該注意的是簡(jiǎn)支梁是幾何對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)，對(duì)稱(chēng)載荷作用時(shí)應(yīng)力分量也是對(duì)稱(chēng)的。對(duì)稱(chēng)條件的應(yīng)用將簡(jiǎn)化問(wèn)題的求解難度。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、簡(jiǎn)支梁及其邊界條件；2、應(yīng)力函數(shù)分析；3、應(yīng)力函數(shù)；4、待定系數(shù)確定；5、端面邊界條件簡(jiǎn)化；6、簡(jiǎn)支梁應(yīng)力分析。1、簡(jiǎn)支梁及其邊界條件試考察一個(gè)承受均勻分布載荷的簡(jiǎn)支梁q，其跨度為l，橫截面高度為h（hl）

31、，單位厚度。并且設(shè)其自重可以忽略不計(jì)。由于簡(jiǎn)支梁是外力靜定的，兩端的支座反力是已知的。因此在求解時(shí)，不妨將支座看作外力已知的邊界，于是可寫(xiě)出下列邊界條件上述條件中，上下表面的邊界條件是主要的，必須精確滿足。至于兩端的邊界條件可以根據(jù)圣維南原理放松為合力滿足。采用半逆解法求解。首先對(duì)應(yīng)力狀態(tài)做一個(gè)基本分析，由材料力學(xué)分析可知：彎曲正應(yīng)力主要是由彎矩引起的；彎曲切應(yīng)力主要由剪力引起的；而擠壓應(yīng)力應(yīng)由分布載荷引起的。2、應(yīng)力函數(shù)分析根據(jù)上述分析，因此假設(shè)擠壓應(yīng)力不隨坐標(biāo)x而改變，即sy為坐標(biāo)y的函數(shù)，因此根據(jù)應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式，可得 將上式對(duì)x積分，可得其中f (y)，g(y)，h(y)均為

32、任意待定函數(shù)。對(duì)于上述應(yīng)力函數(shù)還需要考察其是否滿足變形協(xié)調(diào)方程，代入變形協(xié)調(diào)方程，則上式為關(guān)于x的二次方程。對(duì)于變形協(xié)調(diào)方程，要求在彈性體的任意點(diǎn)滿足。因此要求所有的x均滿足，所以這個(gè)二次方程的系數(shù)和自由項(xiàng)都必須為零。即 3、應(yīng)力函數(shù)上述公式的前兩式要求這里應(yīng)力函數(shù)的線性項(xiàng)已經(jīng)略去。而第三式則要求即其中線性項(xiàng)已被忽略不計(jì)。將上述各式代入應(yīng)力函數(shù)公式，則將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式可得4、待定系數(shù)確定上述應(yīng)力分量已經(jīng)滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程，現(xiàn)在的問(wèn)題是根據(jù)面力邊界條件確定待定系數(shù)。在考慮邊界條件之前，首先討論一下問(wèn)題的對(duì)稱(chēng)性，這樣往往可以減少計(jì)算工作。由于y軸是結(jié)構(gòu)和載荷的對(duì)稱(chēng)軸，所

33、以應(yīng)力分量也應(yīng)該對(duì)稱(chēng)于y軸，因此sx和sy應(yīng)該是x的偶函數(shù)，而txy應(yīng)為x的奇函數(shù)。因此E = F = G = 0 對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，由于梁的高度遠(yuǎn)小于跨度，所以上下邊界為主要邊界，其邊界條件必須精確滿足，我們首先考慮上下兩邊的邊界條件。5、端面邊界條件簡(jiǎn)化根據(jù)上述主要邊界的面力邊界條件，可得將上述七個(gè)待定系數(shù)分別代入應(yīng)力分量表達(dá)式可得以下考慮簡(jiǎn)支梁左右兩端面的面力邊界條件，確定剩余的兩個(gè)待定系數(shù)。由于對(duì)稱(chēng)性已經(jīng)討論，所以只需要考慮其中的一個(gè)端面，比如右端面。如果右端面的邊界條件能滿足，左端面的邊界條件由對(duì)稱(chēng)性自然滿足。首先，在梁的右端面沒(méi)有水平面力，這要求在處，根據(jù)應(yīng)力分量計(jì)算公式，如果該條件滿足

34、，只有q=0。但是這與問(wèn)題是矛盾的，因此這個(gè)邊界條件只能利用圣維南原理，放松為合力邊界條件，將應(yīng)力分量分別代入上述兩式，則另外在梁的右邊切應(yīng)力的合力應(yīng)等于支反力。將切應(yīng)力計(jì)算公式代入，積分可見(jiàn)這個(gè)條件已經(jīng)滿足。綜上所述，已經(jīng)求出了所有的待定系數(shù)。將上述結(jié)論代入應(yīng)力分量表達(dá)式，并作整理，可得6、簡(jiǎn)支梁應(yīng)力分析下面討論簡(jiǎn)支梁的應(yīng)力分布注意到梁的慣性矩為 靜矩為 而梁的彎曲內(nèi)力為則應(yīng)力分量表達(dá)式可以改寫(xiě)為讓我們將上述應(yīng)力分量，即彈性力學(xué)解答結(jié)果與材料力學(xué)的結(jié)果作一比較。首先考慮橫截面，即沿鉛垂方向的應(yīng)力分布，如圖所示在彎曲正應(yīng)力sx的表達(dá)式中，第一項(xiàng)是主要項(xiàng)，與材料力學(xué)的解完全相同，而第二項(xiàng)是彈性力

35、學(xué)提出的修正項(xiàng)。對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，這個(gè)修正項(xiàng)很小，可以忽略不計(jì)。應(yīng)力分量sy 是梁的各纖維之間的擠壓應(yīng)力，在材料力學(xué)中一般是不考慮這個(gè)應(yīng)力分量的。而彎曲切應(yīng)力txy的表達(dá)式則和材料力學(xué)解答里完全相同。6.9 楔形體水壩學(xué)習(xí)思路: 楔形體水壩受重力和液體壓力作用問(wèn)題是彈性力學(xué)平面問(wèn)題的另一個(gè)應(yīng)用。注意到楔形體水壩由于底部在無(wú)限遠(yuǎn)，而液體作用至頂部。由于力學(xué)模型的幾何形狀不需要長(zhǎng)度單位確定，因此問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)可以采用量綱分析方法確定。量綱分析得到楔形體水壩的應(yīng)力函數(shù)是純?nèi)魏瘮?shù)。應(yīng)用面力邊界條件可以確定待定系數(shù)。由于水壩的側(cè)邊界是斜邊界，應(yīng)該注意邊界法線方向余弦的確定。最后分析楔形體水壩應(yīng)力，并且與材料

36、力學(xué)解答作比較。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1、楔形體水壩應(yīng)力函數(shù)；2、面力邊界條件；3、水壩應(yīng)力分析。1、楔形體水壩應(yīng)力函數(shù)楔形體水壩左邊鉛垂，右邊與鉛直面夾a 角度，下端伸向無(wú)限長(zhǎng)。水壩承受重力和液體壓力作用，楔形體的密度為r，液體的密度為g，如圖所示在楔形體內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一是由重力引起的，應(yīng)當(dāng)與楔形體的單位體積重量rg成正比；二是由液體壓力引起的，其與液體的單位體積重量gg成正比。當(dāng)然，上述應(yīng)力分量還和a，x，y 等有關(guān)。由于應(yīng)力分量的量綱是力長(zhǎng)度-2，rg和gg的量綱是力長(zhǎng)度-3，a 是無(wú)量綱的數(shù)量，而x，y 的量綱是長(zhǎng)度，因此應(yīng)力分量如果具有多項(xiàng)式的解答，其只能是坐標(biāo)的x，y 的

37、一次冪。即各個(gè)應(yīng)力分量的表達(dá)式為x，y的純一次式，而其應(yīng)力函數(shù)應(yīng)當(dāng)是x，y的純?nèi)问?。因此可以假設(shè)對(duì)于楔形體水壩，體力分量Fbx=0，F(xiàn)by=rg。根據(jù)應(yīng)力分量的表達(dá)式，可得2、面力邊界條件上述應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和變形協(xié)調(diào)方程的，下面考慮面力邊界條件以確定各個(gè)待定系數(shù)。在水壩左側(cè)，面力邊界條件為在水壩右側(cè)，邊界方程 x=y tana，面力邊界條件為邊界法線方向余弦為將應(yīng)力表達(dá)式代入上述邊界條件，可得聯(lián)立求解可得3、水壩應(yīng)力分析將計(jì)算所得的系數(shù)代入應(yīng)力分量表達(dá)式，即可得到計(jì)算數(shù)據(jù)如圖所示分析表明：應(yīng)力分量sx 沿水平方向?yàn)槌?shù)。對(duì)于這個(gè)擠壓應(yīng)力，材料力學(xué)是不討論的。彎曲應(yīng)力分量sy沿水平

38、方向線性分布，在水壩左右兩邊分別為對(duì)于彎曲應(yīng)力與材料力學(xué)偏心壓縮公式所得結(jié)果相同。切應(yīng)力分量txy 也是線性變化，在水壩左右兩邊分別為按材料力學(xué)解，橫截面切應(yīng)力txy是拋物線分布的，這一結(jié)論和彈性力學(xué)解答是完全不同的。以上解答稱(chēng)為萊維解，在工程上作為三角形重力壩的基本解答。6.10 矩形截面梁的級(jí)數(shù)解法學(xué)習(xí)思路:彈性力學(xué)的經(jīng)典問(wèn)題具有多項(xiàng)式解，可以通過(guò)半逆解法選取所要求的應(yīng)力函數(shù)。這種方法要求彈性體主要邊界作用的載荷必須連續(xù)，而且也能表示成代數(shù)多項(xiàng)式的形式。對(duì)于任意載荷作用的矩形彈性體問(wèn)題，可以采用三角級(jí)數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)求解。假設(shè)應(yīng)力函數(shù)并且通過(guò)雙調(diào)和方程找到應(yīng)力函數(shù)特解，疊加可以確定級(jí)數(shù)形式應(yīng)力函數(shù)。對(duì)于級(jí)數(shù)形式應(yīng)力函數(shù)的系數(shù)，可以通過(guò)面力邊界條件，并且應(yīng)用三角函