第六章--角動量PPT課件

1、 tBsA , 第六章第六章 角角 動動 量量 6.1 幾種物理性質(zhì)的同時測定幾種物理性質(zhì)的同時測定 考察可用什么規(guī)則決定體系的哪些性質(zhì)能同時具有確 定值。 回顧：若態(tài)函數(shù)是算符的本征值為s的一個本征函 數(shù)，則測定物理性質(zhì)A，一定得到結(jié)果s。 若態(tài)函數(shù)同時是兩個算符與 的本征函數(shù)： B , , , , , , , , , ,.3 , 2 , 1, 0, , CBABCACBA CABCBACBA CBCACBA CABACBA BAkBkABAk nAA ABBA n 則對物理量A與B我們能同時指出確定值。 什么條件下，可以同時是兩個不同算符的一個本征 函數(shù)呢？ 兩個定理（后面章節(jié)證）： （1

2、）兩個算符存在共同本征函數(shù)完備集的必要條件是算 符要可對易。 （2）若與 是對應(yīng)著物理量的兩個可對易的算符，則 存在一完備函數(shù)集是與 兩者的本征函數(shù)，即如果 , =0，則可能是與 共同的本征函數(shù)。 注：完備，即任意一個具有相同自變量、定義域、邊界條件的連 續(xù)函數(shù)，總可以用這一本征函數(shù)集中函數(shù)的線性組合來表示。 , , , , , , , , , ,.3 , 2 , 1, 0, , CBABCACBA CABCBACBA CBCACBA CABACBA BAkBkABAk nAA ABBA n , , , , , , , , , ,.3 , 2 , 1, 0, , CBABCACBA CABCB

3、ACBA CBCACBA CABACBA BAkBkABAk nAA ABBA n , , , , , , , , , ,.3 , 2 , 1, 0, , CBABCACBA CABCBACBA CBCACBA CABACBA BAkBkABAk nAA ABBA n , , , , , , , , , ,.3 , 2 , 1, 0, , CBABCACBA CABCBACBA CBCACBA CABACBA BAkBkABAk nAA ABBA n 4 對易子的一些常用恒等式對易子的一些常用恒等式 1, x x 例：根據(jù)上述恒等式計算對易子： i i x xix x ixi xpx x ,

4、, , 前面已證： x i xixi ipxpppxpx xxxxx 2 2 2 , , , , ), , ( , , , , T xz y xVxT xVT xHx 因為不對易，所以不能期望態(tài)函數(shù)同時是上述兩個算符的本征 函數(shù)。即不能同時指定x與px的確定值，與測不準原理一致。 對三維一粒子體系，有： x P m i xm Hx , 2 )( 2 1 , 222 zyx ppp m x 002 2 1 2 xm ) , ( 2 1 ) , ( 2 1 , 2 1 222 zyx px m px m px m x zyxV i Hp x ),( , 2 A 類似地，可證： 因為不對易，所以不能

5、期望同時指定能量與x坐標的確定值。一 個定態(tài)（有一定的能量）表明有一個x可能值的展寬，而不同x值 的概率的觀測由Born假設(shè)給出。 對于一個不是的本征函數(shù)的定態(tài)，當我們測量一 些等同體系的性質(zhì)A時，可得到各種可能的結(jié)果。 若是平均值，則每一測定值與平均值的偏差是 Ai。若把所有的偏差平均，由于正與負的偏差將 相互抵消，將得到零。于是，要使所有偏差為正，可平 方之。偏差的平方的平均值叫做A的方差。在統(tǒng)計學(xué)中 以 表示，在量子力學(xué)中以(A)2表示： d A AA AA A 222 2 ) ( * ) ( ) ( 222 )(AAA 方差的正的平方根叫做標準差，以A或A表示，常 用于衡量展寬的程度，

6、我們將取之作為A的“不確定度” 量度。 | , *| 2 1 dBABA 對于兩個性質(zhì)的標準差的乘積，可證明為： ipx x , 若算符與 可對易，則上式中的積分為零，因而有可 能A與B兩者均為零，即兩者可以同時確定。 例： |*| | 2 1 |*| 2 1 didipx x 2 1 x px B 海森堡測不準原理的定量描述 2224 / , 0 a h pp x x 回顧：三維箱中粒子的x和px平均值： ) 2 1 3 1 (, 2 2 22 ax a x 222 )(AAA 2 ,) 3 6 ( 2 2/1 2 h px x 根據(jù)： 2 57. 0) 3 6 ( 2 2/1 2 x px

7、 4 h Et 10 能量能量-時間不確定關(guān)系式時間不確定關(guān)系式 E是能量在時間t1和t2時測定的兩個值E1和E2之差。 t可解釋為能量的不確定值為E的態(tài)的壽命。粒子在 某 能級上存在的時間越短，該能級的不確定度程度E就越大。 只有粒子在某能級上存在的時間無限長，該能級才是完全 確定的。 0 , , 0 , CABA 現(xiàn)考察同時指定三個物理量A，B和C的確定值的可能性。 B 上式能否保證三個算符存在共同的本征函數(shù)？ 前者保證能構(gòu)成與 的共同的本征函數(shù)集，后者保 證能構(gòu)成與 的共同的本征函數(shù)集。若這兩個本征函 數(shù)集是一樣的，則三個算符具有共同的本征函數(shù)集。 C 0 , CB 12 若對應(yīng)于的每一

8、本征值多于一個的獨立函數(shù)（簡并 態(tài)），則簡并本征值的本征函數(shù)的任意線性組合仍是 的一個本征函數(shù)。有理由認為給出 的本征函數(shù)所需的 適當?shù)木€性組合，將不同于給出 的本征函數(shù)的線性組 合。所以，如果要有所有三個算符的共同的本征函數(shù)完 備集，要求除了上式之外，還要有： C 0 , CB 0 , 0 , , 0 , CBCABA 但事實上，線性算符的本征函數(shù)集不是唯一確定的。 kzjyixr 必須具備 6.2 一粒子體系的角動量一粒子體系的角動量 p經(jīng)典力學(xué)中的角動量經(jīng)典力學(xué)中的角動量 考慮一質(zhì)量為m的運動粒子，令r為粒子從原點到瞬時 位置的矢量，有： dt dz k dt dy j dt dx i

9、dt d v x,y和z是粒子在一給定瞬間的坐標，是時間的函數(shù)。 定義：速度矢量v為位置矢量的時間導(dǎo)數(shù)，則： dt dz dt dy dt dx vvv zyx , zzyyxx vmpvmpvmp vm , p 定義線動量矢量p為： prL 粒子的角動量L定義為： kLjLiL ppp zyx kji L zyx zyx xyzzxyyzx ypxpLxpzpLzpypL , F Fr r 作用于粒子上的力矩定義為r r與作用于粒子上的力F F 的叉積： dt dL 易證： sin| | | | | BABA 當無力矩作用于粒子時，角動量的變化速率等于零， 即角動量是常數(shù)（或是守恒的）。如一

10、行星繞太陽轉(zhuǎn)， 引力是徑向指向的，由于兩個平行矢量的叉積為零， 行星沒有受到力矩，其角動量是守恒的。 )( )( )( x y y xiL z x x ziL y z z yiL z y x p量子力學(xué)處理量子力學(xué)處理：軌道角動量和自旋角動量 軌道角動量：粒子通過空間的運動，相似于經(jīng)典力學(xué)量L； 自旋角動量：許多微觀粒子的內(nèi)在性質(zhì)，無經(jīng)典的類比。 22222 | | zyx LLLL LLL 循環(huán)置換循環(huán)置換xyz： xyzx 現(xiàn)只考察軌道角動量，把上述經(jīng)典力學(xué)中L的量代之以 相應(yīng)的算符，可得： 再將 作用于上式，有： 用上述算符可以進一步構(gòu)成角動量大小的平方的算符， 即： , yx LL 由

11、于對易關(guān)系決定哪些可觀測量具有確定值，我們來 研究上述角動量之間的對易關(guān)系對易關(guān)系。 y L（1） 先將 作用于某函數(shù)f(x,y,z)，有： )( z f x x f z i f L y x L )( 22 2 2 22 2 z y f zx x y f z z f yx x z f yz x f y f L L y x )( )( 2 2 22 2 2 2 yz f xz y f x z f xy yx f z zx f zyfLL y f z z f yifL xy x 類似地： )( 2 y f x x f yfLLfLL xyyx zyx LiLL , zx f xz f 22 , ,

12、 , xzzy LLLL 所以： 其中用到了關(guān)系式： 這對品優(yōu)函數(shù)是正確的。 19 若在 中進行循環(huán)置換，可得 。 若在 中進行循環(huán)置換，可得 。 若在 中進行循環(huán)置換，可得 。 可用同樣的步驟去計算： yxzxzy LiLLLiLL , , , 注意到x,y,z在算符中的對稱關(guān)系，可以利用循環(huán)置換 x,y,z的方式計算上述對易關(guān)系，即： x L y L y L z L z L x L 0 , , , , , , , , , , 22 222 2222 yzzyzyyz xzzzxzxyyyxy xzxy xzxyxx xzyxx LLiLLiLLiLLi LLLLLLLLLLLL LLLL

13、LLLLLL LLLLLL 角動量分量算符之間不能對易，不能同時準確測定。角動量分量算符之間不能對易，不能同時準確測定。 因為x,y,z的循環(huán)置換使 不改變，上式進行兩 次循環(huán)置換，得： （2）利用對易子恒等式計算 與其每個分量的對易 2 L 222 zyx LLL 0 , , 0 , 22 zy LLLL 2 L L2, Lx, Ly, Lz中哪些可同時指定確定值？中哪些可同時指定確定值？ 因為 可與其它每個分量對易，所以可確定L2與任意一個分 量的確定值。但是，沒有兩個 分量是可對易的，所以不能同 時確定多于一個的分量。（此說法有一例外，稍后討論）。 習(xí)慣上取Lz作為與L2同時確定的角動量

14、分量。注意在L2=|L|2 中，不是確定了向量L，只是確定了其大小。完全確定L要求 同時確定其三個分量，這是一般做不到的。 在經(jīng)典力學(xué)中，當角動量守恒時，其三個分量的每一個都有 一定的值。在量子力學(xué)中，當角動量守恒時，只是其大小及 分量之一是確定的。 L 2 L 下面計算 和 的本征值和共同的本征函數(shù) z L zyx , 在嘗試求解過程中，由于在笛卡兒坐標系中所得的偏 微分方程不能分離變量，為此需要將坐標變換成球極 坐標，同時須將 變換成球極坐標形式。 )coscot(sin ) sin cossincos sin(sincos ) sin (cossinsin i rrr r rr riLx

15、 23 )sincot(cos iL y 球極坐標與笛卡兒坐標的關(guān)系球極坐標與笛卡兒坐標的關(guān)系 角動量分量在球極坐標中的表示角動量分量在球極坐標中的表示 iL z ) sin 1 cot( 2 2 22 2 22 L zyx LLL , , 將 平方，再將它們的平方相加，可構(gòu)成 ，即： ), (), ( ), (), ( 2 cYYLbYYL z 2 L 雖然角動量算符依賴于所有三個笛卡兒坐標x，y，z， 但它只含有兩個球坐標和。 令 和 共同的本征函數(shù)以Y表示，由于這些算符只包 含和，Y將是這兩個坐標的函數(shù)：Y=Y(,)，則須求 解的兩個本征方程為： z L zyx , z L （b和c分別

16、為兩個算符的本征值） ) , () , ( bYYi ) ( ) ( ) , ( T SY利用 算符，有： )()()()( TbSTSi 由于上式中的算符不包含，故嘗試分離變量，記作： )()( )( )( TbS d dT Si 帶入上式得： d ib T dT )( )( / )( ib AeT ) ()2(TT /2/ibibib AeeAe 與與無關(guān)無關(guān) 變形變形 27 /2/ibibib AeeAe （A為一任意常數(shù)） 一般地，由于T不是一個單值函數(shù)，所以不適合作為 一個本征函數(shù)。為保證T單值，應(yīng)有下列限制： 1 /2 ib e 1sincos ie i .), 2 , 1 , 0

17、(2 mm 為滿足：mb2/2 必須有：.2 , 1 , 0 , 1, 2.,mmb ,.2, 1, 0,)(mAeT im 20,0,0r 角動量z分量 的本征值是量 子化的 28 ddrdrsin 2 要確定A，需將T進行歸一化。先考慮某函數(shù)F(r,)的 歸一化，獨立變量的范圍是： 1sin|),(| 22 2 000 drrddrF )()() (), , (TSrRrF 在球極坐標中，相當于笛卡兒坐標中無限小體積元 dxdydz的是： 1| )(|sin| )(| )(| 2 0 2 0 22 0 2 dTdSdrrrR 于是有歸一化形式： 29 如果F的形式為： 1|, 1sin|,

18、 1| 2 0 2 0 22 0 2 dTdSdrrR 則歸一化形式可變?yōu)椋?2 0 2* 2 0 |1)(dAdAeAe imim 將F的每個因子進行歸一化： 2/1 |2| A ,.2,1,0, 2 1 )(meT im im im ecS eS 2 1 )( ) 2 1 )()( sin 1 cot( 2 2 22 2 2 2 L 30 下面求解 的本征值： S c S m d dS d Sd 22 2 2 2 sin cot ,.2 , 1 , 0 ), 1 | | |)(| ( 2 k mk mk c | mkl ), (), ( ), (), ( 2 cYYLbYYL z )()(

19、 )( )( TbS d dT Si 2 L c為本征值 31 | mkl 上式的求解較為復(fù)雜，為方便起見，直接給出c的結(jié) 果： ,.2,1 ,0,)1( 2 lllc 由于|m|取值0,1,2，故量k+|m|取值為0,1,2 lllll l, 1, 2,.1 , 0 , 1,.,2, 1, 定義量子數(shù)l為： 對于角動量大小的平方，可允許的本征值為： 2/1 )1(ll |m|l m的可能值為： m 32 由于l|m|，上式指出總角動量的大小大于其z分量 的大小（l0除外）。 取上式的正平方根，得角動量的大小： | *| 2 | , *| 2 1 dqLdqLLLL zyxyx 0 , 0 ,

20、 0 zyx LLL 若有可能總角動量等于其z分量，這意味著x和y分量為零， 我們就確定了L的所有三個分量了。但是，由于角動量分量 彼此是不可對易的，所以不能這樣做。 33 一個例外是l為零的情況。在此情況下，所有三個分量Lx， Ly，Lz的本征值都為零，角動量分量的不確定度滿足： | .2,0 ,.3,1 | , cos)(sin)( ml j j j j m ml S 或 用循環(huán)置換可得類似的兩個式子。當三個分量的本征值為零 時， ，從而允許Lx=Ly=Lz=0。即 可以同時測定這些值，但又不是對易的。 00,0 )(S 表明：盡管算符Lz與Lx不可對易，但有可能算符Lz的某 些本征函數(shù)（

21、如l=0=m）是算符Lx的本征函數(shù)。然而， 不可能算符Lz的所有本征函數(shù)也是Lx的本征函數(shù)。 34 下面求某些角動量的本征函數(shù)： )()( )( )( TbS d dT Si 因子為（推導(dǎo)過程略）： 1sin| 0 2 dS （求和包括偶數(shù)或奇數(shù)的j值，取決于l|m|為偶或奇。） p對l=0，有m=0，因子為： 2/1 0 2 0 0 2 0 2| |21sin| d im mlml m l eSTSY)( 2 1 )()(), ( , 4 1 ),( 0 0 Y 代入歸一化式子： 35 本征函數(shù)為：sin)( 01,1 S dwwd 1 1 22 0 0 22 0 )1 (| |sinsin

22、| | 1 所以，對l=0，本征函數(shù)不依賴于角度，即是球?qū)ΨQ的。 p對l=1，m的可能值為-1,0,1 2/3| 0 cos)2/3()( 2/1 0,1 S 利用歸一化公式得： ,.2 , 1 , 0, ) 1()1 ( ! 2 1 ) ( 2 | | | | 2 / | | 2| | lw dw d w l wP l ml ml m l m l(w=cos) （2）m=0 ,.2 , 1 , 0,) 1( !2 1 )( 2 lw dw d l wP l l l l l （1）|m|=1 36 函數(shù)Sl,m()在數(shù)學(xué)中是非常著名的，是乘了歸一化常 數(shù)的連帶勒讓德函數(shù)。連帶勒讓德函數(shù)定義為：

23、 )()1()( | | 2/ |2| wP dw d wwP l m m mm l 這些函數(shù)與勒讓德多項式有關(guān)，后者定義為： )()( 0 wPwP ll 由定義，有： )(cos |)!|( |)!|( 2 ) 12 ( )( | 2/ 1 , m lml P ml mll S im m l ml m l eP ml mll TSY )(cos |)!|( |)!|( 4 ) 12( )()(),( | 2/ 1 , 可以證明： 2 L 37 z L 和 的本征函數(shù)（球諧函數(shù)）為： ,.2 , 1 , 0 ), , ( ) 1 ( ) , ( 22 l Y l l Y L m l m l

24、l l l l mY mY L m l m l z , 1 ,.,1 , ), , ( ) , ( 概括一下，一粒子軌道角動量的本征函數(shù)（如上式） 和本征值是： 2 L 注：對于Lz的量子數(shù)，常使用ml代替m。 38 tBsA , 由于不能確定Lx和Ly，矢量L可處于以z軸為軸的圓錐 體面上的任何地方，如下圖： 39 對l=1的情況，L相對于z軸的可能取向如下圖： z L m=1m=0m=-1 40 對 的每一個本征值，有2l+1個不同的本征函數(shù)，對 應(yīng)于m的2l+1個值，稱 的本征值是（2l+1）重簡并。 （名稱簡并適用于任何算符的本征值） 當然，取z軸并無什么特別，空間的所有方向都是等價

25、的。然而，解 的本征方程是較容易的（在球極坐標中 有一簡單的形式）。 2 L yxz xzy zyx MiMM MiMM MiMM , , , 2222 zyx MMMM 41 6.3 角動量的階梯算符法角動量的階梯算符法 p以上我們把角動量算符表示為微分算符，并求解所得 的微分方程，得到了算符L和Lz的本征值。 p實際上，利用算符的對易關(guān)系也可解出這些本征值。 本節(jié)的做法適用于任何滿足角動量對易關(guān)系的算符，特 別是適用于自旋角動量（后述）。 42 以前用字母L表示軌道角動量，現(xiàn)用字母M表示處理的 任一種角動量（軌道和自旋），其x，y，z方向上的三 個線性算符服從如下對易關(guān)系： 2 M 服從循

26、環(huán) 置換xyz 定義算符 為： z MM , 2 0 , , , 222 zyx MMMMMM 問題即為求算符 的本征值。 2 M 43 首先，求算角動量平方算符及其分量的對易關(guān)系，根 據(jù)上節(jié)的推導(dǎo)可知： z M 所以可以有 和 的共同的本征函數(shù)。 M M 其次，定義兩個新的算符遞升算符 和遞降算符 yx yx MiMM MiMM zz xyz yxyyxx yxyyxx yxyx MMM MMiMM MMMiMMiM MiMMiMiMM MiMMiMMM , ) ( ) ( ) )( ( 22 22 22 zz MMMMM 22 階梯算符 44 MMMi MMiMMMMiMMM xy zyz

27、xzyxz , , , , 同理可求： MMMMM zz 關(guān)于階梯算符與 的對易子，有： z M MMMMM zz MMMM zz )2( )1( 2 cYYM bYYM z 同理可求： 階梯算符的性質(zhì) 2 M 45 用遞升算符作用于本征函數(shù)Y，使Y轉(zhuǎn)變?yōu)?的另一本 征函數(shù)，其本征值比Y的本征值高 。 利用上述的 及 是線性算符的 性質(zhì)，有： 用Y表示 與 的共同本征函數(shù)，有： z M bYMYMM z MMMMMz z （b和c為本征值） 用遞升算符作用于（1）式，得： M YMbYMMMz ) () )( ) ( Y MbY MM z z M ) )(2 ( ) ( 22 Y MbY MM

28、 z ,.2 , 1 , 0 ), )( ) ( k Y Mk b Y MM kk z 移項 46 若繼續(xù)用遞升算符作用于上式，同樣求得： MMMMM zz 重復(fù)運用遞升算符k次，給出： ) )() ( ) )() ( YMkbYMM YMbYMM kk z z 如果用遞降算符作用于（1）式，并運用 ., 2, 2.,bbbbb 同樣可以求得： 47 欲證上式，首先指出 與 和 是可對易的。 所以，用遞升算符和遞降算符作用于具有本征值為b 的本征函數(shù)，給出一個本征值的階梯，每步之差為 ： YMkbYMM kk z )( ,.2 , 1 , 0 , 2 k Y Mc Y MM kk 換言之，函數(shù)

29、 是具有本征值 的 的本征函 數(shù)，即： YM k kb 實際上，上述函數(shù)也是 的本征函數(shù)，都具有同一個 本征值c，即： z M 2 M 2 M M M 0 0 0 , , , , 2222 yxy x MMi MMMi MMMM0 0 0 , , , 222 2 MMMMMMMM 48 ,.2, 1 ,0, 0 , 222 kMMMMMM kkk 或 可證： cYMYMM kk 2 ) () ( 2 YMcYMM kk 進一步推知： 如果用 作用于 ，并利用上式，得： cYYM 2 k M bYYM z z M 即為所證。 49 下面證明用階梯算符生成的 的一套本征值是有限制限制的。 kkkz

30、 YbYM kbb YMY k k k 對具有本征值b的特定本征函數(shù)Y，有： 對由階梯算符生成的一組本征函數(shù)和本征值，有： z M kkz kzkkz YbYM YMbYM k 22 2 式中： 50 用 減去上式，并利用： 用 作用于 ，有： kkkz YbYM ,.2 , 1 , 0 , 2 k Y Mc Y MM kk YMY k k 2222 zyx MMMM kkkkzk YbcYYMYM 222 kkkyx YbcYMM)() ( 222 22 yx MM0)( 2 k bc 算符算符 對應(yīng)一個非負的物理量，因而有非負的本征值。對應(yīng)一個非負的物理量，因而有非負的本征值。 | k bc ,.2, 1, 0,| |kcbc k ) 2 ( ) 1 ( min min min max max max YYM YYM b b z z maxmaxmax YMbYMM z 51 由于k變化時c保持不變，故上式表明本征值bk是有上下限的。 令bmax和bmin