泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)與洛朗級(jí)數(shù) ( )12;() 2 0 f z zz iziiziiiz zLaurent 將在以下圓環(huán)域 （ 內(nèi)展開(kāi)成點(diǎn)的級(jí)數(shù)。 第31頁(yè)/共41頁(yè) 解: 11 ( ) 12 f z zz 111 ( ) 12 1 2 f z z z 故 ( )011 2 z iz 2 1 0 1371 (1) 2482 n n n zzz 2 2 1 (1)(1) 224 n zz zzz 無(wú) 奇 點(diǎn) 第32頁(yè)/共41頁(yè) 111111 ( ) 1 122 11 2 f z z zzz z 21 2 z z 又 1 ( )121iiz z 2 2 1 10 1111 (1)

2、(1) 224 1 2 n nn nn zz zzz z z 第33頁(yè)/共41頁(yè) 2 ()21iiiz z 111 11 1 ( ) 12 12 11 f z zzzz zz 1 2 21 n n n z 22 234 111124 11 137 zz zzz z zzz 注意首項(xiàng) 第34頁(yè)/共41頁(yè) 解 (1) 在(最大的)去心鄰域 例5 y x o 12 1 ( ) (1)(2) 1,2 f z zz zz Laurent 將 在以點(diǎn)的去心鄰 域內(nèi)展開(kāi)成級(jí)數(shù)。 0 2 1 (1) 1 1 1 (1)(2) 1 n n z z zz z 011z 第35頁(yè)/共41頁(yè) (2) 在(最大的)去心

3、鄰域 021z x o 121111 ( ) 122 1 (2) f z zzzz 0 2 1 ( 1) (2) 2 1 1 (2)(2) 2 nn n z z zz z 2 2 25 ( ) (2)(1) (1)12(2) 025 zz f z zz zz 將在以下區(qū)域 ； 內(nèi)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。 練習(xí)： 第36頁(yè)/共41頁(yè) (2) 同一個(gè)函數(shù)有不同的級(jí)數(shù)展式，這是因?yàn)樵诓煌?的區(qū)域上的展式，這與唯一性并不矛盾。 (1) Laurent級(jí)數(shù)與Taylor 級(jí)數(shù)的不同點(diǎn)： Taylor級(jí)數(shù)先展開(kāi)求收斂半徑R, 找出收斂域。 Laurent級(jí)數(shù)先求 f(z) 的奇點(diǎn)，然后以 z0為中心 奇點(diǎn)為分隔點(diǎn)，找出z0到無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的所有使 f(z) 解析的環(huán)域，在環(huán)域上展成級(jí)數(shù)。 5 小結(jié) 第37頁(yè)/共41頁(yè) (3)根據(jù)區(qū)域判別級(jí)數(shù)方式：在圓域內(nèi)需要把 f (z) 展成泰勒(Taylor)級(jí)數(shù)，在環(huán)域內(nèi)需要把f (z)展成 洛朗( Laurent )級(jí)數(shù)。 (1)對(duì)于無(wú)理函數(shù)及其它初等函數(shù)的洛朗展開(kāi)式，可 以利用已知基本初等函數(shù)的泰勒展開(kāi)式，經(jīng)過(guò)代換 、逐次求導(dǎo)、逐次積分等計(jì)算獲得。 (4) 把f (z)展成洛朗級(jí)數(shù)的方法： 第38頁(yè)/共41頁(yè) (2)對(duì)于有理函數(shù)的洛朗展開(kāi)式，首先把有理函數(shù) 分解