高中數(shù)學《三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)》教案1 湘教版必修2

1、第一課時 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)三角函數(shù)的周期性 教學目標一、知識與技能了解周期函數(shù)的概念，會判斷一些簡單的、常見的函數(shù)的周期性，并會求一些簡單三角函數(shù)的周期。二、過程與方法從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，提供豐富的實際背景，通過對實際背景（現(xiàn)實原型）的分析、概括與抽象、建立周期函數(shù)的概念，再運用數(shù)學方法研究三角函數(shù)的性質(zhì)，最后運用三角函數(shù)的性質(zhì)去解決問題。三、情感、態(tài)度與價值觀培養(yǎng)數(shù)學來源與生活的思維方式，體會從感性到理性的思維過程，理解未知轉化為已知的數(shù)學方法。教學重點周期函數(shù)的定義和正弦、余弦、正切函數(shù)的周期性。教學難點周期函數(shù)的概念設計思路創(chuàng)設情境，從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，通過對P點的圓周運

2、動這一模型的分析，引入周期函數(shù)的概念。在研究P點的圓周運動時，給出了y=f(t)的圖象；并在研究了三角函數(shù)的周期后，給出了y=sinx的圖象，讓學生從圖象上對函數(shù)的周期加深理解，讓學生體會數(shù)形結合的思想。在講解例2時，充分利用解方程的思想，讓學生更易理解。教學過程一、創(chuàng)設情境每年都有春、夏、秋、冬，每星期都是從星期一到星期日，地球每天都繞著太陽自轉，公共汽車沿著固定線路一趟又一趟地往返，這一些都給我們循環(huán)、重復的感覺，可以用“周而復始”來描述，這就叫周期現(xiàn)象。二、學生活動（P點的圓周運動）如圖，點P自點A起，繞圓周按逆時針方向進行勻速運動。點P的運動軌跡是：A-B-C-D-A-B-C-D- A

3、-B-C-D-A-B 顯然點P的運動是周期運動。設圓的半徑為2，每4分鐘運動一周。設P到A的距離為y，運動時間為t，則y是t的函數(shù)，記為 y=f(t). 則f(0)=f(4)=f(8)=f(12)= =0，（位置在A點）f(2)=f(6)=f(10)=f(14)= =4，（位置在C點）一般地，點P運行t分鐘到達的位置與運行(t+4)分鐘到達的位置相同，由此能得到這樣的數(shù)學表達式：f(t+4)=f(t)想一想：f(t+8)、f(t+12)與f(t)有什么關系？說明它們的實際意義。f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t)，運行時間不等，但最終位置相同可以用描點法畫出這個函數(shù)的圖象（如圖）它

4、的特征是：在區(qū)間(0,4)(4,8)(8,12) 內(nèi)重復。我們將上面的函數(shù)y=f(t)稱為周期函數(shù)。三、建構數(shù)學一般地，對于函數(shù)f（x），對定義域內(nèi)的每一個x的值，每增加或減少一個不為零的定值T，函數(shù)值就重復出現(xiàn)，這個函數(shù)就叫做周期函數(shù)，即f(x+T)=f(x)。（一）、周期函數(shù)及周期的定義周期函數(shù)定義如下：一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x)，那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。前面函數(shù)y=f(t)的周期可以認為是4、8、12、（二）、最小正周期的概念.對于一個函數(shù)f(x)，如果它所有的周期中存在

5、一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)叫f(x)的最小正周期.注意今后不加特殊說明，涉及的周期都是最小正周期. 顯然上面的函數(shù)y=f(t)的周期T=4.(三)、三角函數(shù)的周期思考：正弦函數(shù)y=sinx是周期函數(shù)嗎？即能否找到非零常數(shù)T，使sin(T+x)= sinx成立？sin(2+x)=sinx，sin(4+x)=sinx，根據(jù)周期函數(shù)定義判斷它是周期函數(shù)，又根據(jù)周期的規(guī)定，它的周期T=2（最小正值）用幾何畫板展示周期函數(shù)y=sinx的圖象，使學生感知其特征。討論：余弦函數(shù)y=cosx和正切函數(shù)y=tanx也是周期函數(shù)，并找出它們的周期。 周期分別是2、四、數(shù)學運用例1若鐘擺的高度h（mm）與時間

6、t(s)之間的函數(shù)關系如圖所示。（1） 求該函數(shù)的周期；（2） 求t=10s時鐘擺的高度。分析：周期可由兩頂點間距離確定，此函數(shù)周期T=1.5；根據(jù)函數(shù)的周期性，f(10)=f(101.5)=f(1021.5)= =f(101.5k)(其中k為整數(shù))，直到101.5k=1或2.5為止，即f(10)=f(1)=20.解：(略)例2 求函數(shù)f(x)=cos3x的周期。解：設周期為T. f(x)=cos3x=cos(3x+2)，f(x+T)=cos3(x+T)由f(x)= f(x+T)得，3x+2=3(x+T)，解得T=2/3. 函數(shù)f(x)=cos3x的周期2/3.注意：運用了換元方法，u=3x；

7、f(u)=cosu的(最小正)周期是2；即cosu=cos(u+2)；由于cos(3x+2) =cos3(x+T)對任一x的值都成立，所以3x+2=3(x+T)；f(x)= cos3x的周期與f(u)=cosu的周期是兩個不同的概念。例3求下列函數(shù)的最小正周期T.（1）（2）（3）解：（1） （2） 函數(shù)的最小正周期為. （3） 函數(shù)的最小正周期為4.總結一般規(guī)律：的最小正周期是.令 ，由的周期是，則 因而自變量只要并且至少要增加到，即。例4求證：（1）的周期為； （2）證明：（1） （2） 總結：（1）一般函數(shù)周期的定義 （2）周期求法嘗試練習(1)求g(x)=2sin()的周期。(2)證明

8、函數(shù)（其中為常數(shù)，且）的周期.結論:一般的，周期函數(shù)y=Asin(x+ )及y=Acos(x+ )(其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期T= .五、回顧反思通過這節(jié)課的學習，你有哪些收獲？1.周期函數(shù)、周期概念。一般地，對于函數(shù)f（x），如果存在一個非零的常數(shù)T，使得定義域內(nèi)的每一個x值，都滿足f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f（x）就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。2.函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx是周期函數(shù),且周期均為2.3.函數(shù)y=tanx是周期函數(shù),且周期均為.4. 周期函數(shù)y=Asin(x+)和y=Acos(x+) (其中A，為常數(shù)，且A0，0)的周期的求法。 六、課外

9、作業(yè)： 1、舉例說明周期現(xiàn)象。.2.、課本3、設m、p、q為自然數(shù)，m除以5所得的商是p且余數(shù)是q(q5). 顯然q是m的函數(shù)，記q=f(m). (1)寫出這函數(shù)的值域；(2)這函數(shù)是周期函數(shù)嗎？若是，則寫出周期；若不是，則說明理由。七、設計說明：1、由可感受、能理解的實例出發(fā)，感性的認識周期函數(shù)的概念。比如創(chuàng)設情境，從自然界中的周期現(xiàn)象出發(fā)，建立P點的圓周運動這一模型 。本節(jié)課的難點在于周期函數(shù)概念的理解，因此在講解概念之前，通過現(xiàn)實情境幫助理解周期運動，在此基礎上理解周期函數(shù)的概念就不太困難了。 2、通過對P點的圓周運動這一模型的分析，引入周期函數(shù)的概念，體現(xiàn)了數(shù)學由具體到抽象、由特殊到一

10、般的過程。 3、新課程的一個重要理念就是“用教材教，而不是教教材”。在處理例2的過程中，由于課本的解法學生不太易理解，所以，我利用解方程的思想，根據(jù)周期函數(shù)的概念列出方程，解出周期T,從而降低了難度。 4、在教學過程中，我設計一些思考與練習，變由老師講解為學生思考、探究，發(fā)展了學生的思維能力。第二課時 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)課型:新授課課時計劃:本課題共安排一課時教學目標:1、能借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象2、掌握五點法作正、余弦函數(shù)圖象的方法，并會用此方法畫出上的正弦曲線、余弦曲線教學重點：正、余弦函數(shù)的圖象的畫法教學難點：借助正弦線畫出正弦函數(shù)的圖象

11、，并在此基礎上由誘導公式畫出余弦函數(shù)的圖象教學過程：一、 創(chuàng)設情境，引入新課為了更加直觀地研究三角函數(shù)的性質(zhì)，可以先作出它們的圖象，那么該怎樣作出正、余弦函數(shù)的圖象？二、 新課講解1、正弦函數(shù)圖象的畫法先畫正弦函數(shù)的圖象。由于是以為周期的周期函數(shù)，故只要畫出在上的圖象，然后有周期性就可以得到整個圖象。（1）幾何法：利用單位圓中的正弦線來作出正弦函數(shù)圖象（注：如何作出函數(shù)圖象上的一個點，如點？不妨設，如圖所示，在單位圓中設弧的長為，則。所以點是以弧的長為橫坐標，正弦線的數(shù)量為縱坐標的點。）作法步驟：將單位圓十二等份，相應地把軸上從0到這一段分成12等份。把角的正弦線向右平移使它的起點與軸上表示的

12、點重合，再用光滑曲線把這些正弦線的終點連結起來，就得到正弦函數(shù)在區(qū)間上的圖象。最后只要將函數(shù)， 的圖象向左、右平移（每次個單位），就可以得到正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線。（2）五點法：在函數(shù)的圖象上，有5個關鍵點：，注意正弦曲線的走向，將這五點用光滑的曲線連接起來，可得函數(shù)的簡圖。2、余弦函數(shù)圖象的畫法（1）幾何畫法：利用余弦線來作出余弦函數(shù)的圖象（2）由正弦函數(shù)的圖象依據(jù)誘導公式變換可得到由 可知將的圖象向左平移個單位幾得到的圖象。（3） 五點法：在函數(shù)，的圖象上，五個關鍵點為，利用此五點作出的簡圖。三、例題剖析：例1、用五點法畫出下列函數(shù)的簡圖：（1）， （2），解：（1）先用“五點法”畫一

13、個周期的圖象，列表：010-10120-202描點畫圖，然后由周期性得整個圖象；（圖略）（2）列表：00010-10描點畫圖，然后由周期性得整個圖象（圖略）四、練習1、畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與正弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系：（1） （2）2、畫出下列函數(shù)的簡圖，并說明這些函數(shù)的圖象與余弦曲線的區(qū)別和聯(lián)系：（1） （2）五、課堂小結：1、正弦函數(shù)的幾何畫法；2、五點法作圖第三課時 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)課型：新授課課時計劃：本課題共安排一課時教學目標：1、掌握正、余弦函數(shù)的定義域和值域；2、進一步理解三角函數(shù)的周期性和奇偶性的概念，會求它們的周期，會判斷它們的奇偶性；3、能正確求出正、余弦

14、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間教學重點：正、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學難點：正、余弦函數(shù)的單調(diào)性教學過程：一、創(chuàng)設情境，引入新課我們已經(jīng)知道正、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，那它們除此之外還有哪些性質(zhì)呢？二、新課講解知識要點：1、定義域：函數(shù)及的定義域都是，即實數(shù)集2、值域：函數(shù)，及，的值域都是理解：（1）在單位圓中，正弦線、余弦線的長都是等于或小于半徑的長1的，所以，即，。（2）函數(shù)在時，取最大值1，當，時，取最小值-1；函數(shù)在，時，取最大值1，當，時，取最小值-1。3、周期性正弦函數(shù)，和余弦函數(shù)，是周期函數(shù)，都是它們的周期，最小正周期是。4、奇偶性正弦函數(shù)，是奇函數(shù)，余弦函數(shù)，是偶函數(shù)。理解：（1）由誘導公式，可知以上結論成立；（2）反映在圖象上，正弦曲線關于原點O對稱，余弦曲線關于軸對稱。5、單調(diào)性（1）由正弦曲線可以看出：當由增大到時，曲線逐漸上升，由-1增大到1；當由增大到時，曲線逐漸下降，由1減至-1，由正弦函數(shù)的周期性知道：正弦函數(shù)