專題1導數中極值和最值問題的研究與拓展

1、專題3.1 :導數中極值和最值問題的研究與拓展【探究拓展】探究1 ：已知函數f (x) = x 當0 ：a 2時，f(x)在1,4上的最小值為-16，求f (x)在該區(qū)間上的最大值 + ax2 +bx + a2在x=1處有極值10，則a + b=. -7變式1 ：已知函數f x = x4 ax3 - 2x2 b，其中a,b 二R .若函數f x僅在x = 0處有極值，則a的 取值范圍是.-8,83 31 2變式2：已知函數f(x) x4 -6x2 cx d既有極大值又有極小值，實數C的取值范圍是 .4L16,16 1首先轉化為導函數(三次函數)至少有兩個互異實數根極小值小于等于0小于等于極大值

2、變式3:若 X =1是定義在R上的函數f(x)極小值點，且f (x)=(x-1)(x2-ax+2),則a的取值范圍為 . a3變式4:設函數f (x) =(x-2)2(x+b)ex，若x = 2是f (x)的一個極大值點，貝U實數b的取值范圍為 .b ： -2、”，_2 x變式5:下列關于函數 f (x) =(2x-x )e的判斷正確的是 .f(x) 0的解集是0,2 ；f(-2)是極小值，f(.2)是極大值；f(x)沒有最小值，也沒有最大值|變式6:對于函數f (x) = x3 ax2-x 1的極值情況，4位同學有下列說法：甲：該函數必有 2個極值；乙：該函數的極大值必大于1丙：該函數的極小

3、值必小于1；?。悍匠蘤(x) =0 定有3個不等的實數根這四種說法中，正確的個數為 3只有丁錯誤1 3 1 2探究 2 :設 f (x)x3x2 2ax32(1)若函數在 -丄，2 上單調遞增，求實數 a的取值范圍;-113丿9322解：(2) f(x)在(一：)上存在單調遞增區(qū)間，即存在某個子區(qū)間(m, n)(：)使得f (x) .0由33 2 1 2 1 2 2f (x) =-xx2=_(x)2a , f (x)在區(qū)間,：)上單調遞減，貝U只需f ( ) . 0即由2433221f ( ) 2a - 0 解得 a39912所以，當a時，f (x)在(,川匕=)上存在單調遞增區(qū)間.931 J

4、1 +8a(3)令 f (x) = 0，得兩根 x-i21, 1 8ax2 :2所以f(x)在(_：,xj , (X2,=)上單調遞減，在(X1,X2)上單調遞增當0 : a : 2時，有x1 ：1 ：x2 : 4，所以f (x)在1,4上的最大值為f (x2)又 f - f(1) - -27 6a ：0，即 f ：:f (1)240 所以f(x)在1,4上的最小值為f(4)=8a_-310 從而f(x)在1,4上的最大值為f (2.32 2變式：設函數 f (x) = In x x -2ax a , a R ,(1)若a = 0，求函數f(x)在1,e 1上的最小值;(2)若函數f (x)在

5、-,2上存在單調遞增區(qū)間，求實數IL2a的取值范圍;(3)求函數f (x)的極值點.解：(1) f (x)min = 1 ；(2)使f (x)0在丄，2上有解，得129-4(3)當a 2時，f (x)沒有極值點;33a - a2- 2是函數的極小值點.22時，x是函數的極大值點,2探究 3 :已知 m R , f (x) = x3 - 3(m 1)x2 12mx 1.(1) 若f (x)在區(qū)間0,3上無極值點，求實數 m的值.1(2) 若存在X。 0,3，使得f(x0)是f (x)在0,3】上的最值，求實數 m的取值范圍.m-1或m-4探究4:設函數f(x)=ax2+ex(a R)有且僅有兩個

6、極值點xi, X2(xiX2).(1) 求實數a的取值范圍；2(2) 是否存在實數a滿足f(xi)=e3xi?如存在，求f(x)的極大值；如不存在，請說明理由.解：(1) f (x) =2ax+ex.顯然0, xi, X2是直線y= _丄 與曲線丫=9儀)=食兩交點的橫坐標.2ae(思考為何要這樣變形？)2分由 g (x) = Xx =o,得 x=i 歹u表：ex(-m, 1)1(1, +m)g(x)+0-g(x)/1g(x) max=-e此外注意到:當 x0 時，g(x)0;一ii當x 0 , i及x (i , +旳時，g(x)的取值范圍分別為0 ,丄和(0, i).ei ie于是題設等價于

7、 基= a匚，故實數a的取值范圍為e(-m)(，2).存在實數a滿足題設.證明如下:由知，0 Xiix2, f (xi) =2axi+ ei =0,2X i ?故 fXg+e&ei，故、exi 2記 R(x)= ex 一e3 (0x0, f (i)0,而 xi= 2 (0,3故當a= _4f(x)極大=f(xi)=?e316分探究5:已知函數f (x) = (x -a)(x - b)2, a, b為常數.(1) 若a =b,求證：函數f (x)存在極大值和極小值；(2) 設(1)中f (x)取得極大值、極小值時自變量的分別為Xi,x2，令點A(x1, f (x1)， B(x2, f(x2)1如

8、果直線AB的斜率為，求函數f(x)和f (x)的公共遞減區(qū)間的長度；2(3) 若f (x) _mxf (x)對于一切R恒成立，求實數 m,a,b滿足的條件.解: ( 1) f/(x) = (x-b) 3x-(2a b) 12a +bre x丁. f,(xro有兩不等b和2-l, f( x)存在極大值和極小值3(2)若a=b，f(x)不存在減區(qū)間若ab時由(1 )知X1=b, X2=-32a + b 2(a-b)2:.A( b,0) B ，-392(a -b)2 二 3(a -b).a-b=322(a -b)2若 a+2b=0, a = -2b , a=b=O,則 x1 =b ,3abX2 二a 2ba 2b ：01 - 3abb=-a 2b3aa 2b b=0 則 a0 , b = 01綜上 ma = b _ 03【專題反思】你學到了什么？還想繼續(xù)研究什么?91.2a b2b32a +b33(3當ab時 X1=,X2=b。同理可得 a-b=(舍)綜上a-b=322a + KA二 f (x)的減區(qū)間為(b,)即(b,b+1), f，(x)減區(qū)間為(-,b+ )3211公共減區(qū)間為(b, b+-)長度為22(x -a)(x - b)2 一 m x(x -b) 3x -(2a b)】(x -b)(1 -3m)x2m(2a b) - (a