圓與方程講義

1、圓與方程12【知識梳理】1確定圓的要素3、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系【重難點(diǎn)問題】1求圓的方程2、位置關(guān)系4、求軌跡5、存在性問題2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程4、用解析方法解決幾何問題3、求最值、范圍6、定切線，定圓，定點(diǎn)【典題講練】【例1】以A2, 1)，B(1,5)為半徑兩端點(diǎn)的圓的方程是 .【變】圓心在直線 2x +y =0上，并且經(jīng)過點(diǎn) A(1, 3)和B(4, 2)的圓的方程為 【拓】求過A ( 0, 0)、B (1 , 1)、C (4, 2)三點(diǎn)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長和圓心坐標(biāo).【例2】過點(diǎn)A(4, 1)的圓C與直線x y 1 = 0相切于點(diǎn)B(2 , 1)，則圓C的方程為

2、.【變】若圓C經(jīng)過P( 2, 4), Q(3, 1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長等于 6,則圓C的方程為 【拓1】若圓C與直線x y= 0及x y 4= 0都相切，圓心在直線x+ y= 0上，則圓C的方程為 【拓2】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，以點(diǎn)(0, 1)為圓心且與直線x by+ 2b + 1 = 0相切的所有圓中，半徑最大的 圓的方程為.【例3】過點(diǎn)P (-腑,-1)的直線I與圓x2 + y2 = 1有公共點(diǎn)，則直線I的傾斜角的取值范圍是 .【變】(1)過點(diǎn)P ( 2, 1)的直線I被圓x2 + y2 = 10截得的弦長為245的方程為.(2) 已知直線x -y a =0與圓心為C的圓x2

3、 y2 2x -4y -4 =0相交于A、B兩點(diǎn)，且AC _ BC，則實(shí)數(shù)a 的值為.【拓】(1)圓x2+ y2+ 2x= 0和x2 + y2- 4y= 0的公共弦所在直線方程為 .(2) 過點(diǎn)(3, 1)作圓(x- 1) 2+ y2= 1的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A, B,則直線AB的方程為.【例4】若直線y= k (x-4)與曲線y=4 _x?有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為 .【練】若過定點(diǎn) M (- 1, 0)且斜率為k的直線與圓x2 + y2 + 4x- 5 = 0在第一象限內(nèi)的部分有交點(diǎn)，則k的取值范圍是.【變】(1)若關(guān)于x的方程x b =3 一 . 4x _x2只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù) b的

4、取值范圍是 (2) 曲線x = ,9y -1與直線y=kx_4k 5有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù) k的取值范圍是53A.(12，：b .(24，38C. 3)則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(3A.(3) 若曲線C1 : x2 - y2 _2x =0與曲線C? ： y(y -mx-m) =0有四個(gè)不同的交點(diǎn),B.(一,0) - (0 ,)33D.(-二,3)-(蟲，：)33【例5】已知實(shí)數(shù)x , y滿足方程x2 y2 _4x 1 =0，求下列各式的最大值與最小值.(1)y ；x(2)y-1 .x 47x(3)3y+6(4)y _x;(5)2x 3y ;(6)2 2x y ;(7)2 2x -10x 亠 y -

5、14y .【練】已知實(shí)數(shù)x , y滿足方程x2 y2 -4x *1=0,求下列各式的最大值與最小值.(1) 口 ；(2) 2x 3y ;(3) x2 -10x y2-14y .x 4(4) 若對任意的x , y有x 2y -0 ,求m的取值范圍.【變】(1)已知實(shí)數(shù)x, y滿足(x 2)2+ y2= 4,則3x2 + 4y2的最大值為 (2) 設(shè)點(diǎn)P(x, y)是圓：x2+ (y 3)2= 1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn) A(2, 0), B( 2, 0),則PA PB的最大值為 【拓】(1)已知實(shí)數(shù)x , y滿足方程x2 y2 2x _2y =0，則|x| - | y |的最大值為()A.2B . 4C

6、. 3. 2D . 22(2)已知實(shí)數(shù)x , y 滿足 x2 亠 y2 _1 ,3x 4y 0，則x -3的取值范圍是()x y 219加111911A.1 ,4B . , 4C . 1 ,D .-，173173(3)設(shè)點(diǎn)P(x,y)是圓 C : x2 2x y22 y 3 = 0上任意點(diǎn)，若|x-y-2 | | x - y a |為定值，則a的值可能為()A.-4B . 0C . 3D . 6【例6】設(shè)P為直線x -y =0上的一動(dòng)點(diǎn)，過P點(diǎn)做圓(x -4)2 y2 =2的兩條切線，切點(diǎn)分別為 A , B，則.APB 的最大值.【練】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過圓Ci：(x -k)2(

7、y4)2=1上任一點(diǎn)P作圓C2:x2y2=1的一條切線，切點(diǎn)為Q，則當(dāng)線段PQ長最小時(shí)，k=.(2) 已知點(diǎn)P為直線y = x1上的一點(diǎn)，M , N分別為圓G :(x -4)2 (y-1)2=4與圓C2: x2(y-2)2=1上的點(diǎn)，貝U | PM | -|PN I的最大值為()A . 4B . 5C. 6D. 7【變】(1)已知兩點(diǎn)A(0, - 3), B(4, 0)，若點(diǎn)P是圓C: x2+ y2 2y= 0上的動(dòng)點(diǎn)，則 ABP的面積的最小值為.(2) 過點(diǎn)(，2, 0)作直線I與曲線y= 1 x2相交于A, B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng) AOB的面積取最大值時(shí)， 直線I的斜率等于.(3) 已知

8、圓O: x2 + y2= 9，過點(diǎn)C(2, 1)的直線I與圓O交于P, Q兩點(diǎn)，當(dāng) OPQ的面積最大時(shí)，直線 I的 方程為.(4) 已知P是直線3x+ 4y+ 8= 0上的動(dòng)點(diǎn)，PA, PB是圓x2 + y2- 2x- 2y+ 1 = 0的兩條切線，A, B是切點(diǎn)，C是圓心，那么四邊形 FACB面積的最小值為 .(5) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，已知點(diǎn)A(1,1), B(1, -1)，點(diǎn)P為圓(x_4)2 yl4上任意一點(diǎn)，記.：OAP和.OBP的面積分別為 S和S2，則的最小值是 .S2m.試建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求點(diǎn)【例7】(1)已知|M1M2|= 2，點(diǎn)M與兩定點(diǎn)M1, M2距離的比值是一個(gè)

9、正數(shù) 軌跡方程，并說明其軌跡是什么圖形.(直接翻譯)Q的軌跡方程為(2)已知點(diǎn)P在圓x2 y2 =1運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為 M(2, 0) , Q為線段PM的中點(diǎn)，則點(diǎn).(設(shè)坐標(biāo)轉(zhuǎn)移 )(3) 由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2 y2 =1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為 A、B , APB =60，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.(幾何法)(4) 已知過原點(diǎn)的動(dòng)直線 I與圓C1： x2 + y2- 6x+ 5= 0相交于不同的兩點(diǎn) A, B.(1) 求圓C1的圓心坐標(biāo)；(2) 求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程.(消參法)【練】(1)自圓C: (x 3)2+ (y+ 4)2 = 4外一點(diǎn)P(x, y)引該圓的一條切線，切點(diǎn)

10、為 Q, PQ的長度等于點(diǎn) P到 原點(diǎn)0的距離，則點(diǎn)P的軌跡方程為 .(2)已知AB =3，動(dòng)點(diǎn)P滿足PA=2PB，那么APAB的面積的最大值為 (3) 在圓x2 y2 =8上任取一點(diǎn)P ,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD , D為垂足，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的 中點(diǎn) M 的軌跡方程是 .(4) 已知?jiǎng)訄AP與圓M : (x + 1) 2+ y2= 16相切，且經(jīng)過 M內(nèi)的定點(diǎn)N (1, 0).試求動(dòng)圓的圓心 P的軌跡C 的方程.【拓】(1)過定點(diǎn)P(3,2)任作一直線與圓x2 y2 -4x-2y-11 = 0相交于A、B兩點(diǎn)，A和B兩點(diǎn)處的切線相 交于M，求點(diǎn) M的軌跡方程.(2) 已知圓x2

11、y4 , B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P , Q為圓上動(dòng)點(diǎn)，若 PBQ =90，則線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程 為.(3) 已知直線l:y=x b與圓C:x2 (y 1)2 =1相交于A , B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在I上，且|PAPB|=2.當(dāng)b變化時(shí)，求點(diǎn)P的軌跡方程.【例8】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(0, 3)，若圓C: (x a)2+ (y a+ 2)2= 1上存在一點(diǎn)M滿足|MA|=2|MO|,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【練】在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線I :y=2x_4 ,設(shè)圓C的半徑為1,圓心在I上，若圓C上存 在點(diǎn)M，使|MA |=2| M0 |，則圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為

12、()120，5B . 0 , 112C 1,三512（0，）5【變】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線I: x y _3 = 0和圓M : x2 (y m)2 =8，若圓M上存在點(diǎn)P ,使得P到直線I的距離為3邁，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.(2) 已知圓 C :(x-3)2 (y -4)2 =1 和兩點(diǎn) A(-m, 0)、B(m , 0)(m 0),若圓 C 上存在點(diǎn) P ,使得.APB = 90 ,則m的取值范圍是()A . 3 , 7B. 4 , 6C. 3 , 6D. 4 , 7(3) 已知圓O :x y =1，圓M : (x -a) ( a 4) =1 .若圓M上存在點(diǎn)P ,過點(diǎn)P作

13、圓O的兩條切線， 切點(diǎn)為 A , B，使得 ZAP =6，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .(4) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若圓C:(x-3)2，(y-a)2 =4上存在兩點(diǎn) A、B滿足：.AOB=60，則實(shí)數(shù)a 的最大值是()A . 5B . 3C. 7D. 2 3(5) 已知 A( -2,0) , B(2,0)，點(diǎn) P 在圓(x-3)2 (y-4)2 =r2(r 0)上，滿足 PA2 PB40，若這樣的點(diǎn) P 有 兩個(gè)，則r的取值范圍是.【例9】若當(dāng)a R且a式1時(shí)，圓X2 +y2 2ax +2(a 2)y +2 =0總與直線|相切，則直線|的方程是 【練】已知：正數(shù)m取不同的數(shù)值時(shí)，方程x2

14、y2 - (4m 2)x - 2my 4m2 4m 1 = 0表示不同的圓，求：這些 圓的公切線(即與這些圓都相切的直線)的方程.【變1】(1)已知直線| ：2mx (1 _m2)y -4m-4 =0，若對任意 m R，直線l與一定圓相切，則該定圓方程為(2)當(dāng)實(shí)數(shù)m變化時(shí)，不在任何直線 2mx+( 1 m2) y 4m 4 = 0上的所有點(diǎn)(x, y)形成的圖形的面積為【變2】無論a如何變化直線xsina+ycosa+1=0總和一個(gè)定圓相切，則該定圓方程為 .【例10】已知圓C:x y -4，點(diǎn)P為直線x，2y-9=0上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P向圓C引兩條切線PA、PB , A、B為切點(diǎn)，則直線 AB

15、經(jīng)過定點(diǎn)(9，8)B. (9，4)C. (2,0)D. (9, 0)【變1】已知圓M ( M為圓心)的方程為x2 + (y 2)2 = 1,直線I的方程為x 2y= 0,點(diǎn)P在直線I上，過P點(diǎn)作圓M的切線PA、PB,切點(diǎn)為 A、B.(1) 若/ APB = 60試求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2) 求證：經(jīng)過 A、P、M三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo).【變2】已知圓0過點(diǎn)A(1 , 1)，且與圓M ： (x+ 2)2 + (y+ 2)2 = r2(r 0)關(guān)于直線x+ y+ 2 = 0對稱.(1) 求圓O的方程；(2) 若EF、GH為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為N( 1，烏求四邊形EGFH的面積的

16、最大值；1(3) 已知直線I: y= 2x- 2, P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過 P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，試探究直 線CD是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.【變3】已知圓O的方程為x2+ y2= 1,直線l1過點(diǎn)A (3, 0),且與圓O相切.(1) 求直線I1的方程；(2) 設(shè)圓O與x軸相交于P, Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P, Q的任意一點(diǎn)，過點(diǎn) A且與x軸垂直的直線為 “ 直線PM交直線-于點(diǎn)P,直線QM交直線I?于點(diǎn)Q.求證：以PQ為直徑的圓C總經(jīng)過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo).【家庭作業(yè)】1、 過點(diǎn)P(3, 4)作圓(x _1)2寸=2的切線，切點(diǎn)分別為 A、

17、B，則直線AB的方程為()A. x 2y-2=0 B. x-2y1=0C. x-2y-2=0D. x 2y 2=02 22、 圓C的方程為x y =1 , P(x, 2).過P作圓C的切線，切點(diǎn)分別為 A , B兩點(diǎn)則.APB最大為()A . 30B. 45C. 60D. 903、已知直線h : 3x y _6 =0與圓心為M (0, 1),半徑為 5的圓相交于A , B兩點(diǎn)，另一直線l2 :2kx 2y -3k -3 =0與圓M交于C , D兩點(diǎn)，則四邊形 ACBD面積的最大值為()A . 5.2B . 10.2C. 5( .2 1)D. 5( /2 -1)2 24、 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，若圓C:(x-3) ，(y-a) =4上存在兩點(diǎn) A、B滿足：WAOB=60，則實(shí)數(shù)a的 最大值是()A . 5B . 3C . V7D . 2 奧5、已知關(guān)于x的方程Jx2 1 =ax 2有且只有一個(gè)解，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .6、 已知實(shí)數(shù)x , y滿足x2-4x+3+y2= 0 ,貝U _y_2的取值范圍是 .x -12 27、設(shè)圓C:(x-1) y =1，過點(diǎn)(一1,0)作圓的任意弦，求所作弦的中點(diǎn)的軌跡方程.8、在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，直線I : kx -y -4 -2k =0 , k R，點(diǎn)A(-2, 0) ,