完整word版二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型.doc

1、二次根式知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及常見題型資料編號(hào) :20190802一、二次根式的定義形如a （ a 0）的式子叫做二次根式.其中 “”叫做二次根號(hào), a 叫做被開方數(shù).（1）二次根式有意義的條件是被開方數(shù)為非負(fù)數(shù). 據(jù)此可以確定字母的取值范圍;（2）判斷一個(gè)式子是否為二次根式, 應(yīng)根據(jù)以下兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)判斷:是否含有二次根號(hào)“” ;被開方數(shù)是否為非負(fù)數(shù) .若兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)都符合, 則是二次根式 ; 若只符合其中一個(gè)標(biāo)準(zhǔn), 則不是二次根式 .（ 3）形如 m a （ a 0）的式子也是二次根式, 其中 m 叫做二次根式的系數(shù), 它表示的是 :m a m a （ a 0） ;（4）根據(jù)二次根式有意義的條件, 若二次根式

2、AB 與BA都有意義 ,則有 A B.二、二次根式的性質(zhì)二次根式具有以下性質(zhì) :（1）雙重非負(fù)性 :a 0, a 0;（主要用于字母的求值 ）（2）回歸性 :2aa （ a 0） ;（主要用于二次根式的計(jì)算）（3）轉(zhuǎn)化性 :a 2a(a0)aa(a.（主要用于二次根式的化簡）0)重要結(jié)論 :（1）若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0, 則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.若A B2C0, 則 A 0,B 0,C 0.應(yīng)用與書寫規(guī)范 : A B 2C0 ,A 0,B2 0,C 0A 0,B0, C0 .該性質(zhì)常與配方法結(jié)合求字母的值.第1 頁（2）AB 2ABAB AB ;主要用于二次根式的化簡 .BA ABA2BA0（3

3、） AB, 其中 B0;A2BA0該結(jié)論主要用于某些帶系數(shù)的二次根式的化簡: 可以考慮把二次根號(hào)外面的系數(shù)根據(jù)符號(hào)以平方的形式移到根號(hào)內(nèi), 以達(dá)到化簡的目的.（4）AB2A2 B, 其中 B0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.例1. 式子1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則 x 的取值范圍是 _.x1分析 : 本題考查二次根式有意義的條件, 即被開方數(shù)為非負(fù)數(shù), 注意分母不能為0.解: 由二次根式有意義的條件可知: x10 , x 1.例 2.若 x, y 為實(shí)數(shù) ,且 yx111y1x,化簡 :.2y1分析 : 本題考查二次根式有意義的條件, 且有重要結(jié)論 : 若二次根式AB與BA 都有意義,則有 AB

4、.解: x 1 0,1 x 0 x 1, x 1 x1 y0111022y11y1 .1y1y習(xí)題 1.如果3a5 有意義 ,則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 _.習(xí)題 2.若 yx33x2 ,則 x y_.習(xí)題 3.要使代數(shù)式 12x有意義 ,則 x 的最大值是 _.習(xí)題 4.若函數(shù)y12 x,則自變量 x 的取值范圍是 _.x習(xí)題 5.已知 b3a1282a1 ,則 a b_.第2 頁例 3.若a1b 24b4 0 則ab的值等于【】,（A ）2（B）0（ C）1（D）2分析 : 本題考查二次根式的非負(fù)性以及結(jié)論: 若幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0, 則每個(gè)非負(fù)數(shù)分別等于0.解: a1b2440b a1b2

5、20 a1 0,b2 2 0 a10,b20 a 1,b 2 ab 1 2 2 .選擇【 D 】 .例 4. 無論 x 取任何實(shí)數(shù),代數(shù)式x 26xm 都有意義 ,則 m 的取值范圍是 _.分析 : 無論 x 取任何實(shí)數(shù), 代數(shù)式x26xm 都有意義 , 即被開方數(shù) x 26x m 0 恒成立, 所以有如下兩種解法:解法一 :由題意可知 : x 26xm 0 x26x m x 3 2m9 0 x3 2 9 m x 3 2 0 9 m 0, m 9.解法二 :設(shè) yx 26xm無論 x 取任何實(shí)數(shù) ,代數(shù)式 x 26x m 都有意義 y x26 x m 0 恒成立即拋物線yx 26xm 與 x

6、軸最多有一個(gè)交點(diǎn)6 24m364m 0解之得 : m 9.例 5. 已知 a, b, c 是 ABC 的三邊長 ,并且滿足a68bc 210020c ,試判斷 ABC第3 頁的形狀 .分析 : 非負(fù)數(shù)的性質(zhì)常和配方法結(jié)合用于求字母的值.解: a68bc 210020c a6b8c 220c100 0 a6b8c10 20 a 6 0, b 8 0, c 102 0 a60,b80, c100 a6,b8,c10 a2 b a2b226c28 2100,c 210 21002 ABC 為直角三角形 .習(xí)題 6.已知實(shí)數(shù) x, y 滿足 x4y 8 0 ,則以 x, y 的值為兩邊長的等腰三角形的

7、周長為【】（A ）20 或 16（B）20（C） 16（ D）以上答案均不對(duì)習(xí)題 7.當(dāng) x _ 時(shí) ,9x11取得最小值 ,這個(gè)最小值為 _.習(xí)題 8.已知 yx2424x2,則 x y 的值為 _.x習(xí)題 9.已知非零實(shí)數(shù)滿足22b 1a,ba8a 16 b 3a 5 b 1 4 a 求a的值.,提示 : 由 a 5 b 21 0, 且 b 210 可得 : a 5 0, a 5.第4 頁例 6. 計(jì)算:2（1）2226;（ 2）2 x 3;（3）3.3分析 : 本題考查二次根式的性質(zhì):a2a （ a 0） .該性質(zhì)主要用于二次根式的計(jì)算 .解:（1）26;622x 3 ;（2）2x 32

8、2（3）3 23 22926.333注意 :A2A2B, 其中 B0.該結(jié)論主要用于二次根式的計(jì)算.B例 7.化簡 :2（1）252 ;（ 2）10;（3） x 26x 9 x 3 .7分析 : 本題考查二次根式的性質(zhì): a 2aa(a0). 該性質(zhì)主要用于二次根式的化簡.a( a0)解:（1）25225 25;21010（2）1077;7（3）x 26x9x3 2x3 x 3原式3x .注意 :結(jié)論 :AB 2A BAB AB . 該結(jié)論主要用于二次根式和絕對(duì)值的化BA AB簡.例 8.當(dāng) x 3有意義時(shí) ,化簡 : x 5x 2221x .解: 二次根式x3 有意義 x3 0 x 3第5

9、頁 x5x2122xx5x21xx5x2x13x2例 9.化簡 :22x3x2.分析 :x2 2x2 , 繼續(xù)化簡需要x 的取值范圍 , 而取值范圍的獲得需要挖掘題目本身的隱含條件 :x3 的被開方數(shù) x3 為非負(fù)數(shù) .解: 由二次根式有意義的條件可知:x3 0 x 322x3x2x3x2x3x22x5例 10.已知0a1,化簡a12a1a2 _.a解: 0a1a1a a12a12aa1212aaaaa1a1yaaa11aaaOxa11aaa2a例 11. 已知直線ym3 xn2 （ m, n 是常數(shù)） ,圖（ 1）如圖（ 1） ,化簡 mnn 24n4m1 .第6 頁解: 由函數(shù) ym3 x

10、n2 的圖象可知 :m 30,n20 m3, n2 mnn24n4m 1mnn2m12mnn2m1mn2nm1mn2nm 11例 12.已知 a,b, c 在數(shù)軸上的位置如圖（2）所示 ,化簡 : a2a cca0b圖（ 2）解: 由數(shù)軸可知 : ca0b a c 0 a2ca2b 2a caaccabaacacbab習(xí)題 10.要使x2x222 , x 的取值范圍是 _.習(xí)題 11.若a 2a0 ,則 a 的取值范圍是 _.32習(xí)題 12.計(jì)算 :_.412習(xí)題 13.計(jì)算 :2_.2習(xí)題 14.若x32x3成立 則x的取值范圍是_.,習(xí)題 15. 下列等式正確的是22（A）33（B）33c

11、 a22 .b【】第7 頁（C）3332（ D）33習(xí)題 16.下列各式成立的是【】21（A ）1（ B）232232（C）11（D） 324 2722習(xí)題 17.計(jì)算 :2 72_.習(xí)題 18.化簡 :2x 2_.x習(xí)題 19.若 a 23a1b 22b10,則 a21b_.a2212習(xí)題 20.已知1a0,化簡a14 得_.4aaa習(xí)題 21.實(shí)數(shù) a,b, c 在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖（3）所示 ,化簡代數(shù)式 :a22a 1bca22abb2 的結(jié)果為【】（A ）2bc1（B） 1（C） 2a c 1（D ） b c 1c b01 a圖（ 3）習(xí)題 22.化簡 : 4 x 224x 12x

12、3 .例 13. 把 a1 中根號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi) ,結(jié)果是【】a（A ）a（ B）a（C）a（D ）a分析 : 本題實(shí)為二次根式的化簡: 某些二次根式在化簡時(shí), 把根號(hào)外的系數(shù)移到根號(hào)內(nèi), 可以達(dá)到化簡的目的, 但要注意根號(hào)外面系數(shù)的符號(hào). 有如下的結(jié)論:第8 頁A2BA0A B,其中 B0.A2BA01解: 由二次根式有意義的條件可知:0a a0 a1a21a .選擇【 D 】 .aa習(xí)題 23.化簡 2a1得 _.a2三、二次根式的乘法一般地 ,有 :abab （ a 0, b 0）（1）以上便是二次根式的乘法公式, 注意公式成立的條件: a 0, b 0. 即參與乘法運(yùn)算的每個(gè)二次根

13、式的被開方數(shù)均為非負(fù)數(shù);（2）二次根式的乘法公式用于二次根式的計(jì)算;（3）兩個(gè)帶系數(shù)的二次根式的乘法為: ma n bmn ab （ a 0, b 0） ;（4）二次根式的乘法公式可逆用, 即有 :abab （ a 0, b 0）公式的逆用主要用于二次根式的化簡. 注意公式逆用的條件不變.例 14. 若xx6x x6 成立 ,則【】（A ） x 6（ B）0 x 6（C） x 0（ D） x 為任意實(shí)數(shù)分析 : 本題考查二次根式乘法公式成立的條件:abab （ a 0,b 0）解: 由題意可得 : x 0x 6 0解之得 : x 6.選擇【A 】.例 15. 若x 21x1x1 成立 ,則 x

14、 的取值范圍是 _.第9 頁分析 : 本題考查二次根式乘法公式逆用成立的條件: aba b （ a 0, b 0）解: 由題意可得 :x10x10解之得 : x 1.例 16.計(jì)算 :2a1a （a ）80 .11121解:21aa2aaaaa （a）.2884220習(xí)題 24.計(jì)算:127_.3習(xí)題 25.已知m3221則有【】3,（A ） 5 m 6（ B） 4 m 5（C）5 m 4（ D） 6 m 5習(xí)題 26.化簡12的結(jié)果是 _.四、二次根式的除法一般地 ,有 :aa0 ）（ a 0, bb b（ 1）以上便是二次根式的除法公式, 要特別注意公式成立的條件 ;（ 2）二次根式的除法

15、公式用于二次根式的計(jì)算;（3）二次根式的除法公式可寫為: aba b（ a 0, b0 ） ;（4）二次根式的除法公式可逆用, 即有:aa0 ）b（ a 0, bb公式的逆用主要用于二次根式的化簡, 注意公式逆用的條件不變.五、最簡二次根式符合以下條件的二次根式為最簡二次根式:（1）被開方數(shù)中不含有完全平方數(shù)或完全平方式;第10 頁（2）被開方數(shù)中不含有分母或小數(shù).注意 : 二次根式的計(jì)算結(jié)果要化為最簡二次根式.六、分母有理化把分母中的根號(hào)去掉的過程,叫做分母有理化 .如對(duì)1進(jìn)行分母有理化,過程為 : 1222;對(duì)1進(jìn)行分母有理化,過程222223為7由舉例可以看出,

16、 分母有理化是借助于分?jǐn)?shù)或分式的性質(zhì)實(shí)現(xiàn)的.例 17. 計(jì)算:（1）54;（2） 8332 2;（ 3）28xy 27 y 2 .623解:（1）545493 ;66（2） 833 223388388338983238332332831632 ;24（3）28xy 27 y 228xy 27y 24x2x .例 18. 化簡:（1）532;（ ）0.4;（ ） a6a 9a （a3）.236解:（1）5556306666;6（2）0.42210;555（3） a3 a 36a 29aa a 26a 9a a 3 2a 3 a注意 : 隨著學(xué)習(xí)的深入,在熟練時(shí)某些計(jì)算或化簡的環(huán)節(jié)可以省略, 以簡

17、化計(jì)算 .例 19.式子x1x1 成立的條件是 _.x2x2第11 頁分析 : 本題求解的是x 的取值范圍 , 考查了二次根式除法公式逆用成立的條件aa:bb（ a 0, b 0） .解: 由題意可得x10:20x解之得 : x2 .例 20. 計(jì)算:（1） 32;（2）201（ 3）3285;.752解:（1）323222757525;5（2）2012015;55255（3）解法 1:328328164 422 .222解法 2:32832826416842 .22222二次根式的乘除混合運(yùn)算例 21.計(jì)算 :（1）303 2 22 2 1;（2） 1227 18 .232解:（ 1）原式3

18、03825232313082223531624342432（2）原式12182482 2 .273第12 頁習(xí)題 27. 下列計(jì)算正確的是【】（A ）1223（ B）3322（C）x 3xx（ D ） x 2x習(xí)題 28.計(jì)算 :2781_.32習(xí)題 29.計(jì)算 :46x32x_.3習(xí)題 30.直線 y3x1與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 _.習(xí)題 31.如果 ab0, ab0,那么下面各式 :aa;ab1; abab .bbabb其中正確的是 _（填序號(hào)） .習(xí)題 32.若 ab0 ,則化簡ab2的結(jié)果是 _.習(xí)題 33.計(jì)算 :（1） 213 285 2 2;（2）1 18 812 4 1.274

19、3632例 22.先化簡 ,再求值 :3x24x 4x1x 1,其中 x2 2 .x1解:3x1x 24x41x1x3x1x 1x1x1x1x2 2x2x2x1x1x22x 2x 2第13 頁當(dāng) x22 時(shí)原式222241.22222 2習(xí)題 34.先化簡 ,再求值 :2a1a1,其中 a2 1.a1 a 22a1 a1習(xí)題 35.先化簡 ,再求值 : x 2yx 1x 2x 2y2x2xyy 2 ,其中 x 2 , y 6 .習(xí)題 36. 下列根式中是最簡二次根式的是【】（A ）2（B） 3（C） 9（D） 123例 23.觀察下列各式 :11221;12121212332;23232313443;343434.1（1）請(qǐng)利用上面的規(guī)律直接寫出的結(jié)果 ;99100（2）請(qǐng)用含 n （ n