專題07 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性（知識(shí)梳理）（文）（原卷版） 附答案

1、專題07 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性（知識(shí)梳理）一、函數(shù)的單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間定義：1、增函數(shù)與減函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?區(qū)間,如果取區(qū)間中的任意兩個(gè)值、,改變量,則當(dāng)時(shí),就稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí),就稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù),就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性(區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間)。此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖像是上升的,減函數(shù)的圖像是下降的。例1-1下列給定函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是( )。A、 B、 C、 D、(二)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解1、函數(shù)的單

2、調(diào)性是局部性質(zhì)：從定義上看,函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì),即單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,是函數(shù)的局部特征。函數(shù)的單調(diào)性只在定義域內(nèi)討論,可以是整個(gè)定義域,也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間；如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的,那么在這個(gè)區(qū)間的子區(qū)間上也是單調(diào)的。但在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)。如函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)是增函數(shù),當(dāng)時(shí)是減函數(shù)。2、任意性：“任意取、”,不能取兩個(gè)特殊值；、有大小,通常規(guī)定；、必須同屬于定義域的某個(gè)子區(qū)間。3、區(qū)分兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”,前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間,后者是前者“最大”區(qū)間的子集。如函數(shù)的單調(diào)遞

3、增區(qū)間是,在上遞增,但不能說(shuō)區(qū)間是該函數(shù)的遞增區(qū)間。注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě),不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié),也不能用“或”聯(lián)結(jié)。例如,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),在上是減函數(shù),但在上卻不一定是減函數(shù)。如函數(shù)。例1-2函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是()。A、 B、 C、 D、(三)同增異減的三種解釋1、若,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)；2、若或,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)； 若或,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；3、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減。例1-3函數(shù)的遞增區(qū)間

4、是()。A、 B、 C、 D、(四)函數(shù)單調(diào)性的判斷和單調(diào)區(qū)間的求法1、函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)圖像法：先作出函數(shù)圖象,利用圖象直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性。(2)直接法：就是對(duì)于我們所熟悉的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,直接判斷它們的單調(diào)性。(3)定義法：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明,要嚴(yán)格按照定義的步驟來(lái)進(jìn)行,其中關(guān)鍵的一步是對(duì)作變形,其目的是能夠判斷的符號(hào),常用的變形方法有：多項(xiàng)式因式分解或配方；分式通分后分子、分母因式分解；根式有理化；冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)要運(yùn)用各自的運(yùn)算法則。對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,一般采用定義法進(jìn)行。(4)對(duì)于給出具

5、體解析式的函數(shù),證明其在某區(qū)間上的單調(diào)性有兩種方法：結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明；可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明。例1-4判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。變式1-4證明函數(shù)在上是增函數(shù)。2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求出函數(shù)的定義域。對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解,如二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù),應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)“同則增,異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的常用方法：(1)利用已知基本初等函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,

6、其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)復(fù)合法：先求定義域,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間。(3)利用函數(shù)的圖像。如果是以圖象形式給出的或者的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間。(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)如果有冪次大于等于(含通分),有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)等形式,用導(dǎo)數(shù)法。一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。特別提示：如果在內(nèi)恒有,那么在內(nèi)是常數(shù)；,是在此區(qū)間上為增函數(shù)的充分而不必要條件。例1-5函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )。A、

7、 B、 C、 D、(五)單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及進(jìn)行大小比較,利用單調(diào)性求參數(shù)范圍或最值,解抽象函數(shù)不等式。解題時(shí)要注意：一是函數(shù)定義域的限制；二是函數(shù)單調(diào)性的判定；三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。1、比較函數(shù)值大?。阂阎瘮?shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,首先要確定自變量的大小,并且確定兩個(gè)自變量在已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間還是單調(diào)減區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值的大小。2、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)依據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性求解；(3)要注

8、意：“函數(shù)的增區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”是不同的,后者意味著區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的一個(gè)子集。(4)已知復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,拆分復(fù)合函數(shù),利用同增異減。3、利用單調(diào)性求函數(shù)的最值：?jiǎn)握{(diào)性法是求函數(shù)最值的通法求函數(shù)最值時(shí),首先考慮討論函數(shù)的單調(diào)性,除非某些特殊函數(shù)可以用其他方法求最值,如基本不等式法,配方法,導(dǎo)數(shù)法等。4、分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(1)深刻理解分段函數(shù)單調(diào)性的含義,既要保證每段單調(diào),又要保證在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處單調(diào)。(2)數(shù)列是特殊的函數(shù),它與一般函數(shù)的區(qū)別在于它的圖像是一些孤立的點(diǎn)。5、函數(shù)中的新定義問(wèn)題(1)緊扣新定義,首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到

9、具體的解題過(guò)程之中,這是破解新定義型函數(shù)問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好化歸與轉(zhuǎn)化思想,新定義問(wèn)題最終都要轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題,如何轉(zhuǎn)化,這就要尋找“新”與“舊”之間的連接點(diǎn)；(3)用好函數(shù)的性質(zhì),諸如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等以及新定義中的“新規(guī)定”。例1-6函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是()。A、 B、 C、 D、變式1-6函數(shù)在上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是()。A、 B、 C、 D、二、函數(shù)的奇偶性(一)奇、偶函數(shù)的定義1、奇函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果對(duì)內(nèi)的任意一個(gè),都有,且,則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)。2、偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果對(duì)內(nèi)的任意一個(gè),都有,且,則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)

10、。例2-1下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()。A、 B、 C、 D、(二)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱隨的變號(hào)而變號(hào)隨的變號(hào)而不變號(hào)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖象關(guān)于軸對(duì)稱在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反若在處有定義,則是既奇又偶函數(shù)1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；函數(shù)是奇函數(shù)是函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形的充分且必要條件；函數(shù)是偶函數(shù)是函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形的充分且必要條件。2、除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函

11、數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)3、任意都可寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。4、常見(jiàn)的奇函數(shù)：且(1)； (2)(為奇數(shù))； (3)；(4)； (5),；(6),；(6),；(7), ,。5、常見(jiàn)的偶函數(shù)：(1)； (2)；(3)(為偶數(shù))； (4)。例2-2若函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)()。A、 B、 C、 D、(三)函數(shù)奇偶性的判斷方法1、利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先求函數(shù)的定義域,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件；(2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再化簡(jiǎn)解析式,可進(jìn)一步判斷或是否對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)恒成立(恒成立要給予證明,否則要舉出反例)。判斷函數(shù)是奇函數(shù),必須對(duì)

12、定義域內(nèi)的每一個(gè)均有,而不能說(shuō)存在使,即判斷函數(shù)是奇函數(shù),不能用特殊值法。對(duì)偶函數(shù)的判斷也一樣。2、對(duì)于復(fù)雜函數(shù),不易發(fā)現(xiàn),的關(guān)系,則可以通過(guò)等價(jià)變形判斷、或()是否成立來(lái)判斷奇偶性。3、分段函數(shù)的奇偶性判斷,要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行,最好結(jié)合圖象分析,避免盲目套用定義出現(xiàn)錯(cuò)誤。例2-3已知(),且,則()。A、 B、 C、 D、(四)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值、參數(shù)值或解析式1、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法,也是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)：常常采用待

13、定系數(shù)法：利用產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值。(3)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時(shí),若所給的函數(shù)不具有奇偶性,一般需利用所給的函數(shù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù),然后利用其奇偶性求值。2、利用奇偶性求函數(shù)的解析式(1)在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間；(2)把對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；(3)利用函數(shù)的奇偶性把改寫(xiě)成或,從而求出。例2-4若函數(shù),且為奇函數(shù),則()。A、 B、 C、 D、(五)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求參數(shù)的范圍問(wèn)題,要首先弄清函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性,然后利用單調(diào)性列出不等式并求解,同時(shí)不應(yīng)忘記函數(shù)自身定義域

14、對(duì)參數(shù)的影響。2、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用單調(diào)性比較。3、利用函數(shù)的奇偶性把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上的問(wèn)題,是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑。例2-5在定義域內(nèi)既為奇函數(shù)又為單調(diào)遞增函數(shù)的是( )。A、 B、 C、 D、變式2-5下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( )。A、 B、 C、 D、例2-6對(duì)于函數(shù)：；有如下兩個(gè)命題：命題：是偶函數(shù)；命題：在上是單調(diào)遞減函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù)。能使命題、均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是()。A、 B、 C、 D、三、函數(shù)的周期性和對(duì)稱性(一)函數(shù)的周期

15、性1、若函數(shù)滿足,由函數(shù)周期性的定義可知是函數(shù)的一個(gè)周期。若無(wú)特殊說(shuō)明,一般指函數(shù)的最小正周期。2、函數(shù)周期性問(wèn)題應(yīng)牢牢把握周期函數(shù)的定義,并掌握一些常見(jiàn)的確定函數(shù)周期的條件。(1)若是函數(shù)的一個(gè)周期,則(且)也是函數(shù)的周期；(2)若對(duì)任何都有,則是以為周期的函數(shù)；(3)若對(duì)任何都有(),則是以為周期的函數(shù)；(4)若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸,則是以為周期的函數(shù)；若偶函數(shù)的圖像關(guān)于直線 ()對(duì)稱,則是以為周期的函數(shù)；(5)若函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)()對(duì)稱,則是以為周期的函數(shù)；若奇函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)()對(duì)稱,則是以為周期的函數(shù)；(6)函數(shù)的圖像關(guān)于直線和點(diǎn)()對(duì)稱,則是以為周期的函數(shù)。若奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線(

16、)對(duì)稱,則是以為周期的函數(shù)。3、周期性及其應(yīng)用：奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問(wèn)題,關(guān)鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問(wèn)題,周期性起到轉(zhuǎn)換自變量值的作用,奇偶性起到調(diào)節(jié)符號(hào)作用。例3-1設(shè)是以為周期的函數(shù),且當(dāng)時(shí),則( )。A、 B、 C、 D、變式3-1已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且滿足,當(dāng)時(shí),則( )。A、 B、 C、 D、(二)函數(shù)的對(duì)稱性1、函數(shù)自身的對(duì)稱性(1)函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的充要條件是：,即。(2)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的充要條件是：,即。推論：函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱的充要條件是。2、不同函數(shù)對(duì)稱性(1)函數(shù)與的圖像關(guān)于直線成軸對(duì)稱。(2)互為反函數(shù)的

17、兩個(gè)函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱。例3-2下列函數(shù)中,其圖像與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱的是( )。A、 B、 C、 D、例3-3函數(shù)的圖像與函數(shù)()的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則的表達(dá)式為( )。A、() B、()C、() D、()例3-4若函數(shù)的對(duì)稱軸為,則常數(shù)( )。A、 B、 C、 D、專題07 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對(duì)稱性（知識(shí)梳理）一、函數(shù)的單調(diào)性(一)函數(shù)的單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間定義：1、增函數(shù)與減函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?區(qū)間,如果取區(qū)間中的任意兩個(gè)值、,改變量,則當(dāng)時(shí),就稱函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí),就稱函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。2、函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間：如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函

18、數(shù),就說(shuō)這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上具有單調(diào)性(區(qū)間稱為單調(diào)區(qū)間)。此時(shí)也說(shuō)函數(shù)是這一區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)。在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖像是上升的,減函數(shù)的圖像是下降的。例1-1下列給定函數(shù)中,在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】B【解析】在上是增函數(shù),在上是減函數(shù),在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是增函數(shù),則在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù),選B。(二)對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的理解1、函數(shù)的單調(diào)性是局部性質(zhì)：從定義上看,函數(shù)的單調(diào)性是指函數(shù)在定義域的某個(gè)子區(qū)間上的性質(zhì),即單調(diào)區(qū)間是定義域的子集,是函數(shù)的局部特征。函數(shù)的單調(diào)性只在定義域內(nèi)討論,可以是整個(gè)定義域,也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間；如果一

19、個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的,那么在這個(gè)區(qū)間的子區(qū)間上也是單調(diào)的。但在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),在整個(gè)定義域上不一定單調(diào)。如函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)是增函數(shù),當(dāng)時(shí)是減函數(shù)。2、任意性：“任意取、”,不能取兩個(gè)特殊值；、有大小,通常規(guī)定；、必須同屬于定義域的某個(gè)子區(qū)間。3、區(qū)分兩個(gè)概念：“函數(shù)的單調(diào)區(qū)間”和“函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)”,前者指函數(shù)具備單調(diào)性的“最大”的區(qū)間,后者是前者“最大”區(qū)間的子集。如函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,在上遞增,但不能說(shuō)區(qū)間是該函數(shù)的遞增區(qū)間。注意：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示,不能用集合或不等式表示；如有多個(gè)單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫(xiě),不能用并集符號(hào)“”聯(lián)結(jié),也不能用“或”聯(lián)結(jié)。例如,函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),

20、在上是減函數(shù),但在上卻不一定是減函數(shù)。如函數(shù)。例1-2函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】,結(jié)合圖像可知選A。(三)同增異減的三種解釋1、若,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù),若,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)；2、若或,則函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)； 若或,則函數(shù)是單調(diào)減函數(shù)；3、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,復(fù)合函數(shù)單調(diào)性同增異減。例1-3函數(shù)的遞增區(qū)間是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】由得,即或,令,則在上為減函數(shù),又對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得,函數(shù)的遞增區(qū)間是,故選A。(四)函

21、數(shù)單調(diào)性的判斷和單調(diào)區(qū)間的求法1、函數(shù)單調(diào)性的判斷：(1)圖像法：先作出函數(shù)圖象,利用圖象直觀判斷函數(shù)的單調(diào)性。(2)直接法：就是對(duì)于我們所熟悉的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等,直接判斷它們的單調(diào)性。(3)定義法：用定義證明函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明,要嚴(yán)格按照定義的步驟來(lái)進(jìn)行,其中關(guān)鍵的一步是對(duì)作變形,其目的是能夠判斷的符號(hào),常用的變形方法有：多項(xiàng)式因式分解或配方；分式通分后分子、分母因式分解；根式有理化；冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)要運(yùn)用各自的運(yùn)算法則。對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的證明,一般采用定義法進(jìn)行。(4)對(duì)于給出具體解析式的函數(shù),證明其在某區(qū)間上的單調(diào)

22、性有兩種方法：結(jié)合定義(基本步驟為取值、作差或作商、變形、判斷)證明；可導(dǎo)函數(shù)則可以利用導(dǎo)數(shù)證明。例1-4判斷函數(shù)在上的單調(diào)性。【解析】任取、,且,則,由于,即,故在上是增函數(shù)。變式1-4證明函數(shù)在上是增函數(shù)。【解析】任取、,且,則：,即,故在上是增函數(shù)。2、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間,所以求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先求出函數(shù)的定義域。對(duì)于基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以直接利用已知結(jié)論求解,如二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等；如果是復(fù)合函數(shù),應(yīng)根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法,首先判斷兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)“同則增,異則減”的法則求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的

23、常用方法：(1)利用已知基本初等函數(shù)的單調(diào)性,求單調(diào)區(qū)間,其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)復(fù)合法：先求定義域,再利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求單調(diào)區(qū)間。(3)利用函數(shù)的圖像。如果是以圖象形式給出的或者的圖象易作出,可由圖象的直觀性寫(xiě)出它的單調(diào)區(qū)間。(4)導(dǎo)數(shù)法：利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。函數(shù)如果有冪次大于等于(含通分),有指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)等形式,用導(dǎo)數(shù)法。一般地,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。特別提示：如果在內(nèi)恒有,那么在內(nèi)是常數(shù)；,是在此區(qū)間上為增函數(shù)的

24、充分而不必要條件。例1-5函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?解解得,選B。(五)單調(diào)性的應(yīng)用主要涉及進(jìn)行大小比較,利用單調(diào)性求參數(shù)范圍或最值,解抽象函數(shù)不等式。解題時(shí)要注意：一是函數(shù)定義域的限制；二是函數(shù)單調(diào)性的判定；三是等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用。1、比較函數(shù)值大?。阂阎瘮?shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,首先要確定自變量的大小,并且確定兩個(gè)自變量在已知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間還是單調(diào)減區(qū)間內(nèi),然后利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值的大小。2、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法：(1)視參數(shù)為已知數(shù),依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性的定義,確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,

25、與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)；(2)依據(jù)常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性,如一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性求解；(3)要注意：“函數(shù)的增區(qū)間是”與“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”是不同的,后者意味著區(qū)間是函數(shù)的增區(qū)間的一個(gè)子集。(4)已知復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,拆分復(fù)合函數(shù),利用同增異減。3、利用單調(diào)性求函數(shù)的最值：?jiǎn)握{(diào)性法是求函數(shù)最值的通法求函數(shù)最值時(shí),首先考慮討論函數(shù)的單調(diào)性,除非某些特殊函數(shù)可以用其他方法求最值,如基本不等式法,配方法,導(dǎo)數(shù)法等。4、分段函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題(1)深刻理解分段函數(shù)單調(diào)性的含義,既要保證每段單調(diào),又要保證在轉(zhuǎn)折點(diǎn)處單調(diào)。(2)數(shù)列是特殊的函數(shù),它與一般函數(shù)的區(qū)別在于它的圖像是一些孤立的點(diǎn)

26、。5、函數(shù)中的新定義問(wèn)題(1)緊扣新定義,首先分析新定義的特點(diǎn),把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到具體的解題過(guò)程之中,這是破解新定義型函數(shù)問(wèn)題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在；(2)用好化歸與轉(zhuǎn)化思想,新定義問(wèn)題最終都要轉(zhuǎn)化為常規(guī)問(wèn)題,如何轉(zhuǎn)化,這就要尋找“新”與“舊”之間的連接點(diǎn)；(3)用好函數(shù)的性質(zhì),諸如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等以及新定義中的“新規(guī)定”。例1-6函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】設(shè),則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,又,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,又,綜上的范圍是,故選C。變式1-6函數(shù)在上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)的范圍是()。A、 B、

27、C、 D、【參考答案】A【解析】設(shè),則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,單調(diào)遞減,又,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,單調(diào)遞增,又,綜上的范圍是,故選A。二、函數(shù)的奇偶性(一)奇、偶函數(shù)的定義1、奇函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果對(duì)內(nèi)的任意一個(gè),都有,且,則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)。2、偶函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?如果對(duì)內(nèi)的任意一個(gè),都有,且,則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)。例2-1下列函數(shù)為偶函數(shù)的是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】D【解析】B為奇函數(shù),AC為非奇非偶函數(shù),D為偶函數(shù),故選D。(二)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)奇函數(shù)偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱隨的變號(hào)而變號(hào)隨的變號(hào)而不變號(hào)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱圖象關(guān)于軸對(duì)稱在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上

28、的單調(diào)性相同在原點(diǎn)兩側(cè)的對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反若在處有定義,則是既奇又偶函數(shù)1、定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件；函數(shù)是奇函數(shù)是函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形的充分且必要條件；函數(shù)是偶函數(shù)是函數(shù)的圖象是以軸為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形的充分且必要條件。2、除外的所有函數(shù)奇偶性滿足：奇函數(shù)奇函數(shù)=奇函數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)=偶函數(shù) 奇函數(shù)偶函數(shù)=非奇非偶 奇函數(shù)偶函數(shù)=奇函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù)=偶函數(shù)3、任意都可寫(xiě)成一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶函數(shù)的和。4、常見(jiàn)的奇函數(shù)：且(1)； (2)(為奇數(shù))； (3)；(4)； (5),；(6),；(6),；(7), ,。5、

29、常見(jiàn)的偶函數(shù)：(1)； (2)；(3)(為偶數(shù))； (4)。例2-2若函數(shù)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)()。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】函數(shù)為奇函數(shù),化為,解得,故選A。(三)函數(shù)奇偶性的判斷方法1、利用定義判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先求函數(shù)的定義域,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件；(2)如果函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再化簡(jiǎn)解析式,可進(jìn)一步判斷或是否對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)恒成立(恒成立要給予證明,否則要舉出反例)。判斷函數(shù)是奇函數(shù),必須對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)均有,而不能說(shuō)存在使,即判斷函數(shù)是奇函數(shù),不能用特殊值法。對(duì)偶函數(shù)的判斷也一樣。2、對(duì)于復(fù)雜函數(shù),不易發(fā)現(xiàn),的關(guān)系,則可

30、以通過(guò)等價(jià)變形判斷、或()是否成立來(lái)判斷奇偶性。3、分段函數(shù)的奇偶性判斷,要以整體的觀點(diǎn)進(jìn)行,最好結(jié)合圖象分析,避免盲目套用定義出現(xiàn)錯(cuò)誤。注意：判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明與的關(guān)系,只有對(duì)各段上的都滿足相同的關(guān)系時(shí),才能判斷其奇偶性。點(diǎn)評(píng)：是常函數(shù),容易判錯(cuò)其奇偶性；若忽視定義域?qū)o(wú)從入手；是分段函數(shù),其奇偶性的判斷在驗(yàn)證等式時(shí),要分清楚自變量的取值區(qū)間。例2-3已知(),且,則()。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】令,則是一個(gè)奇函數(shù),故選C。(四)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值、參數(shù)值或解析式1、利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或參數(shù)值(1)函數(shù)奇偶性的定義既是判斷函數(shù)的奇偶性的一種方法

31、,也是在已知函數(shù)奇偶性時(shí)可以運(yùn)用的一個(gè)性質(zhì),要注意函數(shù)奇偶性定義的正用和逆用。(2)已知帶有字母參數(shù)的函數(shù)的表達(dá)式及奇偶性求參數(shù)：常常采用待定系數(shù)法：利用產(chǎn)生關(guān)于字母的恒等式,由系數(shù)的對(duì)等性可得知字母的值。(3)利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值時(shí),若所給的函數(shù)不具有奇偶性,一般需利用所給的函數(shù)來(lái)構(gòu)造一個(gè)奇函數(shù)或偶函數(shù),然后利用其奇偶性求值。2、利用奇偶性求函數(shù)的解析式(1)在哪個(gè)區(qū)間上求解析式,就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間；(2)把對(duì)稱轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上,利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入；(3)利用函數(shù)的奇偶性把改寫(xiě)成或,從而求出。例2-4若函數(shù),且為奇函數(shù),則()。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】根據(jù)題意,

32、當(dāng)時(shí),為奇函數(shù),則,故選A。(五)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用1、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性求參數(shù)的范圍問(wèn)題,要首先弄清函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性,然后利用單調(diào)性列出不等式并求解,同時(shí)不應(yīng)忘記函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響。2、利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小,關(guān)鍵是利用奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),然后利用單調(diào)性比較。3、利用函數(shù)的奇偶性把研究整個(gè)函數(shù)具有的性質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化到只研究部分(一半)區(qū)間上的問(wèn)題,是簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種途徑。例2-5在定義域內(nèi)既為奇函數(shù)又為單調(diào)遞增函數(shù)的是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】A、是非奇非偶的函數(shù),也是單調(diào)遞減函數(shù),不滿足條件,故A不選

33、,B、是奇函數(shù),但在區(qū)間()上是單調(diào)遞增函數(shù),在定義域內(nèi)無(wú)單調(diào)性,不滿足條件,故B不選,C、是定義域內(nèi)的奇函數(shù),也是單調(diào)遞增函數(shù),滿足條件,故C選,D、是非奇非偶的函數(shù),是單調(diào)遞減函數(shù),不滿足條件,故D不選,故選C。變式2-5下列函數(shù)中,既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)的是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】A【解析】A定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但是,為非奇非偶函數(shù),B定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,為奇函數(shù),C定義域?yàn)?關(guān)于軸對(duì)稱,又,為偶函數(shù),D定義域?yàn)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又,為偶函數(shù),故選A。例2-6對(duì)于函數(shù)：；有如下兩個(gè)命題：命題：是偶函數(shù)；命題：在上是單調(diào)遞減函數(shù),在上是單調(diào)遞增函數(shù)。能使命題、均為真的所有函數(shù)的序號(hào)是()。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】為偶函數(shù),在上是減函數(shù),在