自動(dòng)控制理論根軌跡法剖析PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 自動(dòng)控制理論根軌跡法剖析自動(dòng)控制理論根軌跡法剖析 控制系統(tǒng)控制系統(tǒng) 4.1.2 閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系閉環(huán)零、極點(diǎn)與開環(huán)零、極點(diǎn)之間的關(guān)系 )()(1 )( )( sHsG sG s ) 12)(1( ) 12)(1( )( 22 22 21 21 22 21 sTsTsTs ssK sG v G 式中，式中， 為前向通道增益，為前向通道增益， 為前向通道根軌跡增益，為前向通道根軌跡增益， 它們之間相差一個(gè)比例常數(shù)它們之間相差一個(gè)比例常數(shù) G K G K 設(shè)控制系統(tǒng)如圖所設(shè)控制系統(tǒng)如圖所 示，閉環(huán)傳遞函數(shù)為示，閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )( )( 1 1 i q i i f i

2、G ps zs K 第1頁/共45頁 2 21 2 21 TT KK GG 反饋通路傳遞反饋通路傳遞 函數(shù)可表示為函數(shù)可表示為 )( )( )( 1 1 j h j j l j H ps zs KsH 為反饋通道的根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞為反饋通道的根軌跡增益。于是，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞 函數(shù)可表示為函數(shù)可表示為 H K )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i HG psps zszs KKsHsG 第2頁/共45頁 )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i psps zszs KsHsG 為開

3、環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。它與開環(huán)增益為開環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益。它與開環(huán)增益K之間的之間的 關(guān)系相差一個(gè)比例常數(shù)。關(guān)系相差一個(gè)比例常數(shù)。 K 對(duì)于有對(duì)于有m個(gè)開環(huán)零點(diǎn)個(gè)開環(huán)零點(diǎn)n個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng)，必有個(gè)開環(huán)極點(diǎn)的系統(tǒng)，必有 nhqmlf, 第3頁/共45頁 )()( )()( )( 1 * 1 11 k m k k n k j h j i f i G zsKps pszsK s 比較開、閉環(huán)得比較開、閉環(huán)得 (1) 閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡增益，等于開環(huán)系統(tǒng)前向通道根軌跡 增益；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)根軌跡增益就等于開環(huán)增益；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)根軌跡增益就等于開環(huán)

4、系統(tǒng)根軌跡增益。系統(tǒng)根軌跡增益。 (2) 閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路閉環(huán)零點(diǎn)由開環(huán)前向通路傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和反饋通路 傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)所組成；對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，閉環(huán)零點(diǎn) 就是開環(huán)零點(diǎn)。就是開環(huán)零點(diǎn)。 (3) 閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)以及根軌跡增益閉環(huán)極點(diǎn)與開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)以及根軌跡增益 均有關(guān)均有關(guān) K 根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極根軌跡法的基本任務(wù)在于：如何由已知的開環(huán)零、極 點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn)點(diǎn)的分布及根軌跡增益，通過圖解的方法找出閉環(huán)極點(diǎn) 。一旦確定閉環(huán)極點(diǎn)后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式

5、便不難確。一旦確定閉環(huán)極點(diǎn)后，閉環(huán)傳遞函數(shù)的形式便不難確 定。定。 )()()()( )()( )( 11 * 11 11 j l j i f i HGj h j i q i j h j i f i G zszsKKpsps pszsK s )()( )()( )()( 11 11 j h j i q i j l j i f i HG psps zszs KKsHsG 第4頁/共45頁 0)()(1sHsG 所以我們可得到根軌跡方程為所以我們可得到根軌跡方程為 1 )( )( 1 1 i n i i m i ps zs K 考慮到考慮到 )12( 11 kj e ), 2, 1, 0(k 因此

6、，根軌跡方程可用如下兩個(gè)方程描述因此，根軌跡方程可用如下兩個(gè)方程描述 ) 12()()( 11 kpszs n i i m i i ), 2, 1, 0(k i m i i n i zs ps K 1 1 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 三三.根軌跡方程根軌跡方程 第5頁/共45頁 此乃：相角方程和模值方程。相角方程是確定此乃：相角方程和模值方程。相角方程是確定s平面上根平面上根 軌跡的充要條件。軌跡的充要條件。 判斷根軌跡判斷根軌跡 直接應(yīng)用相角方程可判斷。舉例說明。設(shè)直接應(yīng)用相角方程可判斷。舉例說明。設(shè) 開環(huán)傳遞函數(shù)為開環(huán)傳遞函數(shù)為 )( )( )()( 32 1 pspss z

7、sK sHsG 為了判斷根軌跡，可以在為了判斷根軌跡，可以在s平面上任取平面上任取s1點(diǎn)，畫出從各開點(diǎn)，畫出從各開 環(huán)零、極點(diǎn)到環(huán)零、極點(diǎn)到s1點(diǎn)的向量，然后根據(jù)相角方程檢驗(yàn)點(diǎn)的向量，然后根據(jù)相角方程檢驗(yàn)s1點(diǎn)是點(diǎn)是 否屬于根軌跡上的點(diǎn)。即若下式成立否屬于根軌跡上的點(diǎn)。即若下式成立 ) 12()( 3211 k), 2, 1, 0(k 那么，那么，s1是根軌跡上的一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的根軌跡增益可按模是根軌跡上的一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的根軌跡增益可按模 值方程算出值方程算出. 第6頁/共45頁 E BCD K * 式中，式中，B.C.D代表各開環(huán)極點(diǎn)到代表各開環(huán)極點(diǎn)到s1點(diǎn)的點(diǎn)的向量模值向量模值，E代代 表表

8、向量向量 的模值。的模值。 11s z 第7頁/共45頁 第8頁/共45頁 模值方程與相模值方程與相 角方程的應(yīng)用角方程的應(yīng)用 - 1.5 - -1 - -20.5 =0.466=0.466 n n=2.34 =2.34 s s1 1=-0.825=-0.825 s s2,3 2,3= - = - 1.091.09j2.07j2.07 - -1.09+j2.07 2.2 6 66.27 o 78.8o 2.11 2.6 1 127.53o 92.49 o 2.072 K*= 2.262.112.61 2.07 2 = 6.0068 92.49o- 66.27o- 78.8o- 127.53o=

9、 180o 第9頁/共45頁 S1=1.5+j1.2553 L i k*=0.26 4 3.826 i 39.9 1.826 68.3 5.576 147.9 1.826 13.826 21.826 111.7 160.3 164.4 k*=0.266 180.3o 第10頁/共45頁 一一 根軌跡的分支數(shù)：等于開環(huán)特征方程的階數(shù)根軌跡的分支數(shù)：等于開環(huán)特征方程的階數(shù)n n，與開，與開 環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。環(huán)極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同。 證明：證明： 采用理論歸納論證采用理論歸納論證 根軌跡是根的軌跡，有多少閉環(huán)根就有多少軌跡，根軌跡是根的軌跡，有多少閉環(huán)根就有多少軌跡， 因此分支數(shù)與閉環(huán)根數(shù)目一致。根據(jù)根軌跡

10、方程，特征因此分支數(shù)與閉環(huán)根數(shù)目一致。根據(jù)根軌跡方程，特征 根個(gè)數(shù)就等于根個(gè)數(shù)就等于n n。 閉環(huán)特征方程中的系數(shù)是閉環(huán)特征方程中的系數(shù)是K K* * 的函數(shù)，因此的函數(shù)，因此K K* * 做連續(xù)做連續(xù) 變化時(shí)，這些系數(shù)也隨之改變，導(dǎo)致閉環(huán)根的變化是連變化時(shí)，這些系數(shù)也隨之改變，導(dǎo)致閉環(huán)根的變化是連 續(xù)的。續(xù)的。 4-2 4-2 繪制根軌跡的基本法則繪制根軌跡的基本法則 二二 根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí)根軌跡的連續(xù)性與對(duì)稱性：根軌跡是連續(xù)且對(duì)稱于實(shí) 軸的曲線。軸的曲線。 第11頁/共45頁 三三 根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起于開環(huán)極點(diǎn)，終于開根軌跡的起點(diǎn)和終點(diǎn)：根軌跡起于開

11、環(huán)極點(diǎn)，終于開 環(huán)零點(diǎn)。若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)環(huán)零點(diǎn)。若開環(huán)零點(diǎn)數(shù)mm小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)n n，則有，則有n-mn-m條條 根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。根軌跡趨于無窮遠(yuǎn)處。 證明證明:根軌跡起點(diǎn)是指根軌跡增益根軌跡起點(diǎn)是指根軌跡增益K*=0的根軌跡的根軌跡,而終點(diǎn)則而終點(diǎn)則 是指是指 的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（的根軌跡。設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為（4-13），）， 則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為則閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為 K 0)()( 11 i m i i n i zsKps 式中式中 可以從零變到無窮。當(dāng)可以從零變到無窮。當(dāng)K*=0時(shí)，有時(shí)，有 K i ps ), 2 , 1(ni 說明說明K*=0時(shí)，閉

12、環(huán)特征方程式的根就是開環(huán)傳遞函數(shù)的時(shí)，閉環(huán)特征方程式的根就是開環(huán)傳遞函數(shù)的 極點(diǎn)，所以根軌跡必起于開環(huán)極點(diǎn)。極點(diǎn)，所以根軌跡必起于開環(huán)極點(diǎn)。 將特征方程改寫成如下形式將特征方程改寫成如下形式 第12頁/共45頁 0)()( 1 11 i m i i n i zsps K 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，可得時(shí)，可得 K i zs ), 2 , 1(mj 所以根軌跡必終于開環(huán)零點(diǎn)。所以根軌跡必終于開環(huán)零點(diǎn)。 實(shí)際系統(tǒng)中，實(shí)際系統(tǒng)中， ，因此有，因此有 條根軌跡的終點(diǎn)條根軌跡的終點(diǎn) 將在無窮遠(yuǎn)處。當(dāng)將在無窮遠(yuǎn)處。當(dāng) 時(shí)，時(shí)， nm mn s mn s i m i i n i s s zs ps Klimlim 1 1

13、具有有限值的零點(diǎn)為有限零點(diǎn)，處于無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn)具有有限值的零點(diǎn)為有限零點(diǎn)，處于無窮遠(yuǎn)處的零點(diǎn) 叫無限零點(diǎn)。叫無限零點(diǎn)。 第13頁/共45頁 j 0 1 p 2 p 3 p 4 p 1 z 2 z 3 z s 四四 實(shí)軸上的根軌跡實(shí)軸上的根軌跡 實(shí)軸上某一區(qū)域，其右方實(shí)軸上開實(shí)軸上某一區(qū)域，其右方實(shí)軸上開 環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根環(huán)系統(tǒng)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)的總和為奇數(shù)，則該區(qū)域必是根 軌跡。軌跡。 證明：如右圖所示，成對(duì)出證明：如右圖所示，成對(duì)出 現(xiàn)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)或極現(xiàn)的開環(huán)共軛復(fù)數(shù)零點(diǎn)或極 點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上任一試探點(diǎn)點(diǎn)對(duì)實(shí)軸上任一試探點(diǎn)s構(gòu)成構(gòu)成 的兩的兩 向量的相角之和在任何

14、情況向量的相角之和在任何情況 下都等于下都等于0，即，即 0)()( 43 psps s左方實(shí)軸上任一開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為左方實(shí)軸上任一開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為0 0)( 1 zs s右方實(shí)軸上任一開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為右方實(shí)軸上任一開環(huán)零點(diǎn)或極點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)構(gòu)成的向量的相角為180 180)( 1 ps 180滿足根軌跡方程的相角方程。故實(shí)軸上的點(diǎn)若在根軌跡上，其滿足根軌跡方程的相角方程。故實(shí)軸上的點(diǎn)若在根軌跡上，其 右方實(shí)軸上的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。右方實(shí)軸上的開環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)之和必為奇數(shù)。 第14頁/共45頁 例1 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 為 )

15、20)(5)(1( )5 . 0( )( 2 ssss sK sG 判斷實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間。 解解 系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為系統(tǒng)的開環(huán)零點(diǎn)為 ，開環(huán)極點(diǎn)為，開環(huán)極點(diǎn)為-1，-5，-20以以 及原點(diǎn)（兩重根）。如圖所示。及原點(diǎn)（兩重根）。如圖所示。 5 . 0 第15頁/共45頁 區(qū)間區(qū)間20，5右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為5，區(qū)，區(qū) 間間1，0.5右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為右方的開環(huán)零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)總和為3。故實(shí)。故實(shí) 軸上根軌跡在上述區(qū)間內(nèi)。軸上根軌跡在上述區(qū)間內(nèi)。 第16頁/共45頁 mn k a ) 12( ) 1, 2 , 1 , 0(mnk mn zp n

16、i m i ii a 11 證明：漸近線就是證明：漸近線就是s s值很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一值很大時(shí)的根軌跡，因此漸近線也一 定對(duì)稱于實(shí)軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項(xiàng)式比值形式，定對(duì)稱于實(shí)軸。將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成多項(xiàng)式比值形式， 得得 五五 根軌跡的漸近線：當(dāng)開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù)根軌跡的漸近線：當(dāng)開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù)n大于有限零點(diǎn)大于有限零點(diǎn) 數(shù)數(shù)m時(shí)時(shí), ,有有n- -m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 ，交點(diǎn)，交點(diǎn) 為為 的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處 a a 第17頁/共45頁 )( )( )()( 1 1 i n i i m i ps zs KsHsG n

17、n nn mm mm asasas bsbsbs K 1 1 1 1 1 1 式中式中 m i i zb 1 1 n i i pa 1 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式可近似為時(shí)，上式可近似為s 1 11 )( )()( mnmn sbas K sHsG 令令 1)()(sHsG 得漸近線方程得漸近線方程 K s ba s mn )1 ( 11 第18頁/共45頁 mnmn K s ba s 11 11 )()1 ( 根據(jù)二項(xiàng)式定理根據(jù)二項(xiàng)式定理 2 1111 1 11 )(1 1 ( 1 ! 2 1 )( 1 1)1 ( s ba mnmns ba mns ba mn 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，近似有時(shí)，近似有 s sm

18、n ba s ba mn )( 1)1 ( 11 1 11 mnmn K smn ba s s ba s 1 11 1 11 )( )( 1 )1 ( 第19頁/共45頁 ：代入上頁最后一個(gè)方程現(xiàn)在以js 1,.1 , 0 ) 12( sin ) 12( cos)( * 11 mnk mn k j mn k Kj mn ba mn ：令實(shí)部和虛部分別相等 mn k K mn k K mn ba mnmn ) 12( sin, ) 12( cos * 11 從最后兩個(gè)方程解出： aa a mn tgK )(, sin * mn k a ) 12( mn zp mn ba n i m i ii a

19、 1111 直線方 程 第20頁/共45頁 例例2.設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)控制系統(tǒng)如圖所示，其開環(huán)傳遞函數(shù)為 )22)(4( ) 1( )( 2 ssss sK sG 畫出漸近線。畫出漸近線。 解：將開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)標(biāo)注在解：將開環(huán)零點(diǎn)、極點(diǎn)標(biāo)注在s平面的直角坐標(biāo)系上，以平面的直角坐標(biāo)系上，以“”表示表示 開環(huán)極點(diǎn)，以開環(huán)極點(diǎn)，以“”表示開環(huán)零點(diǎn)。在根軌跡繪制過程中，由于需表示開環(huán)零點(diǎn)。在根軌跡繪制過程中，由于需 要對(duì)相角和模值進(jìn)行圖解測(cè)量，所以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)必須采用相同要對(duì)相角和模值進(jìn)行圖解測(cè)量，所以橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)必須采用相同 的比例尺。的比例尺。 由法則由法則3，根軌跡起于，

20、根軌跡起于 的極點(diǎn)的極點(diǎn) ， 和和 ， 終于終于 的有限零點(diǎn)的有限零點(diǎn) 以及無窮遠(yuǎn)處以及無窮遠(yuǎn)處 。 由法則由法則1，根軌跡的分支數(shù)有，根軌跡的分支數(shù)有4條，它們是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。條，它們是連續(xù)的且對(duì)稱于實(shí)軸。 )(sG4, 0 21 ppjp 1 3 jp 1 4 )(sG1 1 z 由法則由法則5，有，有 條根軌跡漸近線，它們的交點(diǎn)為條根軌跡漸近線，它們的交點(diǎn)為3mn 第21頁/共45頁 67. 1 3 ) 1()1140( 3 )( 4 1 1 jj zp i i a 各漸近線與實(shí)軸的交角分別為各漸近線與實(shí)軸的交角分別為 60 ) 12( mn k a )0( k 180 ) 12(

21、 mn k a ) 1( k 300 ) 12( mn k a )2( k 第22頁/共45頁 六、根軌跡的起始角與終止角六、根軌跡的起始角與終止角: :根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) 處的切線方向與處的切線方向與正正實(shí)軸方向的夾角實(shí)軸方向的夾角, ,稱為起始角稱為起始角, ,以以 表示，見圖表示，見圖4-10 4-10 ；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切；根軌跡進(jìn)入開環(huán)復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切 線方向與線方向與正正實(shí)軸方向的夾角，稱為終止角，以實(shí)軸方向的夾角，稱為終止角，以 表示，表示， 見圖見圖4-104-10 i p 21, pp zi 2, 1zz 第23頁/共45頁 在右圖所示的根軌

22、跡上取一在右圖所示的根軌跡上取一 試驗(yàn)點(diǎn)試驗(yàn)點(diǎn) ，使，使 無限地靠近無限地靠近 開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn) , ,即認(rèn)為即認(rèn)為 , ,則這時(shí)則這時(shí) ，依據(jù)，依據(jù) 相角方程有相角方程有 1 s 1 s 1 p 11 ps 1 )( 11p ps )()()()()()( 31211111 pspspszssHsG) 12(k = )()()() 12( 312111 1 ppppzpK p n ij j ji m j jip ppzpK i 11 )()() 12( 同理可同理可 得得 n j ji m ij j jiz pzzzK i 11 )()() 12( )()()()()( 312111

23、 1 ppppzpsHsG p ) 12(K = 第24頁/共45頁 * (2)(2) ( )( ) (12)(12) Ksj sj G s H s sjsj 設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試計(jì)算起始角和終止角。 解 板書 第25頁/共45頁 第26頁/共45頁 n i m j ji zdpd11 11 j z 式中： 為各開環(huán)零點(diǎn)的數(shù)值， 為各開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)值。 i p 第27頁/共45頁 一般采用極值法極值法求分離點(diǎn)坐標(biāo)求分離點(diǎn)坐標(biāo) )( )( )( )( )()( * 1 1 * sD sN K ps zs KsHsG i n i i m i 閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為 0)()(0 )(

24、 )( 1 * sNKsD sD sN K 0)()( * sNKsD 設(shè)且 0)()( * sNKsD 第28頁/共45頁 0)()()()(sDsNsDsN 聯(lián)立二式，消去聯(lián)立二式，消去K* *，得，得： 從這個(gè)公式中解得的從這個(gè)公式中解得的s就是所求的分離點(diǎn)。就是所求的分離點(diǎn)。 0 )( )( 1 1 ds i m i i n i zs ps ds d 也可采用下式也可采用下式 第29頁/共45頁 本題的實(shí)軸根軌跡區(qū)間為本題的實(shí)軸根軌跡區(qū)間為 和和 ，因，因s2不在根軌不在根軌 跡區(qū)間，所以分離點(diǎn)必落在跡區(qū)間，所以分離點(diǎn)必落在 s1處。處。 例例4 4 設(shè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)控制系

25、統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： )2)(1( )()( * sss K sHsG 求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)求根軌跡在實(shí)軸上的分離點(diǎn)。 解：用極值法求解：用極值法求 本題中本題中1)(),2)(1()(sNssssD故故 0)(, 263)( 2 sNsssD 0)()()()(sDsNsDsN 代入代入有有 0263 2 ss 解之得解之得 2,(0, 1 577. 1,423. 0 21 ss 第30頁/共45頁 lk/) 12( 僅限實(shí)軸分離角僅限實(shí)軸分離角 第31頁/共45頁 九、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：根軌跡與虛軸相交，交點(diǎn)對(duì)根軌跡與虛軸相交，交點(diǎn)對(duì) 應(yīng)的應(yīng)的 值和值和 值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉

26、環(huán)特征方值可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方 程中的程中的 然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得。 K js 證明：若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛證明：若根軌跡與虛軸相交，則表示閉環(huán)系統(tǒng)存在純虛 根，這意味著根，這意味著 的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。的數(shù)值使閉環(huán)系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 因此，令勞斯表第一列中包含因此，令勞斯表第一列中包含 的項(xiàng)為零，即可確定根的項(xiàng)為零，即可確定根 軌跡與虛軸交點(diǎn)上的軌跡與虛軸交點(diǎn)上的 值。值。 K K K 此外，因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相異的根，所此外，因?yàn)橐粚?duì)純虛根是數(shù)值相同但符號(hào)相異的根，所 以利用勞斯表

27、中以利用勞斯表中 行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純行的系數(shù)構(gòu)成輔助方程，必可解出純 虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸相交的虛根的數(shù)值，這一數(shù)值就是根軌跡與虛軸相交的 值。值。 如果根軌跡與正虛軸（或負(fù)虛軸）有一個(gè)以上的交點(diǎn)，如果根軌跡與正虛軸（或負(fù)虛軸）有一個(gè)以上的交點(diǎn)， 應(yīng)采用勞斯表中大于應(yīng)采用勞斯表中大于2 2的的 偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程偶次方行的系數(shù)構(gòu)造輔助方程 。 2 s s 第32頁/共45頁 確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)處參數(shù)的另一種方法，是確定根軌跡與虛軸交點(diǎn)處參數(shù)的另一種方法，是將將 代入閉環(huán)特征方程代入閉環(huán)特征方程，得到得到 js 0)()(1jHjG 令上述方程的實(shí)部和虛部

28、分別為零，有令上述方程的實(shí)部和虛部分別為零，有 0)()(1RejHjG 和和 0)()(1ImjHjG 從而可求得從而可求得 值和值和 值值 。 K 第33頁/共45頁 解解 控制系統(tǒng)的特征方程是控制系統(tǒng)的特征方程是 例例5 5 求系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及臨界參數(shù)值求系統(tǒng)根軌跡與虛軸交點(diǎn)的坐標(biāo)及臨界參數(shù)值K K* * 023 *23 Ksss 將將 代入上式，得代入上式，得 js 023 *23 Kjj 03 *2 K02 3 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為根軌跡與虛軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )(2 1 s 將將 的值代入實(shí)部方程得的值代入實(shí)部方程得K*=6 當(dāng)當(dāng)K*6時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。時(shí)，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。 )2)(1( )()( * sss K sHsG 第34頁/共45頁 例例6 6 負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)負(fù)反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù) 試作試作K K( (由由0 0) )變化的系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。變化的系統(tǒng)閉環(huán)根軌跡。 ( )( ) (1)(0.51) K G s H s s ss 解：解：