計量經(jīng)濟學基礎知識梳理超全PPT學習教案

1、會計學1 計量經(jīng)濟學基礎知識梳理超全計量經(jīng)濟學基礎知識梳理超全 如果如果 表示表示n個數(shù)的一個序列，那么我個數(shù)的一個序列，那么我 們就把這們就把這n個數(shù)的總和寫為：個數(shù)的總和寫為： 第一節(jié)第一節(jié) 高數(shù)知識高數(shù)知識 一、求和一、求和 n21ixi，： n21 n 1i i xxxx 第1頁/共175頁 二、算術平均二、算術平均 算術平均（arithmetic mean）就是我們日 常生活中使用的普通的平均數(shù)，其定義如 下式： n X n XXX X n 21 第2頁/共175頁 三、加權算術平均三、加權算術平均 n加權平均是將各數(shù)據(jù)先乘以反映其重要性的 權數(shù)（w），再求平均的方法。其定義如下 式

2、： w Xw www XwXwXw X ii n nn w 21 2211 第3頁/共175頁 四、變化率四、變化率 n變化率的定義如下式： ), 3 , 2( 1 1 nt X XX t tt 第4頁/共175頁 五、幾何平均五、幾何平均 幾何平均是n個數(shù)據(jù)連乘積的n次方 根，其定義如下式： n n XXXG 21 第5頁/共175頁 六、線性函數(shù)六、線性函數(shù) 如果兩個變量如果兩個變量x和和y的關系是：的關系是： xy 10 我們便說我們便說y是是x的的線性函數(shù)線性函數(shù)：而：而 和和 是描述這一是描述這一 關系的兩個參數(shù)，關系的兩個參數(shù)， 為截距（為截距（Intercept），）， 為斜為斜

3、 率。率。 0 1 0 1 一個線性函數(shù)的定義特征在于，一個線性函數(shù)的定義特征在于，y的改變量總是的改變量總是 x的改變量的的改變量的 倍：倍： 其中，其中， 表示表示“改變量改變量”。換句話說，。換句話說，x對對y的邊的邊 際效應是一個等于際效應是一個等于 的常數(shù)。的常數(shù)。 xy 1 1 1 第6頁/共175頁 例：線性住房支出函數(shù)例：線性住房支出函數(shù) 假定每月住房支出和每月收入的關系式是假定每月住房支出和每月收入的關系式是 Housing=164+0.27income 那么，每增加那么，每增加1元收入，就有元收入，就有0.27元用于住房支出，元用于住房支出， 如果家庭收入增加如果家庭收入增

4、加200元，那么住房支出就增加元，那么住房支出就增加 0.27200=54元。元。 機械解釋上述方程，即時一個沒有收入的家庭也有機械解釋上述方程，即時一個沒有收入的家庭也有 164元的住房支出，這當然是不真實的。對低收入水平家元的住房支出，這當然是不真實的。對低收入水平家 庭，這個線性函數(shù)不能很好的描述庭，這個線性函數(shù)不能很好的描述housing和和income之間之間 的關系，這就是為什么我們最終還得用其他函數(shù)形式來的關系，這就是為什么我們最終還得用其他函數(shù)形式來 描述這種關系。描述這種關系。 第7頁/共175頁 多于兩個變量的線性函數(shù)：多于兩個變量的線性函數(shù)： 假定假定y與兩個變量與兩個變

5、量 和和 有一般形式的關系：有一般形式的關系： 由于這個函數(shù)的圖形是由于這個函數(shù)的圖形是三維的，所以相當難以想象三維的，所以相當難以想象 ，不過，不過 仍然是截距（即仍然是截距（即 =0和和 =0時時y的取值），且的取值），且 和和 都是特定斜率的度量。由方程（都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，給定）可知，給定 和和 的改變量，的改變量，y的改變量是的改變量是 若若 不改變，即不改變，即 ，則有，則有 因此因此 是關系式在是關系式在 坐標上的斜率：坐標上的斜率： 1 x 2 x 22110 xxy 0 1 x 2 x 1 2 1 x 2 x 2211 xxy 2 x 0 2 x0 2

6、11 xxy， 1 1 x 0 2 1 1 x x y ， 第8頁/共175頁 因為它度量了保持因為它度量了保持 固定時，固定時，y如何隨如何隨 而變，所而變，所 以常把以常把 叫做叫做 對對y的的偏效應偏效應。由于偏效應涉及保持其。由于偏效應涉及保持其 他因素不變，所以它與他因素不變，所以它與其他條件不變（其他條件不變（Ceteris Paribus） 的概念有密切聯(lián)系，參數(shù)的概念有密切聯(lián)系，參數(shù) 可作類似解釋：即若可作類似解釋：即若 ，則，則 因此，因此， 是是 對對y的偏效應。的偏效應。 線性函數(shù)的性質線性函數(shù)的性質 2 x 1 x 1 x 1 2 0 1 x 2 2 x y 2 2 x

7、 第9頁/共175頁 假定大學生每月對假定大學生每月對CD的需求量與的需求量與CD的價格和每個的價格和每個 月的零花錢有如下關系：月的零花錢有如下關系： 式中，式中，price為每張碟的價格，為每張碟的價格，income以元計算。需以元計算。需 求曲線表示在保持收入（和其他因素）不變的情況下，求曲線表示在保持收入（和其他因素）不變的情況下， quantity和和price的關系。的關系。 例：例： 對對CDCD的需求的需求 income.price.quantity03089120 第10頁/共175頁 線性函數(shù)的基本性質：線性函數(shù)的基本性質： 不管不管x的初始值是什么，的初始值是什么，x每變

8、化一個單位都導致每變化一個單位都導致y同樣同樣 的變化。的變化。x對對y的邊際效應是常數(shù)，這對許多經(jīng)濟關系來說多的邊際效應是常數(shù)，這對許多經(jīng)濟關系來說多 少有點不真實。例如，邊際報酬遞減這個重要的經(jīng)濟概念就少有點不真實。例如，邊際報酬遞減這個重要的經(jīng)濟概念就 不符合線性關系。不符合線性關系。 為了建立各種經(jīng)濟現(xiàn)象的模型，我們需要研究一些為了建立各種經(jīng)濟現(xiàn)象的模型，我們需要研究一些非線非線 性函數(shù)。性函數(shù)。 非線性函數(shù)的特點是，非線性函數(shù)的特點是，給定給定x的變化，的變化，y的變化依賴于的變化依賴于x 的初始值。的初始值。 七、若干特殊函數(shù)七、若干特殊函數(shù) 第11頁/共175頁 1. 1.二次函

9、數(shù)二次函數(shù) 刻畫報酬遞減規(guī)律的一個簡單方法，就是在線性關系刻畫報酬遞減規(guī)律的一個簡單方法，就是在線性關系 中添加一個二次項。中添加一個二次項。 考慮方程式考慮方程式 式中，式中， ， 和和 為參數(shù)。當為參數(shù)。當 時，時，y和和x之間的之間的 關系呈拋物線狀，并且可以證明，函數(shù)的最大值出現(xiàn)在關系呈拋物線狀，并且可以證明，函數(shù)的最大值出現(xiàn)在 2 210 xxy 0 1 2 0 2 21 2 x 第12頁/共175頁 1. 1.二次函數(shù)二次函數(shù) 例如，若例如，若y=6+8x-2x2。（從而。（從而 =8且且 =-2），則），則y 的最大值出現(xiàn)在的最大值出現(xiàn)在x*=8/4=2處，并且這個最大值是處，并

10、且這個最大值是6+82- 2（2）2=14。 1 2 第13頁/共175頁 對方程式對方程式 意味著意味著x對對y的的邊際效應遞減，邊際效應遞減，這從圖中清晰可這從圖中清晰可 見，應用微積分知識，也可以通過求這個二次函數(shù)的一見，應用微積分知識，也可以通過求這個二次函數(shù)的一 階導數(shù)得出。階導數(shù)得出。 斜率斜率= 方程右端是此二次函數(shù)對方程右端是此二次函數(shù)對x的的導數(shù)導數(shù)。 同樣，同樣， 則意味著則意味著x對對y的的邊際效應遞增邊際效應遞增，二次，二次 函數(shù)的圖形就呈函數(shù)的圖形就呈U行，函數(shù)的最小值出現(xiàn)在點行，函數(shù)的最小值出現(xiàn)在點 處。處。 1. 1.二次函數(shù)二次函數(shù) 2 210 xxy 0 2

11、x x y 21 2 0 2 21 2 x 第14頁/共175頁 在計量經(jīng)濟分析中起著最重要作用的非線性函數(shù)是在計量經(jīng)濟分析中起著最重要作用的非線性函數(shù)是 自然對數(shù)，自然對數(shù)，或簡稱為或簡稱為對數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，記為記為 還有幾種不同符號可以表示自然對數(shù)，最常用的是還有幾種不同符號可以表示自然對數(shù)，最常用的是 或或 。當對數(shù)使用幾個不同的底數(shù)時，這些不同的。當對數(shù)使用幾個不同的底數(shù)時，這些不同的 符號是有作用的。目前，只有自然對數(shù)最重要，因此我符號是有作用的。目前，只有自然對數(shù)最重要，因此我 們都用們都用 表示自然對數(shù)。表示自然對數(shù)。 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) xlogy xln xloge

12、xlog 第15頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) xlogy 圖圖2.1.4 y=log（x） 的圖形的圖形 第16頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) 有如下性質：有如下性質： 1. log（x）可正可負：可正可負：log（x）0，0 x0， x1 2.一些有用的性質（牢記）：一些有用的性質（牢記）： log（x1x2）=log（x1）+log（x2），），x1，x20 log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），），x1，x20 log（xc）=clog（x），），x0，c為任意實數(shù)為任意實數(shù) 第17頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) 對數(shù)可用于計量經(jīng)濟學應用中

13、的各種近似計算。對數(shù)可用于計量經(jīng)濟學應用中的各種近似計算。 1.對于對于x0，有有l(wèi)og（1+x）x。這個近似計算隨著。這個近似計算隨著x變變 大而越來越不精確。大而越來越不精確。 2.兩對數(shù)之差可用作比例變化的近似值。令兩對數(shù)之差可用作比例變化的近似值。令x0和和x1為為 兩個正數(shù)，可以證明（利用微積分），對兩個正數(shù)，可以證明（利用微積分），對x的微小變化，的微小變化， 有有 如果我們用如果我們用100乘以上述方程，并記乘以上述方程，并記 那么，對那么，對x的的微小微小變化，便有變化，便有 “微小微小”的含義取決于具體情況。的含義取決于具體情況。 000101 xxxxxxlogxlog 0

14、1 xlogxlogxlog x%xlog100 第18頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) 近似計算的作用：近似計算的作用： 定義定義y對對x的的彈性（彈性（elasticity）為為 換言之，換言之，y對對x的彈性就是當?shù)膹椥跃褪钱攛增加增加1%時時y的百分數(shù)變化。的百分數(shù)變化。 若若y是是x的線性函數(shù)：的線性函數(shù)： ，則這個彈性是，則這個彈性是 它明顯取決于它明顯取決于x的取值（的取值（彈性并非沿著需求曲線保持不變彈性并非沿著需求曲線保持不變 ）。）。 x% y% y x x y xy 10 x x y x y x x y 10 11 第19頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù)

15、不僅在需求理論中，在許多應用經(jīng)濟學領域，彈性都不僅在需求理論中，在許多應用經(jīng)濟學領域，彈性都 是非常重要的。在許多情況下，使用一個常彈性模型都很是非常重要的。在許多情況下，使用一個常彈性模型都很 方便，而對數(shù)函數(shù)能幫助我們設定這樣的模型。如果我們方便，而對數(shù)函數(shù)能幫助我們設定這樣的模型。如果我們 對對x和和y都使用對數(shù)近似計算，彈性就近似等于都使用對數(shù)近似計算，彈性就近似等于 因此，一個因此，一個常彈性模型常彈性模型可近似描述為方程可近似描述為方程 式中，式中， 為為y對對x的彈性（假定的彈性（假定x，y0）。）。 這類模型在經(jīng)驗經(jīng)濟學中扮演著重要角色。目前，式這類模型在經(jīng)驗經(jīng)濟學中扮演著重要

16、角色。目前，式 中的中的 只是接近于彈性這一事實并不重要，可以忽略。只是接近于彈性這一事實并不重要，可以忽略。 xlogylog xlogylog 10 1 1 第20頁/共175頁 例：常彈性需求函數(shù)例：常彈性需求函數(shù) 若若q代表需求量而代表需求量而p代表價格，并且二者關系為代表價格，并且二者關系為 則需求的價格彈性是則需求的價格彈性是-1.25.初略地說，價格每增加初略地說，價格每增加1%，將，將 導致需求量下降導致需求量下降1.25%。 plog.qlog25174 第21頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) 在經(jīng)驗研究工作中還經(jīng)常出現(xiàn)使用對數(shù)函數(shù)的其他可在經(jīng)驗研究工作中還經(jīng)常出現(xiàn)使

17、用對數(shù)函數(shù)的其他可 能性。假定能性。假定y0，且，且 則則 ，從而，從而 。 由此可知，當由此可知，當y和和x有上述方程所示關系時，有上述方程所示關系時， xylog 10 xylog 1 xylog 1 100100 xy% 1 100 第22頁/共175頁 例：例： 對數(shù)工資方程對數(shù)工資方程 假設小時工資與受教育年數(shù)有如下關系：假設小時工資與受教育年數(shù)有如下關系： 根據(jù)前面所述方程，有根據(jù)前面所述方程，有 由此可知，多受一年教育將使小時工資增加約由此可知，多受一年教育將使小時工資增加約9.4%。 通常把通常把%y/x稱為稱為y對對x的的半彈性，半彈性，半彈性表示當半彈性表示當x增增 加一個

18、單位時加一個單位時y的百分數(shù)變化。在上述模型中，半彈性是個的百分數(shù)變化。在上述模型中，半彈性是個 常數(shù)并且等于常數(shù)并且等于 ，在上述例子中，我們可以方便的把，在上述例子中，我們可以方便的把 工資和教育的關系概括為：多受一年教育工資和教育的關系概括為：多受一年教育無論所受教無論所受教 育的起點如何育的起點如何都將使工資提高約都將使工資提高約9.4%。這說明了這類。這說明了這類 模型在經(jīng)濟學中的重要作用。模型在經(jīng)濟學中的重要作用。 edu.wagelog0940782 .wage%490940100 1 100 第23頁/共175頁 2.2.自然對數(shù)自然對數(shù) 另一種關系式在應用經(jīng)濟學

19、中也是有意義的：另一種關系式在應用經(jīng)濟學中也是有意義的： 其中，其中，x0。若取。若取y的變化，則有的變化，則有 ，這又可以，這又可以 寫為寫為 。 利用近似計算，可得利用近似計算，可得 當當x增加增加1%時，時，y變化變化 個單位。個單位。 xlogy 10 xlogy 1 xlogy100100 1 x%y100 1 100 1 第24頁/共175頁 例：勞動供給函數(shù)例：勞動供給函數(shù) 假定一個工人的勞動供給可描述為假定一個工人的勞動供給可描述為 式中，式中，wage為小時工資而為小時工資而hours為每周工作小時數(shù)，于是，為每周工作小時數(shù)，于是， 由方程可得：由方程可得： 換言之，工資每增

20、加換言之，工資每增加1%，將使每周工作小時增加約，將使每周工作小時增加約0.45 或略小于半個小時。若工資增加或略小于半個小時。若工資增加10%，則，則 或約四個半小時?；蚣s四個半小時。 注意：注意：不宜對更大的工資百分數(shù)變化應用這個近似計算。不宜對更大的工資百分數(shù)變化應用這個近似計算。 wagelog.hours14533 wage%. wage%. wagelog.hours 4510 100145 145 514104510.hours 第25頁/共175頁 考慮方程考慮方程 此處此處log（y）是是x的線性函數(shù)，但是怎樣寫出的線性函數(shù)，但是怎樣寫出y本身作本身作 為為x的一個函數(shù)呢？的

21、一個函數(shù)呢？指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)給出了答案。給出了答案。 我們把指數(shù)函數(shù)寫為我們把指數(shù)函數(shù)寫為y=exp（x），），有時也寫為有時也寫為 ， 但在我們課程中這個符號不常用。但在我們課程中這個符號不常用。 指數(shù)函數(shù)的兩個重要的數(shù)值是指數(shù)函數(shù)的兩個重要的數(shù)值是exp（0）=1和和exp（1） =2.7183（取（取4位小數(shù)）。位小數(shù)）。 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xylog 10 x ey 第26頁/共175頁 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) xexpy 圖圖2.1.4 y=exp（x） 的圖形的圖形 第27頁/共175頁 從上圖可以看出，從上圖可以看出，exp（x）對任何對任何x值都有定義，而且值都有定義

22、，而且 總大于零?？偞笥诹恪?指數(shù)函數(shù)在如下意義上是對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：對所有指數(shù)函數(shù)在如下意義上是對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)：對所有x ，都有，都有l(wèi)ogexp（x）=x，而對，而對x0，有，有explog（x） =x。換言之，對數(shù)。換言之，對數(shù)“解除了解除了”指數(shù)，反之亦然。對數(shù)函數(shù)指數(shù)，反之亦然。對數(shù)函數(shù) 和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的兩個有用性質是指數(shù)函數(shù)的兩個有用性質是 exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2） 和和 expclog（x）=xc 3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) 第28頁/共175頁 記憶：記憶：經(jīng)濟學中常用的一些函數(shù)及其導數(shù)有經(jīng)濟學中常用的一些函數(shù)及

23、其導數(shù)有 4.4.微分學微分學 xdxdy;xxy 21 2 210 2 2 110 xdxdy;xy 21 110 2 xdxdy;xy xdxdy;xlogy 110 xexpdxdy;xexpy 10110 第29頁/共175頁 當當y是多元函數(shù)時，是多元函數(shù)時，偏導數(shù)偏導數(shù)的概念便很重要。假定的概念便很重要。假定y=f （x1，x2），），此時便有兩個偏導數(shù)，一個關于此時便有兩個偏導數(shù)，一個關于x1，另一個關，另一個關 于于x2。y對對x1的偏導數(shù)記為的偏導數(shù)記為 ，就是把，就是把x2看做常數(shù)時方程對看做常數(shù)時方程對 x1的普通導數(shù)。類似的，的普通導數(shù)。類似的， 就是固定就是固定x1時

24、方程對時方程對x2的導數(shù)的導數(shù) 。 若若 則則 這些偏導數(shù)可被視為經(jīng)濟學所定義的偏效應。這些偏導數(shù)可被視為經(jīng)濟學所定義的偏效應。 4.4.微分學微分學 1 x y 2 x y 22110 xxy 2 2 1 x y x y 1 ， 第30頁/共175頁 把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗（以年計）相聯(lián)系的把工資與受教育年數(shù)和工作經(jīng)驗（以年計）相聯(lián)系的 一個函數(shù)是一個函數(shù)是 exper對對wage的偏效應就是上式對的偏效應就是上式對exper的偏導數(shù)：的偏導數(shù)： 這是增加一年工作經(jīng)驗所導致工資的近似變化。注意這個這是增加一年工作經(jīng)驗所導致工資的近似變化。注意這個 偏效應與偏效應與exper和和educ

25、的初始水平都有關系。例如，一個從的初始水平都有關系。例如，一個從 educ=12和和exper=5開始的工人，再增加一年工作經(jīng)驗，將開始的工人，再增加一年工作經(jīng)驗，將 使工資增加約使工資增加約0.19-0.085+0.00712=0.234元。準確的變元。準確的變 化通過計算，結果是化通過計算，結果是0.23，和近似計算結果非常接近。，和近似計算結果非常接近。 例：例： 含交互項的工資方程含交互項的工資方程 c.agew00700040190410103 2 educ.erexp. erexp agew 00700080190 第31頁/共17

26、5頁 一、隨機變量及其概率分布一、隨機變量及其概率分布 假設我們擲一枚錢幣假設我們擲一枚錢幣10次，并計算出現(xiàn)正面的次數(shù)次，并計算出現(xiàn)正面的次數(shù) ，這就是一個，這就是一個實驗實驗的例子。一般地說，的例子。一般地說，一個實驗是指至一個實驗是指至 少在理論上能夠無限重復下去的任何一種程序，并且它少在理論上能夠無限重復下去的任何一種程序，并且它 有一個定義完好的結果集。有一個定義完好的結果集。 一個一個隨機變量隨機變量是指一個具有數(shù)值特征并由一個實驗是指一個具有數(shù)值特征并由一個實驗 來決定其結果的變量。來決定其結果的變量。 第二節(jié)第二節(jié) 概率論基礎概率論基礎 第32頁/共175頁 一、隨機變量及其概

27、率分布一、隨機變量及其概率分布 10210， 第33頁/共175頁 如定義所言，即使隨機變量描述的是一些定性事件，我如定義所言，即使隨機變量描述的是一些定性事件，我 們也總定義它的結果是數(shù)值。例如，考慮只擲一枚錢幣，其們也總定義它的結果是數(shù)值。例如，考慮只擲一枚錢幣，其 兩個結果是正面和反面。我們可以定義一個隨機變量如下：兩個結果是正面和反面。我們可以定義一個隨機變量如下： 如果出現(xiàn)正面則如果出現(xiàn)正面則X=1；如果出現(xiàn)反面則；如果出現(xiàn)反面則X=0。 一個只能取一個只能取0和和1兩個值的隨機變量叫做兩個值的隨機變量叫做貝努利隨機變貝努利隨機變 量量。 XBernoulli（ ）（讀作（讀作“X服

28、從一個成功概率為服從一個成功概率為 的貝努利分布）的貝努利分布）：P（X=1）=，P（X=0）=1- 一、隨機變量及其概率分布一、隨機變量及其概率分布 第34頁/共175頁 1. 1.離散隨機變量離散隨機變量 離散隨機變量離散隨機變量是指一個只取有限個或可數(shù)的無限個是指一個只取有限個或可數(shù)的無限個 數(shù)值的隨機變量。數(shù)值的隨機變量。 “可數(shù)的無限個可數(shù)的無限個”：雖然隨機變量可取無限個值，：雖然隨機變量可取無限個值， 但這些值可以和正整數(shù)一一對應。但這些值可以和正整數(shù)一一對應。 貝努力隨機變量是離散隨機變量的最簡單的例子。貝努力隨機變量是離散隨機變量的最簡單的例子。 一、隨機變量及其概率分布一、

29、隨機變量及其概率分布 第35頁/共175頁 1. 1.離散隨機變量離散隨機變量 k xxx， 21 第36頁/共175頁 X的的概率密度函數(shù)（概率密度函數(shù)（probability density function，pdf） 概括了概括了X的可能結果及其相應概率的信息：的可能結果及其相應概率的信息： 而且對某個而且對某個j，凡是不等于，凡是不等于xj的的x都有都有f（x）=0。換言之，對任。換言之，對任 何實數(shù)何實數(shù)x，f（x）都是隨機變量）都是隨機變量X取該特定值取該特定值x的概率。當我們的概率。當我們 設計多于一個隨機變量時，有時需要給所考慮的設計多于一個隨機變量時，有時需要給所考慮的pdf

30、加一個下加一個下 標：例如標：例如fx是是X的的pdf，fY是是Y的的pdf等等。等等。 1. 1.離散隨機變量離散隨機變量 kjpxf jj ， 21 第37頁/共175頁 給定任一離散隨機變量的給定任一離散隨機變量的pdf，就不難計算關于該隨機，就不難計算關于該隨機 變量的任何事件的概率。例如，設變量的任何事件的概率。例如，設X為一名籃球運動員在兩為一名籃球運動員在兩 次罰球中的命中次數(shù)。因此次罰球中的命中次數(shù)。因此X的三個可能值是的三個可能值是0，1，2。 假定假定X的的pdf是是 f（0）=0.20，f（1）=0.44和和f（2）=0.36 這三個概率之和必然為這三個概率之和必然為1.

31、利用這個利用這個pdf，我們能算出該運動員，我們能算出該運動員 至少投中一球的概率：至少投中一球的概率： P（X1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。 X的的pdf如下圖示：如下圖示： 1. 1.離散隨機變量離散隨機變量 第38頁/共175頁 2.2.連續(xù)隨機變量連續(xù)隨機變量 連續(xù)隨機變量連續(xù)隨機變量是指一個取任何實數(shù)的概率都為零的是指一個取任何實數(shù)的概率都為零的 變量。變量。 這個定義有點違背直覺，因為在任何應用中，我們這個定義有點違背直覺，因為在任何應用中，我們 最終都會觀測到一個隨機變量取得的某種結果。這里的最終都會觀測到一個隨機變量取得的某種結果。這里的 思想

32、是，一個連續(xù)隨機變量思想是，一個連續(xù)隨機變量X的可能取值如此之多，以的可能取值如此之多，以 致我們無法用正整數(shù)去計算，因而，邏輯上的一致性就致我們無法用正整數(shù)去計算，因而，邏輯上的一致性就 要求要求X必須以零概率取每一個值。必須以零概率取每一個值。 一、隨機變量及其概率分布一、隨機變量及其概率分布 第39頁/共175頁 在計算連續(xù)隨機變量的概率時，討論一個連續(xù)隨機在計算連續(xù)隨機變量的概率時，討論一個連續(xù)隨機 變量取某特定值的概率是沒有意義的，最方便的是使用變量取某特定值的概率是沒有意義的，最方便的是使用 累積分布函數(shù)（累積分布函數(shù)（cumulative distribution functio

33、n，cdf） 。設設X為任意隨機變量，它對任何實數(shù)為任意隨機變量，它對任何實數(shù)x的的cdf被定義為被定義為 F（x）P（Xx） 對于一個連續(xù)隨機變量，對于一個連續(xù)隨機變量，F(xiàn)（x）就是概率密度函數(shù)）就是概率密度函數(shù) f之下、點之下、點x以左的面積。因為以左的面積。因為F（x）就是一個概率，所）就是一個概率，所 以它總是介于以它總是介于0-1之間。此外，若之間。此外，若x1c）=1-F（c） 2.對任何兩個數(shù)對任何兩個數(shù)ab，P（ac）和）和 P（aXb）=P（aXb）=P（aXb） =P （a0，則，則sd（aX）=asd（X）。）。 4.4. 標準差標準差 XVar X 第59頁/共175頁

34、 2 SS方差 第60頁/共175頁 作為方差和標準差性質的一個應用作為方差和標準差性質的一個應用而且本身也是而且本身也是 有實際意義的一個問題有實際意義的一個問題假如給定隨機變量假如給定隨機變量X，我們將，我們將 它減去其均值它減去其均值并除以其標準差并除以其標準差，便定義了一個新的，便定義了一個新的 隨機變量隨機變量 Z 這又可寫為這又可寫為Z=aX+b，其中，其中a=（1/）而）而b=-（/）。）。 可得：可得：E（Z）=aE（X）+b=（/）-（/）=0 Var（Z）=a2Var（X）=2/2 =1 因此，隨機變量因此，隨機變量Z的均值為零，方差（或者標準差）為的均值為零，方差（或者標

35、準差）為1 。這一過程有時被稱為將隨機變量。這一過程有時被稱為將隨機變量X標準化，而標準化，而Z則叫做則叫做 標準化隨機變量標準化隨機變量。 5.5. 標準化一個隨機變量標準化一個隨機變量 X 第61頁/共175頁 1. 1.關聯(lián)度：協(xié)方差與相關關聯(lián)度：協(xié)方差與相關 雖然兩個隨機變量的聯(lián)合雖然兩個隨機變量的聯(lián)合pdf完整地描述了它們之間完整地描述了它們之間 的關系，但對于它們大致如何互相變動，仍需要一個扼的關系，但對于它們大致如何互相變動，仍需要一個扼 要的度量手段。正如期望值和方差一樣，這類似于用一要的度量手段。正如期望值和方差一樣，這類似于用一 個數(shù)字來概括整個分布的某一方面，現(xiàn)在要概括的

36、便是個數(shù)字來概括整個分布的某一方面，現(xiàn)在要概括的便是 兩個隨機變量的聯(lián)合兩個隨機變量的聯(lián)合pdf。 四、聯(lián)合與條件分布的特征四、聯(lián)合與條件分布的特征 第62頁/共175頁 兩個隨機變量兩個隨機變量X和和Y之間的之間的協(xié)方差協(xié)方差（有時也叫做總體（有時也叫做總體 協(xié)方差，以強調它考慮的是描述一個總體的兩個隨機變協(xié)方差，以強調它考慮的是描述一個總體的兩個隨機變 量之間的關系），被定義為乘積（量之間的關系），被定義為乘積（X-X）（）（Y-Y）的期）的期 望值：望值： 有時又記為有時又記為 。若。若 ，則平均而言，當，則平均而言，當X超過其均超過其均 值時，值時，Y也超過其均值；若也超過其均值；若

37、，則平均而言，當，則平均而言，當X超超 過其均值時，過其均值時，Y低于其均值。低于其均值。 2.2.協(xié)方差協(xié)方差 YX YXEY ,XCov XY 0 XY 0 XY 第63頁/共175頁 計算計算 的幾個有用表達式如下：的幾個有用表達式如下： 協(xié)方差度量兩個隨機變量之間的協(xié)方差度量兩個隨機變量之間的線性相依性線性相依性。一個。一個 正的協(xié)方差表示兩隨機變量同向移動，而一個負的協(xié)方正的協(xié)方差表示兩隨機變量同向移動，而一個負的協(xié)方 差則表示兩隨機變量反向移動。差則表示兩隨機變量反向移動。 2.2.協(xié)方差協(xié)方差 Y ,XCov YX YXXYYX YXYX YXX YX YXE YXE XEYYX

38、E XYXE YXEY ,XovC 第64頁/共175頁 性質性質Cov.1：若：若X和和Y相互獨立，則相互獨立，則 注意：此性質的反命題并不成立：注意：此性質的反命題并不成立：X和和Y之間的協(xié)方差為之間的協(xié)方差為 零并不意味著零并不意味著X和和Y相互獨立。相互獨立。 性質性質Cov.2：對任意常數(shù)：對任意常數(shù)a1，b1，a2和和b2，都有，都有 此性質的重要含義在于，兩個隨機變量之間的協(xié)方差會此性質的重要含義在于，兩個隨機變量之間的協(xié)方差會 因為將兩者或者兩者之一乘以一個常數(shù)倍而改變。這在因為將兩者或者兩者之一乘以一個常數(shù)倍而改變。這在 經(jīng)濟學中之所以重要，是因為諸如貨幣變量和通貨膨脹經(jīng)濟學

39、中之所以重要，是因為諸如貨幣變量和通貨膨脹 率等，都可使用不同的度量單位進行定義而不改變其實率等，都可使用不同的度量單位進行定義而不改變其實 質。質。 協(xié)方差的性質協(xié)方差的性質 0YXCov， Y ,XCovaabYa ,bXaovC 212211 第65頁/共175頁 取決于度量單位是協(xié)方差的一個缺陷。為克服這一取決于度量單位是協(xié)方差的一個缺陷。為克服這一 缺陷，現(xiàn)引進缺陷，現(xiàn)引進X和和Y的的相關系數(shù)（相關系數(shù)（correlation coefficient） ： X和和Y的相關系數(shù)有時記做的相關系數(shù)有時記做 （而且有時稱總體相關）。（而且有時稱總體相關）。 所謂相關系數(shù)是用來測量諸如收入與

40、消費、氣溫和啤 酒的消費量、匯率與牛肉的進口價格等兩個變量X、Y之 間的相互關系的大小和方向（正或負）的系數(shù)。通過計 算相關系數(shù)，可以知道X與Y之間具有多大程度的線性（ linear）關系。相關系數(shù)R的定義如下式： 3.3.相關系數(shù)相關系數(shù) YX XY YsdXsd Y ,XCov Y ,XorrC XY 第66頁/共175頁 22 )()( )( YYXX YYXX R 2222 )()(YYnXXn YXXYn 第67頁/共175頁 性質性質Corr.1 -1Corr（X，Y）1 若若Corr（X，Y）=0，或等價地，或等價地Cov（X，Y）=0，則，則X 和和Y之間就不存在線性關系，并稱

41、之間就不存在線性關系，并稱X和和Y為不相關隨機變?yōu)椴幌嚓P隨機變 量；否則量；否則X和和Y就是相關的。就是相關的。 Corr（X，Y）=1意味著一個完全的正線性關系，意思意味著一個完全的正線性關系，意思 是說，我們對某常數(shù)是說，我們對某常數(shù)a和某常數(shù)和某常數(shù)b0可以寫可以寫Y=a+bX。 Corr（X，Y）=-1則意味著一個完全的負線性關系，則意味著一個完全的負線性關系， 使得對某個使得對某個b0， 則則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=Corr（X，Y） 若若a1a20， 則則Corr（a1X+b1，a2Y+b2）=-Corr（X，Y） 作為一個例子，假定薪水和教育的總體相關系數(shù)是作為一

42、個例子，假定薪水和教育的總體相關系數(shù)是 0.15.這一度量將與用美元、千美元或任何其他單位計算這一度量將與用美元、千美元或任何其他單位計算 薪水都無關；與用年、季、月或其他單位來衡量受教育薪水都無關；與用年、季、月或其他單位來衡量受教育 時間也無關。時間也無關。 3.3.相關系數(shù)相關系數(shù) 第69頁/共175頁 一旦定義了協(xié)方差和相關系數(shù)，就可以把方差的主一旦定義了協(xié)方差和相關系數(shù)，就可以把方差的主 要性質完整地列出來。要性質完整地列出來。 性質性質VAR.3 對于常數(shù)對于常數(shù)a和和b，有，有 由此可知，若由此可知，若X和和Y不相關（從而不相關（從而Cov（X，Y）=0）則）則 和和 在后一情形

43、中，要注意為什么差的方差是（兩個）方差在后一情形中，要注意為什么差的方差是（兩個）方差 之和，而不是方差之差。之和，而不是方差之差。 4.4.隨機變量之和的方差隨機變量之和的方差 YX,2abCovYVarbXVarabYaXVar 22 YVarXVarYXVar YVarXVarYXVar 第70頁/共175頁 例：例： 令令X為星期五夜晚某酒店賺到的利潤，而為星期五夜晚某酒店賺到的利潤，而Y為接下來為接下來 星期六夜晚賺到的利潤。因此，星期六夜晚賺到的利潤。因此，Z=X+Y就是這兩個夜晚就是這兩個夜晚 賺的利潤。假定賺的利潤。假定X和和Y都有一個都有一個300美元的期望值和一個美元的期望

44、值和一個15 美元的標準差（因而方差為美元的標準差（因而方差為225）。兩夜晚的期望利潤將）。兩夜晚的期望利潤將 是是E（Z）=E（X）+E（Y）=2300=600美元。若美元。若X和和Y 獨立，從而它們也不相關，則總利潤的方差便是兩個方獨立，從而它們也不相關，則總利潤的方差便是兩個方 差之和：差之和：Var（Z）=Var（X）+Var（Y）=2225=450。 于是總利潤的標準差是于是總利潤的標準差是 ，約為，約為21.21美元。美元。 4.4.隨機變量之和的方差隨機變量之和的方差 450 第71頁/共175頁 從兩個變量推廣到多于兩個變量的情形。從兩個變量推廣到多于兩個變量的情形。 若隨機

45、變量若隨機變量 中的每一個變量與集合中中的每一個變量與集合中 其他任何一個變量都不相關，我們便稱其為其他任何一個變量都不相關，我們便稱其為兩兩不相關兩兩不相關 的隨機變量的隨機變量。也就是說，對所有的。也就是說，對所有的 ，都有，都有 4.4.隨機變量之和的方差隨機變量之和的方差 n X,X,X 21 ji 0 ji X,XCov 第72頁/共175頁 性質性質VAR.4 若若 是兩兩不相關的隨機變量且是兩兩不相關的隨機變量且 是常數(shù)，則是常數(shù)，則 用求和符號便可寫為用求和符號便可寫為 此性質的一個特殊情形就是，對所有此性質的一個特殊情形就是，對所有i都取都取ai=1.這時，對這時，對 兩兩不

46、相關的隨機變量來說，和的方差就是方差之和：兩兩不相關的隨機變量來說，和的方差就是方差之和： 4.4.隨機變量之和的方差隨機變量之和的方差 n X,X 1 n ,iai 1： n i ii n i ii XVaraXarVa 1 2 1 nnnn XVaraXVaraXa,XaarV 2 1 2 111 n i i n i i XVarXrVa 11 第73頁/共175頁 協(xié)方差和相關系數(shù)都是對兩個隨機變量之間線性關系協(xié)方差和相關系數(shù)都是對兩個隨機變量之間線性關系 的度量，并且對稱地處理兩者。在社會科學中更多的情況的度量，并且對稱地處理兩者。在社會科學中更多的情況 是，我們想用一個變量是，我們想

47、用一個變量X去解釋另一個變量去解釋另一個變量Y。而且，若。而且，若Y 和和X有非線性形式的關系，則我們還希望知道這個形式。把有非線性形式的關系，則我們還希望知道這個形式。把 Y叫做被解釋變量，而叫做被解釋變量，而X叫做解釋變量。例如叫做解釋變量。例如Y代表小時工代表小時工 資，而資，而X代表受過正式教育的年數(shù)。代表受過正式教育的年數(shù)。 可以通過給定可以通過給定X下下Y的的條件期望條件期望（有時又稱條件均值）（有時又稱條件均值） 來概括來概括Y和和X之間的關系。即，一旦我們知道之間的關系。即，一旦我們知道X取了某個特取了某個特 定值定值x，就能根據(jù)，就能根據(jù)X的這個結果算出的這個結果算出Y的期望

48、值。記作的期望值。記作E（ Y|X=x）或簡記）或簡記E（Y|x）。一般情形是，隨著）。一般情形是，隨著x的改變，的改變，E（ Y|x）也會改變。）也會改變。 5.5.條件期望條件期望 第74頁/共175頁 當當Y是取值為是取值為 的離散隨機變量時，則有的離散隨機變量時，則有 當當Y連續(xù)時，連續(xù)時， E（Y|x）便由對）便由對 的的y的所有可能值求的所有可能值求 積分來定義。好比無條件期望那樣，條件期望也是對積分來定義。好比無條件期望那樣，條件期望也是對Y所有所有 可能值的一個加權平均，只不過這時的權數(shù)反映了可能值的一個加權平均，只不過這時的權數(shù)反映了X已取了已取了 某個特殊值的情形。因此，某

49、個特殊值的情形。因此，E（Y|x）是）是x的某個函數(shù)，這個的某個函數(shù)，這個 函數(shù)告訴我們函數(shù)告訴我們Y的期望值如何隨的期望值如何隨x而變化。而變化。 5.5.條件期望條件期望 m y,y 1 m j iXYi xyfyxYE 1 xyf y iXY 第75頁/共175頁 例例 令（令（X，Y）代表一個工人總體，其中）代表一個工人總體，其中X為受教育年數(shù)為受教育年數(shù) ，Y為小時工資。那么，為小時工資。那么，E（Y|x=12）便是總體中所有受了）便是總體中所有受了 12年教育（相當于讀完高中）的工人的平均小時工資。年教育（相當于讀完高中）的工人的平均小時工資。 E（Y|x=16）則是所有受過）則是

50、所有受過16年教育的工人的平均小時工資年教育的工人的平均小時工資 。跟蹤各種教育水平的期望值，便為工資和教育之間的關。跟蹤各種教育水平的期望值，便為工資和教育之間的關 系提供了重要信息。系提供了重要信息。 5.5.條件期望條件期望 第76頁/共175頁 原則上，可以在每個教育水平上求出小時工資的期望值原則上，可以在每個教育水平上求出小時工資的期望值 ，然后將這些期望值列表。由于教育的變化范圍很大，然后將這些期望值列表。由于教育的變化范圍很大 且可度量為一年的某個分數(shù)且可度量為一年的某個分數(shù)所以用這種方法顯示平均所以用這種方法顯示平均 工資和受教育程度之間的關系很煩瑣。計量經(jīng)濟學中的典工資和受教

51、育程度之間的關系很煩瑣。計量經(jīng)濟學中的典 型方法是，設定一些足以刻畫這種關系的簡單函數(shù)。作為型方法是，設定一些足以刻畫這種關系的簡單函數(shù)。作為 一個例子，假設一個例子，假設WAGE在給定在給定EDUC時的期望值是如下線性時的期望值是如下線性 函數(shù)：函數(shù)： E（WAGE|EDUC）=1.05+0.45EDUC 假定這一關系對工人總體成立，則受假定這一關系對工人總體成立，則受8年和年和16年教育者的平年教育者的平 均工資分別是多少？均工資分別是多少？EDUC的系數(shù)如何解釋？的系數(shù)如何解釋？ 5.5.條件期望條件期望 第77頁/共175頁 條件期望的一些基本性質對計量經(jīng)濟分析中的推導條件期望的一些基

52、本性質對計量經(jīng)濟分析中的推導 頗為有用。頗為有用。 性質性質CE.1 對任意函數(shù)對任意函數(shù)c（X），都有），都有Ec（X）|X=c（X）。）。 這意味著，當我們計算以這意味著，當我們計算以X為條件的期望值時，為條件的期望值時，X的的 函數(shù)可視為常數(shù)。例如函數(shù)可視為常數(shù)。例如E（X2|X）=X2。直觀上，這無非。直觀上，這無非 就是說，若知道了就是說，若知道了X，也就知道了，也就知道了X2。 6.6.條件期望的性質條件期望的性質 第78頁/共175頁 性質性質CE.2 對任意函數(shù)對任意函數(shù)a（X）和）和b（X），）， 有有 例如，我們能很容易地計算像例如，我們能很容易地計算像XY+2X2這種函數(shù)

53、的條件這種函數(shù)的條件 期望：期望： 6.6.條件期望的性質條件期望的性質 XbXYEXaXXbYXaE 22 22XXYEXXXYXE 第79頁/共175頁 性質性質CE.3 若若X和和Y相互獨立，則相互獨立，則E（Y|X）=E（Y）。）。 這個性質意味著，若這個性質意味著，若X和和Y相互獨立，則相互獨立，則Y在給定在給定X時時 的期望值與的期望值與X無關，這是無關，這是E（Y|X）必定等于）必定等于Y的（無條的（無條 件）期望。在工資與教育一例中，假設工資獨立于教育件）期望。在工資與教育一例中，假設工資獨立于教育 ，則高中畢業(yè)生和大學畢業(yè)生的平均工資便相同。這幾，則高中畢業(yè)生和大學畢業(yè)生的平

54、均工資便相同。這幾 乎無疑是錯誤的，所以我們不能假定工資與教育是獨立乎無疑是錯誤的，所以我們不能假定工資與教育是獨立 的。的。 6.6.條件期望的性質條件期望的性質 第80頁/共175頁 性質性質CE.4 EE（Y|X）=E（Y）。）。 這個性質意味著，如果我們先把這個性質意味著，如果我們先把E（Y|X）看做）看做X的的 函數(shù)，再求這個函數(shù)的期望值，那么結果就是函數(shù)，再求這個函數(shù)的期望值，那么結果就是E（Y） 。 例：令例：令Y=WAGE和和X=EDUC，其中，其中WAGE為小時工為小時工 資，而資，而EDUC為受教育年數(shù)。假定給定為受教育年數(shù)。假定給定EDUC下下WAGE 的期望值是的期望值

55、是E（WAGE|EDUC）=4+0.6EDUC，且，且E（ EDUC）=11.5。則有。則有E（WAGE）=E（ 4+0.6EDUC ） =4+0.6 E（EDUC）=10.90美元美元/小時。小時。 6.6.條件期望的性質條件期望的性質 第81頁/共175頁 性質性質CE.5 若若E（Y|X）=E（Y），則），則Cov（X，Y）=0（因而（因而 Corr（X，Y）=0。事實上。事實上X的每個函數(shù)都與的每個函數(shù)都與Y不相關。不相關。 該性質的含義是，若對該性質的含義是，若對X的了解不能改變的了解不能改變Y的期望值的期望值 ，則，則X和和Y必然不相關。必然不相關。 注意：此性質的逆命題不成立。若

56、注意：此性質的逆命題不成立。若X和和Y不相關，不相關， E （Y|X）仍然可能取決于）仍然可能取決于X。 6.6.條件期望的性質條件期望的性質 第82頁/共175頁 1. 1.正態(tài)分布正態(tài)分布 正態(tài)分布和由它衍生出來的分布是統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟正態(tài)分布和由它衍生出來的分布是統(tǒng)計學和計量經(jīng)濟 學中最廣泛使用的分布。假定在總體上定義的隨機變量學中最廣泛使用的分布。假定在總體上定義的隨機變量 是正態(tài)分布，將使概率計算得以簡化。是正態(tài)分布，將使概率計算得以簡化。 五、正態(tài)及其有關分布五、正態(tài)及其有關分布 圖圖 正態(tài)概率密度函數(shù)的一般形狀正態(tài)概率密度函數(shù)的一般形狀 第83頁/共175頁 n當和時，稱X服 從

57、標準正態(tài)分布，記為 X。 2 2 2 )( 2 1 )( x exf ），（ 2 N 2 01 2 ），（ 10N 第84頁/共175頁 表正態(tài)分布與標準正態(tài)分布表正態(tài)分布與標準正態(tài)分布 第85頁/共175頁 ()( ) 1; P 1 2 1; (0) 0.5; (1.28) 0.9; (1.64) 0.95; (2.33) 0 ( .99; 1.96) 0.975 X xx aaaaaa （1） （2） （3） x 0 x-x )x( )x( )(x 圖 標準正態(tài)分布的分布函數(shù) 第86頁/共175頁 卡方分布（卡方分布（ 分布）是一種連續(xù)型隨機變量的概率分分布）是一種連續(xù)型隨機變量的概率分

58、布。這個分布是由別奈梅布。這個分布是由別奈梅(Benayme)、赫爾默特、赫爾默特(Helmert) 、皮爾遜分別于、皮爾遜分別于1858年、年、1876年、年、1900年所發(fā)現(xiàn)，它是由年所發(fā)現(xiàn)，它是由 正態(tài)分布派生出來的，主要用于列聯(lián)表檢驗。正態(tài)分布派生出來的，主要用于列聯(lián)表檢驗。 1. 1.卡方分布的數(shù)學形式卡方分布的數(shù)學形式 設隨機變量設隨機變量X1，X2，Xk，相互獨立，且都服從同一，相互獨立，且都服從同一 的正態(tài)分布的正態(tài)分布N (，2 2) )。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?。那么，我們可以先把它們變?yōu)闃?準正態(tài)變量準正態(tài)變量Z1，Z2，Zk，k個獨立標準正態(tài)變量的平方個獨立標準正態(tài)

59、變量的平方 和被定義為卡方分布（和被定義為卡方分布（ 分布）的隨機變量（分布）的隨機變量（ 讀作讀作卡卡 方）方） 六、六、卡方分布卡方分布 2 2 2 第87頁/共175頁 X即所謂具有即所謂具有n個個自由度（自由度（degrees of freedom，df）的的 分布分布。自由度概念在我們計量經(jīng)濟學中扮演著重要角色自由度概念在我們計量經(jīng)濟學中扮演著重要角色 。 1. 1.卡方分布的數(shù)學形式卡方分布的數(shù)學形式 k i i k i i k ZX XXX k 1 2 2 1 2 22 2 2 1 2 1 2 第88頁/共175頁 t分布在經(jīng)典統(tǒng)計學和多元回歸分析中廣為應用：它可分布在經(jīng)典統(tǒng)計學

60、和多元回歸分析中廣為應用：它可 以從一個標準正態(tài)和一個以從一個標準正態(tài)和一個 分布得到。分布得到。 設設Z服從標準正態(tài)分布，而服從標準正態(tài)分布，而X服從自由度為服從自由度為n的的 分布分布 。于是，隨機變量于是，隨機變量 便服從自由度為便服從自由度為n的的t分布，分布，記為記為Ttn。t分布的自由度得子分布的自由度得子 分母中的分母中的 隨機變量。隨機變量。 t分布的特點是：左右對稱；當分布的特點是：左右對稱；當n很大時，非常接近正很大時，非常接近正 態(tài)分布。態(tài)分布。 七、七、t分布分布 2 2 2 nX Z T 第89頁/共175頁 2 2 2 n X t 2 服從t分布（注：可以 將分子理