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1、精品文檔環(huán)球雅思學科教師輔導教案授課主題因式分解教學目標1、 使學生理解并掌握因式分解的概念2、 能夠熟練的運用提公因式法公式法、分組分解法、十字相乘法來解決常見的因式分解題授課日期及時段教學內容因式分解知識點一：因式分解的概念及注意事項因式分解是把一個多項式分解成幾個整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運算，在初中代數中占有重要地位和作用，在其它學科中也有廣泛應用，學習本章知識時，應注意以下幾點。1. 因式分解的對象是多項式；2. 因式分解的結果一定是整式乘積的形式；3. 分解因式，必須進行到每一個因式都不能再分解為止；4. 公式中的字母可以表示單項式，也可以表示多項式；5. 結果如有相同因式

2、，應寫成冪的形式；6. 題目中沒有指定數的范圍，一般指在有理數范圍內分解；知識點二：因式分解基本方法方法一提公因式法1 、提公因式法分解因式的一般形式，如:ma+mb+mc=m（ a+b+c）.這里的字母a 、 b 、 c、 m 可以是一個系數不為1 的、多字母的、冪指數大于1 的整式 .2 、提公因式法分解因式，關鍵在于觀察、發(fā)現多項式的公因式.3 、找公因式的一般步驟精品文檔精品文檔（ 1 ）若各項系數是整系數，取系數的最大公約數；（ 2 ）取相同的字母，字母的指數取較低的；（ 3 ）取相同的多項式，多項式的指數取較低的.（ 4 ）所有這些因式的乘積即為公因式.4 、注意事項：多項式的公因

3、式應是各項所共有的最高因式，公因式的系數原則上是不定的。但對整系數的多項式，其公因式的系數一般取所有系數的最大公約數；對分數系數的多項式，其公因式的系數一般取所有分母的最小公倍數分之一；公因式的字母取各項共有的字母，各相同字母的指數取其次數最低的。公因式可以是單項式也可以是多項式，有時要進行適當變形才能出現公因式。題型展示：1 、將下列各式分解因式：（ 1 ） 3a(xy) - 2b(xy) ;（ 2 ） 12(mn) 218(mn ) 3 ;（ 3 ） 3(2 x y) 6( y 2 x ) 3 ;（ 4 ） 1 a 2 b( p2q)3 ab2 (q p2 ) 2 ;482 、下列分解因式

4、結果正確的是()A. 6( x2)x(2x)( x 2)(6 x)B. x 32x 2x x( x 22x)C. a( ab) 2ab( ab)a(ab)D. 3x2 n6xn3xn( x2)提高練習1、如果= 6，=7，那么2b2b aabaab 的值是 ( )A.42B.42C.13D. 132、若 4x3 6x2=2x2(2 x+k) ，則 k=_.3、 .2( a b) 3 4( b a) 2=2( a b) 2(_).4、 .36 29 12 33=_.精品文檔精品文檔5、分解因式(1) ( x y)( x y) ( x y)2(2) 8a(x y)24b( y x)6. 計算與求值

5、29 20.03+72 20.03+13 20.03 14 20.03.7、 . 先化簡，再求值a(8 a)+ b( a 8) c(8 a) ，其中 a=1，b= 1 ， c= 1 .228、已知 2x y1， xy2 ，求 2x4 y 3x 3 y 4 的值 .8方法二公式法【知識精讀】把乘法公式反過來，就可以得到因式分解的公式。主要有：平方差公式a 2b2(ab)(ab)完全平方公式a 22abb2( a b) 2立方和、立方差公式a 3b 3( ab) (a 2ab b2 )運用公式法分解因式的關鍵是要弄清各個公式的形式和特點，熟練地掌握公式。但有時需要經過適當的組合、變形后，方可使用公

6、式。用公式法因式分解在求代數式的值，解方程、幾何綜合題中也有廣泛的應用。因此，正確掌握公式法因式分解，熟練靈活地運用它，對今后的學習很有幫助。下面我們就來學習用公式法進行因式分解精品文檔精品文檔題型展示：1m，b1，c1例 1. 已知：amm ，212223求 a 22abb22acc22bc 的值。解： a 22abb22acc22bc( ab) 22c(a b)c2( ab c) 2111am 1，bm 2， cm 3222原式(abc)22111( m 1)( m 2)( m 3)2221 m24說明：本題屬于條件求值問題，解題時沒有把條件直接代入代數式求值，而是把代數式因式分解，變形后

7、再把條件帶入，從而簡化計算過程。例 2. 已知 a b c0， a3b 3c30 ，求證：a5b5c50證明：a 3b3c33abc(ab c)( a2b2c2ab bc ca)把 abc0， a 3b3c 30 代入上式，可得 abc0，即 a0 或 b0 或 c0若 a0，則 bc ，a5b5c50若 b0 或 c0 ，同理也有a 5b5c50說明：利用補充公式確定a， b， c 的值，命題得證。精品文檔精品文檔例 3. 若 x 3y 327， x 2xyy 29 ，求 x 2y 2 的值。解：x 3y 3( x y)( x 2xy y 2 ) 27且 x 2xyy 29xy3， x22x

8、yy29 (1)又 x 2xyy 29(2)兩式相減得xy0所以 x 2y 29說明：按常規(guī)需求出x， y 的值，此路行不通。用因式分解變形已知條件，簡化計算過程。常見題型：例 1：因式分解： x 3 4xy 2 _。解： x 34xy 2x( x 24y2 )x( x2y)( x2 y)說明：因式分解時，先看有沒有公因式。此題應先提取公因式，再用平方差公式分解徹底。例 2：分解因式：2 x3 y8x 2 y28xy 3_。解： 2x 3 y8x 2 y 28xy 32xy (x 24xy4 y2 )2 xy( x2 y)2說明：先提取公因式，再用完全平方公式分解徹底。提高練習1. 利用提公因

9、式法簡化計算過程例：計算98798798798712326845652113681368136813682. 分解因式：（ 1） 4m2 n3 12m3 n 2 2mn精品文檔精品文檔（ 2） a 2 x n 2abxn 1acxnadxn 1（ n 為正整數）（ 3） a(ab)32a2 (b a) 22ab(ba) 23. 計算： (2) 11( 2) 10 的結果是（）A. 2100B.210C. 2D. 1方法三分組分解法【知識精讀】把各項適當分組，先使分解因式能分組進行，再使分解因式在各組之間進行分組時要用到添括號：括號前是“ +”號，括到括號里的各項都不變符號；括號前面是“-”號，

10、括到括號里的各項都改變符號分組分解法的原則是分組后可以直接提公因式，或者可以直接運用公式。使用這種方法的關鍵在于分組適當，而在分組時，必須有預見性。能預見到下一步能繼續(xù)分解。而“預見”源于細致的“觀察” ，分析多項式的特點，恰當的分組是分組分解法的關鍵。應用分組分解法因式分解，不僅可以考察提公因式法，公式法，同時它在代數式的化簡，求值及一元二次方程，函數等學習中也有重要作用。題型展示：例 1. 分解因式： m2 (n 21)4mn n 21解： m 2 ( n 21)4mnn 2122m221m n4mnn(m2 n 22mn1) ( m 22mnn2 )(mn1) 2( mn) 2(mnmn

11、 1)( mnmn 1)說明：觀察此題，直接分解比較困難，不妨先去括號，再分組，把4mn 分成 2mn 和 2mn，配成完全平方和平方差公式。例 2. 已知： a 2b21， c2d 21，且 acbd0 ，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab1cd1精品文檔精品文檔ab( c2d 2 )cd(a 2b2 )abc2abd 2cda 2cdb 2(abc2cdb 2 )(abd 2cda2 )bc(acbd)ad(bdac)(acbd)( bcad)acbd 0原式0說明：首先要充分利用已知條件a 2b 21，c 2d21 中的 1（任何數乘以1，其值不變），其次利用分解因式將式子變

12、形成含有ac+bd 因式乘積的形式，由ac+bd=0 可算出結果。例 3.分解因式： x 32x3分析：此題無法用常規(guī)思路分解，需拆添項。觀察多項式發(fā)現當x=1 時，它的值為0 ，這就意味著是x32 x 3 的一個因式，因此變形的目的是湊x1這個因式。x 1解一（拆項）：x 32x 3 3x 33 2 x32x3( x2x1)21)1)( x2x( x(x1)(x 2x3)解二（添項）：x 32x 3 x 3x2x 22x 3x 2 ( x1)(x1)( x3)( x1)( x 2x3)說明：拆添項法也是分解因式的一種常見方法，請同學們試拆一次項和常數項，看看是否可解？常見題型例 1.分解因式

13、：1m2n 22mn_。解： 1m2n22 mn1(m22mnn 2 )1(mn) 2(1mn)(1m n)說明：觀察此題是四項式，應采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應把后三項結合在一起，再應用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式：x2y 2xy_精品文檔精品文檔解： x 2y2x y (x 2y 2 ) (x y)(xy)( xy)( x y)(xy)( xy1)說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結合，看成整體提取公因式。例 3. 分解因式：x 33x 24x12_解： x 33x 24x12x 34x3x 212x(x 24)3( x 24)( x

14、3)( x2)( x2)說明：分組的目的是能夠繼續(xù)分解。提高練習1. 填空題：（ 1）分解因式： a 2 3a b 2 3b（ 2 ）分解因式： x 22x4 xy4 y 24 y（ 3）分解因式： 1 mn (1 mn) m3 n 3，求a32c2cb3的值。2. 已知： a b c 0aabc b方法四十字相乘法【知識精讀】對于首項系數是1 的二次三項式的十字相乘法，重點是運用公式x2(ab) xabxaxb 進行因式分解。掌握這種方法的關鍵是確定適合條件的兩個數，即把常數項分解成兩個數的積，且其和等于一次項系數。對于二次三項ax2bxc （ a、b、c 都是整數，且 a0 ）來說，如果存

15、在四個整數a1， c1 ， a2 ， c2滿 足a1a2a， c1c2c，并且a1c2a2 c1b，那么二 次三項式ax 2bxc即a1 a2 x 2a1c2a2 c1 xc1c2 可以分解為a1 xc1a2 xc2。這里要確定四個常數a1 ， c1 ， a2 ， c2 ，分析和嘗試都要比首項系數是1 的類型復雜，因此一般要借助畫十字交叉線的辦法來確定。精品文檔精品文檔下面我們一起來學習用十字相乘法因式分解。題型展示例 1. 若 x 2y 2mx5y6能分解為兩個一次因式的積，則m 的值為（）A. 1B. -1C.1D. 2解： x 2y 2mx 5y 6 x y x y mx 5y 6-6

16、可分解成2 3或32 ，因此，存在兩種情況：（ 1） x+y-2（2） x+y-3x-y3x-y2由（ 1）可得： m1，由（ 1）可得： m1故選擇 C。說明：對二元二次多項式分解因式時，要先觀察其二次項能否分解成兩個一次式乘積，再通過待定系數法確定其系數，這是一種常用的方法。例 2. 已知： a、 b、c 為互不相等的數，且滿足ac 24 bacb 。求證： abbc證明：ac 24 bac bac24 bacb0a22acc24bc4ac4ab 4b20ac 24b ac4b20ac202bac2b0abbc說明：抓住已知條件，應用因式分解使命題得證。例3. 若x3527xa 有一因式

17、x1。求 a，并將原式因式分解。x解：x 35x 27xa 有一因式 x1當 x10 ，即 x1 時， x35x27x a 0a3精品文檔精品文檔x35x27 x3x 3x24x 24x 3x 3x 2 x 1 4 x x 1 3 x 1x1x24 x3x1x1 x3x1 2 x3說明：由條件知，x1 時多項式的值為零，代入求得a，再利用原式有一個因式是x 1 ，分解時盡量出現 x1 ，從而分解徹底。常見題型例 1.把 4x 4 y 25x 2 y29 y 2 分解因式的結果是 _ 。解： 4 x4 y 25x 2 y29 y 2y 24x45x 29y 24x29x 21y 2 x 21 2

18、x 3 2 x 3說明：多項式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，繼續(xù)分解徹底。例 2.：因式分解：6x27x5_解： 6x 27x52 x1 3x5說明：分解系數時一定要注意符號，否則由于不慎將造成錯誤。1(m22mnn 2 )1(mn) 2(1mn)(1m n)說明：觀察此題是四項式，應采用分組分解法，中間兩項雖符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，應把后三項結合在一起，再應用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式： x2y 2x y_解： x 2y2x y(x 2y 2 ) (x y)(xy)( xy)( x y)(xy)( xy1)說明：前兩項符合平方差公式，把后兩項結合，看成整體提取公因式。精品文檔精品文檔例 3. 分解因式：x 33x 24x