專(zhuān)題10 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（知識(shí)精講）（解析版）

1、專(zhuān)題十 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積 知識(shí)精講一 知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi) 容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積、體積求多面體的表面積、體積旋轉(zhuǎn)體的表面積、體積 求旋轉(zhuǎn)體的表面積、體積球的截面問(wèn)題求有關(guān)球的截面面積、體積與球有關(guān)的切、接問(wèn)題求有關(guān)幾何體的體積、表面積二.學(xué)法指導(dǎo)1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積,因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段的長(zhǎng),是掌握它們的表面積有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵2計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題3在幾何體的體積計(jì)算中,注意體會(huì)“分割思想”、“補(bǔ)體思想”

2、及“等價(jià)轉(zhuǎn)化思想”4.圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開(kāi)圖的面積,因此弄清側(cè)面展開(kāi)圖的形狀及側(cè)面展開(kāi)圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系,是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問(wèn)題的關(guān)鍵5計(jì)算柱體、錐體和臺(tái)體的體積,關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高,要充分運(yùn)用多面體的有關(guān)截面及旋轉(zhuǎn)體的軸截面,將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題6.求球的表面積與體積的一個(gè)關(guān)鍵和兩個(gè)結(jié)論(1)關(guān)鍵：把握住球的表面積公式S球4R2,球的體積公式V球R3是計(jì)算球的表面積和體積的關(guān)鍵,半徑與球心是確定球的條件把握住公式,球的體積與表面積計(jì)算的相關(guān)題目也就迎刃而解了(2)兩個(gè)結(jié)論：兩個(gè)球的表面積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的平方；兩個(gè)球的體

3、積之比等于這兩個(gè)球的半徑比的立方7.有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決8注意一個(gè)直角三角形,即由球心距(球心到截面圓心的距離)、截面圓的半徑、球的半徑圍成一個(gè)直角三角形,滿足勾股定理9.常見(jiàn)的幾何體與球的切、接問(wèn)題的解決策略：(1)處理有關(guān)幾何體外接球或內(nèi)切球的相關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意球心的位置與幾何體的關(guān)系,一般情況下,由于球的對(duì)稱(chēng)性,球心總在幾何體的特殊位置,比如中心、對(duì)角線的中點(diǎn)等(2)解決此類(lèi)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就是根據(jù)幾何體的相關(guān)數(shù)據(jù)求球的直徑或半徑,關(guān)鍵是根據(jù)“切點(diǎn)”和“接點(diǎn)”,作出軸截面圖,把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)計(jì)算三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1 簡(jiǎn)單幾何體的

4、表面積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積多面體的表面積就是圍成多面體各個(gè)面的面積的和例題1.現(xiàn)有一個(gè)底面是菱形的直四棱柱,它的體對(duì)角線長(zhǎng)為9和15,高是5,求該直四棱柱的側(cè)面積【解析】如圖,設(shè)底面對(duì)角線ACa,BDb,交點(diǎn)為O,對(duì)角線A1C15,B1D9,a252152,b25292,a2200,b256.該直四棱柱的底面是菱形,AB264,AB8.直四棱柱的側(cè)面積S485160.知識(shí)點(diǎn)二 簡(jiǎn)單幾何體的體積棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積：棱柱的體積公式VSh(S為底面面積,h為高)；棱錐的體積公式VSh(S為底面面積,h為高)；棱臺(tái)的體積公式Vh(SS)其中,臺(tái)體的上、下底面面積分別為S、S,高為h.例題2：三

5、棱臺(tái)ABCA1B1C1中,ABA1B112,求三棱錐A1ABC,三棱錐BA1B1C,三棱錐CA1B1C1的體積之比【解析】設(shè)三棱臺(tái)的高為h,SABCS,則SA1B1C14S.VA1ABCSABChSh,VCA1B1C1SA1B1C1hSh.又V臺(tái)h(S4S2S)Sh,VBA1B1CV臺(tái)VA1ABCVCA1B1C1ShSh,體積比為124.知識(shí)點(diǎn)三 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積圓柱底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)2rl表面積：S2rl2r2圓錐底面積：S底r2側(cè)面積：S側(cè)rl表面積：Srlr2圓臺(tái)上底面面積：S上底r2下底面面積：S下底r2側(cè)面積：S側(cè)l(rr)表面積：S(r2r

6、2rlrl)例題3 .(1)一個(gè)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)正方形,這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是()A.B.C.D.(2)已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是2,6,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)求圓臺(tái)的表面積（1）【參考答案】A【解析】設(shè)圓柱底面半徑為r,則高為2r,表面積側(cè)面積(2r)22r2(2r)2.(2)【解析】設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l,則由題意得(26)l2262,8l40,l5,該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為5.由可得圓臺(tái)的表面積為S(26)522624043680.知識(shí)點(diǎn)四 圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積公式V圓柱r2h(r是底面半徑,h是高),V圓錐r2h(r是底面半徑,h是高)

7、,V圓臺(tái)h(r2rrr2)(r、r分別是上、下底面半徑,h是高)例題4圓錐的過(guò)高的中點(diǎn)且與底面平行的截面把圓錐分成兩部分的體積之比是()A11 B16 C17 D18【參考答案】C【解析】如圖,設(shè)圓錐底半徑OBR,高POh,O為PO中點(diǎn),PO,OA,V圓錐POR2h.V圓臺(tái)OOR2h.,故選C.知識(shí)點(diǎn)五 球的表面積與體積1球的表面積設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S4R2,即球的表面積等于它的大圓面積的4倍2球的體積設(shè)球的半徑為R,則球的體積VR3.例題5.(1)已知球的表面積為64,求它的體積；(2)已知球的體積為,求它的表面積【解析】(1)設(shè)球的半徑為r,則由已知得4r264,r4.所以球的體積：Vr3.(2)設(shè)球的半徑為R,由已知得R3,所以R5,所以球的表面積為：S4R2452100.五 易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一 三棱錐的體積例題6.如圖,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,E,F分別為線段AA1,B1C上的點(diǎn),則三棱錐D1EDF的體積為 【參考答案】【解析】利用三棱錐的體積公式直接求解VD1EDFVFDD1ESD1DEAB111.誤區(qū)警示幾何體中求三棱錐的體積,應(yīng)注意同底等高、等底等高的轉(zhuǎn)化。易錯(cuò)二 球的截面問(wèn)題例題7.已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6和8,則這兩個(gè)截面間的距離為 【參考答案】1或7【解析】若兩個(gè)平行截面在