運籌學(xué)排隊論合工大的免財富值PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 運籌學(xué)排隊論合工大的免財富值運籌學(xué)排隊論合工大的免財富值 2 一、排隊系統(tǒng)的一般表示一、排隊系統(tǒng)的一般表示 例例1 1 各個顧客由顧客源出發(fā)，到達服務(wù)機構(gòu)前排隊等候各個顧客由顧客源出發(fā)，到達服務(wù)機構(gòu)前排隊等候 服務(wù)，服務(wù)完了后就離開。服務(wù)，服務(wù)完了后就離開。 排隊結(jié)構(gòu)排隊結(jié)構(gòu)指隊列的數(shù)目和排列方式指隊列的數(shù)目和排列方式 排隊規(guī)則排隊規(guī)則和和服務(wù)規(guī)則服務(wù)規(guī)則是說明顧客在排隊系統(tǒng)中按怎樣的是說明顧客在排隊系統(tǒng)中按怎樣的 規(guī)則、次序接受服務(wù)的。規(guī)則、次序接受服務(wù)的。 顧客源顧客源 排隊結(jié)構(gòu)排隊結(jié)構(gòu) 排隊規(guī)則排隊規(guī)則 服務(wù)規(guī)服務(wù)規(guī) 則則 服服 務(wù)務(wù) 機機 構(gòu)構(gòu) 離去離去顧客到來顧客到來 排隊

2、系統(tǒng)排隊系統(tǒng) 第1頁/共56頁 3 現(xiàn)實生活中的排隊系統(tǒng)現(xiàn)實生活中的排隊系統(tǒng) 序序 號號 到達的顧客到達的顧客要求服務(wù)內(nèi)容要求服務(wù)內(nèi)容服務(wù)機構(gòu)服務(wù)機構(gòu) 1 1不能運轉(zhuǎn)的機器不能運轉(zhuǎn)的機器修理修理修理技工修理技工 2 2修理技工修理技工領(lǐng)取修配零件領(lǐng)取修配零件發(fā)放修配零件的管理員發(fā)放修配零件的管理員 3 3病人病人診斷或做手術(shù)診斷或做手術(shù)醫(yī)生醫(yī)生( (或包括手術(shù)臺或包括手術(shù)臺) ) 4 4電話呼喚電話呼喚通話通話交換臺交換臺 5 5文件搞文件搞打字打字打字員打字員 6 6提貨單提貨單提取存貨提取存貨倉庫管理員倉庫管理員 7 7駛?cè)敫劭诘呢洿側(cè)敫劭诘呢洿b裝( (卸卸) )貨貨裝裝( (卸卸)

3、)貨碼頭貨碼頭( (泊位泊位) ) 8 8上游河水進入水庫上游河水進入水庫放水，調(diào)整水位放水，調(diào)整水位水閘管理員水閘管理員 第2頁/共56頁 4 二、排隊系統(tǒng)的組成和特征二、排隊系統(tǒng)的組成和特征 輸入即指顧客到達排隊系統(tǒng)，可能有以下不同情況輸入即指顧客到達排隊系統(tǒng)，可能有以下不同情況 。 1 1、輸入過程、輸入過程 （1）顧客源的組成）顧客源的組成 有限的有限的 無限的無限的 （2）顧客到來的方式）顧客到來的方式 一個一個的一個一個的 成批成批 的的 （3）顧客相繼到達的間隔時間）顧客相繼到達的間隔時間 確定型確定型 的的 隨機型的隨機型的 （4）顧客的到來）顧客的到來 相互獨立的相互獨立的

4、關(guān)聯(lián)的關(guān)聯(lián)的 （5）輸入過程）輸入過程 平穩(wěn)的，或稱對時間是齊次的平穩(wěn)的，或稱對時間是齊次的 非平穩(wěn)的非平穩(wěn)的 第3頁/共56頁 5 2 2、排隊規(guī)則、排隊規(guī)則 顧客在排隊系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則、次序接受服務(wù)的顧客在排隊系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則、次序接受服務(wù)的 。 （1）顧客到達時，所有服務(wù)臺被占用）顧客到達時，所有服務(wù)臺被占用 隨即離去的隨即離去的 稱為稱為即時制（損失制即時制（損失制 ） 排隊等候稱為排隊等候稱為等待制等待制 先到先服務(wù)先到先服務(wù) 后到先服務(wù)后到先服務(wù) 隨機服務(wù)隨機服務(wù) 有優(yōu)先權(quán)有優(yōu)先權(quán) （2）從隊列占用空間）從隊列占用空間 有限的有限的 無限的無限的 （3）從隊列的數(shù)量）從隊列的數(shù)

5、量 單列單列 多列多列 第4頁/共56頁 6 3 3、服務(wù)機構(gòu)、服務(wù)機構(gòu) （1）服務(wù)員數(shù)量）服務(wù)員數(shù)量 沒有沒有 一個或多個一個或多個 （2）多服務(wù)臺時）多服務(wù)臺時 1 單隊單隊單服務(wù)臺單服務(wù)臺 多隊多隊多服務(wù)臺（并列多服務(wù)臺（并列 ） 單隊單隊多服務(wù)臺（并列多服務(wù)臺（并列 ） 1 2 c 1 2 c 第5頁/共56頁 7 （3）服務(wù)方式）服務(wù)方式 對單個顧客進行對單個顧客進行 對成批顧客進行對成批顧客進行 （4）服務(wù)時間）服務(wù)時間 確定確定 型型隨機型隨機型 （5）服務(wù)時間的分布我們總假定是平穩(wěn)的，即）服務(wù)時間的分布我們總假定是平穩(wěn)的，即 分布的期望值、方差等參數(shù)都不受時間的影響分布的期望值

6、、方差等參數(shù)都不受時間的影響 多服務(wù)臺（串列）多服務(wù)臺（串列） 1 2 3 1 2 多服務(wù)臺混合多服務(wù)臺混合 12c 第6頁/共56頁 8 三、排隊模型的分類三、排隊模型的分類 1、1953年，年，D.G.Kendall提出第一種分類方提出第一種分類方 法法 X/Y/Z X處填寫表示相繼到達間隔時間的分布處填寫表示相繼到達間隔時間的分布; Y處填寫表示服務(wù)時間的分布處填寫表示服務(wù)時間的分布 ; Z處填寫并列的服務(wù)臺的數(shù)目處填寫并列的服務(wù)臺的數(shù)目. 表示相繼到達間隔時間和服務(wù)時間的各種分布的符號表示相繼到達間隔時間和服務(wù)時間的各種分布的符號 : M負指數(shù)分布負指數(shù)分布 D確定確定 型型 Ekk階

7、愛爾朗分布階愛爾朗分布 GI 一般相互獨立的時間間隔的分布一般相互獨立的時間間隔的分布 G 一般服務(wù)時間的分布一般服務(wù)時間的分布 第7頁/共56頁 9 2、1971年關(guān)于排隊論符號的標準化會年關(guān)于排隊論符號的標準化會 議上決定，將議上決定，將Kendall符號擴展成為：符號擴展成為： X/Y/Z/A/B/C 前三項意義不變，而前三項意義不變，而 A處填寫系統(tǒng)容量限制處填寫系統(tǒng)容量限制N； B處填寫顧客源數(shù)處填寫顧客源數(shù)m； C處填寫服務(wù)規(guī)則。處填寫服務(wù)規(guī)則。 約定：約定： FCFSZYX/ 如如略略去去后后三三項項，即即指指 第8頁/共56頁 10 四、排隊系統(tǒng)的參數(shù)四、排隊系統(tǒng)的參數(shù) 1、隊

8、長、隊長(Ls)： 指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)。指在系統(tǒng)中的顧客數(shù)。 2、排隊長、排隊長(Lq)： 指系統(tǒng)中排隊等候服務(wù)的顧客數(shù)。指系統(tǒng)中排隊等候服務(wù)的顧客數(shù)。 3、逗留時間、逗留時間(Ws)：指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間。指一個顧客在系統(tǒng)中的停留時間。 4、等待時間、等待時間(Wq)：指一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間。指一個顧客在系統(tǒng)中排隊等待的時間。 Ls=Lq+正被服務(wù)的顧客數(shù)正被服務(wù)的顧客數(shù) Ws=Wq+服務(wù)時間服務(wù)時間 5、忙期：、忙期：指從顧客到達空閑服務(wù)機構(gòu)起到服務(wù)機構(gòu)再次空閑止指從顧客到達空閑服務(wù)機構(gòu)起到服務(wù)機構(gòu)再次空閑止 這段時間長度，即服務(wù)機構(gòu)連續(xù)繁忙的時間長度。這段時間長度，即服

9、務(wù)機構(gòu)連續(xù)繁忙的時間長度。 6、系統(tǒng)的狀態(tài)概率、系統(tǒng)的狀態(tài)概率Pn( t ) ：指系統(tǒng)中的顧客數(shù)為指系統(tǒng)中的顧客數(shù)為n的概率。的概率。 7、穩(wěn)定狀態(tài)：、穩(wěn)定狀態(tài)：limPn(t)Pn 第9頁/共56頁 11 一、經(jīng)驗分布一、經(jīng)驗分布 例例2 2 某服務(wù)機構(gòu)單服務(wù)臺，先到先服務(wù)，對某服務(wù)機構(gòu)單服務(wù)臺，先到先服務(wù)，對4141顧客記錄到達顧客記錄到達 時刻時刻 和服務(wù)時間和服務(wù)時間s s（單位：分鐘）如下表，表中第（單位：分鐘）如下表，表中第1 1號顧客到號顧客到 達時刻為達時刻為0 0。全部服務(wù)時間為。全部服務(wù)時間為127127（分鐘）。（分鐘）。 (1) i (2) i (3) si (4) t

10、i (5) wi (1) i (2) i (3) si (4) ti (5) wi (1) i (2) i (3) si (4) ti (5) wi 105205122710936120 227436194351038270 361567223461145520 41191282631051247423 第10頁/共56頁 12 (1) i (2) i (3) si (4) ti (5) wi (1) i (2) i (3) si (4) ti (5) wi (1) i (2) i (3) si (4) ti (5) wi 1349135238662233117447 145229324885

11、4634121267 1561110259213735127123 1662230269536536129612 17651502710124237130337 18703202810521038133527 197248129106131391352410 20803103010925040139438 2181222311141204114219 228333232116810 第11頁/共56頁 13 到達間隔分布表到達間隔分布表 服務(wù)時間分布表服務(wù)時間分布表 平均間隔時間：平均間隔時間： =142/40=3.55(分鐘分鐘/人人) 平均到達率：平均到達率： 41/142=0.28(人人

12、/分鐘分鐘) 平均服務(wù)率：平均服務(wù)率： 41/127=0.32(人人/分鐘分鐘) 平均服務(wù)時間：平均服務(wù)時間： 127/41=3.12(分鐘分鐘/人人 ) 到達間隔到達間隔 (分鐘分鐘) 次次 數(shù)數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10以上以上 6 10 8 6 3 2 2 1 1 1 合計合計40 服務(wù)時間服務(wù)時間 (分鐘分鐘) 次次 數(shù)數(shù) 1 2 3 4 5 6 7 8 9以上以上 10 10 7 5 4 2 1 1 1 合計合計41 第12頁/共56頁 14 二、二、PassionPassion分布分布 設(shè)設(shè)N(t)表示在時間表示在時間0, t)內(nèi)到達顧客數(shù)；內(nèi)到達顧客數(shù)； 令令Pn

13、(t1, t2)表示在時間區(qū)間表示在時間區(qū)間t1, t2)（t2 t1）內(nèi)有）內(nèi)有n（ 0 ）個顧客到達的概率，即）個顧客到達的概率，即 Pn(t1, t2)=P N(t2) N(t1)=n （t2t1，n 0） Passion分布的三條件：分布的三條件： (1) 無后效性：不相重疊的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達數(shù)相互獨立無后效性：不相重疊的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達數(shù)相互獨立 1 (2)( ,)()P t tttt 2 (3)( ,)() n n P t ttt 第13頁/共56頁 15 Pn(t+t)= Pn(t) ( 1-t+o(t) + Pn-1(t)t + o(t) 情情 況況 0, t)t, t+t

14、 )0, t+t ) 個個 數(shù)數(shù) 概率概率個個 數(shù)數(shù) 概率概率個個 數(shù)數(shù) 概率概率 (A) (B) (C) n n-1 n-2 n-3 0 Pn(t) Pn-1(t) Pn-2(t) Pn-3(t) P0(t) 0 1 2 3 n 1-t+o(t) t o(t) n n n n n Pn(t) ( 1-t+o(t) Pn-1(t)t o(t) 在上述條件下，研究顧客到達數(shù)在上述條件下，研究顧客到達數(shù) n 的概率分布的概率分布 第14頁/共56頁 16 Pn(t+t)= Pn(t)(1-t )+Pn-1(t)t+ o(t) Pn(t+t)-Pn(t)/t =-Pn(t)+Pn-1(t)+o(t)

15、/t 令令t0 d Pn(t)/dt= -Pn(t) +Pn-1(t) Pn(0)=0 （n 1 ） d P0(t)/dt= -P0(t) P0(0)=1 （n=0） P0(t)=e -t Pn(t)=(t)n e -t /n t 0, n=0，1，2 第15頁/共56頁 17 三、負指數(shù)分布三、負指數(shù)分布 fT（t）= e -t ， t 0 0 ，t0 1 ttt tttt t E Tt edttedttde teedtedtedt e ( )（） （） 000 0000 0 1 1 t ttt V TE TE Ttedt t etedttedt （ ）（）（ ） 222 2 0 2 22

16、000 222 1 11 22 211 第16頁/共56頁 18 一、一、M/M/1 M/M/1 模型模型 1 1、假設(shè)、假設(shè) （1）顧客到達的間隔時間滿足參數(shù)為）顧客到達的間隔時間滿足參數(shù)為的負指數(shù)分布的負指數(shù)分布 （2）服務(wù)時間滿足參數(shù)為）服務(wù)時間滿足參數(shù)為的負指數(shù)分布（的負指數(shù)分布（ ） （3）服務(wù)機構(gòu)是單服務(wù)臺）服務(wù)機構(gòu)是單服務(wù)臺 （4）顧客源是無限的，顧客相互獨立）顧客源是無限的，顧客相互獨立 （5）單隊排列，且對隊長沒有限制）單隊排列，且對隊長沒有限制 第17頁/共56頁 19 2 2、P Pn n的計算的計算 O表示發(fā)生（表示發(fā)生（1個）個） ， 表示沒有發(fā)生表示沒有發(fā)生 Pn(

17、t+t)= Pn(t)(1-t)(1- t) + Pn+1(t)(1-t)t + Pn-1(t)t(1- t) + Pn(t)tt 情況情況 在時刻在時刻t 顧客數(shù)顧客數(shù) 在區(qū)間（在區(qū)間（t, t+t）在時刻在時刻t+t 顧客數(shù)顧客數(shù) 到達到達離去離去 (A) (B) (C) (D) n n+1 n-1 n O O O O n n n n 第18頁/共56頁 20 整理得整理得 ： Pn(t+t)=Pn(t)(1-t-t)+Pn+1(t)t+Pn-1(t)t+o(t) Pn(t+t)-Pn(t)/t =Pn-1(t)+Pn+1(t)-(+)Pn(t) (1) t0 dPn(t)/dt=Pn-1

18、(t)+Pn+1(t)(+)Pn(t) 考慮考慮P0(t)的情況：的情況： P0(t+t)=P0(t)(1-t)+P1(t)(1-t)t t0 dP0(t)/dt=-P0(t)+P1(t) (2) 由由dPn(t)/dt=0得到得到 -P0+P1=0 (3) Pn-1+Pn+1-(+)Pn=0 (4) 第19頁/共56頁 21 n n PP ()P 2 00 1 1 111 1 n n P Pn 0 1 (1),1 1 PP 0 由式由式(3)得得 , 0 1 2 n n PPn（ ）， ， 0 通過求解可得通過求解可得 單位時間內(nèi)到達的平均顧客數(shù)單位時間內(nèi)到達的平均顧客數(shù) 單位時間內(nèi)服務(wù)的平

19、均顧客數(shù)單位時間內(nèi)服務(wù)的平均顧客數(shù) 服務(wù)強度服務(wù)強度 參數(shù)意義：參數(shù)意義： 第20頁/共56頁 22 3 3、M/M/1M/M/1參數(shù)計算參數(shù)計算 （1）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（）系統(tǒng)中平均顧客數(shù)（Ls） Sn n LnP 23 0 (1)2(1)3(1) 23 (1)(23) S S 23 234 23 23 S 23 (1) 1 s L 1 記記 第21頁/共56頁 23 （2）隊列中等待的平均顧客數(shù)（）隊列中等待的平均顧客數(shù)（Lq） qnnns nnn LnPnPPL 111 (1) （3）顧客逗留時間（）顧客逗留時間（Ws） s WE W 1 （4）隊列中顧客等待時間（）隊列中顧客等待時間（

20、Wq） qs WW 1 第22頁/共56頁 24 它們的相互關(guān)系如下：它們的相互關(guān)系如下： , , ssqq sqqq LWLW WWLL 1 第23頁/共56頁 25 例例3 100個工作小時內(nèi)每小時個工作小時內(nèi)每小時 來就診的病人數(shù)來就診的病人數(shù)n出現(xiàn)次數(shù)如下出現(xiàn)次數(shù)如下 100個完成手術(shù)的病例所用時個完成手術(shù)的病例所用時 間間v(小時小時)出現(xiàn)的次數(shù)如下出現(xiàn)的次數(shù)如下 到達的病到達的病 人數(shù)人數(shù)n 出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) tn 0 1 2 3 4 5 6 10 28 29 16 10 6 1 合計合計100 為病人完成手術(shù)為病人完成手術(shù) 時間時間v(小時小時) 出現(xiàn)次數(shù)出現(xiàn)次數(shù) tv 0.0-

21、0.2 0.2-0.4 0.4-0.6 0.6-0.8 0.8-1.0 1.0-1.2 1.2以上以上 38 25 17 9 6 5 0 合計合計100 第24頁/共56頁 26 解解 ： )/( 1 . 2 100 )1(小時小時人人病人平均到達率病人平均到達率 n nf )/(4 . 0 100 人人小時小時每次手術(shù)平均時間每次手術(shù)平均時間 v vf )/(5 . 2 4 . 0 1 小時小時人人平均服務(wù)率）平均服務(wù)率）每小時完成手術(shù)人數(shù)（每小時完成手術(shù)人數(shù)（ 0.84 2.5 2.1 5 . 2 , 1 . 2)2( 則則取取 )(25. 5 1 . 25 . 2 1 . 2 )3(人人

22、 s L )( 1 . 2 1 . 25 . 2 84. 0 小時小時 q W )(5 . 2 1 . 25 . 2 1 小時小時 s W )(41. 425. 584. 0人人 q L 第25頁/共56頁 27 假定系統(tǒng)最大容量為假定系統(tǒng)最大容量為N N，單服務(wù)臺情形排隊等待的顧客，單服務(wù)臺情形排隊等待的顧客 最多為最多為N-1N-1，下面只考慮穩(wěn)態(tài)情形：，下面只考慮穩(wěn)態(tài)情形： nnn NN PP PPPnN PP 10 11 1 (),1 n 1 nN N n N P P 0 1 1 1 1 1 1 二、二、M/M/1/N/ M/M/1/N/ 模型模型 解得：解得： 第26頁/共56頁 2

23、8 根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標 ： 有效到達率有效到達率e=(1-PN) 可以驗證：可以驗證：1-P0= e / qs W 1 W (4) 顧客等待時間顧客等待時間 q s N L L PP t 0 1 W 11（）（） (3) 顧客逗留時間顧客逗留時間 NN nN n N nP 1 s1 0 1 L, 1 11 （） (1) 隊長隊長 N nso n nPLP q 1 L11 （）（） (2) 隊列長隊列長 第27頁/共56頁 29 例例4 4 單人理發(fā)館有六個椅子接待客人。當單人理發(fā)館有六個椅子接待客人。當6 6個椅子都坐滿時，個椅子都坐滿時，

24、 后來的顧客不進店就離開。顧客平均到達率為后來的顧客不進店就離開。顧客平均到達率為3 3人人/ /小時，理小時，理 發(fā)需時平均發(fā)需時平均1515分鐘。則：分鐘。則： N=7為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，為系統(tǒng)中最大的顧客數(shù)，=3=3人人/ /小時，小時，=4=4人人/ /小時小時 （1）求某顧客一到達就能理發(fā)的概率。）求某顧客一到達就能理發(fā)的概率。 2778. 0 4/31 4/31 P 8 0 ）（ 概率為概率為相當于沒有顧客，所求相當于沒有顧客，所求 （2）求需要等待的顧客數(shù)的期望值。）求需要等待的顧客數(shù)的期望值。 11. 2 )4/3(1 )4/3(8 4/31 4/3 L 8 8 s 39.

25、1)2778. 01(11. 2)1(L 0q PLs 第28頁/共56頁 30 （3）求有效到達率。）求有效到達率。 e P 0 (1)4(10.2778)2.89 分鐘分鐘小時小時8 .4373. 089. 2/11. 2/ s es LW （4）求一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的時間。）求一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的時間。 （5）在可能到達的顧客中有百分之幾不等待就離開。）在可能到達的顧客中有百分之幾不等待就離開。 7 P 77 8 8 3 1 1/3 4 () ()( ) ()3.7% 3 1(/)4 1( ) 4 （人（人/ /小時）小時） 第29頁/共56頁 31 nnn mm Pm P PmnP

26、mnPnm PP 10 11 1 (1)(),11 )n(1 P)( )!( ! )( )!( ! 1 0 0 0 m im m P im m P n n m n i 解得：解得： 機器故障問題：機器故障問題：設(shè)共有設(shè)共有m m臺機器，機器故障停機表示到達臺機器，機器故障停機表示到達 ，待修機器形成隊列，修理工是服務(wù)員。，待修機器形成隊列，修理工是服務(wù)員。 顧客總體雖然只有顧客總體雖然只有m m個，但每個顧客服務(wù)后仍回到總體，個，但每個顧客服務(wù)后仍回到總體， 仍然可以到來。仍然可以到來。 三、顧客源為有限的情形（三、顧客源為有限的情形（M/M/1/mM/M/1/m） 第30頁/共56頁 32

27、根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標 ： (1-) s LmP（） 0 1 (1) qs P LmLP（） 0 0 ()(1) 2 1 s m W P （） 0 3 (1) 1 qs WW（）4 在機器故障問題中在機器故障問題中Ls就是平均故障臺數(shù)，而就是平均故障臺數(shù)，而 數(shù)。數(shù)。表示正常運轉(zhuǎn)的平均臺表示正常運轉(zhuǎn)的平均臺 )P-(1 0 s Lm 第31頁/共56頁 33 例例5 5 某車間有某車間有5 5臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指臺機器，每臺機器的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指 數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間數(shù)分布，平均連續(xù)運轉(zhuǎn)時間1515分鐘，有一個修理工，

28、每次分鐘，有一個修理工，每次 修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次1212分鐘。分鐘。 求求 （1 1）修理工空閑的概率；）修理工空閑的概率； （2 2）五臺機器都出故障的概率；）五臺機器都出故障的概率； （3 3）出故障的平均臺數(shù)；）出故障的平均臺數(shù)； （4 4）等待修理的臺數(shù)；）等待修理的臺數(shù)； （5 5）平均停工時間；）平均停工時間； （6 6）平均等待時間；）平均等待時間； （7 7）評價這些結(jié)果。）評價這些結(jié)果。 第32頁/共56頁 34 解解 ： , , m5,1/151/12/0.8 0073. 08 .136/1)8 . 0( ! 0 ! 5 )8

29、. 0( ! 1 ! 5 )8 . 0( ! 2 ! 5 )8 . 0( ! 3 ! 5 )8 . 0( ! 4 ! 5 )8 . 0( ! 5 ! 5 P )1( 154 3210 0 287. 0)8 . 0( !0 !5 P )2( 0 5 5 P )(76. 3)0073. 01( 8 . 0 1 5L )3( 5 臺臺 )(77.2993.076.3L )4( q 臺臺 )(4615 )007. 01( 12 1 5 W)5( s 分鐘分鐘 )(341246 W)6( q 分分鐘鐘 （7） 機器停工時間過長，修理工幾乎沒有空閑時間，機器停工時間過長，修理工幾乎沒有空閑時間， 應(yīng)當提高

30、服務(wù)率減少修理時間或增加修理工人。應(yīng)當提高服務(wù)率減少修理時間或增加修理工人。 第33頁/共56頁 35 一、一、M/M/cM/M/c ., .1, 率率或服務(wù)機構(gòu)的平均利用或服務(wù)機構(gòu)的平均利用這個系統(tǒng)的服務(wù)強度這個系統(tǒng)的服務(wù)強度 稱它為稱它為列列時才不會排成無限的隊時才不會排成無限的隊只有當只有當令令 cc () (c) 10 11 11 (1)(),1 (), nnn nnn PP nPPnPnc c PPcPn .11 0 ，且，且這里這里 i i P 規(guī)定各服務(wù)臺工作相互獨立且平均分配服務(wù)率相同，規(guī)定各服務(wù)臺工作相互獨立且平均分配服務(wù)率相同， 即即 1=2=c= 整個服務(wù)機構(gòu)的平均服務(wù)率

31、為整個服務(wù)機構(gòu)的平均服務(wù)率為 c, (nc) n, (n c) 第34頁/共56頁 36 用遞推法解上述差分方程，可求得狀態(tài)概率用遞推法解上述差分方程，可求得狀態(tài)概率 。 -1 -1 n- 1 () ! 1 () ! 1 () ! 0 0 0 0 11 1 c kc k n n n c P() kc! () Pnc n P () Pnc c c 根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標根據(jù)上式我們可以推導(dǎo)出系統(tǒng)的各項指標 ： 0 2 1 () ,() (1)！ c sqqn n c c LLLnc PP c 右邊右邊）（ ！ ）（因為因為 0 111 Pc cc n PnPcn cn n n n

32、cn cn n q s qs L L WW， 第35頁/共56頁 37 例例6 6 某售票所有三個窗口，顧客到達服從某售票所有三個窗口，顧客到達服從PassionPassion過程，平均到過程，平均到 達率每分鐘達率每分鐘=0=0.9(.9(人人),),服務(wù)服務(wù)( (售票售票) )時間服從負指數(shù)分布時間服從負指數(shù)分布, ,平均平均 服務(wù)率每分鐘服務(wù)率每分鐘=0.4(=0.4(人人).). ）符合要求的公式。）符合要求的公式。（ 。 ，。，型的系統(tǒng)，其中型的系統(tǒng)，其中如下圖。是一個如下圖。是一個 購票，購票，隊，依次向空閑的窗口隊，依次向空閑的窗口現(xiàn)設(shè)顧客到達后排成一現(xiàn)設(shè)顧客到達后排成一 1 3

33、 252 2523/ c ccMM =0.9 窗口窗口(1) =0.4 窗口窗口(2) =0.4 窗口窗口(3) =0.4 第36頁/共56頁 38 代入公式得代入公式得 (1)整個售票所空閑的概率整個售票所空閑的概率 0748. 0 3/25. 21 1 ! 3 )25. 2( ! 2 )25. 2( ! 1 )25. 2( ! 0 )25. 2( 1 3210 P （2）平均隊長）平均隊長 （3）平均等待時間和逗留時間）平均等待時間和逗留時間 分鐘分鐘 分鐘分鐘 39. 44/189. 1 89. 190. 0/70. 1 s q W W （4）顧客到達后必須等待（即系統(tǒng)中顧客數(shù)已有）顧客

34、到達后必須等待（即系統(tǒng)中顧客數(shù)已有3人）的概率人）的概率 70. 10748. 0 )4/1( ! 3 4/3)25. 2( 2 3 q L 57. 00748. 0 )4/1( ! 3 )25. 2( )3( 3 nP 第37頁/共56頁 39 M/M/cM/M/c型系統(tǒng)和型系統(tǒng)和c c個個M/M/1M/M/1系統(tǒng)的比較系統(tǒng)的比較 上例中，排隊方式不變，但顧客到達后在每個窗口前各排一上例中，排隊方式不變，但顧客到達后在每個窗口前各排一 隊，且進入隊列后堅持不換，這就形成隊，且進入隊列后堅持不換，這就形成3 3個隊列，如下圖二每個隊列，如下圖二每 個隊列平均到達率為個隊列平均到達率為=0=0.

35、9/3=0.3.9/3=0.3（每分鐘），這樣（每分鐘），這樣 原來的系統(tǒng)就變成原來的系統(tǒng)就變成3 3個個M/M/1M/M/1型的子系統(tǒng)。型的子系統(tǒng)。 窗口窗口(1) =0.4 窗口窗口(2) =0.4 窗口窗口(3) =0.4 =0.9 =0.3 =0.3=0.3 第38頁/共56頁 40 現(xiàn)按現(xiàn)按M/M/1型解決這個問題，并與上表比較型解決這個問題，并與上表比較 ： 從表中各指標的對比可以看出單隊比三隊有顯著的優(yōu)越性從表中各指標的對比可以看出單隊比三隊有顯著的優(yōu)越性 模型模型 指標指標 (1)M/M/3型型(2)M/M/1型型 服務(wù)臺空閑的概率服務(wù)臺空閑的概率 顧客必須等待的概率顧客必須等

36、待的概率 平均隊列平均隊列 平均隊長平均隊長 平均逗留時間平均逗留時間 平均等待時間平均等待時間 0.0748 P(n3)=0.57 1.70 3.95 4.39(分鐘分鐘) 1.89(分鐘分鐘) 0.25(每個子系統(tǒng)每個子系統(tǒng)) 0.75 2.25(每個子系統(tǒng)每個子系統(tǒng)) 9.00(整個系統(tǒng)整個系統(tǒng)) 10(分鐘分鐘) 7.5(分鐘分鐘) 第39頁/共56頁 41 系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標如下系統(tǒng)的狀態(tài)概率和運行指標如下: N)n1(c c! c c)n(0 n! )(c 1 1 )( !k! )(c 1 0 c 0 c 0 k 0 P P P c c P n n n Nc k c 加以限制

37、現(xiàn)在不必對其中 c , c NcNc q sqN Pc LNc c LLcP 0 2 () 1()(1), !(1) (1), , q qsq N L WWW P 1 (1) 二、二、M/M/c/N/M/M/c/N/ 第40頁/共56頁 42 N)n1(c )( cc!n)!-(m m! c)n(0 )( n!n)!-(m ! ) m ( k)!-(m 1 ! ) c ( k)!-(mk! 1 1 ! 1 )1( 0 c-n 0 k m 1ck c 0 0 P P m P c m c c m m P n n k c k 其中其中 , nm snqn nn c LnPLnc P 11 () ()

38、 es mL q es sqqsss ee L L LLLmLMW，(3)(); 三、三、M/M/c/mM/M/c/m (2) (2) 平均故障臺數(shù)：平均故障臺數(shù)： 有效到達率：有效到達率： 第41頁/共56頁 43 （1 1）等待修理的機器平均數(shù)）等待修理的機器平均數(shù) （2 2）需要修理的機器平均數(shù)）需要修理的機器平均數(shù) （3 3）有效損壞數(shù)）有效損壞數(shù) （4 4）等待修理時間）等待修理時間 （5 5）停工時間）停工時間 1/4,/mc2,c /4)/1(5,m 小時），小時），（臺（臺，小時小時次次解解 0.3149 ) 8 1 () 8 1 () 8 1 ( ! 2 1 ! 2 2 )

39、4 1 ( ! 3 ! 2 1 ) 4 1 ( ! 4 1 ) 4 1 ( ! 5 1 ! 5 1 1543 2 210 0 P 002. 0,018. 0,074. 0,197. 0,394. 0 54321 PPPPP 例例7 7 設(shè)有兩個修理工人，負責(zé)設(shè)有兩個修理工人，負責(zé)5 5臺機器的正常運行，每臺機臺機器的正常運行，每臺機 器平均損壞的概率為每運轉(zhuǎn)一小時器平均損壞的概率為每運轉(zhuǎn)一小時1 1次，兩個工人能以相同次，兩個工人能以相同 的平均修復(fù)率的平均修復(fù)率4 4（次（次/ /小時）修好機器。求小時）修好機器。求: : 第42頁/共56頁 44 (1) Lq=P3+2P4+3P5=0.1

40、18 (3) e=1(5-1.094)=3.906 (4) Wq=0.118/3.906=0.03小時小時 (5) Ws=1.094/3.906=0.28小時小時 094. 12 )2( 10 1 PPcLnPL q m n ns 第43頁/共56頁 45 服務(wù)時間是任意分布的情形服務(wù)時間是任意分布的情形 ： sqse sq ssqq LLL WWE T LWLW , 一、一、M/G/1M/G/1 服務(wù)時間服務(wù)時間T T的分布是一般的其它的條件和標準的的分布是一般的其它的條件和標準的M/M/1M/M/1型型 相同。為了達到穩(wěn)態(tài)，相同。為了達到穩(wěn)態(tài)，11這一條件是必要的這一條件是必要的, ,其中

41、其中 = =ET.ET. )K-(P )1(2 L 22 s 公式公式 在上述條件下，則有在上述條件下，則有 TV 第44頁/共56頁 46 例例8 8 有一售票口有一售票口, ,已知顧客按平均為已知顧客按平均為2 2分分3030秒的時間間隔的負秒的時間間隔的負 指數(shù)分布到達指數(shù)分布到達. .顧客在售票口前服務(wù)時間平均為顧客在售票口前服務(wù)時間平均為2 2分鐘分鐘.(1).(1)若若 服務(wù)時間也服從負指數(shù)分布服務(wù)時間也服從負指數(shù)分布, ,求顧客為購票所需的平均逗留時求顧客為購票所需的平均逗留時 間和等待時間間和等待時間;(2);(2)若經(jīng)過調(diào)查若經(jīng)過調(diào)查, ,顧客在售票口前至少要占用顧客在售票口

42、前至少要占用1 1 分鐘分鐘, ,且認為服從服務(wù)時間服從負指數(shù)分布是不恰當?shù)那艺J為服從服務(wù)時間服從負指數(shù)分布是不恰當?shù)? ;而應(yīng)而應(yīng) 服從以下概率密度分布服從以下概率密度分布. . 等待時間。等待時間。再求顧客的逗留時間和再求顧客的逗留時間和 ）（ 1y 0 1y 1y e yf 8 . 0/ 0.5,1/2 , 4 . 05 . 2/11 ）（解解 分分 分分 8 10 1 q s W W 第45頁/共56頁 47 (2)令令y為服務(wù)時間，那么為服務(wù)時間，那么Y=1+X,X服從均值為服從均值為1的負的負 指數(shù)分布。于是指數(shù)分布。于是 0.8EY 1VXxV1VY , 2 YE （分）（分）

43、（分）（分） 公式，得公式，得代入代入 5/ W 7/ W 2L 8 . 2 )8 . 01 (2 14 . 08 . 0 8 . 0L q s q 22 s q s s L L L KP 第46頁/共56頁 48 二、二、M/D/1M/D/1 服務(wù)時間是確定的常數(shù)，例如在一條裝配線上完成一件工服務(wù)時間是確定的常數(shù)，例如在一條裝配線上完成一件工 作的時間應(yīng)是常數(shù)。自動的汽車的沖洗臺，沖洗一臺汽車的作的時間應(yīng)是常數(shù)。自動的汽車的沖洗臺，沖洗一臺汽車的 時間也是常數(shù)，這時時間也是常數(shù)，這時 1/ s TV TL 2 , 0, 2() 例例9 9 某實驗室有一臺自動檢驗機器性能的儀器，要求檢驗機某實

44、驗室有一臺自動檢驗機器性能的儀器，要求檢驗機 器的顧客按器的顧客按PassionPassion分布到達，每小時平均分布到達，每小時平均4 4個顧客，檢驗每個顧客，檢驗每 臺機器所需時間為臺機器所需時間為6 6分鐘。分鐘。 求求 :（1） 在檢驗室內(nèi)機器臺數(shù)在檢驗室內(nèi)機器臺數(shù)Ls(期望值期望值) （2） 等候檢驗的機器臺數(shù)等候檢驗的機器臺數(shù)Lq （3） 每臺機器在室內(nèi)消耗（逗留）時間每臺機器在室內(nèi)消耗（逗留）時間Ws （4） 每臺機器平均等待檢驗的時間每臺機器平均等待檢驗的時間Wq 第47頁/共56頁 49 )(533. 0 )4 . 01(2 )4 . 0( 4 . 0L (1) 0 10 4

45、 )( 10 1 E(T)4 2 s 臺臺 ，小時小時，解解 TV （分鐘）（分鐘）小時小時8)(133. 0 4 533. 0 W)3( s （分鐘）（分鐘）小時小時2)(033. 0 4 133. 0 W)4( q 注：在一般服務(wù)時間分布的注：在一般服務(wù)時間分布的Lq和和Wq中以定長服務(wù)時間的中以定長服務(wù)時間的 為最小，這符合我們通常的理解為最小，這符合我們通常的理解服務(wù)時間越有規(guī)律，服務(wù)時間越有規(guī)律， 等候的時間就越短等候的時間就越短 q L 臺(2)0.5330.40.133() 第48頁/共56頁 50 三、三、M/EM/Ek k/1/1模型模型 階愛爾朗分布。階愛爾朗分布。服從服從 那么那么）數(shù)為數(shù)為相同的負指數(shù)