豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問(wèn)題及應(yīng)用

1、五、豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)是典型的變速運(yùn)動(dòng)，高中 階段只分析通過(guò)最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，經(jīng)?？疾榕R 界狀態(tài)，其問(wèn)題可分為以下兩種模型 一、兩種模型 增大，注意 桿與繩不同，在最高點(diǎn)，桿對(duì)球既能產(chǎn) 生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力，還可對(duì)球的作用力為零.小結(jié) 如果小球帶電，且空間存在電磁場(chǎng)時(shí)，臨界條模型1: “輕繩類(lèi)”件應(yīng)是小球重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力的合力作為向心繩對(duì)小球只能 產(chǎn)生沿繩收縮方向 的拉力(圓圈軌道問(wèn) 題可歸結(jié)為輕繩 類(lèi))，即只能沿某一圖1個(gè)方向給物體力的作用，如圖 1、圖2所示，沒(méi)有物體支撐的小球，在豎直平面做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況:力，此時(shí)臨界速度 V M. gR (應(yīng)

2、根據(jù)具體情況具體分 析).另外，若在月球上做圓周運(yùn)動(dòng)則可將上述的g換成g月，若在其他天體上 則把g換成g天體.二、兩種模型的應(yīng)用【例1】如圖5所示，質(zhì) 量為m的小球從光滑的 斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止 下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最(1)臨界條件：在最高點(diǎn)，繩子(或圓圈軌道)對(duì)小球沒(méi)有力的作用，Vo =gR小球能通過(guò)最高點(diǎn)的條件：V _ gR，當(dāng)V . gR時(shí)繩對(duì)球產(chǎn)生拉力，圓圈軌道對(duì)球產(chǎn)生向下的壓力(3)小球不能過(guò)最高點(diǎn)的條件：v y!gR，實(shí)際上球還沒(méi)到最高點(diǎn)就脫離了圓圈軌道，而做斜拋運(yùn)動(dòng)高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”，其中“恰能”是

3、隱含條件，即小球在最高點(diǎn)的臨界速度是v臨界=.Rg，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得 mgh二mg 2R mv臨界模型2 :“輕桿類(lèi)”有物體支撐的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)過(guò)最高點(diǎn)的情況，如圖3所示,(小球在圓環(huán)軌道內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)把v臨界二Rg代入上式得：R .【例2】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)帶負(fù)電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場(chǎng)力的小球， 從光滑的斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通 過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)的情況類(lèi)似“輕桿類(lèi)” 如圖4所示，)：(1)臨界條件：由于硬桿 和管壁的支撐作用，小 球恰能到達(dá)最高點(diǎn)的臨 界速度V) =0動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析

4、】此題屬于“輕桿類(lèi)”，帶電小球在圓形軌道 的最高點(diǎn)B受到三個(gè)力作用：電場(chǎng)力F =qE，方向豎直(2)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況:當(dāng)v=0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N =mg ；當(dāng) 0 : v ：. gR 時(shí)，因 mg - N22vV二 m ,則 N =mg -m .RR向上；重力mg ;彈力N 式，有2 mg N _qE = mB- 要使小球恰能通過(guò) 圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō) 明小球此時(shí)處于臨 界狀態(tài)，其速率vB為 臨界速度，臨界條件,方向豎直向下.由向心力公圖6是N =0 .由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為輕桿對(duì)小球的支持力 N豎直向上，其

5、大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是 mg N 0. 當(dāng)v = gR時(shí)，N =0 ;22 當(dāng) v , gR 時(shí)，貝V mg N =mV，即 N =m mg ,RR桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而1根據(jù)動(dòng)能定理，有 (mg -qE)(h -2R) =mvB 25解之得：hmin * * R22說(shuō)明 把式中的 mg - qE換成mB，較容 易求出RhminR2【例3】如圖6所示，在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一個(gè)帶正電q、質(zhì)量為m且重力大于所受電場(chǎng)力的小球， 從光滑的斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通 過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，問(wèn)A點(diǎn)的高度h至少應(yīng)為多少？【解析

6、】此題屬于“輕繩類(lèi)”，題中“恰能”是隱含 條件，要使帶電小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)B而做圓周運(yùn)動(dòng)，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速度，臨界條件是N =0 .由此可列出小球的臨界2狀態(tài)方程為： mg+qEumR1根據(jù)動(dòng)能定理，有 (mg+qE) (h_2R)=_mv；25由上述二式解得：hmin =?R小結(jié) 上述兩題條件雖然不同，但結(jié)果相同，為什么？由式可得：VB = (2m I因Vb只能取正值，即r、24m2g qB 主(qB) +. yRVB -2m,2 4m gqB+qB) +世因?yàn)殡妶?chǎng)力與重力做功具有相同的特點(diǎn)，重力做功僅 與初、末位置的高度差有關(guān)；在勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)力 做

7、功也僅與沿電場(chǎng)力方向的距離差有關(guān)我們不妨可以這樣認(rèn)為，例 2中的“等效重力加速度g ”比例1中的重力加速度 g減小,例3中的“等效重力加速度g2 ”比例1中的重力 加速度g增大.例2中v臨界f/Rg ,1 2 mg1h =mg1 2Rmv 臨界2qB+(qB)2 七2 4m2g【例5】如圖8所示，在豎直向下的均勻電場(chǎng)中， 一個(gè) 帶正電q、質(zhì)量為m的電荷，從光滑的斜面軌道的 A點(diǎn) 由靜止下滑，若小球恰能通過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻 強(qiáng)磁場(chǎng))，問(wèn)點(diǎn)A的高度h至少應(yīng)為多少？【解析】此題屬于 “輕繩類(lèi)”，題中 “恰能”是隱含條 件，要使小球恰能 通過(guò)圓形軌道的

8、最 高點(diǎn)B，說(shuō)明小球 此時(shí)處于臨界狀 態(tài)，其速率Vb為臨 界速率，臨界條件是則 hmin =2R 亠8m gN=0,由此可列出小球的臨界狀2態(tài)方程為 mg+qvBB+qE =“冬R1 2(mg qE) (h2R)mvB2由式可得：VB =衛(wèi)2m因Vb只能取正值，即Vb =旦|qB十2m!, 亠2 丄4mI.|qBr；(qB)(mg+qE)L.2 4m(qB) +*(mg+qE)例 3 中 v臨界二 Rg2 , mg?h 二mg? 2R 1 mv臨界.把v臨界代入各自對(duì)應(yīng)的式子，結(jié)果 mgt、mg2分別都約 去了，故 hmin =5R 2【例4】如圖7所示，一個(gè)帶正電q、質(zhì)量為m的電荷， 從光滑

9、的斜面軌道的 A點(diǎn)由靜止下滑，若小球恰能通 過(guò)半徑為R的豎直圓形軌道的最高點(diǎn)B(圓弧左半部分加上垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng) )，問(wèn)點(diǎn)A的高度至少 應(yīng)為多少？【解析】此題屬于“輕繩類(lèi)”，題中“恰能”是隱含 條件，要使小球恰能通過(guò)圓形軌道的最高點(diǎn)B，說(shuō)明小球此時(shí)處于臨界狀態(tài)，其速率vB為臨界速率，臨界條件是N =0 ,由此可列出小球的臨界狀態(tài)方程為mg +qvB B =mR1 2mgh =mg 2R mvB ,hmin =2R *R/2 4mo / 丄 qB+J(qB) + (mFqE) 8m(mg +qE) 勺R(shí)小結(jié) 小球受到的洛倫茲力與軌道的彈力有相同的特點(diǎn)，即都與速度v的方向垂直，它們對(duì)小球都不

10、做功， 而臨界條件是N =0 【例6】如圖9所示,ABD 為豎直平面內(nèi)的光滑絕 緣軌道，其中AB段是水 平的，BD段為半徑 R=0.2m的半圓，兩段軌 道相切于B點(diǎn)，整個(gè)軌道 處在豎直向下的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，場(chǎng)強(qiáng)大小E=5.0 103V/m . 一不帶電的絕緣小球 甲，以速度V0沿水平軌道向右運(yùn)動(dòng)，與靜止在B點(diǎn)帶正電的小球乙發(fā)生彈性碰撞。已知甲、乙兩球的質(zhì)量均為m =1.0 10kg，乙所帶電荷量 q =2.0 10*C , g 取10m/s2 .(水平軌道足夠長(zhǎng)，甲、乙兩球 可視為質(zhì)點(diǎn)，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程無(wú)電荷轉(zhuǎn)移 )(1 )甲乙兩球碰撞后，乙恰能通過(guò)軌道的最高點(diǎn)求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離；(2

11、) 在滿(mǎn)足(1)的條件下。求的甲的速度 v0 ；(3) 若甲仍以速度V。向右運(yùn)動(dòng)，增大甲的質(zhì)量，保持乙的質(zhì)量不變，求乙在軌道上的首次落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離范圍.【解析】(1 )在乙恰能通過(guò)軌道最高點(diǎn)的情況下，設(shè) 乙到達(dá)最高點(diǎn)速度為 vD，乙離開(kāi)D點(diǎn)到達(dá)水平軌道的 時(shí)間為t，乙的落點(diǎn)到B點(diǎn)的距離為x，貝Umg+qE=m 2R =_!(mg “丘八2R2x 二 vt聯(lián)立得x =0.4m(2)設(shè)碰撞后甲、乙的速度分別為 量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有mv。=mv甲亠mv乙1 2 1 2mv。mv甲 -2 2 聯(lián)立得，根據(jù)動(dòng)1 2 -mv乙 2v乙 =Vo由動(dòng)能定理，得 -mg1 2 1 2R _qE 2 R

12、mvD2 2聯(lián)立得v0 = J5(mg +Eq)R =2j5m/s mv乙V m(3)設(shè)甲的質(zhì)量為 M，碰撞后甲、乙的速度分別為 Vm、Vm ,根據(jù)動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律有Mv。=Mvm mvm1 2 1 2 1 2 Mv0MVm -mvm 2 2 2聯(lián)立得vm2MV。M +m由和M m，可得 vw VmV2v。設(shè)乙球過(guò)D點(diǎn)時(shí)速度為vD，由動(dòng)能定理得1 2 1 2-mg 2RqE 2R mvD mvm2 2 聯(lián)立O2得2m/s vD v8m/sO設(shè)乙在水平軌道上的落點(diǎn)距B點(diǎn)的距離x, x =vDtO聯(lián)立O4得：0.4m xv1.6m【例7】如圖10所示，桿長(zhǎng)為L(zhǎng) , 一端固定一質(zhì)量為m的

13、小球，桿的 質(zhì)量忽略不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)繞桿的另 一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn) 動(dòng).g =10m/s2 求：(1) 小球在最高點(diǎn) A的速度vA為 多少時(shí)，才能使桿和小球m的作用 力為零？(2) 小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力推力時(shí)的臨界速度分別是多少？F為拉力和 若 m =0.5kg , L =0.5m , Va =0.4m/s，則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B，桿對(duì)小球m的作用力多大？ 【解析】此題屬于“輕桿類(lèi)”.若桿和小Mfi* T圖11 圖12球m之間無(wú)相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)動(dòng)的向心 力僅由重力mg提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：2Va mg =m_L解得VagL(2)若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受拉力F，

14、受力如圖112所示，由牛頓第二定律，有：F+mg=myL解得若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受推力F ,受力如圖12所2示，由牛頓第二定律，有：mg F = m上L可見(jiàn)Va T：jgL是桿對(duì)小球 拉力之間突變的臨界速度.m的作用力F在推力和桿長(zhǎng)L =0.5m時(shí)，臨界速度v0 = gL =2.2m/s ,2Va =0.4m/sm匕，相應(yīng)的入射速度L滿(mǎn)足 4gR _v。： 5gR .應(yīng)有Vo應(yīng)14對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)應(yīng)有2mg cm*，相應(yīng)的入射速度Vo應(yīng)滿(mǎn)足Vo . 5gR小結(jié)本題中的小球不能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它的合力除最高點(diǎn)與最低點(diǎn)過(guò)圓(2)當(dāng)v = gR，因軌道對(duì)小球不能產(chǎn) 生彈力，故此時(shí)小球?qū)偤妹撾x

15、軌道做平拋運(yùn)動(dòng).如圖18所示，小球若通過(guò)凹半球的最低點(diǎn)時(shí)速度只要v -0即可.心外，其他條件下均不過(guò) 圓心，因而在一般位置處, 它具有切向加速度圖15yrnfift圖16【例9】如圖14所示，一內(nèi)壁光滑的環(huán)形細(xì)圓管位于 豎直平面內(nèi)，環(huán)的半徑 R(比細(xì)管的半徑大得多)，在 圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球A、B，質(zhì)量分別為mA、mB ,沿環(huán)形管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，當(dāng) A球運(yùn)動(dòng)到 最低點(diǎn)時(shí)，速度為 Va , B球恰到最高點(diǎn)，若要此時(shí)圓 管的合力為零，B的速度vb為多大？【解析】本題綜合考察了豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)臨界問(wèn) 題的分析，屬于“輕桿類(lèi)”.在最低點(diǎn)對(duì)A球進(jìn)行受力 分析，如圖15所示，應(yīng)用牛頓第二定律

16、有2Na mAg =mA VaR由牛頓第三定律，球 A對(duì)管有向下的壓力 Na，=Na , 根據(jù)題意Na二Nb,即球B對(duì)對(duì)管有向上的壓力 Nb, 球B受力情況，如圖16所示，由牛頓第三定律，管對(duì) 球B有向下的壓力 Nb , Nb =Nb，對(duì)球B應(yīng)用牛頓第2二定律，有： NB+mBg=mBJ,由于 na=nbR聯(lián)立可得 VJAVA2 +(mA+1)gRFbmB由以上分析可知，通過(guò)凸 (或凹)半球最高點(diǎn)(或最 低點(diǎn))的臨界條件是小球速度 0 ： v ：. gR (或v 0).【例10】如圖19所示，汽車(chē)質(zhì)量為1.5 104kg，以不 變速率通過(guò)凸形路面，路面半徑為 15m，若汽車(chē)安全 行駛，則汽車(chē)不

17、脫離最高點(diǎn)的臨界速度為多少 ？若汽車(chē) 達(dá)到臨界速度時(shí)將做何種運(yùn)動(dòng) ？水平運(yùn)動(dòng)位移為多少？【解析】(1)此題屬于“輕繩類(lèi)”，即軌道只能沿某一 方向給物體作用力，臨界條件為汽車(chē)對(duì)軌道壓力 n =0 ,則汽車(chē)不脫離最高點(diǎn)的臨界速度為Vo，則有：2mg =m*，可得 v;R(2)當(dāng)二gR時(shí)，汽車(chē)在軌道最高點(diǎn)僅受重力作用， 且有初速度，故做平拋運(yùn)動(dòng)，則R = 2 9上，x = Vot ,可得：x = 2R .【例11】小明站在水平地面上， 手握不可伸長(zhǎng)的輕繩一端，繩的 另一端系有質(zhì)量為 m的小球，甩 動(dòng)手腕，使球在豎直平面內(nèi)做圓 周運(yùn)動(dòng).當(dāng)球某次運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn) 時(shí)，繩突然斷掉，球飛離水平距 離d后落地，如

18、圖20所示.已知三、小球在凸、凹半球上運(yùn)動(dòng)如圖17所示，小球在凸半球上最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)：(1)當(dāng)o: v ：、.靈，小球不會(huì)脫離凸半球且能通過(guò)凸半握繩的手離地面高度為 d，手與圖203球之間的繩長(zhǎng)為-d ,重力加速度為g .忽略手的運(yùn)動(dòng)4 半徑和空氣阻力.(1)求繩斷時(shí)球的速度大小 v,和球落地時(shí)的速度大小V2 .(2 )問(wèn)繩能承受的最大拉力多大？(3 )改變繩長(zhǎng)，使球重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)。若繩仍在球運(yùn)動(dòng) 到最低點(diǎn)時(shí)斷掉，要使球拋出的水平距離最大，繩長(zhǎng) 應(yīng)為多少？最大水平距離為多少？【解析】(1)設(shè)繩斷后球飛行時(shí)間為t ,由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī) 律，有：豎直方向-d = gt242水平方向d ，得：比=2gd由機(jī)械能守恒定律，有：-mv；=mv： +mg (d -3 d),224球的最高點(diǎn).（2）設(shè)繩能承受的最大拉力為T(mén) ,這也是球受到繩的3411V3，繩承受最大拉力大小，球做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R=3d2由向心力公式，有T -mg =mt，解得TR（3）設(shè)繩長(zhǎng)為I，繩斷時(shí)球的速度大小為 的最大拉力不變，3gl繩斷后球做平拋運(yùn)動(dòng)，豎直位移為d,1 2時(shí)間為 ti，有：d _l =