相似三角形總復(fù)習(xí)模型總結(jié)

1、三角形相似總復(fù)習(xí)第一部分相似三角形知識(shí)要點(diǎn)大全知識(shí)點(diǎn)1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。（即對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊的比也相等的圖形）解讀：（1）兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看做由另一個(gè)圖形放大或縮小得到.（2）全等形可以看成是一種特殊的相似，即不僅形狀相同，大小也相同.（3）判斷兩個(gè)圖形是否相似，就是看這兩個(gè)圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān).例1 .放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢？分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒(méi)有改變.解：是相似圖形。因?yàn)樗鼈兊男螤钕嗤?，大小不一定相?例2 下列各組圖形：兩個(gè)平行四邊形；兩個(gè)圓；兩個(gè)矩形；有一個(gè)內(nèi)角80的兩個(gè)等腰三角形；兩個(gè)

2、正五邊形；有一個(gè)內(nèi)角是100。的兩個(gè)等腰三角形，其中一定是相似圖形的是 （填序號(hào)）.解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100。的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似.答案：.知識(shí)點(diǎn)2比例線(xiàn)段對(duì)于四條線(xiàn)段a,b,c,d，如果其中兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度的比與另兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)度的比相等，即-C （或b d a:b=c:d ）那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段，簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段.a c解讀：（1）四條線(xiàn)段a,b,c,d 成比例，記作=一（或a:b=c:d ）,不能寫(xiě)成其他形式，即比例線(xiàn)段b d有順序性.a c（2）

3、在比例式（或a:b=c:d ）中，比例的項(xiàng)為 a,b,c,d ，其中a,d為比例外項(xiàng)，b,c為比例內(nèi)項(xiàng)，db d是第四比例項(xiàng).a b（3）如果比例內(nèi)項(xiàng)是相同的線(xiàn)段，即或a:b=b:c，那么線(xiàn)段b叫做線(xiàn)段和的比例中項(xiàng)。b c 通常四條線(xiàn)段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時(shí)為了計(jì)算方便，a和b統(tǒng)一為一個(gè)單位，c和d統(tǒng)一為另一個(gè)單位也可以，因?yàn)檎w表示兩個(gè)比相等.a例3 .已知線(xiàn)段 a=2cm, b=6mm,求b分析：求 旦即求與長(zhǎng)度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比.b3、例4 .已知a,b,c,d 成比例，且 a=6cm,b=3dm,d= dm,求c的長(zhǎng)度.2分析：由a,b,c,d 成比例，

4、寫(xiě)出比例式 a:b=c:d，再把所給各線(xiàn)段 a,b,d 統(tǒng)一單位后代入求 c. 知識(shí)點(diǎn)3.相似多邊形的性質(zhì) 相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.解讀：（1）正確理解相似多邊形的定義，明確“對(duì)應(yīng)”關(guān)系.（2）明確相似多邊形的“對(duì)應(yīng)”來(lái)自于書(shū)寫(xiě)，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形 ABCD勺四邊長(zhǎng)分別是 4, 6, 8, 10,與四邊形ABCD相似的四邊形 ABCD的最大邊長(zhǎng)為 30,則四邊形 ABCD的最小邊長(zhǎng)是多少？分析：四邊形 ABCD與四邊形ABQD相似，且它們的相似比為對(duì)應(yīng)的最大邊長(zhǎng)的比，即為 多邊形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長(zhǎng).知識(shí)點(diǎn)4 相

5、似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.解讀：(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2) 應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來(lái)理解相似三角形；(3) 相似三角形應(yīng)滿(mǎn)足形狀一樣，但大小可以不同；(4) 相似用“s”表示，讀作“相似于”；(5) 相似三角形的對(duì)應(yīng)邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的，比如 AB3A AiBiC，相似比為 k,若厶ABGs1ABC則相似比為 1。若兩個(gè)三角形的相似比為1，則這兩個(gè)三角形全等，全等三k角形是相似三角形的特殊情況。若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形相似；若兩個(gè)三角形相似，則這兩個(gè)三角形不一定全等.例6.如圖，已知 ADEA ABC DE=2

6、, BC=4則和的相似比是多少？點(diǎn)D, E1丄，再根據(jù)相似3分別是AB AC的中點(diǎn)嗎？注意:解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)注意兩方面：(1)相似比的順序性，(2)圖形的識(shí)別解:DEADAEDE2 1因?yàn)?ADSA ABC所以因?yàn)?BCABACBC42 AD ae 1所以，所以D, E分別是AB, AC的中點(diǎn).AB AC 2知識(shí)點(diǎn)5.相似三角的判定方法(1) 定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似；(2) 平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其他兩邊(或其他兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn))所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3) 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似.(4) 如果一個(gè)三角的兩條邊

7、與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形 相似.(5) 如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.(6) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似.例7 .如圖，點(diǎn)D在厶ABC的邊AB上，滿(mǎn)足怎樣的條件時(shí)， ACMA ABC相似？試分別加以列舉.分析：此題屬于探索性問(wèn)題，由相似三角形的判別方法可知，ACD與 ABC已有公共角/ A,要使此兩個(gè)三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個(gè)條件即可.解：當(dāng)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件之一時(shí)，AC3A ABC條件一：竺=也 /仁/B;條件二：/ 2=Z ACB條件三：，即AC?=

8、AD AB.AC AB知識(shí)點(diǎn)6 .相似三角形的性質(zhì)(1) 對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等；(2) 對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比，對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相似比；(3) 相似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方.例 8.如圖，已知 ADEA ABC AD=8 BD=4, BC=15 EC=7(1) 求DE AE的長(zhǎng)；16（2） 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線(xiàn)段成比例.分析：此題重點(diǎn)考查由兩個(gè)三角形相似，可得到對(duì)應(yīng)邊成例，即.DEBCADABAEAC2例 9.已知 AB3A ABC,二一,3 ABC的周長(zhǎng)為20cm 面積為40cmf. Ai Bi求（1 ） ABC的周長(zhǎng)；（2）A ABC的面積.分析：根據(jù)相

9、似三角形周長(zhǎng)之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方求解.易求出 AiBG的周長(zhǎng)為30cm; ABQ的面積90cm第二部分相似三角形模型分析大全、相似三角形判定的基本模型認(rèn)識(shí)（不平行）（平行）（四）一線(xiàn)三等角型:（六）雙垂型:、相似三角形判定的變化模型旋轉(zhuǎn)型：由A字型旋轉(zhuǎn)得到1-口號(hào)亡8字型拓展共享性一線(xiàn)三等角的變形一線(xiàn)三直角的變形第三部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1 :如圖，梯形 ABCD中，AD / BC,對(duì)角線(xiàn) AC、BD交于點(diǎn)O, BE/ CD交CA延長(zhǎng)線(xiàn)于 E.2求證：OC =OA OE .例2 :已知：如圖， ABC中，點(diǎn)E在中線(xiàn)AD上，.DEB二 ABC .求證：(

10、1) DB2 二 DE DA ; (2) . DCE=/DAC .例3:已知：如圖，等腰 ABC中，AB = AC, AD丄BC于D , CG/ AB, BG分別交 AD、AC于E、F .求證：BEEF EG .相關(guān)練習(xí)：21如圖，已知 AD ABC的角平分線(xiàn)，EF為AD的垂直平分線(xiàn)求證：FD 二FB FC .2、已知：AD是 Rt ABC中/A的平分線(xiàn)，/ C=90, EF是AD的垂直平分線(xiàn)交 AD于M EF、BC的延長(zhǎng)線(xiàn) 交于一點(diǎn)M求證： AM3A NMD; (2)ND 2 =NC- NBA3、已知：如圖，在 ABC中，/ ACB=90 , CDL AB于D, E是AC上一點(diǎn)，CF丄BE于

11、F。 求證：EB- DF=AE- DB且/ EP=Z A 設(shè) AC5. 已知：如圖，在 Rt ABC中，/ C=90, BC=2, AC=4, P是斜邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PDLAB交邊 AC于點(diǎn)D (點(diǎn)D與點(diǎn)A C都不重合)，E是射線(xiàn)DC上一點(diǎn), P兩點(diǎn)的距離為 x，A BEP的面積為y.(1) 求證：AE=2PE(2) 求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；(3) 當(dāng)厶BEP-與 ABC相似時(shí)，求 BEP的面積.雙垂型1、如圖，在 ABC中，/ A=60, BD CE分別是AC AB上的高求證：(ABDA ACE (2) ADEA ABC (3)BC=2ED2、如圖，已知銳角 ABC ,

12、 AD、CE分別是BC、AB邊上的高， ABC和厶BDE的面積分別是 27和3,DE=6 2，求：點(diǎn)B到直線(xiàn)AC的距離。BDC共享型相似三角形,求等邊三角形的邊1 ABC是等邊三角形，D、B C E在一條直線(xiàn)上,/ DAE=I2O，已知bd=1, CE=3長(zhǎng)2、已知：如圖，在 Rt ABC 中，AB=AC,Z DAE =45求證：(1) ABEACD ;(2) BC2 =2BE CD .一線(xiàn)三等角型相似三角形例1:如圖，等邊 ABC中，邊長(zhǎng)為6, D是BC上動(dòng)點(diǎn)，/ EDF =60(1) 求證： BDE CFD(2) 當(dāng) BD=1, FC=3 時(shí)，求 BE例2: (1)在 ABC中，AB二AC

13、 = 5 , BC = 8，點(diǎn)P、Q分別在射線(xiàn)CB、AC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、 點(diǎn)B重合)，且保持.APQ =/ABC. 若點(diǎn)P在線(xiàn)段CB上(如圖)，且BP =6，求線(xiàn)段CQ的長(zhǎng)； 若BP二x , CQ二y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出函數(shù)的定義域；C備用圖備用圖(2)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5 (如下圖)，點(diǎn)P、Q分別在直線(xiàn)CB、DC上(點(diǎn)P不與點(diǎn)C、點(diǎn)B重合)，且保持NAPQ=90當(dāng)CQ=1時(shí)，求出線(xiàn)段 BP的長(zhǎng).CDDCCD例 3:已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, ADv BC,且 AD= 5, AB= DC= 2.(1)如圖8, P為AD上的一點(diǎn)，滿(mǎn)足/ BPC=Z A. 求證

14、； ABPs DPC 求AP的長(zhǎng).A PDBC17(2)如果點(diǎn)P在AD邊上移動(dòng)(點(diǎn) P與點(diǎn)A、D不重合)，且滿(mǎn)足/ BPE=Z A, PE交直線(xiàn)BC于 點(diǎn)E,同時(shí)交直線(xiàn)DC于點(diǎn)Q,那么 當(dāng)點(diǎn)Q在線(xiàn)段DC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè) AP=x, CQ= y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的 定義域； 當(dāng)CE= 1時(shí)，寫(xiě)出AP的長(zhǎng).AD例4:如圖，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB二CD=BC=6 , AD = 3 點(diǎn)M為邊BC的中點(diǎn)，以M為頂點(diǎn)作.EMF二/B，射線(xiàn)ME交腰AB于點(diǎn)E，射線(xiàn)MF交腰CD于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)EF (1) 求證： MEF BEM ；(2) 若厶BEM是以BM為腰的等腰三角形

15、，求 EF的長(zhǎng)；(3) 若EF _CD，求BE的長(zhǎng).181、如圖，在 ABC中，AB=AC=8 , BC=10, D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) E在AC邊上，且相關(guān)練習(xí):ADE C .求證： ABDDCE ;如果BD=x， AE=y，求y與x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出自變量當(dāng)點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)時(shí)，試說(shuō)明厶 ADE是什么三角形，并說(shuō)明理由.2、如圖，已知在厶 ABC中， AB=AC=6, BC=5 , D是AB上一點(diǎn)，BD=2, E是BC上一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié) DE , 并作.DEF二/B，射線(xiàn)EF交線(xiàn)段AC于F.(1)求證： DBEECF ;(2)當(dāng)F是線(xiàn)段AC中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段 BE的長(zhǎng)；(3) 聯(lián)結(jié)DF，如果

16、DEF與厶DBE相似，求FC的長(zhǎng).20B EC3、已知在梯形 ABCD 中，AD / BC, AD V BC,且 BC =6, AB=DC=4，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn).(1)如圖，P為BC上的一點(diǎn)，且2)如果點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)(點(diǎn)同時(shí)交直線(xiàn) AD于點(diǎn)M,那么 當(dāng)點(diǎn)F在線(xiàn)段CD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，設(shè) 定義域；9 當(dāng)S dmfS Bep時(shí)，求BP的長(zhǎng).BP=2 .求證： BEPCPD;P與點(diǎn)B、C不重合)，且滿(mǎn)足/ EPF = / C, PF交直線(xiàn)CD于點(diǎn)F ,bp= X，DF= y，求y關(guān)于X的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出函數(shù)的(第 25題圖)(備用圖)4、如圖，已知邊長(zhǎng)為3的等邊ABC，點(diǎn)F在邊BC上，CF

17、 =1，點(diǎn)E是射線(xiàn)BA上一動(dòng)點(diǎn)，以線(xiàn)段EF為邊向右側(cè)作等邊EFG，直線(xiàn)EG, FG交直線(xiàn)AC于點(diǎn)M , N ,(1) 寫(xiě)出圖中與 BEF相似的三角形；(2) 證明其中一對(duì)三角形相似；(3) 設(shè)BE =x,MN二y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量(4) 若AE =1，試求GMN的面積.備用圖21一線(xiàn)三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中，CD=2 ,AD=3，點(diǎn)P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且和點(diǎn)A,D不重合，過(guò)點(diǎn)P作PE _ CP , 交邊AB于點(diǎn)E,設(shè)PD二x, AE二y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出 x的取值范圍。AO 2例2、在 ABC中，.C =90,AC =4,BC =3,0是AB上的一點(diǎn)，且電二蘭，點(diǎn)P是AC上的