數(shù)學(xué)建模中的灰色預(yù)測

1、數(shù)學(xué)建模中的灰色方法 在數(shù)學(xué)建模的過程中，常常遇到一些諸如：人 口模型、全國的物資調(diào)運、運輸、生產(chǎn)銷售等問 題，其中有許多信息都無法確定，要建立這樣的 模型很困難。 現(xiàn)有的系統(tǒng)分析方法量化分析方法，大都是 數(shù)理統(tǒng)計方法但這種方法多用于少因素的、線性 的情形。對于多因素的、非線性的則難以處理。 針對這些不足，鄧聚龍教授創(chuàng)立了一種就數(shù)找 數(shù)的方法，即灰色系統(tǒng)生成法。創(chuàng)立灰色系統(tǒng)的 學(xué)科體系和灰色系統(tǒng)“概念與公理體系”，提出 灰生成空間、灰關(guān)聯(lián)空間理論、灰建模理論并創(chuàng) 立灰預(yù)測理論及方法體系。 一、灰色系統(tǒng) .定義：系統(tǒng)作為一個包含若干相互關(guān)聯(lián)、相互制約的 任意種類元素組成的具有某種特定功能的整體。

2、系 統(tǒng)內(nèi)部存在有物質(zhì)流、信息流、能量流。 系統(tǒng) （根據(jù)信息明確程度） 黑色系統(tǒng) （信息毫無所知 或知之甚少） 灰色系統(tǒng) （既含有已知信息 又有未知信息） 白色系統(tǒng) （信息完全明確） （一）灰色系統(tǒng)公理： 1.信息不完全、不確定的解是非唯一的；（解的非唯一性原理） 2.信息是認(rèn)識的根據(jù)；（認(rèn)識根據(jù)原理） 3.灰色系統(tǒng)理論的特點是充分開發(fā)利用已占有的“最小信息”； （最小信息原理） 4.新信息對認(rèn)識的作用大于老信息；（新信息優(yōu)先原理） （二）灰色系統(tǒng)的描述： 灰色系統(tǒng)用灰色參數(shù)、灰色方程、灰色矩陣、灰色度等綜 合描述，其中灰數(shù)是灰色系統(tǒng)的基本單元。 1.灰色參數(shù)（灰數(shù)） 灰數(shù)是那些只知道大概范圍而

3、不知其確切值的數(shù) （只知道部分?jǐn)?shù)學(xué)特征，而不知道具體數(shù)值的參數(shù)）。 例如：“某人的身高約為170cm、體重大致為60kg”， 這里的“（約為）170（cm）”、“60”都是灰數(shù)， 分別記為 、 。又如，“那女孩身高在157 160cm之間”，則關(guān)于身高的灰數(shù) 。 記為灰數(shù)的白化默認(rèn)數(shù)，簡稱白化數(shù)白化數(shù)。在灰色系 統(tǒng)理論中，把隨機(jī)變量看成灰數(shù)，即是在指定范圍內(nèi) 變化的所有白色數(shù)的全體。如代購一件價格為100元 左右的衣服，100可作為預(yù)購衣服價格的白化值。 灰數(shù)有離散灰數(shù)（ 屬于離散集）和連續(xù)灰數(shù) （ 屬于某一區(qū)間）。 160,157)( h 17060 2.灰色代數(shù)方程含有灰色系數(shù)的代數(shù)方程

4、如： 灰色微分方程為含有灰色導(dǎo)數(shù)或灰色微分的 方程，如 3.灰色矩陣行列數(shù)確知而含有灰元的矩陣 若在A的m*n個元素中，有N個灰色元素，則 可以用d表示這一矩陣的灰色度 03 x032 2 xx )( )( tbxa dt tdx nm N d 二、灰色生成數(shù)列 灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀表象復(fù)雜， 但總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi) 在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ?掘和利用它。灰色系統(tǒng)是通過對原始數(shù)據(jù)的 整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù) 尋求數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，即為灰色序列 的生成。一切灰色序列都能通過某種生成弱 化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。數(shù)據(jù)生成的常 用方式有累加生成、

5、累減生成和加權(quán)累加生 成。 （1）累加生成 把數(shù)列各項（時刻）數(shù)據(jù)依次累加的過程稱為累加生 成過程（AGO ）。由累加生成過程所得的數(shù)列稱為累加 生成數(shù)列。 設(shè)原始數(shù)列為 ，令 稱所得到的新數(shù)列 為數(shù)列 的1次累加生成數(shù)列。類似地有 稱為 的r次累加生成數(shù)列。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx , 2 , 1, )()( 1 )0()1( nkixkx k i )(,),2(),1 ( )1()1()1()1( nxxxx )0( x 1, 2 , 1, )()( 1 )1()( rnkixkx k i rr )0( x （2）累減生成 對于原始數(shù)據(jù)列依次做前后相

6、鄰的兩個數(shù)據(jù)相減的運算 過程稱為累減生成過程IAGO。如果原始數(shù)據(jù)列為 令 稱所得到的數(shù)列 為 的1次累減生成數(shù)列。 注：從這里的記號也可以看到，從原始數(shù)列 ，得到新數(shù) 列 ，再通過累減生成可以還原出原始數(shù)列。實際運用 中在數(shù)列 的基礎(chǔ)上預(yù)測出 ，通過累減生成得到預(yù) 測數(shù)列 。 )(,),2(),1( )1()1()1()1( nxxxx , 3 , 2),1()()( )1 ()1 ()0( nkkxkxkx )0( x )1( x )0( x )1( x )1( x )1( x )0( x （3）加權(quán)鄰值生成 設(shè)原始數(shù)列為 稱 為數(shù)列 的鄰值。 為后鄰值， 為前鄰值，對于常 數(shù) ，令 由此

7、得到的數(shù)列 稱為數(shù)列 在權(quán) 下的鄰值生 成數(shù)，權(quán) 也稱為生成系數(shù)。 特別地，當(dāng)生成系數(shù) 時，則稱 為均值生成數(shù)，也稱等權(quán)鄰值生成數(shù)。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx )(),1( )0()0( kxkx )0( x ) 1( )0( kx )( )0( kx 1 , 0 , 3 , 2),1()1 ()()( )0()0()0( nkkxkxkz )0( z )0( x 5 . 0 , 3 , 2),1(5 . 0)(5 . 0)( )0()0()0( nkkxkxkz 灰色系統(tǒng)理論的主要方法 關(guān)聯(lián)度分析法最基本的方法（一個由眾 多因素構(gòu)成的系統(tǒng)中哪些因素對系統(tǒng)

8、的影 響大/中/??？） 基于白化權(quán)函數(shù)的灰色統(tǒng)計和灰色聚類法。 灰色預(yù)測法（如GM（1，1）。 灰色決策。 灰色優(yōu)化技術(shù)（如灰色規(guī)劃等）。 三、灰色預(yù)測模型GM(m,n) 灰色系統(tǒng)理論是基于關(guān)聯(lián)空間、光滑離散函數(shù)等概念定義 灰導(dǎo)數(shù)與灰微分方程，進(jìn)而利用離散數(shù)據(jù)列建立微分方程 形式的動態(tài)模型，稱為灰色模型（GM）。 灰色預(yù)測是應(yīng)用灰色模型GM對灰色系統(tǒng)進(jìn)行分析、建模、 求解、預(yù)測的過程。由于灰色建模理論應(yīng)用數(shù)據(jù)生成手段， 弱化了系統(tǒng)的隨機(jī)性，使紊亂的原始序列呈現(xiàn)某種規(guī)律， 規(guī)律不明顯的變得較為明顯，建模后還能進(jìn)行殘差辨識， 即使較少的歷史數(shù)據(jù)，任意隨機(jī)分布，也能得到較高的預(yù) 測精度。因此，灰色預(yù)

9、測在社會經(jīng)濟(jì)、管理決策、農(nóng)業(yè)規(guī) 劃、氣象生態(tài)等各個部門和行業(yè)都得到了廣泛的應(yīng)用 (一)GM（1，1）模型 設(shè) 為原始數(shù)列，其1次累加生 成數(shù)列為 ，其中 定義 的灰導(dǎo)數(shù)為 令 為數(shù)列 的鄰值生 成數(shù)列，即 于是定義GM（1，1）的灰微分方程模型為 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx )(,),2(),1 ( )1()1()1()1( nxxxx , 2 , 1, )()( 1 )0()1( nkixkx k i )1( x ).1()()()( )1()1()0( kxkxkxkd )(,),3(),2( )1()1()1()1( nxxxz )1( x ),1()

10、1 ()()( )1()1()1( kxkxkz ,)()( )1( bkazkd 即或 （1） 在式（1）中， 稱為灰導(dǎo)數(shù)，a稱為發(fā)展系數(shù)， 稱為 白化背景值，b稱為灰作用量。 將時刻表 代入（1）式有 引入矩陣向量記號： 數(shù)據(jù)向量 參數(shù)向量 數(shù)據(jù)矩陣 ,)()( )1()0( bkazkx )( )0( kx)( )1( kz nk, 3 , 2 ,)()( ,)3()3( ,)2()2( )1()0( )1()0( )1()0( bnaznx bazx bazx )( )3( )2( )0( )0( )0( nx x x Y b a u 1)( 1)3( 1)2( )1( )1( )1(

11、 nz z z B 于是GM（1，1）模型可表示為 現(xiàn)在問題歸結(jié)為求a,b在值。用一元線性回歸，即最小二乘法求它 們的估計值為 注：實際上回歸分析中求估計值是用軟件計算的，有標(biāo)準(zhǔn)程序求 解，如matlab等。 GM（1，1）的白化型 對于GM（1，1）的灰微分方程（1），如果將灰導(dǎo)數(shù) 的時 刻 視為連續(xù)變量t，則 視為時間t函數(shù) ， 于是 對應(yīng)于導(dǎo)數(shù)量級 ，白化背景值 對應(yīng)于導(dǎo)數(shù) 。于是GM（1，1）的灰微分方程對應(yīng)于的白 微分方程為 （2） . uYB .)( 1 YBBB b a u TT )( )0( kx nk, 3 , 2 )1( x )( )1( tx )( )0( kx dt t

12、dx)( )1( )( )1( kz )( )1( tx ,)( )( )1( )1( btax dt tdx （二）GM（1，1）灰色預(yù)測的步驟 1.數(shù)據(jù)的檢驗與處理 為了保證GM（1，1）建模方法的可行性，需要對已知數(shù) 據(jù)做必要的檢驗處理。 設(shè)原始數(shù)據(jù)列為了 ， 計算數(shù)列的級比 如果所有的級比都落在可容覆蓋區(qū)間 內(nèi)，則數(shù)據(jù)列 可以建立GM（1，1）模型且可以進(jìn)行灰 色預(yù)測。否則，對數(shù)據(jù)做適當(dāng)?shù)淖儞Q處理，如平移變換： 取C使得數(shù)據(jù)列 的級比都落在可容覆蓋內(nèi)。 )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx ., 3 , 2, )( ) 1( )( )0( )0( nk kx

13、kx k ),( 1 2 1 2 nn eeX )0( x , 2 , 1,)()( )0()0( nkckxky 2. 建立GM（1，1）模型 不妨設(shè) 滿足上面的要 求，以它為數(shù)據(jù)列建立GM（1，1）模型 用回歸分析求得a,b的估計值，于是相應(yīng)的白化模型為 解為 （4） 于是得到預(yù)測值 從而相應(yīng)地得到預(yù)測值： )(,),2(),1 ( )0()0()0()0( nxxxx ,)()( )1()0( bkazkx ,)( )( )1( )1( btax dt tdx .) 1 ()( )1()0()1( a b e a b xtx ta , 1, 2 , 1,) 1 () 1( )0()1(

14、nk a b e a b xkx ak , 1, 2 , 1),() 1() 1( )1()1()0( nkkxkxkx 3. 檢驗預(yù)測值 （1）殘差檢驗：計算相對殘差 如果對所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求：否則，若 對所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。 （2）級比偏差值檢驗：計算 如果對所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到較高的要求；否則 若對所有的 ，則認(rèn)為達(dá)到一般要求。 , 2 , 1, )( )()( )( )0( )0()0( nk kx kxkx k 1 . 0| )(|k 2 . 0| )(|k ),( 5 . 01 5 . 01 1)(k a a k 1 . 0| )(|k 2 . 0| )(|k

15、 四、應(yīng)用舉例 SARS疫情對某些經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的影響問題 1.問題的提出 2003年的SARS疫情對中國部分行業(yè)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展 產(chǎn)生了一定的影響，特別是對部分疫情較嚴(yán)重的省市 的相關(guān)行業(yè)所造成的影響是明顯的，經(jīng)濟(jì)影響主要分 為直接經(jīng)濟(jì)影響和間接影響，直接經(jīng)濟(jì)影響涉及商品 零售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)等。很多方面難以進(jìn)行 定量地評估，現(xiàn)僅就SARS疫情較嚴(yán)重的某市商品零 售業(yè)、旅游業(yè)、綜合服務(wù)業(yè)的影響進(jìn)行定量的評估分 析。 究竟SARS疫情對 商品零售業(yè)、旅游業(yè)、 綜合服務(wù)業(yè)的影響有 多大,已知某市從1997 年1月到2003年12月 的商品零售額、接待 旅游人數(shù)、綜合服務(wù) 收入的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如圖: 2.模型

16、分析 根據(jù)所掌握的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以看出，在正常情況下，全 年的總和（或平均值）較好地反映了相關(guān)指標(biāo)的變化規(guī)律。 從而我們把預(yù)測分成兩部分：利用灰色理論建立GM(1,1)模 型，由19972002年的各年度總和值預(yù)測2003年的年度總 和值；再通過歷史數(shù)據(jù)計算每個月的指標(biāo)值與全年總和的 關(guān)系，就可以預(yù)測出2003年每個月的指標(biāo)值。 假設(shè)： (1) 假設(shè)所給的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可靠、準(zhǔn)確的； (2)假設(shè)該市在SARS疫情流行期間和結(jié)束之后，數(shù)據(jù)的變化 只與SARS疫情的影響有關(guān)，不考慮其他隨即因素的影響。 3.建立灰色預(yù)測模型GM(1,1) 由已知數(shù)據(jù)，對于19972002年某項指標(biāo)記為矩陣 計算每年的總和

17、，記為 檢驗比 （都符合要求）。對 作一次累加得數(shù)列 ，再作 的 鄰值加權(quán)平均，得數(shù)列 ，即 為確定參數(shù)，得到GM(1,1)的白化微分方程模型為 其中參數(shù)由灰微分方程 確定。 126 )( ij aA )6(,),2(),1 ( )0()0()0()0( xxxx )3307. 1 ,7515. 0(),()6 , 3 , 2( )( ) 1( )( 1 2 1 2 )0( )0( nn eek kx kx k )0( x )1( x )1( x ),( )6()2()1()1( zzzz ),1()1 ()()( )1()1()1( kxkxkz ,)( )( )1 ( )1 ( btax

18、dt tdx 6 , 3 , 2,)()( )1()0( kbkazkx 根據(jù)系數(shù)可求得白化微分方程的解： 故相應(yīng)地可以求出 即得到2003年的年度總和值 。再根據(jù)歷史數(shù)據(jù)，統(tǒng)計出第 個月的指標(biāo)值占全年總和值的比例 ，即 于是2003年的每個月的指標(biāo)值(預(yù)測值)為 .) 1 ()( )1()0()1( a b e a b xtx ta ).)() 1 ()() 1() 1( )1()0()1()1()0( kaak ee a b xkxkxkx )7( )0( x j j v .12, 2 , 1, )( 6 1 )0( 6 1 6 1 12 1 6 1 j ix a a a v i i ij

19、 ij ij i ij j ).()7( )0( jvx 4.模型求解 (1)商品零售額 由題目所給數(shù)據(jù)計算得 計算表明 的所有級比都再可容覆蓋區(qū)間內(nèi)。經(jīng)計算，當(dāng) 時，殘差檢驗中的相對誤差的絕對值之和最小，用 GM(1,1)模型計算得, 2003年的年度商 品零售額總和為 。 計算得各月的比例為 (0.0794,0.0807,0.0749,0.0786,0.0819,0.0818,0.0845,0.0838, 0.0872,0.0886,0.0866,0.0920) 因此2003年的各月的商品零售額的預(yù)測值為 (153.3065 155.8166 144.6178 151.7618 158.1335 157.9404 163.1536 161.8021 168.3668 171.0700 167.2083 177.6347) )9 .1744, 7 .1593,1421, 7 .130