專題38 空間幾何體（同步練習）（文）（解析版）

1、專題38 空間幾何體（同步練習）一、基礎(chǔ)概念例1-1下列說法正確的是( )。A、如果四棱錐的底面是正方形,那么這個四棱錐的四條側(cè)棱都相等B、五棱錐只有五條棱C、一個棱柱至少有五個面D、棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點【參考答案】CD【解析】四棱錐的底面是正方形,它的側(cè)棱可以相等,也可以不相等,A錯誤,五棱錐除了五條側(cè)棱外,底面上還有五條棱,故共條棱,B錯誤,一個棱柱最少有三個側(cè)面,兩個底面,故至少有五個面,C正確,棱臺是由平行于棱錐底面的截面截得,棱臺的各側(cè)棱延長后交于一點,D正確,故選CD。例1-2下列說法中正確的是( )。A、有兩個面平行,其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B、有兩個面平行,其余各

2、面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C、有一個面是多邊形,其余各面都是梯形的幾何體叫棱臺D、有一個面是多邊形,其余各面都是有一個大眾頂點的三角形的幾何體叫棱錐【參考答案】D【解析】若一個幾何體有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形,這個幾何體不一定是棱柱,有一個面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐,若一個幾何體有兩個面平行,且其余各面均為梯形,則它不一定是棱臺, 如圖所示的幾何體有兩個面互相平行,其余各面都是平行四邊形,但這個幾何體不是棱柱而是兩個棱柱組合的幾何體,其原因是不具備條件“每相鄰兩個四邊形的大眾邊都互相平行”；未必是棱錐、如圖所示的幾何體,滿足各面都是三角形,但這個幾何體

3、不是棱錐,因為它不滿足條件“其余各面都是有一個大眾頂點的三角形”。未必是棱臺,因為它們的側(cè)棱延長后不一定交于一點,如圖,用一個平行于楔形幾何體底面的平面去截楔形幾何體,截面與底面之間的幾何體雖有兩個面平行,其余各面是梯形,但它不是棱臺,所以看一個幾何體是否為棱臺,不僅要看是否有兩個面平行,其余各面是否為梯形,還要看其側(cè)棱延長后是否交于一點。例1-3下列圖形不是正方體表面展開圖的是( )。A、 B、 C、 D、【參考答案】C【解析】圖C不能圍成正方體。講解：1、多面體的展開與折疊問題解決方法技巧(1)解決與多面體表面展開圖有關(guān)的問題,要結(jié)合多面體的結(jié)構(gòu)特征,可以先給多面體的頂點標上字母,先畫底面

4、,然后依次畫出各側(cè)面,即可得到多面體的展開圖。(2)對于平面圖形的折疊,要根據(jù)展開圖的特點,分析折疊后哪些邊或點重合是關(guān)鍵。2、多面體面上兩點間最短距離問題解決方法空間中,求分別在幾何體兩個表面上的兩點間的最短距離問題,其解決方法一般是展開一個表面,把問題轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩點距離最短問題來解決?？偨Y(jié)：幾種常見的不能折疊成正方形的圖形：(1)五連子： (2)七字形：(3)凹字形： (4)田字形：例1-4如圖所示的是代表未折疊的正方體的展開圖,將其折疊起來,變成正方體后,圖形可能是( )。A、 B、C、 D、【參考答案】B【解析】由圖可知,折疊后三條線段在相鄰的三個平面內(nèi),并且互相平行,故排除A,C。

5、又由原平面圖知,只有兩個平面是空白的,排除D,故選B。例1-5一個正方體的六個面上分別標有字母、,下圖是此正方體的兩種不同放置,則與面相對的面上的字母是( )。A、B、C、D、或【參考答案】A【解析】選A。例1-6下列關(guān)于棱錐、棱臺的說法中,正確說法的序號是 。用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺；棱臺的側(cè)面一定不會是平行四邊形；棱錐的側(cè)面只能是三角形；棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥垮e,若平面不與棱錐底面平行,用這個平面去截棱錐,棱錐底面和截面之間的部分不是棱臺；對,棱臺的側(cè)面一定是梯形,而不是平行四邊形；對,由棱

6、錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；對,棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的,故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點；錯,如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐。點評：判斷一個幾何體是何種幾何體,一定要緊扣棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征,注意概念中的特殊字眼,切不可馬虎大意,如棱柱的概念中的“相鄰”,棱錐的概念中的“大眾頂點”,棱臺的概念中的“棱錐”“平行”等。例1-7如圖,下列幾何體中, 是棱柱, 是棱錐, 是棱臺(僅填相應序號)?！緟⒖即鸢浮?【解析】結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺的定義可知是棱柱,是棱錐,是棱臺。例1-8如圖所示,以下關(guān)于幾何體的正確說法的序號為 。這是一個六面體；這是一個四棱臺；這是一個四棱柱

7、；此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到；此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥空_,因為有六個面,屬于六面體的范圍,錯誤,因為側(cè)棱的延長線不能交于一點,所以不正確,正確,如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱,都正確,如圖所示。例1-9如圖所示,在棱錐中,截面平行于底面,且,已知的周長是,則的周長為 ?！緟⒖即鸢浮俊窘馕觥坑梢阎?又,的周長。例1-10長方體中,長寬高分別為、?，F(xiàn)有一甲殼蟲從出發(fā)沿長方體表面爬行到獲取食物,求其爬行路程的最小值?！窘馕觥啃∠x可以經(jīng)過面和兩個面到達(該路徑長與經(jīng)過和相同),此時將兩面放平,得到矩形,長為,寬為,小蟲沿對角線爬行,路徑長為,同理：

8、也可以經(jīng)過面和兩個面到達(路徑長與經(jīng)過和相同),此時將兩面放平得到矩形長為,寬為,小蟲沿對角線爬行,路徑長為,同理：還可以經(jīng)過面和兩個面到達(路徑長與經(jīng)過和相同),此時將兩面放平得到矩形長為,寬為,小蟲沿對角線爬行,路徑長為,則其爬行路程的最小值為。例1-11已知三棱柱,底面是邊長為的正三角形,側(cè)面為全等的矩形且高為。(1)一點自點出發(fā)沿著三棱柱的側(cè)面繞行一周后到達點的最短路線長；(2)一點自點出發(fā)沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周后到達點的最短路線長。 【解析】(1)將三棱柱側(cè)面沿側(cè)棱剪開,展成平面圖形如圖,則即為所求的最短路線,在中,(2)將三棱柱的側(cè)面都沿剪開,然后展開并拼接成如圖所示,則即為所求

9、的最短路線,在中,。二、求空間幾何體的表面積和體積例2-1求下列值：(1)圓柱的軸截面是正方形,它的面積為,求圓柱的高與底面的周長。(2)圓錐的軸截面是正三角形,它的面積是,求該圓錐的底面半徑、圓錐的高與母線的長。(3)圓臺的軸截面中,上、下底面邊長分別為,高為,求圓臺母線的長?！窘馕觥?1),；(2),；(3)。例2-2如圖,在四邊形中,求四邊形繞直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積及體積。【解析】,。例2-3正三棱錐的高為,底面邊長為,內(nèi)有一個球與它的四個面都相切,求：(1)棱錐的表面積；(2)內(nèi)切球的半徑。【解析】(1)如圖,過點作平面于,連結(jié)并延長交于,連結(jié),是正三角形,是邊上的高和中線,為

10、的中心,又,三棱錐的表面積為；(2)設(shè)內(nèi)切球的半徑為,以球心為頂點,棱錐的四個面為底面把正三棱錐分割為四個小棱錐,由等體積可得,內(nèi)切球的半徑為。例2-4養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽(供融化高速公路上的積雪之用)。已建的倉庫的底面直徑為,高。養(yǎng)路處擬建一個更大的圓錐形倉庫,以存放更多食鹽。現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原來增加(高不變)；二是高度增加(底面直徑不變)。(1)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的體積；(2)分別計算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；(3)哪個方案更經(jīng)濟些？【解析】(1)如果按方案一,倉庫的底面直徑變成,則倉庫的體積,如果按方案二,倉庫的高變成,則倉庫的體積；

11、(2)如果按方案一,倉庫的底面直徑為,半徑為,圓錐的母線長,則倉庫的表面積,如果按方案二,倉庫的高變?yōu)?圓錐的母線長,則倉庫的表面積；(3),方案二比方案一更加經(jīng)濟。例2-5如圖所示,在直三棱柱中,為的中點,。(1)求證：平面；(2)若三棱錐的體積為,求直三棱柱的表面積?！窘馕觥?1)設(shè)與相交于點,連接, 在中,為的中點,為的中點, 平面,平面,；(2)三棱錐的體積為,。例2-6如圖所示,在四棱錐中,且。(1)證明：平面平面；(2)若,且四棱錐的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積?！窘馕觥?1)由已知得：、,由于,故,又,、平面,平面,又平面,平面平面； (2)在平面內(nèi)作,垂足為,由(1)知平面,故,

12、可知平面,設(shè),則由已知可得,故四棱錐的體積,解得,從而,則四棱錐的側(cè)面積為：。例2-7如圖所示,四棱錐中,底面為平行四邊形,、分別為、的中點,、交于點。(1)求證：平面平面；(2)求三棱錐與四棱錐的體積之比?！窘馕觥?1)四邊形為平行四邊形,、為、的中點,、交于點,又平面,平面,平面,又是的中位線,又平面,平面,平面,平面,平面,平面平面； (2)、為、的中點, ,又,。例2-8如圖所示,在四棱錐中,底面為菱形,為的中點。(1)若,求證：平面；(2)若平面平面,且,點在線段上,且,求三棱錐的體積?！窘馕觥?1)證明：,又底面為菱形,連,則為正三角形,又,平面,平面；(2)解：平面平面,平面平面,平面,平面,又,平面,又,。例2-9如圖所示,四棱柱中,底面為菱形,底面,為的中點。(1)證明：平面平面；(2)若,點到平面的距離為,求三棱錐的體積?！窘馕觥?1)證明：連接,設(shè)與的交點為,連接,為的中點,為的中點,則平面,又平面,平面平面；(2)解：連接、,設(shè)交于點,由題意可知四邊