高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

1、豆丁網(wǎng) 遲來的豆客 精心整理制作高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié) 1. 對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。 中元素各表示什么？ a表示函數(shù)y=lgx的定義域，b表示的是值域，而c表示的卻是函數(shù)上的點(diǎn)的軌跡2 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 顯然，這里很容易解出a=-1,3.而b最多只有一個元素。故b只能是-1或者3。根據(jù)條件，可以得到a=-1,a=1/3. 但是， 這里千萬小心，還有一個b為空集的情況，也就是a=0,不要把它搞忘記了。3. 注意下列性質(zhì)：

2、 要知道它的來歷：若b為a的子集，則對于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對于元素a2, a3,an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇， 即集合a有個子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個元素全部在何全部不在的情況，故真子集個數(shù)為，非空真子集個數(shù)為 （3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要能夠看懂4. 你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。注意，有時候由集合本身就可以得到大量信息，做題時不要錯過； 如告訴你函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，就應(yīng)該馬上知道函數(shù)對稱軸是x=1.或者，我說在上 ，也應(yīng)該馬上可

3、以想到m，n實(shí)際上就是方程 的2個根5、熟悉命題的幾種形式、 命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？ （互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。） 原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。6、熟悉充要條件的性質(zhì)（高考經(jīng)?？迹?滿足條件，滿足條件，若 ；則是的充分非必要條件；若 ；則是的必要非充分條件；若 ；則是的充要條件；若 ；則是的既非充分又非必要條件；7. 對映射的概念了解嗎？映射f：ab，是否注意到a中元素的任意性和b中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對一，多對一，允許b中有元素?zé)o原象。）注意映射個數(shù)的求法。如集合a中有m個元素，集合b中有n個元素，則從a到b的映射個數(shù)有n

4、m個。如：若，；問：到的映射有 個，到的映射有 個；到的函數(shù)有 個，若，則到的一一映射有 個。函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個數(shù)為 個。 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？ （定義域、對應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時具備) 9. 求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 函數(shù)定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；l 指數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一；l 對數(shù)式的底數(shù)大于零且不等于一，真數(shù)大于零。l 正切函數(shù) l 余切函數(shù) l 反三角函數(shù)的定義域函數(shù)yarcsinx的定義域是 1, 1 ，值域是，函數(shù)yarccosx的定

5、義域是 1, 1 ，值域是 0, ，函數(shù)yarctgx的定義域是 r ，值域是.，函數(shù)yarcctgx的定義域是 r ，值域是 (0, ) .當(dāng)以上幾個方面有兩個或兩個以上同時出現(xiàn)時，先分別求出滿足每一個條件的自變量的范圍，再取他們的交集，就得到函數(shù)的定義域。10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 義域是_。 復(fù)合函數(shù)定義域的求法：已知的定義域?yàn)?，求的定義域，可由解出x的范圍，即為的定義域。例 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)?。分析：由函數(shù)的定義域?yàn)榭芍?；所以中有。解：依題意知： 解之，得 的定義域?yàn)?1、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值

6、域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個是二次）都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在判別式上面下面，我把這一類型的詳細(xì)寫出來，希望大家能夠看懂4、反函數(shù)法直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例 求函數(shù)y=值域。5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。例 求函數(shù)y=，的值域。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個內(nèi)容例

7、求函數(shù)y=（2x10）的值域7、換元法通過簡單的換元把一個函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：已知點(diǎn)p（x.y）在圓x2+y2=1上， 例求函數(shù)y=+的值域。解：原函數(shù)可化簡得：y=x-2+x+8 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)p（x）到定點(diǎn)a（2），b（-8）間的距離之和。由上圖可知：當(dāng)點(diǎn)p在線段ab上時，y=x-2+x+8=a

8、b=10當(dāng)點(diǎn)p在線段ab的延長線或反向延長線上時，y=x-2+x+8ab=10故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?0，+）例求函數(shù)y=+ 的值域解：原函數(shù)可變形為：y=+ 上式可看成x軸上的點(diǎn)p（x，0）到兩定點(diǎn)a（3，2），b（-2，-1）的距離之和，由圖可知當(dāng)點(diǎn)p為線段與x軸的交點(diǎn)時， y=ab=，故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?）。注：求兩距離之和時，要將函數(shù) 9 、不等式法利用基本不等式a+b2，a+b+c3（a，b，c），求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和式時要求積為定值，解析式是積時要求和為定值，不過有時須要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。例：倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另

9、一番境況例 求函數(shù)y=的值域多種方法綜合運(yùn)用總之，在具體求某個函數(shù)的值域時，首先要仔細(xì)、認(rèn)真觀察其題型特征，然后再選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ话銉?yōu)先考慮直接法，函數(shù)單調(diào)性法和基本不等式法，然后才考慮用其他各種特殊方法。12. 求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯誤，與到手的滿分失之交臂 13. 反函數(shù)存在的條件是什么？ （一一對應(yīng)函數(shù)） 求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？ （反解x；互換x、y；注明定義域） 在更多時候，反函數(shù)的求法只是在選擇題中出現(xiàn)，這就為我們這些喜歡偷懶的人提供了大方便

10、。請看這個例題：(2004.全國理)函數(shù)的反函數(shù)是（ b ）ay=x22x+2(x1)by=x22x+2(x1)cy=x22x (x=1. 排除選項(xiàng)c,d.現(xiàn)在看值域。原函數(shù)至于為y=1,則反函數(shù)定義域?yàn)閤=1, 答案為b.我題目已經(jīng)做完了， 好像沒有動筆（除非你拿來寫*書）。思路能不能明白呢？14. 反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？ 反函數(shù)性質(zhì)：1、 反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域 （可擴(kuò)展為反函數(shù)中的x對應(yīng)原函數(shù)中的y）2、 反函數(shù)的值域是原函數(shù)的定義域（可擴(kuò)展為反函數(shù)中的y對應(yīng)原函數(shù)中的x）3、 反函數(shù)的圖像和原函數(shù)關(guān)于直線=x對稱（難怪點(diǎn)（x,y）和點(diǎn)（y，x）關(guān)于直線y=x對稱 互為反函數(shù)的圖象關(guān)

11、于直線yx對稱； 保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性； 由反函數(shù)的性質(zhì)，可以快速的解出很多比較麻煩的題目，如（04. 上海春季高考）已知函數(shù)，則方程的解_.15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號或者與1的關(guān)系(2)參照圖象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特

12、例：偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時，它們是同向變化的；當(dāng)c0時，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yf(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yf(

13、x)是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yf(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yf(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 ）16. 如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？ 值是（ ） a. 0b. 1c. 2d. 3 a的最大值為3）17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩

14、個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18. 你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？ 函數(shù)，t是一個周期。） 我們在做題的時候，經(jīng)常會遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,

15、我們要馬上反應(yīng)過來，這時說這個函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，同時可能也會遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說同樣一個意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對稱， 對稱軸可以由括號內(nèi)的2個數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0) （這是書上的方法，雖

16、然我從來不用， 但可能大家接觸最多，我還是寫出來吧。對于這種題目，其實(shí)根本不用這么麻煩。你要判斷函數(shù)y-b=f(x+a)怎么由y=f(x)得到，可以直接令y-b=0,x+a=0,畫出點(diǎn)的坐標(biāo)。 看點(diǎn)和原點(diǎn)的關(guān)系，就可以很直觀的看出函數(shù)平移的軌跡了。） 注意如下“翻折”變換： 19. 你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？ (k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn)) 的雙曲線。 應(yīng)用：“三個二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 由圖象記性質(zhì)！ （注意底數(shù)的限定?。?利用它的單調(diào)性求最值與利用均

17、值不等式求最值的區(qū)別是什么？（均值不等式一定要注意等號成立的條件）20. 你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯誤嗎？ 21. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類常見的抽象函數(shù) 1. 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）2. 冪函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）3. 指數(shù)函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）ax- f（xy）f（x）f（y）；f（xy）4. 對數(shù)函數(shù)型的抽象

18、函數(shù)f（x）logax（a0且a1）-f（xy）f（x）f（y）；f（） f（x）f（y）5. 三角函數(shù)型的抽象函數(shù)f（x）tgx- f（xy）f（x）cotx- f（xy）例1已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f(x)0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.分析：先證明函數(shù)f（x）在r上是增函數(shù)（注意到f（x2）f（x2x1）x1f（x2x1）f（x1）；再根據(jù)區(qū)間求其值域.例2已知函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xn；f（ab） f（a）f（b

19、），a、bn；f（2）4.同時成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.分析：先猜出f（x）2x；再用數(shù)學(xué)歸納法證明.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.分析：（1）利用313；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性和已知關(guān)系式.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說明理由.分析：設(shè)f（a）m，f（b）n，則g（m）a，g（n）b，進(jìn)而mnf（a）f（b） f（ab）f g（m）g（n）.例8

20、已知函數(shù)f（x）的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且滿足以下三個條件： x1、x2是定義域中的數(shù)時，有f（x1x2）； f（a） 1（a0，a是定義域中的一個數(shù)）； 當(dāng)0x2a時，f（x）0. 試問：（1） f（x）的奇偶性如何？說明理由；（2） 在（0，4a）上，f（x）的單調(diào)性如何？說明理由. 分析：（1）利用f （x1x2） f （x1x2），判定f（x）是奇函數(shù)；（3） 先證明f（x）在（0，2a）上是增函數(shù)，再證明其在（2a，4a）上也是增函數(shù). 對于抽象函數(shù)的解答題，雖然不可用特殊模型代替求解，但可用特殊模型理解題意.有些抽象函數(shù)問題，對應(yīng)的特殊模型不是我們熟悉的基本初等函數(shù).因此，針對不同的

21、函數(shù)要進(jìn)行適當(dāng)變通，去尋求特殊模型，從而更好地解決抽象函數(shù)問題. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.分析：函數(shù)模型為：f（x）loga|x|（a0）（1） 先令xy1，再令xy 1；（2） 令y 1；（3） 由f（x）為偶函數(shù)，則f（x）f（|x|）.例10已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f（x）1，求證：（1） 當(dāng)x0時，0f（x）1；（2） f（x）在xr上是減函數(shù).分析：（1

22、）先令xy0得f（0）1，再令yx；（3） 受指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的啟發(fā)：由f（xy）f（x）f（y）可得f（xy），進(jìn)而由x1x2，有f（x1x2）1.練習(xí)題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則（ ）（a）f（0）0 （b）f（0）1 （c）f（0）0或1 （d）以上都不對2. 若對任意實(shí)數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯誤的是（ ）（a）f（1）0 （b）f（） f（x） （c）f（） f（x）f（y） （d）f（xn）nf（x）（nn）3.已知函數(shù)f（x）對一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時，f（x）1，則當(dāng)x

23、0時，f（x）的取值范圍是（ ）（a）（1，） （b）（，1）（c）（0，1） （d）（1，）4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且對定義域內(nèi)不同的x1、x2都有f（x1x2），則f（x）為（ ）（a）奇函數(shù)非偶函數(shù) （b）偶函數(shù)非奇函數(shù)（c）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （d）非奇非偶函數(shù)5.已知不恒為零的函數(shù)f（x）對任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（xy）f（xy）2f（x）f（y），則函數(shù)f（x）是（ ）（a）奇函數(shù)非偶函數(shù) （b）偶函數(shù)非奇函數(shù)（c）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （d）非奇非偶函數(shù)參考答案：1a 2b 3 c 4a 5b23. 你記得弧度的定義嗎？能寫出圓心角為，半徑為r的弧長公式和扇形面積公式嗎？ (和三角形的面積公式很相似， 可以比較記憶.要知道圓錐展開圖面積的求法)天星om權(quán)tesoon天星om權(quán)t 天星版權(quán)tesoontesoontesoon天星選校網(wǎng) 高考頻道 專業(yè)大全 歷年分?jǐn)?shù)線 上萬張大學(xué)圖片 大學(xué)視頻 院校庫 (按ctrl 點(diǎn)擊打開)選校網(wǎng)（）是為高三同學(xué)和家長提 供高考選校信息的一個網(wǎng)站。國內(nèi)目前有2000多所高校，高考過后留給考生和家長選校的時間緊、高校多、專業(yè)數(shù)量更是龐大，高考選校信息紛繁、復(fù)雜，高三 同學(xué)在面對高考選校時會不知所措。選校網(wǎng)就是為考生整理高考信息，這里有1517專業(yè)介紹，近2000所高校簡介、