平面解析幾何初步復習課教學設計

1、平面解析幾何初步復習課教學設計（一）教材分析解析幾何的主要內容為直線與圓，圓錐曲線，坐標系與參數(shù)方程。根據(jù)課程標準要 求，在必修2解析幾何初步中，學生學習的最基本內容為直線與直線方程，圓與圓的方 程，并初步建立空間坐標系的概念。這一內容是對全體學生設計的，大部分學生在選修 中還將進一步學習圓錐曲線，坐標系與參數(shù)方程等有關內容。因此，本章要求學生掌握 解析幾何最基本的思想方法 用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質，并學習最基本的直線，圓的方程，并通過方程研究他們的圖形性質。這樣的安排，一方面降低了解析 幾何的難度，多次反復又逐步提高學生對解析幾何的認識，另一方面對部分在解析幾何 學習上有較高要求的學生

2、，可以在選修部分拓廣加強。因此教學中，要體會必修 2的4個特點是學習立體幾何與解析幾何的初級階段 僅僅是初步是螺旋式上升的開始 感性認識到理性認識的過渡期。（二）課程內容標準（教學大綱與課程標準比較）教學大綱課程標準主要變化點直線和圓的方程（22課時）平面解析幾何初步（約18課時）1 平面解析幾何分直線的傾斜角和斜率。直線（1）直線與方程層為三塊：初步（必方程的點斜式和兩點式。直在平面直角坐標系中，結合具體修）、圓錐曲線（必線方程的般式。圖形，探索確定直線位置的幾何要選）和坐標系與參數(shù)兩條直線平行與垂直的條素。方程（自選）。件。兩條直線的交角。點到理解直線的傾斜角和斜率的概2 線性規(guī)劃問題移直

3、線的距離。念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率到數(shù)學5“不等用二元一次不等式表示平面的過程，掌握過兩點的直線斜率的式”部分；原立幾B區(qū)域。簡單線性規(guī)劃問題。計算公式。教材“空間直角坐實習作業(yè)。能根據(jù)斜率判定兩條直線平行標系”移至解幾初曲線與方程的概念。由已知或垂直。步。條件列出曲線方程。根據(jù)確疋直線位置的幾何要素，3 注重過程教學，圓的標準方程和般方程。 圓的參數(shù)方程。教學目標(1) 理解直線的傾斜角和斜 率的概念，掌握過兩點的直 線的斜率公式，掌握由一點 和斜率導出直線方程的方 法；掌握直線方程的點斜式、 兩點式和直線方程的般 式，并能根據(jù)條件熟練地求 出直線的方程。(2) 掌握兩條直線平行與垂

4、直的條件，掌握兩條直線所 成的角和點到直線的距離公 式；能夠根據(jù)直線的方程判 斷兩條直線的位置關系。(3) 會用二元一次不等式表 示平面區(qū)域。(4) 了解簡單的線性規(guī)劃問 題，了解線性規(guī)劃的意義， 并會簡單應用。(5) 了解解析幾何的基本思 想，了解用坐標法研究幾何 問題的方法。(6) 掌握圓的標準方程和一 般方程，了解參數(shù)方程的概 念，理解圓的參數(shù)方程。(7) 結合教學內谷進行對立 統(tǒng)一觀點的教育。探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會 斜截式與一次函數(shù)的關系。 能用解方程組的方法求兩直線 的交點坐標。 探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平 行直線

5、間的距離。(2) 圓與方程 回顧確定圓的幾何要素， 在平面 直角坐標系中。探索并掌握圓的標 準方程與般方程。 能根據(jù)給定直線、圓的方程，判 斷直線與圓、圓與圓的位置關系。 能用直線和圓的方程解決一些 簡單的問題。(3) 在平面解析幾何初步的學習過 程中，體會用代數(shù)方法處理幾何問 題的思想。(4) 空間直角坐標系 通過具體情境，感受建立空間直 角坐標系的必要性，了解空間直角 坐標系，會用空間直角坐標系刻畫 點的位置。 通過表示特殊長方體(所有棱分 別與坐標軸平行)頂點的坐標，探 索并得出空間兩點間的距離公式。加大了師生共同探 索知識的力度。如“在平面直角坐 標系中，結合具體圖 形，探索確定直線位

6、 置的幾何要素；理 解直線的傾斜角和 斜率的概念，經(jīng)歷用 代數(shù)方法刻畫直線 斜率的過程，根據(jù) 確定直線位置的幾 何要素，探索并掌握 直線方程的幾種形 式(點斜式、兩點式及 一般式)，體會斜截式 與一次函數(shù)的關 系?！? 刪除了直線到直 線的角、兩直線夾角 的概念及相應公式。5 .圓的參數(shù)方程移 至選修4-5 “坐標系 及參數(shù)方程”中。6“曲線與方程”移至 選修2-1 (文科不 學)。7、由已知條件列出 曲線方程(求軌跡) 部分的內容要求降（8）實習作業(yè)以線性規(guī)劃為 內容，培養(yǎng)解決實際問題的 能力。低，不講“純粹性和 完備性，只是在選 修內容部分講解“充分必要條件”。說明：在平面解析幾何初步的教

7、學中，教師應幫助學生經(jīng)歷如下的過程：首先將幾何問題 代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題；處理 代數(shù)問題；分析代數(shù)結果的幾何含義，最終解決幾何問題。這種思想應貫穿平面解析幾 何教學的始終，幫助學生不斷地體會 數(shù)形結合。遵循的原則上的差異舊教材遵循的是連續(xù)性、一步到位的原則.新教材遵循了階段性、螺旋式上行的原則（三）學情分析學生通過本章的學習，對解析幾何的基本方法-坐標法有了初步認識和應用，體會了代數(shù)方法研究幾何問題的優(yōu)點。但對這種方法的認識還不夠深刻，不系統(tǒng)和全面， 同時對整章涉及的知識缺乏一個整體的認識。所以，有必要通過章節(jié)復習，把基本知識 和方法總結和歸納

8、，從整體上把握知識，使學生的基本知識系統(tǒng)化和網(wǎng)絡化，基本方法 條理化。在對整章知識網(wǎng)絡的梳理構建的基礎上，通過配套題目，鞏固知識和方法的應 用，加深對坐標法的理解和應用，體會函數(shù)與方程思想，數(shù)形結合思想，化歸和轉化思 想等數(shù)學思想在本章的特殊地位。（四）本章內容的基本定位第一，本部分內容是在初中學習直線基礎上，利用平面直角坐標系，將幾何問題代 數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關系，進而將幾何問題轉化為代數(shù)問題；運用代 數(shù)方法研究直線與圓的幾何性質及其相互位置關系，分析代數(shù)結果的幾何含義，解決幾何問題。第二，用代數(shù)方法研究幾何圖形是解析幾何的核心。學生在初中曾經(jīng)學過建立直角 坐標系且初步研究過

9、一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像，這是借助幾何圖形來直 觀認識一次函數(shù)、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的性質，即從數(shù)到形。直線和圓是最基本的幾 何圖形，也是學生非常熟悉的兩種圖形，學生已經(jīng)知道如何從“形”的角度刻畫它們的性質。“解析幾何初步”貝件要是用代數(shù)方法刻畫直線和圓，研究它們的性質，即從形 到數(shù)；再利用直線與圓的方程來研究直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關系，即用 數(shù)來研究形。這部分內容也是學習圓錐曲線的基礎，學生應熟知直線與圓的方程中參數(shù) 的幾何意義。用代數(shù)方法研究直線與圓時， 首先應強調確定直線與圓的幾何要素，根據(jù)幾何要素,用代數(shù)方法刻畫直線與圓，推導出直線與圓的方程。對于直線與直線、直

10、線與圓、圓與 圓的位置關系，也要突出幾何要素。第三，坐標系是數(shù)形結合的載體之一。在坐標系中，平面上的點與數(shù)對可以建立一 一對應關系，從而可以用方程來表示幾何圖形，通過方程來研究幾何圖形的性質。（五）教材特色1. 突出解析法基本思想一一代數(shù)方法解決幾何問題重視“數(shù)形結合”思想的運用以形助數(shù)、依數(shù)識形2. 過程彰現(xiàn)新理念在直線和圓的方程的處理上，以學生熟悉的問題（生活實例、數(shù)學問題等）為背景,按照“問題情境一一數(shù)學活動一一意義建構一一數(shù)學理論一一數(shù)學應用一一反思”的順序結構，引導學生主動參與探索，通過師生共同對問題的分析和解決，使學生 感受建立坐標系，并用坐標、方程等知識來刻劃點、直線、圓等圖形的

11、一般方法，逐步 體會解析幾何的基本思想。3. 將“圓與方程”與“直線與方程”進行類比，感受同構（方法）的特點，體驗解 析幾何的研究程序。（六）三維目標1通過總結和歸納直線與直線的方程，圓與圓的方程，空間直角坐標系的知識，通過對全章知識的梳理，突出知識間的內在聯(lián)系， 了解解析幾何的基本思想，了解用坐標法 研究幾何問題。2 能根據(jù)給定的直線、圓的方程判斷直線與圓、圓與圓的位置關系，能用直線與圓的方程解決一些簡單問題，使學生在綜合運用知識解決問題的能力上提高一步。3能夠使學生綜合運用知識解決有關問題，培養(yǎng)學生分析，探究和思考問題的能力，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，培養(yǎng)分類討論的思想和抽象思維能力。（七）

12、重點難點教學重點：解析幾何解題的基本思路和解題方法的形成。教學難點：整理形成本章知識系統(tǒng)和網(wǎng)絡。教學過程知識回顧本章內容知識結構（幻燈片）空間真角塑標第平圓解折幾坷初步直統(tǒng)與方程幾何要葉一也和一個方向兩個總程式 方事式式 統(tǒng)點點段 Sts 一HT半輕）/j x方程）亶線與圓的應覺夫系空間 點的對比知識結構，閱讀課本（北師大版P100本早小結），學生討論以下問題: 直線的傾斜角和斜率，需要注意什么？ 直線的方程有幾種形式，各自適用的范圍是什么？ 兩直線的位置關系如何判斷？ 圓的方程有哪幾種形式？它們各自有什么特點？ 點與圓、直線與圓、圓與圓分別有什么樣的位置關系？如何判斷？設計目的：針對學生的易

13、錯點，在章節(jié)復習中作一個梳理。同時引導學生養(yǎng)成一個歸納總計各章知識方法易錯點的一個習慣。應用示例:直線方程直線的位置關系例1求經(jīng)過點A （-5 , 2），且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線的方程。活動：學生閱讀題目，思考解法，教師引導學生注意分兩種情形討論。解：（1 ）當橫截距、縱截距都是零時，設所求直線方程為y=kx，22將點A （ -5，2）代入方程，得k=-,此時，直線的方程為y=- x，即2x+5y=0。55x y（2）當橫截距、縱截距都不是零時，設所求直線方程為+丄=1，2a a1將點A（ -5，2）代入方程，得a=-，此時，直線的方程為 x+2y+仁0 。2綜上所述，所求

14、直線方程為2x+5y=0或x+2y+1=0。基礎自測：1、已知兩直線a1x+b 1y+仁0和a 直線經(jīng)過點P（ 3, 2）且與x、y軸的正半軸分別交于 A、B兩點， OAB的面 積為12，求直線的方程。 求經(jīng)過點P（2，3），且被兩平行直線 3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得的線段為3 - 2的直線方程。答案：1.2x+3y+1=0x+b2y+1=0都通過點P（2,3）,求經(jīng)過兩點 Q1（a1,b1），Q2（a2,b2）,的直線方程。設計目的:引導學生體會定義解題，充分考慮直線的方程，方程的直線的內涵。x y2- rr1 即2x+3y-12=0設計目的： OAB的面積與截距有關，自然聯(lián)

15、想導直線方程的截距式。3. x-7y+19=0 或 7x+y-17=0設計目的：利用平行線間的距離與線段長之間的數(shù)字特征，設出斜率，巧妙構造方程。例2正方形的中心為點 C (-1 , 0), 一條邊所在的直線方程為 x+3y-5=0，求其它 三邊所在的直線方程?；顒樱簩W生分析正方形的幾何性質，討論由性質引發(fā)的直線方程特征，結合直線位 置關系中的平行與垂直，引導學生思考待定系數(shù)法。解：設與直線x+3y-5=0平行的正方形的另一邊所在直線方程為x+3y+ci=0,v C 到直線 x+3y-5=0的距離d=| 1 5|6、10 . 10利用平行直線系及對稱性,得C1=7或C1=-5 (即是已知條件中

16、的直線)二正方形的一條邊是x+3y+7=0設與直線x+3y-5=0垂直的正方形的另一邊所在直線方程為3x-y+ c 2 =0L孑吩得c2=9或c2=-3二正方形的另兩條邊所在直線方程為3x-y+ 9=0或3x-y-3 =0直線與圓，圓與圓位置關系問題例3求圓心在直線 2x-y-3=0 上，且過點 A(5，2)，B(3，-2 )的圓的方程。活動：學生閱讀題目，理解題意，相互交流或討論，教師引導學生考慮解題的方法，注意 總結因為條件與圓心有關系，因此可設圓的標準方程，利用圓心在直線2x-y-3=0上，同時 也在線段AB的垂直平分線上，由兩直線的交點得出圓心坐標，再由兩點間的距離公式得 出圓的半徑,

17、從而得到方程2 2 2解:方法一:設圓的方程為(x a) + (y b) =r，由已知條件得2a b 30,a2 2 2(5 a)(2 b)r ,解得 b2 2 2(3 a)( 2 b) r . r2,1,所以圓的方程為(x 2) + (y 1) =10.、10.方法二：因為圓過點A(5,2)和點B(3,-2),所以圓心在線段 AB的垂直平分線上線段AB2a b 3 0, 1的垂直平分線方程為y=- (x-4).設所求圓的圓心 C的坐標為(a,b),則有12b - (a 4).2解得2,1.所以圓心 C(2,1),r=|CA|=、(5 2)2(2 1)2-102 2所以所求圓的方程為(x 2)

18、 + (y 1) =10.點評:本題介紹了幾何法求圓的標準方程，利用圓心在弦的垂直平分線上或者利用兩圓相切時連心線過切點，可得圓心滿足的一條直線方程，結合其他條件可確定圓心，由兩點 間的距離公式得出圓的半徑，從而得到圓的標準方程其實求圓的標準方程，就是求圓的圓 心和半徑，有時借助于弦心距、圓半徑之間的關系計算，可大大簡化計算的過程與難度如 果用待定系數(shù)法求圓的方程，則需要三個獨立的條件，“選標準，定參數(shù)”是解題的基本方 法,其中選標準是根據(jù)已知條件選擇恰當?shù)膱A的方程形式，進而確定其中三個參數(shù)基礎自測：圓：x +y -4x+6y=0和圓：x +y -6x=0交于A、B兩點，則AB的垂直平分線的方

19、程是()A.x+y+3=0B.2x-y-5=0C.3x-y-9=0D.4x-3y+7=0答案：C設計目的：由平面幾何知識知AB的垂直平分線就是連心線所在直線。例4已知圓C:(x 1)2 (y 2)225,直線l : (2m 1)x (m 1)y 7m 40(m R)求證：不論m取什么值，直線I與圓恒相交；求直線l被圓C截得線段的最短長度，以及此時直線l的方程?；顒樱簩W生審題，請大家獨立思考，多想些辦法，教師提示學生注意結論中直線與圓的 位置關系，抓住位置的本質內容，展開聯(lián)想，分析討論，然后師生共同總結解題方法.解：(1)證明：由直線 l : (2m 1)x (m 1)y 7m 40(m R)2

20、x y 70得：m(2x+y-7)+(x+y-4)=0 解x y 40.x 3得： y 1.二直線l恒過定點P (3, 1) P05,二 P (3, 1 )在圓內。不論m取什么值，直線I與圓恒交于兩點。(2)從(1)結論可知直線I恒過定點P( 3，1)且于此點的圓C的半徑垂直時，I被圓截得的弦長 AB最短,由垂徑定理知|AB|=2R2 oP2 4 52m 13又kom k1=-1, 匹 2，得m 3，代入直線I方程m 14所求直線為2x-y-5=0點評：不要一味地體現(xiàn)用代數(shù)方法來研究來幾何問題，對于直線和圓這兩種具有豐富幾何性質的圖形，有時利用幾何方法，數(shù)形結合，能方便地解決相應的幾何問題和代數(shù)問題。基礎自測：1直線I經(jīng)過點P (5, 5)且和圓C： x2 + y2=25相交，截得的弦長為 4- 5，求直線I的方程。答案：1k= 或k=2，所求直線方程為 x-2y+5=0 或2x-y-5=0。設計目的:解有關圓的解析幾何題目時，有代數(shù)