理想單色平面光波在晶體中的傳播（光線菲涅耳方程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 理想單色平面光波在晶體中的傳播（光理想單色平面光波在晶體中的傳播（光 線菲涅耳方程線菲涅耳方程 3.光在幾類特殊晶體中的傳播規(guī)律光在幾類特殊晶體中的傳播規(guī)律 1)立方晶體或各向同性介質(zhì)立方晶體或各向同性介質(zhì) 2 1230 n 2)單軸晶體單軸晶體( (方解石、石英、方解石、石英、紅寶石紅寶石等等) ) 222 12o3eo , nnn 3)雙軸晶體雙軸晶體( (云母、硫磺、云母、硫磺、藍(lán)寶石藍(lán)寶石等等) ) 123，n1n2n3。 第1頁/共54頁 1)各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體 將波法線菲涅耳方程將波法線菲涅耳方程(40)式通分、整理，得到式通分、整理，得到 22

2、2 312 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 4222222 1 122331212 2222 23233 131123 ()() ()()0 nkkknkk kkkk 第2頁/共54頁 1)各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體 代入代入 ，并注意到并注意到 ( (k 是波法線方向的單位矢量是波法線方向的單位矢量),),該式該式簡化簡化為為 2 1230 n 222 123 1kkk 2 22 0 0 (46)nn 由此得到重根由此得到重根 nnn0。這就是說，在各向同性介。這就是說，在各向同性介 質(zhì)或立方晶體中，質(zhì)或立方晶體中，沿任意方向傳播的光波折射率都等

3、沿任意方向傳播的光波折射率都等 于主折射率于主折射率 n0。 第3頁/共54頁 1)1)各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體 進(jìn)一步，把進(jìn)一步，把 n= n= n0 的結(jié)果代入的結(jié)果代入(42)式，可以得式，可以得 到三個完全相同的關(guān)系式到三個完全相同的關(guān)系式 112233 0 (47)k Ek Ek E 此式即為此式即為 k E0。它表明，。它表明，光電場矢量光電場矢量 E 與波法線與波法線 方向垂直方向垂直。 第4頁/共54頁 0 nnn 2222 1111 221 33 2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k

4、En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 112233 0 (47)k Ek Ek E 第5頁/共54頁 1)各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體 因此，因此，E 平行于平行于 D，s 平行于平行于 k。所以，。所以，在各向同在各向同 性介質(zhì)或立方晶體中傳播的光波電場結(jié)構(gòu)性介質(zhì)或立方晶體中傳播的光波電場結(jié)構(gòu)。 k D s E E D 第6頁/共54頁 由于由于(47)式式只限定了只限定了 E 垂直于垂直于 k，而對，而對 E 的方向的方向 沒有約束。沒有約束。 1)各向同性介質(zhì)或立方晶體各向同性介質(zhì)或立方晶體 112233 0 (47)k

5、 Ek Ek E 所以在各向同性介質(zhì)或立方晶體中，沿任意方向傳所以在各向同性介質(zhì)或立方晶體中，沿任意方向傳 播的光波，播的光波，允許有兩個傳播速度相同的線性不相關(guān)允許有兩個傳播速度相同的線性不相關(guān) 的偏振態(tài)的偏振態(tài)。 第7頁/共54頁 2)單軸晶體單軸晶體 單軸晶體的主介電系數(shù)為單軸晶體的主介電系數(shù)為 2 12o 22 3eo (48) n nn neno 的晶體，稱為的晶體，稱為正單軸晶體正單軸晶體( (石英晶體石英晶體)； ne no 的晶體的晶體，稱為，稱為負(fù)單軸晶體負(fù)單軸晶體( (方解石晶體方解石晶體)。 第8頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波( (本征模式本征模

6、式) ) 為討論方便起見，取為討論方便起見，取 k 在在 x2Ox3 平面內(nèi)，并與平面內(nèi)，并與 x3 軸軸 夾角為夾角為 ，則，則 123 0, sin , cos (49)kkk k x 3 x 2x 1 第9頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波( (本征模式本征模式) ) 將將(48)式和式和(49)式的關(guān)系代入式的關(guān)系代入(40)式，得到式，得到 42222 oe 222222242 eeoeoe (sincos) (sincos)0 nnn n nnnnn n 222 12o3eo , (48)nnn 123 0, sin , cos (49)kkk 222 312

7、 222 123 0 (40) 111111 kkk nnn 第10頁/共54頁 即即 222222222 ooeoe (sincos)0 (50)nnnnnn n 該方程有兩個解該方程有兩個解 o (51) nn (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波( (本征模式本征模式) ) 42222 oe 222222242 eeoeoe (sincos) (sincos)0 nnn n nnnnn n oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第11頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波( (本征模式本征模式) ) 第一個解第一個解 n 與光的傳播方向無

8、關(guān)，與之相應(yīng)的光波與光的傳播方向無關(guān)，與之相應(yīng)的光波 稱為稱為尋常光波尋常光波，簡稱，簡稱 o 光。光。 第二個解第二個解 n 與光的傳播方向有關(guān)，隨與光的傳播方向有關(guān)，隨 變化，變化，相應(yīng)相應(yīng) 的光波稱為異常光波的光波稱為異常光波, ,簡稱簡稱 e 光。光。 0 (51) nn oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第12頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波( (本征模式本征模式) ) 可見，當(dāng)可見，當(dāng) k 與與 x3 軸方向一致時軸方向一致時, ,光的傳播特性如同光的傳播特性如同 在各向同性介質(zhì)中一樣，在各向同性介質(zhì)中一樣，nn no，因此，因

9、此，把把 x3 軸這個特殊方向稱為光軸軸這個特殊方向稱為光軸。 oe 2222 oe (52) sincos n n n nn e o /2 0 nn nn 第13頁/共54頁 下面確定兩種光波的下面確定兩種光波的偏振態(tài)偏振態(tài)： 尋常光波。將尋常光波。將 nnno 及及 k10，k2sin，k3 cos 代入代入(42)式，得到式，得到 2222 1111221 33 2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 22 oo1 2222 oo

10、2o3 2222 o2eo3 ()0 cossincos0 (53) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 第14頁/共54頁 尋常光波尋常光波 第一式因系數(shù)為零，第一式因系數(shù)為零，所以所以 E1 有非零解有非零解。第二、三。第二、三 式因系數(shù)行列式不等于零，所以是一對不相容的齊式因系數(shù)行列式不等于零，所以是一對不相容的齊 次方程，此時，次方程，此時，只可能是只可能是 E2E30。因此，。因此，E E1i。 22 oo1 2222 oo2o3 2222 o2eo3 ()0 cossincos0 (53) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 第15頁/共54頁

11、2222 ooo 2222 oe 23 23o cossincos sincossin 0 (53) 0 EE EE nnn nnn 2222 ooo 2222 oeo 22222222 ooeooo 2242222422422 oeooeoo 2242222 oeooe 222 oe cos sincos sincos sin cossinsincossincos sincoscossinsincos sincos sin nnn nnn nnnnnn n nnn nnn n nnn n n n 42 o 2222 oeo sin sin()0 n nnn 第16頁/共54頁 尋常光波尋常光

12、波 可見可見，o 光的光的 E 平行于平行于 x1 軸軸，從一般意義上講，從一般意義上講， 即垂直于即垂直于 k 與與 x3 軸決定的平面。又由于軸決定的平面。又由于 D 0no2E，所以，所以 o 光的光的 D 矢量與矢量與 E 矢量平行。矢量平行。 x2 x1 x3 Eo Do k so 第17頁/共54頁 將將 nn 及及 k10，k2sin，k3 cos 代入代入(42)式式 ，得到，得到 2 2 o1 22 22 o23 22 22 2e3 ()0 cossincos0 (54) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 異常光波異常光波 2222 1111221 33

13、2222 2 11222233 2222 3 11322333 10 10 (42) 10 nkEn k k En k k E n k k EnkEn k k E n k k En k k EnkE 第18頁/共54頁 2 2 o1 22 22 o23 22 22 2e3 ()0 cossincos0 (54) sincossin0 nnE nnEnE nEnnE 在第一式中，因系數(shù)不為零，在第一式中，因系數(shù)不為零，只可能是只可能是 E10. .而而 第二、三式中第二、三式中, ,因系數(shù)行列式為零因系數(shù)行列式為零, ,E2 和和 E3 有非零有非零 解解。 異常光波異常光波 oe 2222 o

14、e (52) sincos n n n nn 第19頁/共54頁 22 22 o 22 22 e 23 23 cossincos sincossi 0 n (54) 0 Ennn nnn E EE 22 22 o 22 22 e 22 2222 oe 22 22 222222 oeoe 44 22 (cos) sin cos sin cos sin cossin sin cossin cos sincos cos sin nnn nnn nnnn nn n nnnnn nn 22 22 222222 oeoe sincos sincosn nnnnn 第20頁/共54頁 oe 2222 oe

15、oe 2222 oe 22 22 222222 oeoe 2 2222 oeo 2 22 4 eoe 22222222 oeoe e 422 22 o oe sincos sincos sincos sincos sin cos sinc c o sins s o n n nn n n n nnn nn n nn n nn n n nnn n n n n n 224 eo 422 22 o oe 2222 oeoe e 2222 oe s s incos 0 incos nn n n n n n n nn n n 第21頁/共54頁 可見，可見，e 光的光的 E 矢量位于矢量位于 x2Ox3

16、平面內(nèi)平面內(nèi)，從一般意，從一般意 義上講，即位于義上講，即位于 k 矢量與光軸矢量與光軸 x3 所確定的平面內(nèi)。所確定的平面內(nèi)。 異常光波異常光波 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第22頁/共54頁 同時，由于同時，由于 D101E10，所以所以 D 矢量也在矢量也在 x2Ox3 平面內(nèi)平面內(nèi)，但不與但不與 E 矢量平行矢量平行。 異常光波異常光波 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第23頁/共54頁 異常光波異常光波 另外，另外，e 光的光的 s 矢量、矢量、k 矢量和光軸共面，矢量和光軸共面，但但 s 與與 k 不平行不平行。 x2 x1 x3

17、De Ee Eo Do k so se 第24頁/共54頁 異常光波異常光波 僅當(dāng)僅當(dāng) /2 時，時，E20，E 矢量與光軸平行矢量與光軸平行, ,此時此時, , D E，k s， 相應(yīng)的折射率為相應(yīng)的折射率為 ne。 x2 x1 x3 DeEe Eo Do k se oe 2222 oe (52) sincos n n n nn 第25頁/共54頁 x2 x1 x3 DeEe Eo Do k se o nn e nn o nn o nn x2 x1 x3 Do Eo Eo Do k se 第26頁/共54頁 異常光波異常光波 綜上所述，在單軸晶體中，存在著兩種特許偏振方綜上所述，在單軸晶體中

18、，存在著兩種特許偏振方 向的光波：向的光波：o 光和光和 e 光。光。對應(yīng)于某一波法線方向?qū)?yīng)于某一波法線方向 k 有兩條光線：有兩條光線：o 光的光線光的光線 s0 和和 e 光的光線光的光線 se。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第27頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波 這兩種光波的這兩種光波的 E 矢量矢量( (和和D 矢量矢量) )彼此垂直彼此垂直。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第28頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波 對于對于 o光，光，E 矢量和矢量和 D 矢量總是平行矢量總是平行，并

19、且垂直于，并且垂直于 波法線波法線 k 與光軸所確定的平面；折射率不依賴于與光軸所確定的平面；折射率不依賴于 k 的方向；的方向；光線方向光線方向 s0 與波法線方向重合與波法線方向重合。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se o (51) nn 第29頁/共54頁 (1)兩種特許線偏振光波兩種特許線偏振光波 對于對于 e 光，光，其折射率隨其折射率隨 k 矢量的方向改變矢量的方向改變；E 矢量矢量 與與 D 矢量一般不平行，它們與光軸的夾角隨著矢量一般不平行，它們與光軸的夾角隨著 k 的的 方向改變；方向改變；它的光線方向它的光線方向 se 與波法線方向不重合與波法線方向不

20、重合。 oe 2222 oe (52) sincos n n n nn x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第30頁/共54頁 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 單軸晶體中單軸晶體中e 光波法線方向與光線方向之間存在著一光波法線方向與光線方向之間存在著一 個夾角，個夾角，通常稱為離散角通常稱為離散角。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第31頁/共54頁 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 現(xiàn)取現(xiàn)取 x3 軸為光軸，軸為光軸，E、D、s、k 均在均在主截面主截面( (光軸與光軸與 晶面法線所決定的平

21、面晶面法線所決定的平面) )x2Ox3 平面內(nèi)，平面內(nèi)，k 與與 x3 軸的軸的 夾角為夾角為 ，s 與與 x3 軸的夾角為軸的夾角為。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第32頁/共54頁 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 若坐標(biāo)系為單軸晶體的若坐標(biāo)系為單軸晶體的主軸坐標(biāo)系主軸坐標(biāo)系, ,則則 111 2012 333 0 0 0 0 0 0 DE DE DE 因而有因而有 2 2012002 2 30330e3 (55) DEn E DEn E 第33頁/共54頁 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 由幾何關(guān)系有由

22、幾何關(guān)系有 33 22 tan, tan (56) DE DE x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第34頁/共54頁 將將(55)式中的兩個式子相除，并利用式中的兩個式子相除，并利用(56)式，可得式，可得 2 o 2 e tantan (57) n n (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 2 2012002 2 30330e3 (55) DEn E DEn E 33 22 tan, tan (56) DE DE 第35頁/共54頁 所以所以離散角離散角 滿足下面的關(guān)系滿足下面的關(guān)系: : tantan tantan() (58) 1tantan

23、 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se 第36頁/共54頁 將將(57)式代入，整理可得式代入，整理可得 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 tantan tantan() (58) 1tantan 2 o 2 e tantan (57) n n 第37頁/共54頁 由該式可見：由該式可見： 當(dāng)當(dāng) 00 或或900，即光波法線方向，即光波法線方向 k 平行或垂直平行或垂直 于光軸時，于光軸時，0。這時，

24、。這時，s 與與 k、E 與與 D 方向重方向重 合合。 k D s E E D 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn 第38頁/共54頁 對于正單軸晶體，對于正單軸晶體，neno，0，e 光的光線較其光的光線較其 波法線靠近光軸波法線靠近光軸。對于負(fù)單軸晶體，。對于負(fù)單軸晶體，neno，0 ，e 光的光線較其波法線遠(yuǎn)離光軸光的光線較其波法線遠(yuǎn)離光軸。 x2 x1 x3De Ee Eo Do k so se se 1 22 2222 oeoe 111cossin tansin2 (59) 2nnnn 第39頁/共54頁 可以證明，可以證明，當(dāng)當(dāng)

25、 k 與光軸間的夾角與光軸間的夾角 滿足滿足 e o tan (60) n n 時，有最大離散角時，有最大離散角 22 eo M oe arctan (61) 2 nn n n 第40頁/共54頁 由由 - 對對 求導(dǎo)，得求導(dǎo)，得 dd =1 dd 由由(57)式式 2 o 2 e arctantan n n 2 o 2 e tantan (57) n n 證明如下：證明如下： 第41頁/共54頁 222 2 ooe 422442 2 oeeo 4 e d11 (1tan) dcostan 1+tan nn n nnnn n 2 o 2 e arctantan n n dd =1 dd 第42

26、頁/共54頁 令令 22 2 oe 442 eo dd =11(1tan)0 ddtan n n nn dd =1=0 dd 22 2 oe 442 eo d (1tan) dtan n n nn 求極值的必要條件求極值的必要條件 第43頁/共54頁 得得 442222 eooe tan(1tan)0nnn n 最后，最后， e o tan n n 22 2 oe 442 eo dd 11(1tan)0 ddtan n n nn 第44頁/共54頁 將該式代入將該式代入(57)式，并由式，并由(58) )式求出式求出最大離散角最大離散角為為 22 eo M oe arctan 2 nn n n

27、 tantan tantan() (58) 1tantan 2 o 2 e tantan (57) n n e o tan n n 第45頁/共54頁 在實際應(yīng)用中要求晶體元件工作在在實際應(yīng)用中要求晶體元件工作在最大離散角的情況最大離散角的情況 下，同時滿足正入射條件下，同時滿足正入射條件，這就應(yīng)當(dāng)使通光面與光軸，這就應(yīng)當(dāng)使通光面與光軸 的夾角的夾角 900 滿足滿足 o e tan (62) n n 空氣空氣晶體晶體 o光光 e光光 光軸光軸 (2) e 光的波法線方向和光線方向光的波法線方向和光線方向 e o tan n n 第46頁/共54頁 當(dāng)方解石晶體旋轉(zhuǎn)時當(dāng)方解石晶體旋轉(zhuǎn)時, ,o 光不動，光不動，e 光圍繞光圍繞 o 光旋轉(zhuǎn)光旋轉(zhuǎn) 空氣空氣晶體晶體 o光光 e光光 光軸光軸 第47頁/共54頁 3) 雙軸晶體雙軸晶體 雙軸晶體的三個主介電系數(shù)都不相等，即雙軸晶體的三個主介電系數(shù)都不相等，即 1 23 ，因而，因而 n1n2n3。通常主介電系數(shù)按。通常主介電系數(shù)按 123 取值。這類晶體之所以叫雙軸晶體，是因為它