數(shù)形結合思想例題分析

1、數(shù)形結合思想例題分析一、構造幾何圖形解決代數(shù)與三角問題：1、證明恒等式：2 .22 廠T 0例1已知X、歹、Z、廠均為正數(shù)，且X +丁二Z小七一廠求證：rz = xy.精選文檔222I 222分析：由爐+廠=匸、自然聯(lián)想到勾股定理。由z-5/x-r=對可以聯(lián)想到射影定理。從而可以作出符合題設條件的圖形(如圖)。對照圖形，由直角三角形面積的兩種 算法，結論的正確性一目了然。證明：(略)小結：涉及到與平方有關的恒等式證明問題，可構造出與之對應的直角三角形或圓，然 后利用圖形的兒何性質去解決恒等式的證明問題。2、證明不等式：例2已知：0 b 0b 22.證明：如圖，作邊長為1的正方形ABCD,在AB

2、上取點E,使AE二：在AD上取點G,使AG二b , 過E、G分別作EF/AD交CD于F：作GH/AB交BC于乩設EF與GH交于點0,連接AO、BO、CO、DO、AC、 BD.由題設及作圖知AOG、BOE、COF、 DOG均為直角三角形，因此OA = yjarTbTOB = yl（-a）2+b2OC = yl（l-a）2 +（-b）2OD = cr且 AC = BD = y/2由于 OA + OC AC QB + OD BD.所以:如+戻 +J(1 )2+尸+/+(1-疔 + J(l_d)2+(l_b)2 2a/2._1當且僅當a = b= 2時，等號成立。小結：在求證條件不等式時，可根據題設條

3、件作岀對應的圖形，然后運用圖形的幾何性質或者平而 幾何的定理、公理去建立不等式使結論獲證。3、求參數(shù)的值或參數(shù)的取值范圍：例3若方程ax2 -2x + l = 0( a 0)的兩根滿足：旺1, 1兀2o.5解得：“1.例4若關于的不等式0x?+mx + 2AC, CF. BE分別是AB、AC邊上的高。試證：AB + CFAC + BE證法一：（三角法）因為0sinA （AB-AC）-sin A AB + AC-sin A AC+AB-sin AAB + CFAC + BE（當上A = 90 時取等號）證法二：（代數(shù)法）由ABACCF, ABBE及 s=bcf = ac-beABBEACCF變形

4、得譽AC-CFACABBE AC CF AB + CFAC+BE當ZA = 90 , AB + CF = AC + BE.綜上：AB + CF AC + BE.小結：以上兩種證明方法，分別采用了三角法與代數(shù)法，較之純幾何證法來，易于想到。例7 如圖，在正AABC的三邊AB、BC、CA上分別有點D、E、F.若DE丄BC, EF丄AC, FD丄AB同時成 立，求點D在AB上的位置.分析：先假設符合條件的點D、E、F已經作出，再利用已知條件，尋找線段與角之間的數(shù)量關系，列 出含有待求量的等式（方程），以求其解。解：設 AB=L AD 二 XB因為AABC為正三角形，且 DE 丄 BC, EF 丄 A

5、C, FD 丄 AB,故AF = 2x , CF = l-2x , CD = 2CF = 2-4xBE = l-CE = 4x-l , BD = 2BE = 8x2而 AD-BD = 1 ，即 x + (8x 2) = 111解得：X= 3*即點D位于AB邊上5分點處A或角度的大求那些量的小結：幾何中存在著這樣一類問題，即幾何圖形中的某些點的位宜或線段的長度 小不能依題意畫出來，只有根據已知條件求岀某一些量時，圖形才能畫岀。而F 方法，常常是通過列方程（組人即轉化為代數(shù)方程求解。例8 如圖，AABC三邊的長分別是BC二17, CA二18, AB二19.過AABC 內的點P向AABC的三邊分別作垂線PD、PE、PF （D、E. F為垂足）若BD+CE+AF = TI.求：BD+BF 的長.解：設 BD = x , CE = y , AF = z ,則DC = 7-x , AE = iS-y ,陽= 19 z連接 PA、PB. PC.在 RtAPBD 和 RtAPFB 中，x2 + pd2 =（19-z）2 + pf2同理：y2 + P2 =（17-x）2 + P2z2+PF2=（18-y）2 + PE2將以上三式相加，得：/ + y 2 + 才=（7 _ 兀）2 + （1 8 _ 刃2 + （1 9 一 z）2/. 17x + 18y + 19z =