信號第5章小波變換分析

1、1 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 u連續(xù)小波變換的基本概念連續(xù)小波變換的基本概念 u小波變換的性質(zhì)小波變換的性質(zhì) u小波分類和常見的小波小波分類和常見的小波 u離散小波變換離散小波變換 第第7章章 小波分析小波分析 2 連續(xù)小波變換的時域定義連續(xù)小波變換的時域定義 dt a bt ts a baWs)()( 1 ),( * )( 1 )()( , a bt a tt baba )(t a 核函數(shù)核函數(shù) ，是窗函數(shù)，是窗函數(shù) 的時間平移的時間平移b和尺度伸縮和尺度伸縮 的結(jié)果的結(jié)果 where 窗函數(shù)窗函數(shù))(t稱為稱為母小波母小波. )(),()()(),( , * , ttsdtttsbaW babas

2、 )(),( , tts ba 3 2. 小波變換的頻域定義小波變換的頻域定義 )()(Sts) ( )(t bj baba eaa a bt a t ) ( )()( 1 )( , )(),( 2 1 )()( 2 ),( , * ba bj s SdeaS a baW 作業(yè)作業(yè)7-17-1 (1)證明的因子證明的因子 的作用是保證不同的尺度下，的作用是保證不同的尺度下， 函數(shù)函數(shù) 與母小波的能量相同與母小波的能量相同 (2)證明下面公式證明下面公式 a/1 )( , t ba bj baba eaa a bt a t ) ( )()( 1 )( , )(),( 2 1 )()( 2 ),(

3、 , * ba bj s SdeaS a baW 4 解釋解釋 小波變換可以理解為用一組分析寬度不斷變化的基小波變換可以理解為用一組分析寬度不斷變化的基 函數(shù)對信號函數(shù)對信號s(t)進行分析，這一變化正好適應(yīng)了對信進行分析，這一變化正好適應(yīng)了對信 號分析時在不同的頻率范圍需要不同的分辨率這一基號分析時在不同的頻率范圍需要不同的分辨率這一基 本要求本要求 其中的因子其中的因子 的作用是保證不同的尺度下，函數(shù)的作用是保證不同的尺度下，函數(shù) 與母小波的能量相同與母小波的能量相同 a/1 )( , t ba 參數(shù)參數(shù)b的作用是確定對分析信號的作用是確定對分析信號s(t)的時間位置，即的時間位置，即 時

4、間中心。時間中心。 參數(shù)參數(shù)a 的作用是把基本小波進行伸縮。的作用是把基本小波進行伸縮。 5 t tt 3 尺度因子尺度因子 1) a 對小波函數(shù)的時域影響對小波函數(shù)的時域影響 6 2) a 對分析小波的頻域影響對分析小波的頻域影響 2 2/ t 0 0 2 2/ 0 ) ( a) ( a) ( a 7 尺度因子在小波變換中物理解釋尺度因子在小波變換中物理解釋 (1)當(dāng)用較小的當(dāng)用較小的a對信號作高頻分析時，實際上是用高頻對信號作高頻分析時，實際上是用高頻 小波對信號作細致觀察；小波對信號作細致觀察； (2)當(dāng)用較大的當(dāng)用較大的a對信號作低頻分析時，實際上是用低頻對信號作低頻分析時，實際上是用

5、低頻 小波對信號作概貌觀察；小波對信號作概貌觀察； 8 說明：說明： 在時域是在時域是有限支撐有限支撐的，則和的，則和s(t)作內(nèi)積后，將作內(nèi)積后，將 保證小波變換保證小波變換 在時域也是在時域也是有限支撐有限支撐的，從的，從 而實現(xiàn)所希望的時域定位功能。而實現(xiàn)所希望的時域定位功能。 所反映的，所反映的， 是在是在b附近的性質(zhì)附近的性質(zhì) )( , t ba ),(baWs ),(baWs 若若 具有具有帶通帶通特性，即在頻域，圍繞著中心頻率特性，即在頻域，圍繞著中心頻率 是有限支撐的，則是有限支撐的，則 和和的內(nèi)積，也將反映的內(nèi)積，也將反映 在窗口中心頻率處的局部性質(zhì)，從而實現(xiàn)所在窗口中心頻率

6、處的局部性質(zhì)，從而實現(xiàn)所 )( , ba )(S)( , ba )(S 期望的頻率定位功能。期望的頻率定位功能。 信號信號s(t)的小波變換的小波變換),(baWs是是a和和b的函數(shù)的函數(shù)。 母小波可以是實函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。母小波可以是實函數(shù)，也可以是復(fù)函數(shù)。 9 4. 小波小波(基本小波、母小波基本小波、母小波) 0)( )()( 2 dttRLt且滿足約束條件，如果 則稱為則稱為)(t為連續(xù)小波，或母小波。為連續(xù)小波，或母小波。 約束條件的物理意義：約束條件的物理意義： 是必要條件而不是充分條件。是必要條件而不是充分條件。 約束條件再加上有限時寬特性約束條件再加上有限時寬特性(時域時域

7、緊支撐緊支撐特性特性)， 從而嚴(yán)格地將的波形約束為從而嚴(yán)格地將的波形約束為“一小段波一小段波” 。 10 容許條件：容許條件： )()( tif dthen 0 2 ) ( : 母小波的特點：母小波的特點： 容許條件的含義：與上面的約束條件等價容許條件的含義：與上面的約束條件等價 (1) 小波具有波動性，小波具有波動性， 表明是波動的表明是波動的,0)( dtt (2) 小波具有時、頻域緊支撐，包絡(luò)衰減快小波具有時、頻域緊支撐，包絡(luò)衰減快; (3)小波具有帶通濾波器特性小波具有帶通濾波器特性, 可理解為一個可理解為一個 帶通濾波器的沖激響應(yīng)帶通濾波器的沖激響應(yīng) )(t , 0)0 ( 又是緊支

8、撐的又是緊支撐的 (4)小波小波 和一般的窗函數(shù)一樣，滿足和一般的窗函數(shù)一樣，滿足)(t dtt | )(| 11 1) 定義定義 )(t經(jīng)伸縮、平移構(gòu)成小波基函數(shù)。即：經(jīng)伸縮、平移構(gòu)成小波基函數(shù)。即： 為小波基)( , t ba a bt a t ba 1 )( ,Rba, 0 頻寬)( , ba時寬)( , , ta ba 5. 小波基小波基 2) 窗口中心窗口中心 batdttt t t a,b a,b 0 2 2 * | )(| |)(| 1 時窗中心時窗中心 頻窗中心頻窗中心 a d a,b a,b 0 2 2 * | )(| |)(| 1 為為 之時窗中心之時窗中心0,1ba 0

9、t 為為 之頻窗中心之頻窗中心 0,1ba 0 12 3) 窗口寬度窗口寬度 a d a,b a,b a,b 2/1 22* 2 | )(|)( |)(| 1 頻窗寬度頻窗寬度 tadtttt t a,b a,b t a,b 2/1 22* 2 | )(|)( |)(| 1 時窗寬度時窗寬度 為為 之頻窗寬度之頻窗寬度0,1a t a ta a,ba,b t 4) 窗口面積窗口面積 為為 之頻窗寬度之頻窗寬度0,1bat 窗口面積與窗口面積與 a，b無關(guān)，只由小波母函數(shù)決定無關(guān)，只由小波母函數(shù)決定 13 2 2/ t 0 0 2 2/ 0 時窗中心時窗中心 batt 0 * 頻窗寬度頻窗寬度

10、a a,b 時窗寬度時窗寬度 ta a,b t 頻窗中心頻窗中心 a 0 * 14 (5) . 窗口特性窗口特性 ii) 時窗寬度和頻窗寬度分別隨時窗寬度和頻窗寬度分別隨a和和1/a發(fā)生變化；發(fā)生變化； ) 窗口面積不變；窗口面積不變； constant 0 * , ba Q 中心頻率 帶寬 iv)( , ba 是具有恒品質(zhì)因數(shù)帶通濾波器頻域傳遞函數(shù)；是具有恒品質(zhì)因數(shù)帶通濾波器頻域傳遞函數(shù)； )( , t ba 是具有恒品質(zhì)因數(shù)帶通濾波器的沖激響應(yīng)是具有恒品質(zhì)因數(shù)帶通濾波器的沖激響應(yīng) v) 時、頻窗口具有自適應(yīng)變化特性。時、頻窗口具有自適應(yīng)變化特性。 低 * 窄 a,b 寬 a,b 寬 a,b

11、 t 高 * 窄 a,b t i) 時窗和頻窗中心分別隨時窗和頻窗中心分別隨a和和1/a成正比例變化；成正比例變化； 15 (a) 小波變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格小波變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格 6. 小波變換與短時小波變換與短時Fourier變換的比較變換的比較 f (b) t f (b) t (a) 短時短時Fourier變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格變換的基函數(shù)和時頻網(wǎng)格 16 (a)短時短時Fourier變換等效濾波器帶寬變換等效濾波器帶寬 )(fH 0 2f 0 f 0 2f 0 f 0 4 f 0 8f (b) 小波變換等效濾波器帶寬小波變換等效濾波器帶寬 )(fH 0 2f 0 f 0 4f 0

12、8f 頻域頻域等分辨等分辨是短時是短時Fourier變換所固有的特性變換所固有的特性 多分辨多分辨是小波變換的一種固有特性是小波變換的一種固有特性 17 7. 小波變換的物理意義小波變換的物理意義 )(),()()(),( , * , ttsdtttsbaW babas 與小波函數(shù)與小波函數(shù)( )s t( ) t小波變換就是通過信號小波變換就是通過信號 的不同尺度變換和時移作內(nèi)積或比較，得到的不同尺度變換和時移作內(nèi)積或比較，得到 相應(yīng)的頻率分量，來對信號進行分解。相應(yīng)的頻率分量，來對信號進行分解。 ( ),( ) n s t h t( )s t( ) n h t內(nèi)積內(nèi)積 反映了信反映了信 號號

13、 與與 的相似程度的相似程度 18 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 u連續(xù)小波變換的基本概念連續(xù)小波變換的基本概念 u小波變換的性質(zhì)小波變換的性質(zhì) u小波分類和常見的小波小波分類和常見的小波 u離散小波變換離散小波變換 19 1 線性疊加性線性疊加性 )()()( tgtstfif ),(),(),( )()()( baWbaWbaW tgtstf where 為常數(shù)、 2 時移不變性時移不變性 )()( tstxif ()( ) ( , )( ,) s ts t Wa bWa b ),( )( baW tx 20 3 尺度伸縮性尺度伸縮性 )()( tstxif ()( ) 1 ( , )(,) sts

14、t Wa bWab ),( )( baW tx 當(dāng)信號在時間軸上按當(dāng)信號在時間軸上按 a和和b兩個軸上同時作相同比例的伸縮，但是小波兩個軸上同時作相同比例的伸縮，但是小波 變換的波形不變，這是小波變換的優(yōu)點之一。變換的波形不變，這是小波變換的優(yōu)點之一。 作伸縮時，其小波變換在作伸縮時，其小波變換在 21 4 Parseval定理定理 dttgtsCdbbaWbaW a da tgts )()(),(),( 1 * )()( 2 0 2 0 ( ) Cd where 該性質(zhì)說明了信號時域內(nèi)積與小波域內(nèi)積滿足關(guān)系該性質(zhì)說明了信號時域內(nèi)積與小波域內(nèi)積滿足關(guān)系 )(),(),(, ),( )()( 2

15、 tgtsCbaWbaWa tgts )10. 7( )(),(),(),( )()( 2 tgtsCbaWbaWa tgts 22 5 信號域與小波域的能量對應(yīng)性信號域與小波域的能量對應(yīng)性 0 222 | ),(| 1 | )(|dadbbaWa C dtts s 令令g(t)=s(t),再利用上述性質(zhì)即可得證再利用上述性質(zhì)即可得證 小波變換的幅度平方在尺度小波變換的幅度平方在尺度位移平面上的加權(quán)位移平面上的加權(quán) 積分，等于信號在時域的總能量。積分，等于信號在時域的總能量。 小波變換的幅度平方，可以看成是信號能量時頻小波變換的幅度平方，可以看成是信號能量時頻 分布的一種表示形式。分布的一種表

16、示形式。 Fourier變換中的變換中的Parseval定理表明，信號時域中定理表明，信號時域中 的能量等于頻域中的能量的能量等于頻域中的能量 小波變換中的小波變換中的Parseval定理要復(fù)雜一些，它不但要定理要復(fù)雜一些，它不但要 有常數(shù)加權(quán)，還必須滿足容許條件。有常數(shù)加權(quán)，還必須滿足容許條件。 23 6 微分特性微分特性 )( )( )( ts dt tds txif ),(),( )( baW b baW stx 7 兩個信號卷積的小波變換兩個信號卷積的小波變換 )(*)()( thtstxif )(*),(),(*)(),(thbaWbaWtsbaW b sh b x b * 表示對變

17、量表示對變量b作卷積作卷積 24 8 逆小波變換逆小波變換 0 ,)( 2 )(),( 11 )(dbtbaW a da C ts bats dC 0 2 | ) ( | where是容許條件。是容許條件。 9 重構(gòu)方程重構(gòu)方程 目的：目的：(a, b)平面上不是所有的二維函數(shù)平面上不是所有的二維函數(shù)W(a, b)對應(yīng)于函對應(yīng)于函 數(shù)數(shù)s(t)的小波變換的充分必要條件是滿足下述的重構(gòu)方程的小波變換的充分必要條件是滿足下述的重構(gòu)方程 0 00)( 2 00 ),;,(),( 1 ),(dbbabaKbaWda a baW tss )()( 1 )()( 1 ),( * , * ,00 00 00

18、 tt C dttt C babaK baba baba ， where 重構(gòu)核重構(gòu)核 25 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 u連續(xù)小波變換的基本概念連續(xù)小波變換的基本概念 u小波變換的性質(zhì)小波變換的性質(zhì) u小波分類和常見的小波小波分類和常見的小波 u離散小波變換離散小波變換 26 1 小波的分類小波的分類 經(jīng)典小波經(jīng)典小波 正交和雙正交小波正交和雙正交小波 27 1) Haar小波小波 2. 常見的經(jīng)典小波常見的經(jīng)典小波 其它0 12/11 2/101 )(t t t 1 1 -1 (a) )(t 11 -1 2 (b) ) 1( t 1 1 -1 2 (c) )2/(t 優(yōu)點：優(yōu)點： Haar小波在時域

19、是緊支撐的，小波在時域是緊支撐的， (0,1)非零，且小波僅非零，且小波僅 取取1和和-1。Haar小波變換的計算復(fù)雜度較低；小波變換的計算復(fù)雜度較低； Haar小波是正交小波；小波是正交小波； Haar小波是對稱的，可去除相位失真非常有效小波是對稱的，可去除相位失真非常有效 缺點：缺點： Haar小波是不連續(xù)小波小波是不連續(xù)小波 28 2) Morlet 小波小波 2 0 2 0 ( ),5 t jt te 2 0 () 2 ( ) 2 e a)時域波形 b）頻譜 29 是為了確保允許條件是為了確保允許條件 成立成立 5 0 0)0( 應(yīng)用：復(fù)信號分解，提取相位信息等。應(yīng)用：復(fù)信號分解，提取

20、相位信息等。 特點：特點： )()(t及 包絡(luò)都是高斯函數(shù)包絡(luò)都是高斯函數(shù) 不是正交小波，也不是雙正交小波不是正交小波，也不是雙正交小波. 是對稱小波是對稱小波 tet t 0 2/ cos)( 2 實信號分解實信號分解 30 3)Maar小波（墨西哥草帽小波）小波（墨西哥草帽小波） 2/2 4 2 )1 ( 3 2 )( t ett 2 2 2 ( ) 2e 特點：特點： 時、頻域局域性好時、頻域局域性好 0)(,0)0( 0 d d 具有二階零點具有二階零點 視覺信息加工，邊緣檢測。視覺信息加工，邊緣檢測。 應(yīng)用應(yīng)用: 不是正交小波，也不是雙正交小波不是正交小波，也不是雙正交小波. 31

21、4) DOG 小波（高斯差分小波）小波（高斯差分小波） 22 82 1 ( ) 2 tt tee 22 /22 ( ) 2ee 特點：特點： 在在=0 處有二階零點，頻域局域性好。處有二階零點，頻域局域性好。) ( -6-4-2246 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 32 3. 正交小波正交小波 1) Daubechies小波小波 法國學(xué)者法國學(xué)者Daubechies Ingrid構(gòu)造的，簡稱為構(gòu)造的，簡稱為db小波小波 在在Matlab7.0中，中，dbN表示表示N階階db小波，其取值通小波，其取值通 常為常為2至至45。N=1的的db1即即Haar小波小波 處具

22、有處具有N階零點階零點 具有緊支撐特性。具有緊支撐特性。dbN小波函數(shù)的小波函數(shù)的 在在) ( 0 db小波是非對稱的，相應(yīng)的濾波器組屬于共軛鏡小波是非對稱的，相應(yīng)的濾波器組屬于共軛鏡 像濾波器組。像濾波器組。 33 在在Matlab中，中，coifN表示表示N階階Coiflets小波，是小波，是 緊支撐正交、雙正交小波，也是接近對稱的小波。緊支撐正交、雙正交小波，也是接近對稱的小波。 具有具有db小波的全部特點小波的全部特點 2).對稱小波對稱小波 對稱小波是對對稱小波是對db小波作改進后得到的，簡稱小波作改進后得到的，簡稱symN， N=2,45， )(t 對應(yīng)的濾波器接近于具有線性相位。

23、對應(yīng)的濾波器接近于具有線性相位。 小波函數(shù)小波函數(shù) 接近對稱，接近對稱， 3)Coiflets小波小波 具有具有db小波的全部特點小波的全部特點 )( 其尺度函數(shù)其尺度函數(shù)在在0處具有處具有2N-1階零點，階零點， ) ( 0在在 處具有處具有2N階零點階零點 34 主要內(nèi)容主要內(nèi)容 u連續(xù)小波變換的基本概念連續(xù)小波變換的基本概念 u小波變換的性質(zhì)小波變換的性質(zhì) u小波分類和常見的小波小波分類和常見的小波 u離散小波變換離散小波變換 35 但尋找具有光滑性、對稱性、局域性的離但尋找具有光滑性、對稱性、局域性的離 散正交基困難散正交基困難 ，于是發(fā)展出非正交的，于是發(fā)展出非正交的 DWT 理論理

24、論框架理論?？蚣芾碚?。 CWT 的冗余性不適合圖像壓縮、數(shù)值計算。的冗余性不適合圖像壓縮、數(shù)值計算。 1. 引言引言 從不可列的具有相關(guān)性的函數(shù)空間中抽取可從不可列的具有相關(guān)性的函數(shù)空間中抽取可 列個函數(shù)來構(gòu)造函數(shù)空間中的一個基，理想列個函數(shù)來構(gòu)造函數(shù)空間中的一個基，理想 的情況下構(gòu)成一個正交基。的情況下構(gòu)成一個正交基。 研究將參數(shù)研究將參數(shù)a，b按一定的方法離散，但要按一定的方法離散，但要 保證用離散后的小波及函數(shù)對信號展開后，保證用離散后的小波及函數(shù)對信號展開后， 信息不丟失。信息不丟失。 36 2. 尺度和位移離散化的方法尺度和位移離散化的方法 0 m s bna T 0 m aa /2

25、 ,0 0 ( ):( )(), m m nm ns m t ttanTm nZ a 方法方法1：滿足：滿足Nyquist采樣定理的離散方法采樣定理的離散方法 Where Ts為采樣間隔為采樣間隔 特例：特例：a0=2 Ts=1 /2 , ( )2(2) mm m n ttn 方法方法2：方法方法1中的中的Ts=0，即僅僅對尺度，即僅僅對尺度a離散，對平離散，對平 移因子不離散移因子不離散 37 ) 1(, s Tnbma Znmnttt m m nmba ,),2(2)()( 2 , ),(),(nmWbaW ss dtttss R nmnm )()(, , 3. 離散小波變換之正變換離散小

26、波變換之正變換 )(),( 2 1 , nm S 1) 后，連續(xù)相空間非均勻分布的離后，連續(xù)相空間非均勻分布的離 散相空間。散相空間。 nma 2) 當(dāng)當(dāng) 時，時，m時寬,帶寬)(,2aa m 38 5. 小波框架小波框架 ， 0AB 時，稱為小波框架；當(dāng)時，稱為小波框架；當(dāng) 2 (2 ) m m Z 等價地，小波框架在頻域中是指，滿足等價地，小波框架在頻域中是指，滿足 的函數(shù)族。的函數(shù)族。 ( ) t , ( ):, m n tm nZ 2 22 , ,( ) m n m Z n Z A sstB s 是小波函數(shù)，函數(shù)族是小波函數(shù)，函數(shù)族 滿足滿足 AB 時，該框架又稱為緊小波框架。時，該框

27、架又稱為緊小波框架。 1)定義定義 39 2)性質(zhì)性質(zhì) ( ) t 滿足容許性條件。滿足容許性條件。 , ( ):, m n tm nZ /2 , 2(2) mm m n tn 的對偶函數(shù)的對偶函數(shù) 小波框架小波框架 也構(gòu)成一個框架。也構(gòu)成一個框架。 5. 信號重構(gòu)和逆變換信號重構(gòu)和逆變換 , , 1 ( )( ),( )( )( , )( ) m nm nsm n m nm n s ts tttW m nt A AB，則離散小波變換的逆變換為：，則離散小波變換的逆變換為： 1) )( 1 )( , t A t nmnm where 特例：特例：A=B=1 )()( , tt nmnm 是正交

28、基是正交基 40 , 2 ( )( ) m nm n tt AB AB 若若 ,則則 2) 的關(guān)系復(fù)雜，不予討論和)()( , , ttBA m,nnm 3) , , 2 ( )( ),( )( )( , )( ) m nm nsm n m nm n s ts tttWT m nt AB 41 )()()(,),( * , nddtttssnmW mnmnms where 信號的離散小波展開信號的離散小波展開 0 , )( )()( mn nmm tndts 信號的信號的Fourier級數(shù)展開級數(shù)展開 0 0 0 )()( m tjk ekSts dtets T kS tjk 0 )( 1 )( 0 where 42 6. 重構(gòu)核方程重構(gòu)核方程 彼此相關(guān)，彼此相關(guān)， 可由可由 求出。求出。 ),(nmWs ),(nmWs ),( 00 nmWs )( , t nm 是框架，不正交，有冗余度是框架，不正交，有冗余度 。 )(),( 1 )( , , tnmW A ts nm nm s 00, 00 )