第三章媒質(zhì)的電磁性質(zhì)和邊界條件

1、第三章 媒質(zhì)的電磁性質(zhì)和邊界條件眾所周知，物質(zhì)是由原子核和電子組成的，原子核帶正電，電子帶負電。就是說任何物質(zhì)材料，不論是氣體、液體還是固體都含有帶電粒子，這些帶電粒子的周圍一定存在著電場；同時電子一方面繞原子核運動，另一方面也作自旋運動，電荷的運動形成電流，這些電流周圍存在磁場。從微觀上看，材料中這些帶電粒子是存在電磁效應的，但從宏觀上看，由于相鄰原子產(chǎn)生的場相互抵消，及大量帶電粒子熱運動的平均結果，使自然狀態(tài)下的物質(zhì)仍呈現(xiàn)電中性。倘若存在外加電磁場，則由于帶電粒子和外加電磁場的相互作用，介質(zhì)的分子電矩和磁矩將部分或全部取向一致，引起宏觀電或磁效應，相當于在材料內(nèi)部存在附加的場源，這樣就需要

2、對真空中的電磁學定律作進一步推廣。在第二章中，我們研究了在真空（或近似真空的空氣）中電磁場各場量，如所遵循的普遍規(guī)律，并得到一組麥克斯韋方程組。麥克斯韋方程組的積分形式描述大尺度（如一個線段、曲面或體積）上的電磁特性，而微分形式描寫空間任意一點的電磁場，但歸根結底兩者描述的仍然是宏觀電磁現(xiàn)象。這一章我們要研究物質(zhì)的微觀模型和性質(zhì),把麥克斯韋方程組推廣到一般電磁材料中去.本章先研究由材料中帶電粒子和電磁場的相互作用而產(chǎn)生的三個基本現(xiàn)象：傳導、極化和磁化。每一種物質(zhì)在電磁場中均有傳導、極化和磁化三種現(xiàn)象，根據(jù)某種主要的現(xiàn)象，可將材料分為導體、半導體、電介質(zhì)和磁介質(zhì)等。討論材料的電磁性質(zhì)之后，我們可

3、獲得三個物態(tài)方程和一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組。最后我們研究在不均勻媒質(zhì)中電磁場所遵循的規(guī)律邊界條件。3.1 電場中的導體導體是一種含有大量可以自由移動的帶電粒子的物質(zhì)。導體可分為兩種金屬導體和電解質(zhì)導體。金屬導體的導電靠的是自由電子，由于自由電子的質(zhì)量比原子核的質(zhì)量小得多，所以導電過程中沒有明顯的質(zhì)量遷移，也不伴隨任何化學變化。而堿、酸、和鹽溶液等電解液則屬于第二種導體，其導電靠的是帶電離子，導電過程中伴隨有質(zhì)量遷移，也要發(fā)生化學變化。金屬比電解液的導電性要強得多。本節(jié)主要討論金屬導體在電場中的特性，并給出表征材料導電特性的參量電導率。3.1.1 靜電場中的導體圖3.1 靜電場中的導體金屬導體

4、，如金、銀、銅、鋁等，內(nèi)部含有大量的自由電子，在自然狀態(tài)下，導體中自由電子所帶的負電荷和原子核所帶的正電荷處處等量分布，相互抵消，因此導體呈電中性狀態(tài)。這時，導體中的自由電子只作微觀的熱運動，沒有任何宏觀的電荷運動。但如果導體處于外電場中(圖3.1)，導體中的自由電子將受到電場力作用，逆電場方向運動，導體左側(cè)出現(xiàn)負電荷，右側(cè)出現(xiàn)正電荷，這些電荷稱為感應電荷。當導體兩端聚積有感應電荷時，感應電荷將在導體內(nèi)產(chǎn)生電場，該電場稱為內(nèi)電場，其方向與外電場方向相反，隨著感應電荷的聚積，感應電荷產(chǎn)生的內(nèi)電場也逐漸增強，最后達到與外電場平衡且互相抵消，此時導體內(nèi)的總場強為零,自由電子受到的電場力也為零，電子的

5、定向運動停止，于是，導體達到靜電平衡狀態(tài)。靜電場中的導體具有以下基本特征：（1） 導體為等位體；（2） 導體內(nèi)部電場為零；（3） 導體表面的電場處處與導體表面垂直，切向電場為零；（4） 感應電荷只分布在導體表面上，導體內(nèi)部感應電荷為零。在邊界條件這一節(jié)中，我們還要對此作進一步討論。3.1.2 恒定電場中的導體將一段導體與直流電源聯(lián)接，則導體內(nèi)部會存在恒定電場，這時導體內(nèi)的自由電子在該電場的作用下，逆電場方向運動。根據(jù)牛頓第一定律，在電場力作用下，電子要作加速運動，然而自由電子在運動過程中，不斷與金屬結晶點陣相碰撞，由于這種阻尼作用，所以在宏觀意義上，電子的運動變成了等速運動，其平均運動速度稱為

6、漂移速度，用表示。電子在連續(xù)兩次與結晶點陣相互作用間隔中得到一個動量，而兩次相互作用的時間間隔為，也是一個平均值，稱為平均自由時間，電子在秒內(nèi)獲得的動量等于電場力的沖量，即 或 (3.1)式中 負號是由于電子的漂移方向與電場方向相反之故。令 (3.2)則式(3.1)變?yōu)?(3.3)式中稱為電子的遷移率，其單位為米2/伏秒。不同的金屬導體有不同的電子遷移率，其典型數(shù)據(jù)為鋁：0.0012，紫銅：0.0032，銀：0.0056。電子在金屬中的漂移速度很小，約為幾個毫米/秒。順便指出，此處漂移速度和電流傳導的速度是根本不同的兩回事，后者為電磁場的傳播速度，等于光速。圖3.2 恒定電場中的導體我們知道，

7、電荷的定向運動形成電流。設在垂直于電場方向取面元，如圖3.2所示，以為底，作一體積元，該體積元沿電場方向的長度為，因此由于漂移運動，體積元內(nèi)的自由電子在單位時間內(nèi)將全部穿過面，設自由電子密度為，則單位時間內(nèi)通過的電量為 故電流密度為 (3.4)將式(3.3）代入式(3.4)得 (3.5)或表示成 (3.6)其中 (3.7)稱為金屬的電導率，單位為西門子/米或1/歐姆米。有一類稱為半導體的材料，其導電率除靠電子外，還有空穴。電子和空穴遷移率分別以表示，半導體的電導率為 (3.8)式中分別代表電子和空穴濃度。半導體材料中的傳導電流密度亦可表為 (3.9)式(3.6)和式(3.9)描述導體和半導體材

8、料中任一點場量之間的關系，它們的積分形式的關系便是聯(lián)系的歐姆定律，式(3.6)和(3.9)稱為歐姆定律的微分表達式。它是反映材料和電場關系的一個物態(tài)方程。3.1.3 電導率電導率是表征材料導電特性的一個物理量，電導率的倒數(shù)稱為電阻率，上述歐姆定律中，不論的數(shù)值很大或很小的情況下，兩者仍然保持正比關系，即電導率是一個比例常數(shù)，這種導電媒質(zhì)稱為線性媒質(zhì),另外,導電媒質(zhì)的電導率是均勻不變的，它不是空間的函數(shù)，因此又是一種均勻媒質(zhì)；若導電媒質(zhì)的性質(zhì)和場矢量的方向無關，它也是一種各向同性媒質(zhì)。本書中涉及的導體、電介質(zhì)和磁介質(zhì)大多數(shù)是線性、均勻和各向同性的媒質(zhì)。電導率和材料本身的性質(zhì)，如材料中的自由電子密

9、度和平均自由時間有關，也和環(huán)境溫度有關。對金屬導體材料，在給定場強下，溫度升高，金屬結晶點陣振動加劇，對電子運動的阻尼作用也增大，使電子漂移速度降低，電子遷移率變小，結果使金屬電導率變小，電阻率增大。金屬電導率和絕對溫度近似成反比關系，或者說電阻率和絕對溫度近似成線性關系。某些金屬導體在低溫條件下電阻率趨向于零，可變?yōu)槌瑢w，如鋁在時，就呈現(xiàn)超導狀態(tài)。超導技術有可能引起新的技術革命，但它不屬于本課程研究的內(nèi)容。半導體材料的電導率受環(huán)境溫度影響很大，且和金屬導體的溫度特性不同。溫度升高時，半導體的電子和空穴遷移率要變小，但載流子濃度卻急劇上升，總的效果使電導率明顯增大。例如，在時，本征鍺的電導率

10、為，溫度升至后，電導率變?yōu)?，后者為前者?0倍。電導率是表征材料電磁特性的三個主要參量之一，不同材料的電導率差別十分驚人，例如，金、銀和銅的電導率可達數(shù)量級；本征硅的電導率為數(shù)量級；而熔融石英的電導率則為數(shù)量級，它是一種絕緣體，將在下一節(jié)中專門討論。表3-1列出了不同材料的電導率數(shù)據(jù)。表3-1 材料的電導率材 料 名 稱類 型電導率（）熔融石英純 地 蠟硫 磺云 母石 蠟硬 橡 膠陶 瓷玻 璃膠 木蒸 餾 水干 土 坯動物脂肪動物身體動物肌肉動 物 血海 水碲碳石 墨鑄 鐵汞鎳康 銅硅 鋼德 銀鉛錫磷 銅黃 銅鋅鎢杜 拉 鋁冷 拉 鋁金紫 銅銀 鈮（鋁鍺）絕 緣 體絕 緣 體絕 緣 體絕 緣

11、體絕 緣 體絕 緣 體絕 緣 體絕 緣 體絕 緣 體絕 緣 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體導 體超 導 體10-17（近似）10-17（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-15（近似）10-14（近似）10-12（近似）10-9（近似）10-4（近似）10-3（近似）410-20.20.40.74(近似)5102(近似)3104(近似)105(近似)106(近似)106106210621063106510691061071.11071.71071.810731073.510

12、74.11075.71076.1107（近似）3.2 電場中的電介質(zhì)電介質(zhì)和導體不同，電介質(zhì)中的電子受原子核的束縛很強，即使在外電場的作用下，電子也不能脫離原子核做宏觀運動，只能在原子間隔尺度內(nèi)作微觀位移。電介質(zhì)是一種絕緣材料，如石英、云母、變壓器油、蓖麻油、氫和氮等。電介質(zhì)可以是固體、液體或氣體，有趣的是，一般金屬蒸汽也是電介質(zhì)。在一般介質(zhì)的分子中，含有許多電子，它們各自在自己的軌道上運動，形成電子云，電子云的作用可用一個單獨的負電荷來等效，該等效電荷所在的位置稱為電子云的“重心”，同樣，每個分子中的全部電荷也有一個正電荷“重心”，根據(jù)正負電荷重心的分布方式，電介質(zhì)分子可分為兩類：無極分子和

13、有極分子。無極分子：當外電場不存在時，電介質(zhì)中正負電荷的“重心”是重合的，電介質(zhì)處于電中性狀態(tài)，對外不顯電性，如氣體氫、氮等物質(zhì)。有極分子：當外電場不存在時，電介質(zhì)中的正負電荷“重心”不重合，因此每個分子可等效為一個電偶極子，然而，由于分子的無規(guī)則熱運動，各個分子等效電偶極矩的方向是凌亂的，所以無論是整塊介質(zhì)或介質(zhì)中的某一部分，其中分子等效電偶極矩的矢量和都等于零，介質(zhì)依然處于電中性狀態(tài)，對外不顯電性。3.2.1 電介質(zhì)的極化圖3.3 無極分子的極化在外電場作用下，由無極分子組成的電介質(zhì)中，分子的正負電荷“重心”將發(fā)生相對位移，形成等效電偶極子，外加電場越強，正負電荷重心之間的相對位移就越大，

14、等效電偶極矩也越大，如圖3.3所示。 對均勻電介質(zhì)整體來說，在外電場作用下，垂直于電場的電介質(zhì)的兩個表面上分別出現(xiàn)正、負電荷，然而這種電荷與導體中的自由電荷不同，它不能離開電介質(zhì)，也不能在電介質(zhì)內(nèi)部自由運動，所以稱為束縛電荷，如圖3.4所示。對于由有極分子組成的電介質(zhì)，在外電場作用下，各分子等效電偶極子將受到一個力矩的作用，如圖3.5所示。使分子電偶極矩轉(zhuǎn)向電場的方向。但是由于分子的熱運動，不可能使所有分子的電偶極矩都按電場的方向排列起來，場強越強，轉(zhuǎn)向的效果也就越顯著，排列就越整齊，各個分子的等效電偶極矩在電場方向分量的總和也越大，在有極分子電介質(zhì)與外電場垂直的界面上，同樣出現(xiàn)束縛電荷。這種

15、在外電場作用下，電介質(zhì)中出現(xiàn)有序排列的電偶極子，表面上出現(xiàn)束縛電荷的現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。無極分子的極化稱為位移極化。有極分子的極化稱為轉(zhuǎn)向極化。兩種極化的微觀過程雖然不同，但在宏觀上卻有相同的效果。介質(zhì)極化后，在介質(zhì)中都會出現(xiàn)束縛電荷，電場越強，電場對介質(zhì)分子的極化作用越大，介質(zhì)中出現(xiàn)的束縛電荷也越多。我們引入一個宏觀的物理量來表示極化的程度，稱之為極化強度，用表示。電介質(zhì)極化的程度直接取決于分子的位移極化和轉(zhuǎn)向極化的程度。設介質(zhì)中任一小體積中所有分子的電矩矢量和為，則極化強度可定義為單位體積中分子電矩的矢量和 (3.10)式(3.10)反映了介質(zhì)中每一點介質(zhì)極化的情況。由該式可知，極化強

16、度為一個矢量函數(shù)，極化強度的單位是庫/米2（C/m2）,與面電荷密度具有相同的量綱。圖3.5 電場對有極分子的轉(zhuǎn)矩圖3.4 電介質(zhì)的極化對于線性的和各向同性的均勻介質(zhì)來說，介質(zhì)中的每一點極化強度矢量與該點的總電場強度成正比，即 (3.11)式中稱為電極化系數(shù)，是一個無量綱數(shù)，不同的介質(zhì)有不同的電極化系數(shù)。對于各向異性介質(zhì)，極化強度和外電場強度方向不一致，情況比較復雜，不在這里討論。3.2.2 束縛電荷極化強度矢量是描寫介質(zhì)極化程度的物理量，而介質(zhì)極化的程度又決定了束縛電荷的分布情況，所以極化程度與束縛電荷之間有一定的關系。設在外電場作用下，電介質(zhì)發(fā)生了極化，極化強度為,在電介質(zhì)內(nèi)某點取一個體積

17、元，把該體積元中的所有電偶極子看成一個等效電偶極子，它的等效電矩為，這一等效電偶極子在遠處一觀察點產(chǎn)生的電位，由式(2.29)得 (3.12)式中是從源點指向場點的單位矢量；為體積元到場點的距離。不難證明： (3.13)式中表示對源點坐標的微分運算；表示對場點坐標的運算，代回式(3.12)后，有 (3.14)于是，體積為的電介質(zhì)中的全部電偶極子在場點產(chǎn)生的電位，可由式(3.14)積分得 (3.15)利用矢量恒等式 式(3.15)可寫為 (3.16)再利用散度定理，可將式(3.16)中的第一個體積分項變?yōu)槊娣e分 (3.17)上式的積分是在介質(zhì)表面及其體積中進行的，表面是體積的封閉界面。上式和式(

18、2.21)及式(2.22)比較后，可以看出，式(3.17)中面積分一項是束縛面電荷在點產(chǎn)生的電位；體積分一項，是束縛體電荷在點產(chǎn)生的電位，則是在場點處的總電位。因此，束縛電荷的體密度為 (3.18)束縛電荷的面密度為 (3.19)式(3.18)中上的一撇被略去了，因為式中的散度運算就是對束縛電荷密度所在點進行的。式(3.19)中是極化強度和面元間的夾角，的正方向為閉曲面的外法線的方向。于是式(3.17)改寫為 (3.20)按照束縛電荷分布來計算電位的方法，和按自由電荷分布來計算電位的方法是相似的，若電介質(zhì)中還存在自由電荷的體分布時，電介質(zhì)中一點總的電位可寫為 (3.21a)或 (3.21b)3

19、.2.3 電位移矢量我們知道，原子核和電子本身的尺寸與它們之間的距離相比是很小的，和原子之間的距離相比，也非常小，因此在電介質(zhì)中的觀察點猶如處于真空中一樣，我們可以把等效的束縛電荷分布也視為在真空中的電荷分布，式(3.21)中各項都含有真空介電常數(shù)，其道理也就在這里。這樣計入自由電荷密度和束縛電荷密度時，高斯定律可寫成 (3.22a)或 (3.22b)根據(jù)式(3.18)可得 (3.23)由此，可定義一個新矢量 (3.24a)矢量稱為電位移矢量或電通量密度。對線性、各向同性和均勻的介質(zhì)，由式(3.11)，電位移矢量又可表示為 (3.24b)或 (3.24c)式中 (3.25)其中稱為相對介電常數(shù)

20、，材料的介電常數(shù)可表示為。式(3.24)稱為介質(zhì)特性方程，它是一個有關電場和材料之間關系的物態(tài)方程。表3-2中給出了幾種常見介質(zhì)的相對介電常數(shù)。表3-2 材料的相對介電常數(shù)材 料 名 稱相對介電常數(shù)擊穿場強空氣(0101325Pa)水汽(110101325Pa)紙聚四氟乙烯礦 物 油石 蠟聚 乙 烯聚苯乙烯軟 橡 膠琥 珀尼 龍石 英普通玻璃膠 木瓷 器微晶玻璃云 母大 理 石陶 瓷蒸 餾 水二氧化鈦1.00061.01262.03.02.12.22.22.32.562.53.033.53.84.54.9575.668.39.8911003 15303040201525 2130 將式(3.2

21、4)代入式(3.23)后得 (3.26a)式(3.26a)就是一般電介質(zhì)中高斯定律的微分形式，它也是介質(zhì)中麥克斯韋方程之一，高斯定律的積分形式為 (3.26b)式(3.26a)和(3.26b)在形式上和第二章中式(2.90)和式(2.77)完全一樣，但卻具有普遍意義了，說明高斯定律不僅適用于真空，同樣也適用于一般介質(zhì)。式(3.26b)告訴我們：穿過任意封閉曲面的電通量，只與曲面中包圍的自由電荷有關，而與介質(zhì)的狀況無關，這給電場計算帶來了某些方便。以上有關電介質(zhì)的性質(zhì)，是在靜電場的情況下得到的，它對于低頻時變場也是適用的，有關高頻情況下材料的性質(zhì)，此處不作討論。最后要指出的是，電介質(zhì)和導體之間并

22、不存在不可逾越的鴻溝，如果外電場足夠大，電介質(zhì)中的束縛電荷就可能克服分子引力，成為自由電荷，這時絕緣體變成了導體，這種現(xiàn)象稱為介質(zhì)的擊穿。材料能承受的最大電場強度稱為擊穿場強，它在高壓技術中是一個表征材料性能的重要參數(shù)?！纠?-1】 點電荷位于介質(zhì)球殼的球心，球殼內(nèi)半徑為，外半徑為，球殼的相對介電常數(shù)為，殼外為真空，如圖3.6(a)所示。求：球殼中任一點的電場強度、電位移矢量、極化強度及電位。解 按題意該電場為球?qū)ΨQ場，適于用高斯定律求解電場強度和電位移矢量，再分別根據(jù)關系式(3.24a)和式(2.17)求。由 可直接寫出 所以 由電位公式根據(jù)題目條件，應分段積分式中為球殼外的電場強度；為球殼

23、中的電場強度 將、代入積分式后得圖3.6 點電荷在介質(zhì)球殼內(nèi)外產(chǎn)生的電場讀者可用類似的方法，計算球殼外和球殼內(nèi)的電場和電位。圖3.6(b)、(c)和(d)分別給出的變化曲線。3.3 磁場中的磁介質(zhì)3.3.1 物質(zhì)的磁化物質(zhì)的磁化和電介質(zhì)的極化一樣，也是和物質(zhì)的結構緊密相關的，根據(jù)原子的簡單模型，電子沿圓形軌道圍繞原子核旋轉(zhuǎn)，其作用相當于一個小電流環(huán)，這個微觀電流也會產(chǎn)生磁效應，換句話說，它具有一定的磁矩，該磁矩稱為軌道磁矩。此外，電子還圍繞本身的軸作自旋運動，形成圓電流，也產(chǎn)生一個磁矩，稱為自旋磁矩，以及原子核的自旋也會產(chǎn)生一個自旋磁矩，這三個磁矩總和稱為原子（或分子）磁矩，原子核的質(zhì)量比電子

24、大得多，原子核的自旋角速度也比較小，因而一般原子核的自旋磁矩可忽略不計。介質(zhì)中電子和原子核都是束縛電荷，它們進行的軌道運動和自旋運動都是微觀運動，由束縛電荷的微觀運動形成的電流，稱為束縛電流或安培電流。通常情況下，絕大部分材料中所有原子磁矩的取向是雜亂的，結果總的磁矩為零，對外不呈現(xiàn)磁性。但在外磁場作用下，物質(zhì)中的原子磁矩都將受到一個扭矩作用，所有原子磁矩都趨于和外磁場方向一致排列，彼此不再抵消，結果對外產(chǎn)生磁效應，影響磁場分布，這種現(xiàn)象稱為物質(zhì)的磁化，如圖3.7所示。在外磁場作用下能產(chǎn)生磁化的物質(zhì)稱為磁介質(zhì)。為了便于宏觀分析物質(zhì)磁化的程度，引入磁化強度矢量，用表示。在磁化后的物質(zhì)中，單位體積

25、內(nèi)，所有磁矩的矢量和定義為磁化強度，即 (3.27)圖3.7 物質(zhì)的磁化其中：為第個原子的磁矩，磁化強度的單位為安/米。如果磁化均勻，那么在磁介質(zhì)中束縛電流相鄰的部分相互抵消（如圖3.7），于是在磁介質(zhì)內(nèi)部束縛電流為零，而只剩磁介質(zhì)表面的束縛電流。如果磁化不均勻，相鄰的束縛電流便不能完全抵消，磁介質(zhì)內(nèi)部也就存在束縛電流密度。在磁介質(zhì)中取體積元,可得到一個等效磁矩,等效磁矩產(chǎn)生的矢量磁位由式(2.48)得 (3.28)由矢量運算式(3.28)可表示為整個磁介質(zhì)在場點產(chǎn)生的矢量磁位為 (3.29)再根據(jù)矢量等式則式(3.29)可改寫為 (3.30)根據(jù)矢量關系式，可將式(3.30)等號右邊第二項的

26、體積分變?yōu)槊娣e分，即式中為面元法線方向的單位矢量，故得 (3.31)式中為包圍體積的曲面，將式(3.31)和式(2.46)及(2.47)比較，可見，相當于磁介質(zhì)中的束縛電流體密度，而相當于束縛電流面密度，這里束縛電流也稱為磁化電流。 (3.32) (3.33)于是矢量磁位可寫成 (3.34)式(3.34)為介質(zhì)磁化后束縛電流在空間產(chǎn)生的矢量磁位?，F(xiàn)在，若將產(chǎn)生外磁場的傳導電流密度也考慮進去，則磁介質(zhì)中總的矢量磁位變?yōu)?(3.35)式(3.35)與式(3.21)比較，它們有相似的數(shù)學形式。可見，只要把等效磁化電流密度考慮進去，加上宏觀的電流密度后，磁介質(zhì)中磁場的計算就和真空中的計算一樣了。3.3

27、.2 磁場強度現(xiàn)在討論磁介質(zhì)中磁感應強度、磁化強度和磁場強度之間的關系。引出磁化電流后，磁介質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式可寫成由式(3.33)知，因為這里的旋度運算就是對磁化電流所在點的坐標進行的，此處可將改寫為，于是上式可改寫為這樣可定義磁場強度矢量 (3.36)將磁場強度作為一個場函數(shù)，在一般媒質(zhì)中，麥克斯韋方程中就不再出現(xiàn)束縛電流項，故上式為 (3.37)這就是一般媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式。實驗指出，除了某些鐵磁材料外，大多數(shù)磁介質(zhì)的磁化強度和磁場強度之間是線性關系 (3.38)式中稱為磁化率。將式(3.38)代入式(3.36)后得 (3.39a)或 (3.39b)式中稱為物質(zhì)的磁導率

28、，單位為亨/米；稱為相對磁導率。式(3.39)也是一個物態(tài)方程，它描述物質(zhì)在磁場中的性質(zhì)。幾種常用材料的磁化率見表3-3。表3-3 材料的磁化率材料名稱磁化率材料名稱磁化率鉍金銀鉛鋅銅鎂鋰鉑鎳純鐵-16.6-3.6-2.6-1.8-1.4-0.981.24.4266001021010石英汞水氮（101325Pa）CO2鈉鋁鎢鈷硅鋼片玻莫合金-6.2-2.9-0.91-0.5-1.00.622.26.82501057 0001051010103.3.3 磁介質(zhì)的分類磁介質(zhì)就是在外磁場的作用下發(fā)生磁化，并能影響外磁場分布的物質(zhì)。按照物質(zhì)結構理論，物質(zhì)在外磁場作用下都會發(fā)生磁化，顯示某些磁效應。這樣

29、說來，除了真空是唯一真正的非磁性介質(zhì)外，其它物質(zhì)都是可磁化的介質(zhì)，但不同的磁介質(zhì)，其磁化效應的強弱差別甚大。根據(jù)材料磁效應的不同，磁介質(zhì)可以分為抗磁質(zhì)、順磁質(zhì)、鐵磁質(zhì)和亞鐵磁質(zhì)等?？勾刨|(zhì)：抗磁質(zhì)的磁效應主要是電子軌道磁矩引起的。這類磁介質(zhì)的電子自旋磁矩的貢獻不大，在外磁場的作用下，電子軌道磁矩的方向和外磁場方向相反，磁化強度和方向相反。這樣，在這類磁介質(zhì)內(nèi)部，磁感應強度將減弱，抗磁質(zhì)的磁化率為負，其相對磁導率略小于1，即 且 在表3-3中，金、銀和水等屬于抗磁質(zhì)。 圖3.8 磁滯回線順磁質(zhì)：順磁質(zhì)的磁效應主要是電子自旋磁矩引起的，軌道磁矩的抗磁效應不能完全抵消它，在外磁場作用下，電子自旋磁矩和

30、外磁場方向一致，即磁化強度和磁感應強度方向相同，使磁介質(zhì)中的磁感應強度增強。順磁質(zhì)的磁化率為正，相對磁導率略大于1，即表3-3中鎂、鋰和鎢等屬于順磁質(zhì)?？勾刨|(zhì)和順磁質(zhì)材料的磁化率都較小，其相對磁導率約為1，工程計算時常常把這類磁效應很弱的材料，都看成非磁性材料。鐵磁質(zhì)：在鐵磁性材料中，有許多小天然磁化區(qū)，稱為磁疇，磁疇的形狀和大小因不同材料樣品而異，一般尺寸范圍在微米和幾個厘米之間。每個磁疇由磁矩方向相同的數(shù)以百萬計的原子組成。在無外磁場時，各磁疇排列混亂，磁矩相互抵消，對外不顯磁性。在外磁場作用下，大量磁疇轉(zhuǎn)向外磁場方向排列，形成強烈磁化效應。鐵磁性材料的磁化率非常大，其相對磁導率。如表3-

31、3中鐵、鎳和鈷等?？梢?，鐵磁性物質(zhì)的磁化，是由于外磁場與磁疇作用的結果。撤去外磁場后，部分磁疇的取向仍保持一致，對外仍然呈現(xiàn)磁性，稱為剩余磁化。鐵磁材料是一種非線性磁介質(zhì)，BH曲線不是一條直線，而且鐵磁材料的BH曲線還和磁化歷史有關，圖3.8的BH曲線稱為磁滯回線。鐵磁材料的磁性和溫度也有很大關系，超過某一溫度值后，鐵磁材料會失去磁性，這個溫度叫做居里點，鐵的居里點為絕對溫度1043K。亞鐵磁質(zhì)：在亞鐵磁性物質(zhì)中，某些分子（或原子）磁矩和磁疇平行，但方向相反，在外磁場作用下，這類材料也呈現(xiàn)較大磁效應，但由于部分反向磁矩的存在，其磁性比鐵磁材料的要小，鐵氧體屬于一種亞鐵磁性材料，在工程上有重要應

32、用。表3-4列出了一些材料的相對磁導率和分類情況。表3-4 材料的磁導率材 料 名 稱分 類相對磁導率鉍銀鉛銅水真空空氣鋁鈀2-18玻莫合金粉*鈷鎳錳鋅鐵氧體粉軟鋼鐵（0.2雜質(zhì)）硅鋼（4Si）*78玻莫合金純鐵（0.05雜質(zhì)）導磁合金（5Mo,79Ni）抗磁性抗磁性抗磁性抗磁性抗磁性非磁性順磁性順磁性順磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性鐵磁性0.999830.999980.9999830.9999910.99999111.00000041.000021.000813025060015002000500070001000002000001000000*百分比成份，其余為

33、鐵，雜質(zhì)。* *用于電源變壓器【例3-2】 某一各向同性材料的磁化率，磁感應強度，求該材料的相對磁導率、磁導率、磁化電流密度、傳導電流密度、磁化強度及磁場強度。解 根據(jù)關系式 得 及 （）又 （）而 （）由 （）同理 （）3.4 媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組 在第二章中，我們已經(jīng)討論過真空中電磁場的基本定律，給出了真空中麥克斯韋方程組的微分和積分表達式。本章前三節(jié)對導體、電介質(zhì)和磁介質(zhì)三種主要材料的宏觀電磁性質(zhì)作了分析研究，定義了兩個新的場量：電位移矢量和磁場強度,它們分別反映了介質(zhì)的極化和磁化效應，最后得到反映介質(zhì)極化和磁效應的物態(tài)方程。在上述基礎上，現(xiàn)在我們可以寫出一般媒質(zhì)中的麥克斯韋方程組。麥

34、克斯韋方程組的積分形式和微分形式為積分形式 微分形式 (3.40) (3.41) (3.42) (3.43)對照表2-1及表2-2，讀者可以看出，媒質(zhì)中麥克斯韋方程和真空中麥克斯韋方程的表達式是相同的。從現(xiàn)在起，表2-1和表2-2可以推廣應用于一般媒質(zhì)，而不再局限于真空的情況。電流連續(xù)性方程的積分形式和微分形式分別為 (3.44a)和 (3.44b)正如前面指出過的，麥克斯韋方程組中的四個方程并非都是獨立的，例如兩個散度方程式(3.42)和(3.43)可以由兩個旋度方程式(3.40)、式(3.41)、電流連續(xù)性方程式(3.45)和靜場條件導出。第二章中已指出，獨立方程和非獨立方程的區(qū)分并不是絕

35、對的，方程式(3.40)、(3.41)和(3.42)亦可取為獨立方程，由此導出式(3.43)和電流連續(xù)性方程。僅僅三個獨立方程還不能完全確定場，因為上述三個獨立方程中含有五個矢量及一個標量，每個矢量含有三個標量分量，這樣總共有十六個未知標量，而這三個獨立方程只包含七個標量方程。為了獲得電磁場的解，還需要利用三個物態(tài)方程 (3.45) (3.46) (3.47)這三個物態(tài)方程在前面三節(jié)中已分別給出，它們提供另外九個標量方程。至此我們得到了一般媒質(zhì)中完整的麥克斯韋方程組。3.5 電磁場的邊界條件在實際工程中，往往要遇到由不同的媒質(zhì)組成的電磁系統(tǒng)。在不同媒質(zhì)分界面上，由于媒質(zhì)的特性發(fā)生了突變，相應的

36、場量一般也將發(fā)生突變。在這一節(jié)中，我們將研究電磁場在兩種媒質(zhì)分界面上的變化規(guī)律。決定分界面兩側(cè)電磁場變化關系的方程稱為邊界條件。研究邊界條件的出發(fā)點，仍然是麥克斯韋方程組。但在不同媒質(zhì)的交界面處，由于媒質(zhì)不均勻，媒質(zhì)的性質(zhì)發(fā)生了突變，因此，微分形式的方程不再適用，只能從麥克斯韋方程組的積分形式出發(fā)，推導邊界條件。3.5.1 電場法向分量的邊界條件圖3.9 電場法向分量的邊界條件如圖3.9所示的兩種媒質(zhì)的分界面，第一種媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導率和電導率分別為，和，第二種媒質(zhì)的介電常數(shù)、磁導率和電導率分別為，和。在這兩種媒質(zhì)分界面上取一個小的柱形閉合面，如圖3.9所示，其高為無限小量，上下底面與分界面

37、平行，并分別在分界面兩側(cè)，且底面積非常小，可以認為在上的電位移矢量和面電荷密度是均勻的。，分別為上下底面的外法線單位矢量，在柱形閉合面上應用電場的高斯定律故 (3.48a)若規(guī)定為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)為正方向，則，式(3.48a)可寫為 (3.48b)或 (3.48c)式(3.48)稱為電場法向分量的邊界條件。 因為，所以式(3.48)可以用的法向分量表示 (3.49a)或 (3.49b)若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時，除非特意放置，一般在分界面上不存在自由面電荷，即，所以電場法向分量的邊界條件變?yōu)?(3.50a)或 (3.50b)若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，媒質(zhì)為理想導體時，導體內(nèi)部電場為零，即，在導體表面存在自

38、由面電荷密度，則式(3.48)變?yōu)?(3.51a)或 (3.51b)3.5.2 電場切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面上取一小的矩形閉合回路abcd，如圖3.10所示，該回路短邊為無限小量，其兩個長邊為，且平行于分界面，并分別在分界面兩側(cè)。在此回路上應用法拉第電磁感應定律因為 圖3.10 電場切向分量的邊界條件和故 (3.52a)若為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)為正方向，式(3.52a)可寫為 (3.52b)式(3.52)稱為電場切向分量的邊界條件。該式表明，在分界面上電場強度的切向分量總是連續(xù)的。用表示式(3.52a)得 (3.53)若媒質(zhì)為理想導體時，由于理想導體內(nèi)部不存在電場，故與導體相鄰的媒質(zhì)中電場

39、強度的切向分量必然為零。即 (3.54)因此，理想導體表面上的電場總是垂直于導體表面，對于時變場，理想導體內(nèi)部不存在電場，因此理想導體的切向電場總為零，即電場也總是垂直于理想導體表面。 圖 3.11 電位邊界條件3.5.3 標量電位的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面上取兩點，分別為A和B，如圖3.11所示。A，B分別位于分界面兩側(cè)，且無限靠近，兩點的連線，且與分界面法線平行，從標量電位的物理意義出發(fā)，得由于和為有限值，而所以由上式可知，即 或 (3.55)式中S為兩種媒質(zhì)分界面。該式表明在兩種媒質(zhì)分界面處，標量電位是連續(xù)的。標量電位在分界面上的邊界條件在靜電場求解問題中是非常有用的?？紤]到電位與電場強

40、度的關系：，由電場的法向分量邊界條件式(3.49b)得 (3.56)式(3.56)稱為靜電場中標量電位的邊界條件。若兩種媒質(zhì)均為理想介質(zhì)時，在分界面上無自由電荷，標量電位的邊界條件為 (3.57)若在理想導體表面上，標量電位的邊界條件為（常數(shù)） (3.58a) (3.58b)圖3.12 磁場法向分量的邊界條件式中為導體表面外法線方向。3.5.4 磁場法向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面處作一小柱形閉合面，如圖3.12所示，其高度，上下底面位于分界面兩側(cè)且與分界面平行，底面積很小，為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)法線方向矢量，在該閉合面上應用磁場的高斯定律則 (3.59a)或 (3.59b)式(3.59)為磁場法

41、向分量的邊界條件。該式表明：磁感應強度的法向分量在分界面處是連續(xù)的。因為，所以式(3.59b)也可以用的法向分量表示 (3.60)若媒質(zhì)為理想導體時，由于理想導體中的磁感應強度為零，故 (3.61)因此，理想導體表面上只有切向磁場，沒有法向磁場。3.5.5 磁場切向分量的邊界條件圖 3.13 磁場切向分量的邊界條件在兩種媒質(zhì)分界面處作一小矩形閉合環(huán)路，如圖3.13所示。環(huán)路短邊，兩長邊分別位于分界面兩側(cè)，且平行于分界面。在此環(huán)路上應用安培環(huán)路定律 ，即穿過閉合回路中的總電流為 式中為分界面上面電流密度，分別為兩種媒質(zhì)中的傳導電流體密度，和分別為兩種媒質(zhì)中的位移電流密度。因為，除外，回路中的其他

42、電流成分均趨向零，即，于是 (3.62a)式中方向與所取環(huán)路方向滿足右手螺旋法則。用矢量關系，式(3.62a)可表示為 (3.62b)式(3.62)為磁場切向分量的邊界條件。式中為從媒質(zhì)指向媒質(zhì)的法線單位矢量。用表示式(3.62a)得 (3.63)若兩種媒質(zhì)為理想介質(zhì)，分界面上面電流密度，則磁場切向分量邊界條件為 (3.64a)或 (3.64b)由式(3.59b)和式(3.64b)可得若媒質(zhì)為高磁導率材料，當小于時，將非常小。換句話說，在鐵磁質(zhì)表面上磁力線近乎垂直于界面。當時，即在理想鐵磁質(zhì)表面上只有法向磁場，沒有切向磁場。 (3.65)若媒質(zhì)之一為理想導體，電流存在于理想導體表面上，因理想導體內(nèi)沒有磁場，理想導體表面切向磁場為 (3.66a)或 (3.66b) 若媒質(zhì)的電導率有限，即媒質(zhì)中有電流通過，其電流只是以體電流分布的形式存在，在分界面上沒有面電流分布，即，則分界面上磁場切向分量是連續(xù)的，即。3.5.6 矢量磁位的邊界條件根據(jù)矢量磁位所滿足的旋度和散度表示式，及磁場的基本方程，可推導出的法向分量和切向分量在兩種媒質(zhì)分界面處是連續(xù)的，所以矢量在分界面處也應是連續(xù)的，即 (3.67)由式(3.63)可得 (3.6