中考數(shù)學(xué)專題：坐標(biāo)系中的幾何問題精品文檔

1、中考數(shù)學(xué)專題：坐標(biāo)系中的幾何問題本資料為word文檔，請點(diǎn)擊下載地址下載全文下載地址中考數(shù)學(xué)專題7坐標(biāo)系中的幾何問題【前言】前面六講我們研究了幾何綜合題及代數(shù)綜合題的各種方面，相信很多同學(xué)都已經(jīng)掌握了。但是中考中，最難的問題往往都是幾何和代數(shù)混雜在一起的，一方面涉及函數(shù)，坐標(biāo)系，計(jì)算量很大，另一方面也有各種幾何圖形的性質(zhì)體現(xiàn)。所以往往這類問題都會在最后兩道題出現(xiàn)，而且基本都是以多個(gè)小問構(gòu)成。此類問題也是失分最高的，往往起到拉開分?jǐn)?shù)檔次的關(guān)鍵作用。作為想在中考數(shù)學(xué)當(dāng)中拿高分甚至滿分的同學(xué)，這類問題一定要重視。此后的兩講我們分別從坐標(biāo)系中的幾何以及動(dòng)態(tài)幾何中的函數(shù)兩個(gè)角度出發(fā)，去徹底攻克此類問題。

2、第一部分真題精講【例1】已知：如圖1，等邊的邊長為，一邊在軸上且，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)（1）直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若直線將四邊形的面積兩等分，求的值；（3）如圖2，過點(diǎn)的拋物線與軸交于點(diǎn)，為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過軸上一點(diǎn)作的垂線，垂足為，直線交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，現(xiàn)給出兩個(gè)結(jié)論：，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，請你判斷哪個(gè)結(jié)論正確，并證明【思路分析】很多同學(xué)一看到這種題干又長條件又多又復(fù)雜的代幾綜合壓軸題就覺得頭皮發(fā)麻，稍微看看不太會做就失去了攻克它的信心。在這種時(shí)候要慢慢將題目拆解，條分縷析提出每一個(gè)條件，然后一步一步來。第一問不難，c點(diǎn)縱坐標(biāo)直接用tg60來算，七分中的兩分就到手

3、了。第二問看似較難，但是實(shí)際上考生需要知道“過四邊形對角線交點(diǎn)的任意直線都將四邊形面積平分”這一定理就輕松解決了，這個(gè)定理的證明不難，有興趣同學(xué)可以自己證一下加深印象。由于efab還是一個(gè)等腰梯形，所以對角線交點(diǎn)非常好算，四分到手。最后三分收起來有點(diǎn)麻煩，不過稍微認(rèn)真點(diǎn)畫圖，不難猜出式成立。拋物線倒是好求，因?yàn)橐C的是角度相等，所以大家應(yīng)該想到全等或者相似三角形，過d做一條垂線就發(fā)現(xiàn)圖中有多個(gè)全等關(guān)系，下面就忘記拋物線吧，單獨(dú)將三角形拆出來當(dāng)成一個(gè)純粹的幾何題去證明就很簡單了。至此，一道看起來很難的壓軸大題的7分就成功落入囊中了?！窘馕觥拷猓海?）；（2）過點(diǎn)作于，交于點(diǎn)，取的中點(diǎn)是等邊三角形

4、，在中，交于，（就是四邊形對角線的中點(diǎn)，橫坐標(biāo)自然和c一樣，縱坐標(biāo)就是e的縱坐標(biāo)的一半）直線將四邊形的面積兩等分直線必過點(diǎn)，（3）正確結(jié)論：證明：可求得過的拋物線解析式為由題意又，過點(diǎn)作于由題意可知即：（這一問點(diǎn)多圖雜，不行就直接另起一個(gè)沒有拋物線干擾的圖）【例2】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,拋物線與正半軸交于點(diǎn)a,與軸交于點(diǎn)b,過點(diǎn)b作x軸的平行線bc,交拋物線于點(diǎn)c,連結(jié)ac現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)p、q分別從o、c兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)p以每秒4個(gè)單位的速度沿oa向終點(diǎn)a移動(dòng),點(diǎn)q以每秒1個(gè)單位的速度沿cb向點(diǎn)b移動(dòng),點(diǎn)p停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),線段oc,pq相交于點(diǎn)d,過點(diǎn)d作deoa,交ca

5、于點(diǎn)e,射線qe交x軸于點(diǎn)f設(shè)動(dòng)點(diǎn)p,q移動(dòng)的時(shí)間為t求a,b,c三點(diǎn)的坐標(biāo);當(dāng)t為何值時(shí),四邊形pqca為平行四邊形?請寫出計(jì)算過程;當(dāng)0t時(shí),pqf的面積是否總為定值?若是,求出此定值,若不是,請說明理由;當(dāng)t_時(shí),pqf為等腰三角形?【思路分析】近年來這種問動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)圖像變成特殊圖形的題目非常流行，所以大家需要對各種特殊圖形的判定性質(zhì)非常熟悉。本題一樣一步步拆開來做，第一問送分，給出的拋物線表達(dá)式很好因式分解。注意平行于x軸的直線交拋物線的兩個(gè)點(diǎn)一定是關(guān)于對稱軸對稱的。第二問就在于當(dāng)四邊形pqca為平行四邊形的時(shí)候題中已知條件有何關(guān)系。在運(yùn)動(dòng)中，qc和pa始終是平行的，根據(jù)平行四邊

6、形的判定性質(zhì)，只要qc=pa時(shí)候即可。第三問求pqf是否為定值，因?yàn)槿切蔚囊粭l高就是q到x軸的距離，而運(yùn)動(dòng)中這個(gè)距離是固定的，所以只需看pf是否為定值即可。根據(jù)相似三角形建立比例關(guān)系發(fā)現(xiàn)op=af，得解。第四問因?yàn)橐呀?jīng)知道pf為一個(gè)定值，所以只需pq=pf=18即可，p點(diǎn)（4t,0）q,f兩點(diǎn)間距離公式分類討論即可.本道題是09年黃岡原題,第四問原本是作為解答題來出的本來是3分,但是本題作為1分的填空,考生只要大概猜出應(yīng)該是fp=fq就可以。實(shí)際考試中如果碰到這么麻煩的,如果沒時(shí)間的話筆者個(gè)人建議放棄這一分去檢查其他的.畢竟得到這一分的時(shí)間都可以把選擇填空仔細(xì)過一遍了.【解析】解：，令得，或

7、；在中，令得即；由于bcoa，故點(diǎn)c的縱坐標(biāo)為10，由得或即于是，（2）若四邊形pqca為平行四邊形，由于qcpa.故只要qc=pa即可得（3）設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)秒，則，說明p在線段oa上，且不與點(diǎn)o、a重合，由于qcop知qdcpdo，故又點(diǎn)q到直線pf的距離pqf的面積總為90（4）由上知，。構(gòu)造直角三角形后易得，若fp=pq，即，故，若qp=qf，即，無的滿足條件；12若pq=pf，即，得，或都不滿足，故無的滿足方程；綜上所述：當(dāng)時(shí)，pqr是等腰三角形?！纠?】如圖，已知拋物線：的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），點(diǎn)的橫坐標(biāo)是（1）求點(diǎn)坐標(biāo)及的值；（2）如圖（1），拋物線與拋物線關(guān)于軸對

8、稱，將拋物線向右平移，平移后的拋物線記為，的頂點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對稱時(shí)，求的解析式；（3）如圖（2），點(diǎn)是軸正半軸上一點(diǎn)，將拋物線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后得到拋物線拋物線的頂點(diǎn)為，與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），當(dāng)以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)【思路分析】出題人比較仁慈，上來就直接給出拋物線頂點(diǎn)式，再將b（1,0）代入，第一問輕松拿分。第二問直接求出m坐標(biāo)，然后設(shè)頂點(diǎn)式，繼續(xù)代入點(diǎn)b即可。第三問則需要設(shè)出n，然后分別將np，pf,nf三個(gè)線段的距離表示出來，然后切記分情況討論直角的可能性。計(jì)算量比較大，務(wù)必細(xì)心。【解析】解：由拋物線：得頂點(diǎn)的為點(diǎn)在拋物線上解得，連接，作軸于，作軸于點(diǎn)

9、、關(guān)于點(diǎn)成中心對稱過點(diǎn)，且,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（標(biāo)準(zhǔn)答案如此，其實(shí)沒這么麻煩，點(diǎn)m到b的橫縱坐標(biāo)之差都等于b到p的，直接可以得出（4,5）拋物線由關(guān)于軸對稱得到，拋物線由平移得到拋物線的表達(dá)式為拋物線由繞點(diǎn)軸上的點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到頂點(diǎn)、關(guān)于點(diǎn)成中心對稱由得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為作軸于，作軸于作于旋轉(zhuǎn)中心在軸上，點(diǎn)坐標(biāo)為坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，根據(jù)勾股定理得當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，綜上所得，當(dāng)點(diǎn)坐標(biāo)為或時(shí)，以點(diǎn)、為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形【例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：交軸、軸于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是線段的三等分點(diǎn)（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）連接，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到當(dāng)時(shí)，連結(jié)、，若過原

10、點(diǎn)的直線將四邊形分成面積相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；過點(diǎn)作軸于，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為何值時(shí)，由點(diǎn)、構(gòu)成的四邊形為梯形？【思路分析】本題計(jì)算方面不是很繁瑣，但是對圖形的構(gòu)造能力提出了要求，也是一道比較典型的動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)導(dǎo)致特殊圖形出現(xiàn)的題目。第一問自不必說，第二問第一小問和前面例題是一樣的，也是要把握過四邊形對角線交點(diǎn)的直線一定平分該四邊形面積這一定理。求出交點(diǎn)就意味著知道了直線.第二小問較為麻煩,因?yàn)閏點(diǎn)有兩種可能,h在c點(diǎn)的左右又是兩種可能,所以需要分類討論去求解.只要利用好梯形兩底平行這一性質(zhì)就可以了.【解析】（1）根據(jù)題意：，是線段的三等分點(diǎn)或-2分（2）如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則點(diǎn)在直線上-

11、是由繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到的無論是、點(diǎn)，四邊形是平行四邊形且為對稱中心所求的直線必過點(diǎn)直線的解析式為:當(dāng)時(shí)，第一種情況：在點(diǎn)左側(cè)若四邊形是梯形與不平行此時(shí)第二種情況：在點(diǎn)右側(cè)若四邊形是梯形與不平行是線段的中點(diǎn)是線段的中點(diǎn)由，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為當(dāng)時(shí)，同理可得第一種情況：在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，-第二種情況：在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，-綜上所述，所求m點(diǎn)的坐標(biāo)為：，或【例5】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于a、b兩點(diǎn)，（點(diǎn)a在點(diǎn)b左側(cè)）.與y軸交于點(diǎn)c，頂點(diǎn)為d，直線cd與x軸交于點(diǎn)e.（1）請你畫出此拋物線，并求a、b、c、d四點(diǎn)的坐標(biāo).（2）將直線cd向左平移兩個(gè)單位，與拋物線交于點(diǎn)f（不與a、b兩點(diǎn)重合），請你求出f點(diǎn)坐標(biāo).（3

12、）在點(diǎn)b、點(diǎn)f之間的拋物線上有一點(diǎn)p，使pbf的面積最大，求此時(shí)p點(diǎn)坐標(biāo)及pbf的最大面積.（4）若平行于x軸的直線與拋物線交于g、h兩點(diǎn)，以gh為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑.【思路分析】本題看似錯(cuò)綜復(fù)雜，尤其最后第四問的圖像畫出來又亂又?jǐn)D，稍微沒畫好就會讓人頭大無比。但是不用慌，一步步來慢慢做。拋物線表達(dá)式很好分解，第一問輕松寫出四個(gè)點(diǎn)。第二問向左平移，c到對稱軸的距離剛好是1，所以移動(dòng)兩個(gè)距離以后就到了關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)上，所以f直接寫出為（-2,-3）第三問看似棘手，但是只要將pbf拆解成以y軸上的線段為公共邊的兩個(gè)小三角形就會很輕松了。將p點(diǎn)設(shè)出來然后列方程求解即可。最后一問要分g

13、h在x軸上方和下方兩種情況，分類討論。不過做到最后一步相信同學(xué)們的圖已經(jīng)畫的亂七八糟了，因?yàn)楹颓懊娴膯栴}沒有太大關(guān)系，所以建議大家畫兩個(gè)圖分開來看?！窘馕觥拷猓海?）.（2）（3）過點(diǎn)作軸的平行線與交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)易得，直線解析式為設(shè)，則，的最大值是.當(dāng)取最大值時(shí)的面積最大的面積的最大值為.（4）如圖，當(dāng)直線在軸上方時(shí)，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表達(dá)式，解得.當(dāng)直線在軸下方時(shí)，設(shè)圓的半徑為，則，代入拋物線的表達(dá)式，解得圓的半徑為或.【總結(jié)】通過以上五道一模真題，我們發(fā)現(xiàn)這類問題雖然看起來十分復(fù)雜，但是只要一問一問研究慢慢分析，總能拿到不錯(cuò)的分?jǐn)?shù)。將幾何圖形添進(jìn)坐標(biāo)系大多情況下是和拋物線有

14、關(guān)，所以首先需要同學(xué)們對拋物線的各種性質(zhì)熟練掌握，尤其是借助拋物線的對稱性，有的時(shí)候解題會十分方便。無論題目中的圖形是三角形，梯形以及平行四邊形或者圓，只要認(rèn)清各種圖形的一般性質(zhì)如何在題中體現(xiàn)就可以了。例如等腰/邊三角形大多和相似以及線段長度有關(guān)，梯形要抓住平行，平行四邊形要看平行且相等，圓形就要看半徑和題目中的條件有何關(guān)系。還需要掌握平分三角形/四邊形/圓形面積的直線分別都一定過哪些點(diǎn)?？傊?，再難的問題都是由一個(gè)個(gè)小問題組成的，就算最后一兩問沒有時(shí)間思考拿不了全分，至少要將前面容易的分?jǐn)?shù)拿到手，這部分分?jǐn)?shù)其實(shí)還不少。像例2最后一問那種情況，該放棄時(shí)候果斷放棄，不要為1分的題失去了大量檢查的時(shí)

15、間。第二部分發(fā)散思考【思考1】.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，延長ac到點(diǎn)d,使cd=,過點(diǎn)d作deab交bc的延長線于點(diǎn)e.（1）求d點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）作c點(diǎn)關(guān)于直線de的對稱點(diǎn)f,分別連結(jié)df、ef，若過b點(diǎn)的直線將四邊形cdfe分成周長相等的兩個(gè)四邊形，確定此直線的解析式；（3）設(shè)g為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)p從直線與y軸的交點(diǎn)出發(fā)，先沿y軸到達(dá)g點(diǎn)，再沿ga到達(dá)a點(diǎn)，若p點(diǎn)在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線ga上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，試確定g點(diǎn)的位置，使p點(diǎn)按照上述要求到達(dá)a點(diǎn)所用的時(shí)間最短。（要求：簡述確定g點(diǎn)位置的方法，但不要求證明）【思路分析】在一模真題部分我們談到的是直線分四邊形面積

16、相等，但是這道去年中考原題則是分周長相等。周長是由很多個(gè)線段組成的，所以分周長相等只需要研究哪些線段之和相等就可以了。所以自然想到去證明全等三角形。第三問雖然不要求證明，但是只需設(shè)出速度,利用相似三角形去建立關(guān)系,還是不難證明的,有余力的同學(xué)可以試試.【思考2】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為a、b，將oba對折，使點(diǎn)o的對應(yīng)點(diǎn)h落在直線ab上，折痕交x軸于點(diǎn)c.（1）直接寫出點(diǎn)c的坐標(biāo)，并求過a、b、c三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）若拋物線的頂點(diǎn)為d，在直線bc上是否存在點(diǎn)p，使得四邊形odap為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）設(shè)

17、拋物線的對稱軸與直線bc的交點(diǎn)為t，q為線段bt上一點(diǎn)，直接寫出的取值范圍.【思路分析】第二問有兩個(gè)思路，第一個(gè)是看已知四邊形的線段是否平行且相等，角是否符合平行四邊形的條件。另一個(gè)是看假如有平行四邊形，那么構(gòu)成平行四邊形的點(diǎn)p是否在bc上。從這兩個(gè)思路出發(fā)，列出方程等式即可求解。第三問根據(jù)拋物線的對稱性來看三點(diǎn)共線，繼而看出最大值和最小值分別是多少?！舅伎?】拋物線與x軸交于a（1，0）、b兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（0，3），拋物線頂點(diǎn)為m，連接ac并延長ac交拋物線對稱軸于點(diǎn)q，且點(diǎn)q到x軸的距離為6.（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線上找一點(diǎn)d，使得dc與ac垂直，求出點(diǎn)d的坐標(biāo)；（3

18、）拋物線對稱軸上是否存在一點(diǎn)p，使得spam=3sacm，若存在，求出p點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【思路分析】第一問要算的比較多，設(shè)直線以后求解析式，看出拋物線對稱軸為x=1,然后設(shè)頂點(diǎn)式解個(gè)二元方程組即可.第二問利用三角形相似求出點(diǎn)n坐標(biāo),然后聯(lián)立拋物線與直線cn即可求出點(diǎn)d.第三問考驗(yàn)對圖形的理解,如果能巧妙的將acm的面積看成是四邊形acem減去ame,那么就會發(fā)現(xiàn)四邊形acem剛好也是aoc和梯形ocem之和,于是可以求出pm的距離,然后分類討論pm的位置即可求解.【思考4】如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且（i）求拋物線的解析式；（ii）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為

19、直角三角形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；（iii）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)若，【思路分析】本題雖然沒有明確給出坐標(biāo)，但是表達(dá)式中暗含了x=0時(shí)y=-3，于是c點(diǎn)得出，然后利用給定的等式關(guān)系寫出a,b去求解析式。第二問中，因?yàn)閍c是固定的，所以構(gòu)成的直角三角形根據(jù)p的不同有三種類型。注意分類討論。第三問則是少見的計(jì)算角度問題，但是實(shí)際上也是用線段去看角度的相等。最方便就是利用正切值構(gòu)建比例關(guān)系，發(fā)現(xiàn)cbe=dbo，于是所求角度差就變成了求obc。第三部分思考題解析【思考1解析】解：（1），設(shè)與軸交于點(diǎn)由可得又，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為（2）由（1）可得點(diǎn)的坐標(biāo)為由，可得軸所在直線是線段

20、的垂直平分線點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在軸上與互相垂直平分四邊形為菱形，且點(diǎn)為其對稱中心作直線設(shè)與分別交于點(diǎn)、點(diǎn)可證直線將四邊形分成周長相等的兩個(gè)四邊形由點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，可得直線的解析式為（3）確定點(diǎn)位置的方法：過點(diǎn)作于點(diǎn)則與軸的交點(diǎn)為所求的點(diǎn)由，可得，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為（或點(diǎn)的位置為線段的中點(diǎn)）【思考2解析】解：（1）點(diǎn)c的坐標(biāo)為.點(diǎn)a、b的坐標(biāo)分別為，可設(shè)過a、b、c三點(diǎn)的拋物線的解析式為.將代入拋物線的解析式，得.過a、b、c三點(diǎn)的拋物線的解析式為.（2）可得拋物線的對稱軸為，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為g.直線bc的解析式為.-設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為.解法一：如圖8，作opad交直線bc于點(diǎn)p，連結(jié)ap，作pmx軸于點(diǎn)m.opad，pom=gad，tanpom=tangad.，即.解得.經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解.此時(shí)點(diǎn)