高一數(shù)學(xué)函數(shù)重點知識點歸納總結(jié)三篇

1、高一數(shù)學(xué)函數(shù)重點學(xué)問點歸納總結(jié)三篇 高一新生對數(shù)學(xué)的函數(shù)學(xué)問是相當(dāng)頭疼的，函數(shù)學(xué)問面廣，思維靈敏，題型更是千奇百怪，要想學(xué)好函數(shù)，就需要一份精確的函數(shù)學(xué)問點歸納，下面就是我給大家?guī)淼母咭缓瘮?shù)學(xué)問點歸納總結(jié)，期望能關(guān)懷到大家！ 高一函數(shù)學(xué)問點歸納總結(jié)1 函數(shù)的性質(zhì)： 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性 單調(diào)性：定義：留意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。 判定方法有：定義法(作差比較和作商比較) 導(dǎo)數(shù)法(適用于多項式函數(shù)) 復(fù)合函數(shù)法和圖像法。 應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。 奇偶性：定義：留意區(qū)間是否關(guān)于原點對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(

2、-x) f(x)為偶函數(shù); f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函數(shù)。 判別方法：定義法，圖像法，復(fù)合函數(shù)法 應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。 周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+t)=f(x),則t為函數(shù)f(x)的周期。 其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x-a),則2a為函數(shù)f(x)的周期. 應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。 高一函數(shù)歸納總結(jié)2 一：函數(shù)及其表示 學(xué)問點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的推斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法

3、等 1. 函數(shù)與映射的區(qū)分： 2. 求函數(shù)定義域 常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下： 當(dāng)f(x)為整式時，函數(shù)的定義域為r. 當(dāng)f(x)為分式時，函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)集合。 當(dāng)f(x)為偶次根式時，函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)集合。 當(dāng)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合。 假如f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合，即求各部分有意義的實數(shù)集合的交集。 復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。 對于由實際問題的背景確定的函數(shù)，其定義域除上述外，還要受實際問題

4、的制約。 3. 求函數(shù)值域 (1)、觀看法：通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀看，結(jié)合函數(shù)的解析式，求得函數(shù)的值域; (2)、配方法;假如一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式，那么將這個函數(shù)的右邊配方，通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域; (3)、判別式法： (4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀看函數(shù)的圖象，運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域; (5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量，使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式，進(jìn)而求出值域; (6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;假如函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴(yán)格單調(diào)的，那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域; (7)、利用基本不等式：對于一些特殊的分式函

5、數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域; (8)、最值法：對于閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域; (9)、反函數(shù)法：假如函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù)，那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。 高一函數(shù)歸納總結(jié)3 【(一)、映射、函數(shù)、反函數(shù)】 1、對應(yīng)、映射、函數(shù)三個概念既有共性又有區(qū)分，映射是一種特殊的對應(yīng)，而函數(shù)又是一種特殊的映射. 2、對于函數(shù)的概念，應(yīng)留意如下幾點： (1)把握構(gòu)成函數(shù)的三要素，會推斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù). (2)把握三種表示法列表法、解析

6、法、圖象法，能根實際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式，特殊是會求分段函數(shù)的解析式. (3)假如y=f(u)，u=g(x)，那么y=fg(x)叫做f和g的復(fù)合函數(shù)，其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù)，f(u)為外函數(shù). 3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟： (1)確定原函數(shù)的值域，也就是反函數(shù)的定義域; (2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y); (3)將x，y對換，得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f-1(x)，并注明定義域. 留意：對于分段函數(shù)的反函數(shù)，先分別求出在各段上的反函數(shù)，然后再合并到一起. 生疏的應(yīng)用，求f-1(x0)的值，合理利用這個結(jié)論，可以避開求反函數(shù)的過程，從而簡化運算. 【(二)、函數(shù)的

7、解析式與定義域】 1、函數(shù)及其定義域是不行分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必需是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域.求函數(shù)的定義域一般有三種類型： (1)有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮; (2)已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可.如： 分式的分母不得為零; 偶次方根的被開方數(shù)不小于零; 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必需大于零; 指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必需大于零且不等于1; 三角函數(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(xr，且kz)，余切函數(shù)y=cotx(xr，xk，kz)等. 應(yīng)留意，一個函數(shù)

8、的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集). (3)已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可. 已知f(x)的定義域是a，b，求fg(x)的定義域是指滿足ag(x)b的x的取值范圍，而已知fg(x)的定義域a，b指的是xa，b，此時f(x)的定義域，即g(x)的值域. 2、求函數(shù)的解析式一般有四種狀況 (1)依據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必需引入合適的變量，依據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)學(xué)問尋求函數(shù)的解析式. (2)有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可接受待定系數(shù)法.比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f(x)=ax+b(a0)，其中a，b為待定

9、系數(shù)，依據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可. (3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)fg(x)的表達(dá)式時，可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式，這時必需求出g(x)的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域. (4)若已知f(x)滿足某個等式，這個等式除f(x)是未知量外，還消逝其他未知量(如f(-x)，等)，必需依據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式. 【(三)、函數(shù)的值域與最值】 1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論接受何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： (1)直接法：亦稱觀看法，對于結(jié)構(gòu)較為簡潔的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀看

10、得出函數(shù)的值域. (2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的簡潔函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡潔函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元. (3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a0)的函數(shù)值域可接受此法求得. (4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+ba，b(0，+)可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)留意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧. (6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元

11、二次方程，利用“0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可接受單調(diào)性法求出函數(shù)的值域. (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域. 2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)分和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，假如在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異. 如函數(shù)的值域是(0，16，值是16，

12、無最小值.再如函數(shù)的值域是(-，-22，+)，但此函數(shù)無值和最小值，只有在轉(zhuǎn)變函數(shù)定義域后，如x0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響. 3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)學(xué)問求解實際問題上，從文字表述上經(jīng)常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤”或“面積(體積)(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特殊關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值. 【(四)、函數(shù)的奇偶性】 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，假如對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)). 正確

13、理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要留意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)). 2、奇偶函數(shù)的定義是推斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于推斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式： 留意如下結(jié)論的運用： (1)不論f(x)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，f(|x|)總是偶函數(shù); (2)f(x)、g(x)分別是定義域d1、d2上的奇函數(shù)，那么在d1d2上，f(x)+g(x)是奇函數(shù)，f(x)g(x)是偶函數(shù)，類似地有“奇奇=奇”“奇奇=偶”，“偶偶=偶”

14、“偶偶=偶”“奇偶=奇”; (3)奇偶函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的奇偶性通常是偶函數(shù); (4)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)。 3、有關(guān)奇偶性的幾共性質(zhì)及結(jié)論 (1)一個函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于原點對稱;一個函數(shù)為偶函數(shù)的充要條件是它的圖象關(guān)于y軸對稱. (2)如要函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱且函數(shù)值恒為零，那么它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù). (3)若奇函數(shù)f(x)在x=0處有意義，則f(0)=0成立. (4)若f(x)是具有奇偶性的區(qū)間單調(diào)函數(shù)，則奇(偶)函數(shù)在正負(fù)對稱區(qū)間上的單調(diào)性是相同(反)的。 (5)若f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，則f(x)=f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，g(x

15、)=f(x)-f(-x)是奇函數(shù). (6)奇偶性的推廣 函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任一x都有f(a+x)=f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱，即y=f(a+x)為偶函數(shù).函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)的任-x都有f(a+x)=-f(a-x)，則y=f(x)的圖象關(guān)于點(a，0)成中心對稱圖形，即y=f(a+x)為奇函數(shù)。 【(五)、函數(shù)的單調(diào)性】 1、單調(diào)函數(shù) 對于函數(shù)f(x)定義在某區(qū)間a，b上任意兩點x1，x2，當(dāng)x1x2時，都有不等式f(x1)(或)f(x2)成立，稱f(x)在a，b上單調(diào)遞增(或遞減);增函數(shù)或減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù). 對于函數(shù)單調(diào)性的定義的理解，要留意以

16、下三點： (1)單調(diào)性是與“區(qū)間”緊密相關(guān)的概念.一個函數(shù)在不同的區(qū)間上可以有不同的單調(diào)性. (2)單調(diào)性是函數(shù)在某一區(qū)間上的“整體”性質(zhì)，因此定義中的x1，x2具有任意性，不能用特殊值代替. (3)單調(diào)區(qū)間是定義域的子集，爭辯單調(diào)性必需在定義域范圍內(nèi). (4)留意定義的兩種等價形式： 設(shè)x1、x2a，b，那么： 在a、b上是增函數(shù); 在a、b上是減函數(shù). 在a、b上是增函數(shù). 在a、b上是減函數(shù). 需要指出的是：的幾何意義是：增(減)函數(shù)圖象上任意兩點(x1，f(x1)、(x2，f(x2)連線的斜率都大于(或小于)零. (5)由于定義都是充要性命題，因此由f(x)是增(減)函數(shù)，且(或x1x

17、2)，這說明單調(diào)性使得自變量間的不等關(guān)系和函數(shù)值之間的不等關(guān)系可以“正逆互推”. 5、復(fù)合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性 若u=g(x)在區(qū)間a，b上的單調(diào)性，與y=f(u)在g(a)，g(b)(或g(b)，g(a)上的單調(diào)性相同，則復(fù)合函數(shù)y=fg(x)在a，b上單調(diào)遞增;否則，單調(diào)遞減.簡稱“同增、異減”. 在爭辯函數(shù)的單調(diào)性時，常需要先將函數(shù)化簡，轉(zhuǎn)化為爭辯一些熟知函數(shù)的單調(diào)性。因此，把握并熟記一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將大大縮短我們的推斷過程. 6、證明函數(shù)的單調(diào)性的方法 (1)依定義進(jìn)行證明.其步驟為：任取x1、x2m且x1(或)f(x2);依據(jù)定義，得出結(jié)論. (

18、2)設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo). 假如f(x)0，則f(x)為增函數(shù);假如f(x)0，則f(x)為減函數(shù). 【(六)、函數(shù)的圖象】 函數(shù)的圖象是函數(shù)的直觀體現(xiàn)，應(yīng)加強對作圖、識圖、用圖力氣的培育，培育用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決問題的意識. 求作圖象的函數(shù)表達(dá)式 與f(x)的關(guān)系 由f(x)的圖象需經(jīng)過的變換 y=f(x)b(b0) 沿y軸向平移b個單位 y=f(xa)(a0) 沿x軸向平移a個單位 y=-f(x) 作關(guān)于x軸的對稱圖形 y=f(|x|) 右不動、左右關(guān)于y軸對稱 y=|f(x)| 上不動、下沿x軸翻折 y=f-1(x) 作關(guān)于直線y=x的對稱圖形 y=f(ax)(a0) 橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變 y=af(x) 縱坐標(biāo)伸長到原來的|a|倍，橫坐標(biāo)不變 y=f(-x) 作關(guān)于y軸對稱的圖形 【例】定義在實數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對任意x，yr，有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)0. 求證：f(0)=1; 求證：y=f(x)是偶函數(shù); 若存在常數(shù)c，使求證對任意xr，有f(x+c)=-f(x)成立;試問