數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程PPT學習教案

1、會計學1 數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程數(shù)理統(tǒng)計與隨機過程 第1頁/共69頁 第2頁/共69頁 熱噪聲電壓熱噪聲電壓: 電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子 (如電子如電子)的隨機運動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓的隨機運動所引起的端電壓稱為熱噪聲電壓 ,它在任一確定時刻它在任一確定時刻 t 的值都是一隨機變量的值都是一隨機變量, 記為記為V(t) 。不同時刻對應(yīng)不同的隨機變量。當時間在某個區(qū)。不同時刻對應(yīng)不同的隨機變量。當時間在某個區(qū) 間間, 如如0, )上變化時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機上變化時，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機 變量變量,記為記為 V(t), t0。 第3頁/共69頁

2、在無線電通訊技術(shù)中，接收機在接收信號時，機在無線電通訊技術(shù)中，接收機在接收信號時，機 內(nèi)的熱噪聲電壓要對信號產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這內(nèi)的熱噪聲電壓要對信號產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這 種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時間變化的過程。種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時間變化的過程。 為此，我們通過某種裝置對元件為此，我們通過某種裝置對元件( (或器件或器件) )兩端的熱噪兩端的熱噪 聲電壓進行長時間的測量，并把結(jié)果自動記錄下來。聲電壓進行長時間的測量，并把結(jié)果自動記錄下來。 電壓電壓時間時間函數(shù)函數(shù)v1(t) , t 0 (如圖如圖10-1)。 這個這個電壓電壓時間時間函數(shù)在試驗前是不可能預先確知的函數(shù)

3、在試驗前是不可能預先確知的 ，只有通過測量才能得到。，只有通過測量才能得到。 圖圖10- -1 如果在相同條件下獨如果在相同條件下獨 立地再進行一次測量，得立地再進行一次測量，得 到的記錄可能是不同的。到的記錄可能是不同的。 第4頁/共69頁 事實上，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同事實上，在相同條件下每次測量都將產(chǎn)生不同 的的電壓電壓時間時間函數(shù)。這樣，不斷獨立地一次次重復函數(shù)。這樣，不斷獨立地一次次重復 測量，就得到一族不同的測量，就得到一族不同的電壓電壓時間時間函數(shù)，這族函函數(shù)，這族函 數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。 第5頁/共69頁 隨機過程：依賴于一個變

4、動參量的一族隨機變量。隨機過程：依賴于一個變動參量的一族隨機變量。 設(shè)設(shè) T 是一個無限實數(shù)集。我們把依賴于參數(shù)是一個無限實數(shù)集。我們把依賴于參數(shù) t T 的一族的一族 (無限多個無限多個) 隨機變量收集在一起，稱為隨機變量收集在一起，稱為隨隨 機過程機過程，記成記成 X(t), t T 。 這里，對每一個這里，對每一個t T，X(t) 都是一個隨機變量都是一個隨機變量 。 T 稱為稱為參數(shù)集參數(shù)集。常把。常把 t 看作為時間，稱看作為時間，稱 X(t) 為為 t 時時 刻刻 過程的過程的狀態(tài)狀態(tài)，稱，稱 X(t1)x (實數(shù)實數(shù)) 為為t t1 時過程時過程處處 于狀態(tài)于狀態(tài) x。 對于一切

5、對于一切 t , X(t) 所有可能取得一切值的全所有可能取得一切值的全 體稱為隨機過程的體稱為隨機過程的狀態(tài)空間狀態(tài)空間。 第6頁/共69頁 對隨機過程對隨機過程 X(t)，t T 進行一次試驗進行一次試驗 (即在即在 T上上 進行一次全程觀測進行一次全程觀測)，其結(jié)果是，其結(jié)果是 t 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為x(t)， tT， 稱它為隨機過程的一個稱它為隨機過程的一個樣本函數(shù)樣本函數(shù)或或樣本曲線樣本曲線。 所有不同的試驗結(jié)果構(gòu)成一族所有不同的試驗結(jié)果構(gòu)成一族 (可以只包括有限個，可以只包括有限個， 如本節(jié)例如本節(jié)例1) 樣本函數(shù)。樣本函數(shù)。 隨機過程可以看作是多維隨機變量的延伸。隨機隨機過

6、程可以看作是多維隨機變量的延伸。隨機 過程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計中總體與樣本過程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計中總體與樣本 的關(guān)系一樣。的關(guān)系一樣。 依照上面的說法，熱噪聲電壓的變化過程依照上面的說法，熱噪聲電壓的變化過程(t)， t是一隨機過程，它的狀態(tài)空間是是一隨機過程，它的狀態(tài)空間是(- -, +)，一次，一次 觀測到的觀測到的電壓電壓時間時間函數(shù)就是這個隨機過程的一個樣函數(shù)就是這個隨機過程的一個樣 本函數(shù)。本函數(shù)。 第7頁/共69頁 在以后的敘述中，為簡便起見：常以在以后的敘述中，為簡便起見：常以 X(t)，t 表示隨機過程。在上下文不致混淆的情形下，一表示隨機過程。在上下文不

7、致混淆的情形下，一 般略去記號中的參數(shù)集般略去記號中的參數(shù)集 T。 第8頁/共69頁 例例1 拋一枚硬幣試驗，樣本空間是拋一枚硬幣試驗，樣本空間是 S=H,T，定義，定義 , ).( 出現(xiàn) 出現(xiàn)cos )( ， ， ， t Tt Ht tX 其中其中 P(H) = P(T)=1/2。對任意。對任意 固定的固定的 t, X(t)是一定義在是一定義在S上的上的 隨機變量；對不同的隨機變量；對不同的 t， X(t)是是 不同的隨機變量不同的隨機變量(見圖見圖10-2)， 所以所以 X(t)， t (- -, +) 是是 一族隨機變量，即是隨機過程一族隨機變量，即是隨機過程 。 作一次試驗，若出現(xiàn)作一

8、次試驗，若出現(xiàn)H，樣本函數(shù)，樣本函數(shù) x1(t) = cos t ；若出現(xiàn)；若出現(xiàn)T，樣本函數(shù)，樣本函數(shù) x2(t)=t。故，隨機過程對應(yīng)的。故，隨機過程對應(yīng)的 一族樣本函數(shù)僅包含兩個函數(shù)一族樣本函數(shù)僅包含兩個函數(shù): cos t, t 。顯然，這。顯然，這 個隨機過程的狀態(tài)空間為個隨機過程的狀態(tài)空間為(- -, +)。 圖圖10-2 第9頁/共69頁 例例2 考慮考慮 式中式中 , , 是正常數(shù)，是正常數(shù)， 是在是在(0,2(0,2 ) )上服從均勻分布的上服從均勻分布的 隨機變量。隨機變量。 顯然，對任一固定的時刻顯然，對任一固定的時刻 t1, X(t1) = cos( t1+ )是一個隨機

9、變量。因而，由是一個隨機變量。因而，由(1.1)式確定的式確定的 X(t)是一是一 隨機過程，通常稱它為隨機過程，通常稱它為隨機相位正弦波隨機相位正弦波。其狀態(tài)空間。其狀態(tài)空間 是是- , 。在。在(0, 2)內(nèi)隨機地取一數(shù)內(nèi)隨機地取一數(shù) i , 相應(yīng)的樣本函相應(yīng)的樣本函 數(shù)是數(shù)是 圖圖10-3中畫出了這個隨機過程的兩條樣本曲線。中畫出了這個隨機過程的兩條樣本曲線。 (1.1) )(),(),cos(tttX ).2, 0(),cos()( i ii ttx 圖圖10-3 第10頁/共69頁 例例3 在測量運動目標的距離時，存在隨機誤差。若在測量運動目標的距離時，存在隨機誤差。若 以以 (t)

10、表示在時刻表示在時刻 t 的測量誤差，則它是一個隨機的測量誤差，則它是一個隨機 變量。當目標隨時間變量。當目標隨時間 t 按一定規(guī)律運動時，測量誤按一定規(guī)律運動時，測量誤 差差 (t) 也隨時間也隨時間 t 而變化。換句話說而變化。換句話說, (t)是依賴于是依賴于 t 的一族隨機變量，亦即的一族隨機變量，亦即 (t), t0是一隨機過程，是一隨機過程， 狀態(tài)空間是狀態(tài)空間是(- -, +)。 第11頁/共69頁 例例4 設(shè)某市設(shè)某市120急救電話臺不斷地接到用戶的呼叫，急救電話臺不斷地接到用戶的呼叫， 若以若以X(t)表示時間間隔表示時間間隔 (0, t內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則它內(nèi)接到的呼叫次數(shù)

11、，則它 是一個隨機變量，且對不同的是一個隨機變量，且對不同的 t0, X(t)可能是不同可能是不同 的隨機變量。故，的隨機變量。故，X(t), t 是一隨機過程，狀態(tài)是一隨機過程，狀態(tài) 空間是空間是0, 1, 2, 。 例例5 考慮擲一顆考慮擲一顆骰子骰子試驗。試驗。 (1). 設(shè)設(shè)Xn是第是第 n 次次(n1)擲的點數(shù)，對于擲的點數(shù)，對于n=1, 2, 的的 不同值不同值, Xn是不同的隨機變量，因而是不同的隨機變量，因而Xn, n1 構(gòu)成一隨機過程構(gòu)成一隨機過程, 稱為伯努力過程稱為伯努力過程, 或伯努力隨或伯努力隨 機序列。狀態(tài)空間都是機序列。狀態(tài)空間都是1, 2, 3, 4, 5, 6

12、。 (2). 設(shè)設(shè)Xn是前是前n次擲出的最大點數(shù)，則次擲出的最大點數(shù)，則Xn, n 1也也 是一隨機過程。狀態(tài)空間是是一隨機過程。狀態(tài)空間是1, 2, 3, 4, 5, 6。 第12頁/共69頁 隨機過程可依其在任意時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機隨機過程可依其在任意時刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機 變量或離散型隨機變量而分成變量或離散型隨機變量而分成連續(xù)型隨機過程連續(xù)型隨機過程或或離散離散 型隨機過程型隨機過程。 熱噪聲電壓、例熱噪聲電壓、例2和例和例3是連續(xù)型隨機過程，例是連續(xù)型隨機過程，例1, 例例4和例和例5是離散型隨機過程。是離散型隨機過程。 隨機過程還可依時間隨機過程還可依時間(參數(shù)參數(shù))是連續(xù)或離散

13、進行分是連續(xù)或離散進行分 類。當時間集類。當時間集T是有限或無限區(qū)間時，稱是有限或無限區(qū)間時，稱X(t), t T 為為連續(xù)參數(shù)隨機過程連續(xù)參數(shù)隨機過程 (以下如無特別指明，隨機過程以下如無特別指明，隨機過程 總是指連續(xù)參數(shù)而言的總是指連續(xù)參數(shù)而言的)；如果；如果T是離散集合，例如是離散集合，例如 T= 0, 1, 2, ，則稱，則稱X(t), tT為離散參數(shù)隨機過為離散參數(shù)隨機過 程或隨機序列，此時常記成程或隨機序列，此時常記成 Xn, n =0,1,2, 等，如等，如 例例5。 第13頁/共69頁 有時，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實際中也常有時，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實際中也常 將連續(xù)參數(shù)隨機

14、過程轉(zhuǎn)化為隨機序列處理。例如將連續(xù)參數(shù)隨機過程轉(zhuǎn)化為隨機序列處理。例如, 我們只在時間集我們只在時間集T=t, 2t, , nt, 上觀察上觀察 電阻的熱噪聲電壓電阻的熱噪聲電壓(t)，這時就得到一個隨機序這時就得到一個隨機序 列列V1, V2, ,Vn, ，其中，其中Vn=V(nt)。 顯然，當顯然，當t充分小時，這個隨機序列能夠近充分小時，這個隨機序列能夠近 似地描述連續(xù)時間情況下的熱噪聲電壓。似地描述連續(xù)時間情況下的熱噪聲電壓。 需注意的是：參數(shù)需注意的是：參數(shù) t 雖然通常解釋為時間，但雖然通常解釋為時間，但 它也可以表示其它的量。諸如：序號、距離等。它也可以表示其它的量。諸如：序號、

15、距離等。 如例如例5中，假定每隔一個單位時間擲中，假定每隔一個單位時間擲一次一次骰子骰子，則，則 第第n次擲出的點數(shù)次擲出的點數(shù) Xn就相當于就相當于 t=n時時骰子骰子出現(xiàn)的點出現(xiàn)的點 數(shù)。數(shù)。 第14頁/共69頁 10.2 隨機過程的統(tǒng)計描述隨機過程的統(tǒng)計描述 隨機過程在任一時刻的狀態(tài)是隨機變量，隨機過程在任一時刻的狀態(tài)是隨機變量， 由此可以利用隨機變量由此可以利用隨機變量(一維或多維一維或多維)的統(tǒng)計描述的統(tǒng)計描述 方法來描述隨機過程的統(tǒng)計特征。方法來描述隨機過程的統(tǒng)計特征。 10.2.1 隨機過程的分布函數(shù)族隨機過程的分布函數(shù)族 給定隨機過程給定隨機過程 X(t), t T ，對每個固

16、定的，對每個固定的 t T, 隨機變量隨機變量 X(t)的分布函數(shù)一般與的分布函數(shù)一般與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 .,)(),(RxxtXPtxFX 稱其為隨機過程稱其為隨機過程 X(t), t T 的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)， 稱稱Fx(x, t), t T為為一維分布函數(shù)族一維分布函數(shù)族。 第15頁/共69頁 一維分布函數(shù)族刻畫了隨機過程在各個時刻的一維分布函數(shù)族刻畫了隨機過程在各個時刻的 統(tǒng)計特征。為描述隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計特征。為描述隨機過程在不同時刻狀態(tài)之間的 相關(guān)關(guān)系，一般要對任意相關(guān)關(guān)系，一般要對任意 n個個(n=2, 3, ) 不同時刻不同時刻 t1, t2,

17、, tnT, 引入引入 n 維隨機變量維隨機變量 (X(t1), X(t2), , X(tn), 其聯(lián)合分布函數(shù)記為其聯(lián)合分布函數(shù)記為 ., 2, 1, ,)(,)(,)( ),;,( 2211 2121 niRx xtXxtXxtXP tttxxxF i nn nnX 對固定的對固定的n, 稱稱FX(x1, x2, , xn; t1, t2,tn), tiT為隨機過程為隨機過程X(t), t T的的 n 維分布函數(shù)族。維分布函數(shù)族。 第16頁/共69頁 當當n充分大時，充分大時，n 維分布函數(shù)族能近似地描述維分布函數(shù)族能近似地描述 隨機過程的統(tǒng)計特征。顯然，隨機過程的統(tǒng)計特征。顯然，n 取得

18、愈大，則取得愈大，則n維維 分布函數(shù)族描述隨機過程的特征也愈趨于完善。一分布函數(shù)族描述隨機過程的特征也愈趨于完善。一 般地般地,可以指出可以指出(科爾莫戈羅夫定理科爾莫戈羅夫定理): 有限維分布函有限維分布函 數(shù)族，數(shù)族，即即FX(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), n=1, 2, , tiT完全地確定了隨機過程的統(tǒng)計特征。完全地確定了隨機過程的統(tǒng)計特征。 上一節(jié)，我們曾將隨機過程按其狀態(tài)或時間的上一節(jié)，我們曾將隨機過程按其狀態(tài)或時間的 連續(xù)或離散進行了分類。然而，隨機過程本質(zhì)的分連續(xù)或離散進行了分類。然而，隨機過程本質(zhì)的分 類方法乃是按其分布特征進行分類的。具體地說：類

19、方法乃是按其分布特征進行分類的。具體地說： 就是依照過程在不同時刻的狀態(tài)之間的特殊統(tǒng)計依就是依照過程在不同時刻的狀態(tài)之間的特殊統(tǒng)計依 賴方式，抽象出一些不同類型的模型。如：賴方式，抽象出一些不同類型的模型。如：獨立增獨立增 量過程、馬爾可夫過程、平穩(wěn)過程量過程、馬爾可夫過程、平穩(wěn)過程等。我們將在以等。我們將在以 后的章節(jié)中對它們作不同程度的介紹。后的章節(jié)中對它們作不同程度的介紹。 第17頁/共69頁 10.2.2 隨機過程的數(shù)字特征隨機過程的數(shù)字特征 隨機過程的分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機過程隨機過程的分布函數(shù)族能完善地刻畫隨機過程 的統(tǒng)計特征。但是，人們在實際中，根據(jù)觀察往往的統(tǒng)計特征。但是，

20、人們在實際中，根據(jù)觀察往往 只能得到隨機過程的部分資料只能得到隨機過程的部分資料(樣本樣本)，用它來確定，用它來確定 有限維分布函數(shù)族是困難的，甚至是不可能的。因有限維分布函數(shù)族是困難的，甚至是不可能的。因 而，像引入隨機變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入而，像引入隨機變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入 隨機過程的基本數(shù)字特征隨機過程的基本數(shù)字特征均值函數(shù)均值函數(shù)和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)等等 。這些數(shù)字特征在一定條件下是便于測量的。這些數(shù)字特征在一定條件下是便于測量的。 第18頁/共69頁 給定隨機過程給定隨機過程 X(t), t T，固定，固定 t T, X(t) 是一隨機變量，它的均值一般與是一隨機變

21、量，它的均值一般與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 (2.1),()( tXEt X 稱稱 X(t)為隨機過程為隨機過程X(t)，t T的的均值函數(shù)均值函數(shù)。 注意注意, X(t)是隨機過程的所有樣本函數(shù)在時刻是隨機過程的所有樣本函數(shù)在時刻 t 的函數(shù)值的平均，通常稱這種平均為的函數(shù)值的平均，通常稱這種平均為集平均集平均或或統(tǒng)統(tǒng) 計平均計平均, 以區(qū)分第十二章中引入的時間平均概念以區(qū)分第十二章中引入的時間平均概念 。 均值函數(shù)均值函數(shù)X(t)表示了表示了 隨機過程隨機過程 X(t)在各個時刻在各個時刻 的擺動中心，如圖的擺動中心，如圖10-4所所 示。示。 第19頁/共69頁 其次，把隨機變量其次，

22、把隨機變量X(t)的二階原點矩和二階中的二階原點矩和二階中 心矩分別記作心矩分別記作 (2.2) ),()( 22 tXEt X )3(2 ,)()( )()()( 2 2 .ttXE tXVartDt X XX 并分別稱它們?yōu)殡S機過程并分別稱它們?yōu)殡S機過程X(t), t T的的均方值函數(shù)均方值函數(shù) 和和方差函數(shù)方差函數(shù)。方差函數(shù)的算術(shù)平方根。方差函數(shù)的算術(shù)平方根 X(t)稱為隨機稱為隨機 過程的過程的標準差函數(shù)標準差函數(shù)，它表示隨機過程，它表示隨機過程X(t)在時刻在時刻 t 對對 于均值于均值X(t)的平均偏離程度。見圖的平均偏離程度。見圖10-4。 第20頁/共69頁 又，又， 對任意對

23、任意 t1, t2T，把隨機變量，把隨機變量X(t1)和和X(t2)的二的二 階原點混合矩記作階原點混合矩記作 (2.4) ),()(),( 2121 tXtXEttR XX 并稱它為隨機過程并稱它為隨機過程X(t)，t T的的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)，簡，簡 稱稱相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)。記號。記號RXX(t1,t2)在不致混淆時，常簡記在不致混淆時，常簡記 成成RX(t1,t2)。 類似地，將類似地，將X(t1)和和X(t2)的二階混合中心矩記成的二階混合中心矩記成 (2.5) ),()()()( )(),(),( 2211 2121 ttXttXE tXtXCovttC XX XX 并稱為隨機過程并

24、稱為隨機過程X(t), t T的的自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)，簡稱，簡稱 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。CXX(t1,t2)也常簡記為也常簡記為CX(t1,t2)。 第21頁/共69頁 由多維隨機變量數(shù)字特征的知識可知，自相由多維隨機變量數(shù)字特征的知識可知，自相 關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是可劃隨機過程自身在兩關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是可劃隨機過程自身在兩 個不同時刻的狀態(tài)之間統(tǒng)計依賴關(guān)系的數(shù)字特征個不同時刻的狀態(tài)之間統(tǒng)計依賴關(guān)系的數(shù)字特征 。 現(xiàn)把現(xiàn)把(2.1) (2.5)式定義的諸數(shù)字特征之間的式定義的諸數(shù)字特征之間的 關(guān)系簡述如下：關(guān)系簡述如下： 由由(2.2)和和(2.4)式知式知 (2.6) ).,()

25、( 2 ttRt XX 由由(2.5)式展開，得式展開，得 (2.7) ).()(),(),( 212121 ttttRttC XXxX 特別地，當特別地，當t1=t2=t時，由時，由(2.7)式，得式，得 (2.8) ).(),(),()( 22 tttRttCt XXXX 第22頁/共69頁 由由(2.6) (2.8)式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要 的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 從理論的角度來看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān)從理論的角度來看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān) 函數(shù)當然是不能代替對整個隨機過程的研究的，但是函數(shù)當然是不能代替對整個隨機

26、過程的研究的，但是 由于它們確實刻畫了隨機過程的主要統(tǒng)計特征，而且由于它們確實刻畫了隨機過程的主要統(tǒng)計特征，而且 遠較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實際計算，因而對遠較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實際計算，因而對 于應(yīng)用課題而言于應(yīng)用課題而言, 它們常常能夠起到重要作用。據(jù)此它們常常能夠起到重要作用。據(jù)此, 在隨機過程的專著中都著重研究了所謂二階矩過程。在隨機過程的專著中都著重研究了所謂二階矩過程。 隨機過程隨機過程X(t)， t T，如果對于每一個，如果對于每一個t T， 二階矩二階矩EX2(t)都存在，那么稱它為都存在，那么稱它為二階矩過程二階矩過程。 第23頁/共69頁 二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總

27、存在。事實上，由于二階矩過程的相關(guān)函數(shù)總存在。事實上，由于 EX2(t1), EX2(t2)存在，根據(jù)柯西存在，根據(jù)柯西施瓦茲不等式施瓦茲不等式( 參見第四章習題參見第四章習題33)，有，有 .,),()(|)()(| 212 2 1 22 21 TtttXEtXEtXtXE 即知：即知：RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)存在。存在。 在實際中，常遇到一種特殊的二階矩過程在實際中，常遇到一種特殊的二階矩過程 正態(tài)過程。正態(tài)過程。隨機過程隨機過程X(t), t T稱為正態(tài)過程，稱為正態(tài)過程， 如果對任意如果對任意 n1及任意及任意 t1, t2, , tnT, (X(t1), X(t2)

28、, , X(tn)服從服從 n 維正態(tài)分布維正態(tài)分布。由第四章由第四章3、4知知 ，正態(tài)過程的全部統(tǒng)計特征完全由它的均值函數(shù)，正態(tài)過程的全部統(tǒng)計特征完全由它的均值函數(shù) 和自協(xié)方差函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù))所確定。所確定。 第24頁/共69頁 例例1 設(shè)設(shè)A, B是兩個隨機變量是兩個隨機變量, 求隨機過程求隨機過程X(t)=At+B, t T=(- -, +)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果A, B 相互獨立，且相互獨立，且 AN(0,1), BU(0,2)，問，問 X(t) 的均值的均值 函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？ 解解

29、 X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為 .,)( )()()(),( 21 2 21 2 21 212121 TttBEABEttAEt t BAtBAtEtXtXEttRX 當當AN(0,1)時，時，EA=0，EA2=1；當；當BU(0,2) 時，時，EB=1，EB2=4/3；又因；又因A、B獨立時，有獨立時，有 EAB=EAEB=0。故。故 ., 3/4),(, 1)( 212121 Tttt tttRt XX ,)()(BEAtEBAtEtXEt X 第25頁/共69頁 例例2 求求10.1例例2中隨機相位正弦波的均值函數(shù)、中隨機相位正弦波的均值函數(shù)、 方差函

30、數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 其他. , 0 ,20, 2 1 )( f , 0 2 1 )cos( )cos()()( 2 0 dwt tEtXEt X 由定義，得由定義，得 解解 由假設(shè)，知由假設(shè)，知的概率密度為的概率密度為 第26頁/共69頁 ,cos 2 )cos()2cos( 4 2 1 )cos()cos( )cos()cos()()(),( 2 2 0 1221 2 2 0 21 2 21 2 2121 X dtttt dtt ttEtXtXEttR . 2 ),()(),( 2 2 ttRtttR XXX 2 X 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 特別地，特別地，令令t1=t2=

31、t, 即得方差函數(shù)即得方差函數(shù) 其中其中 = t2- -t1。 第27頁/共69頁 例例3 設(shè)設(shè) X(t) = Acos t + Bsin t, tT= =(- -, +)，其，其 中中A, B相互獨立，且均是服從正態(tài)分布相互獨立，且均是服從正態(tài)分布N(0, 2) 的隨的隨 機變量，機變量， 是實常數(shù)。證明是實常數(shù)。證明: X(t)是正態(tài)過程，并求是正態(tài)過程，并求 其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解解 由題設(shè)，由題設(shè)，A, B是相互獨立的正態(tài)變量，所以是相互獨立的正態(tài)變量，所以(A, B) 是二維正態(tài)變量。對任意一組實數(shù)是二維正態(tài)變量。對任意一組實數(shù)t1, t2, , tnT

32、, X(ti)=Acosti+Bsinti, i=1, 2, , n 都是都是A, B的線性組合。于是，根據(jù)第四章的線性組合。于是，根據(jù)第四章4, n維正維正 態(tài)變量的性質(zhì)態(tài)變量的性質(zhì)3。 。, (X(t 1), X(t2), ,X(tn)是是n維維正態(tài)變正態(tài)變 量量。因為因為n, ti是任意的，由定義，是任意的，由定義，X(t)是正態(tài)過程。是正態(tài)過程。 第28頁/共69頁 另由題設(shè)，有另由題設(shè)，有E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)= 2. 由此，可算得由此，可算得X(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自或自 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))分別為：分別為：

33、X(t) = EAcost+Bsint=0, CX(t1,t2) = RX(t1,t2) = E(Acost1+Bsint1) (Acost2+Bsint2) = (cos t1 cos t2)E(A2)+(sin t1 sin t2)E(B2) + (cos t1 sin t2+ sin t1 cos t2)E(AB) = 2(cost1cost2+sint1sint2) = 2cos(t2- -t1). 第29頁/共69頁 10.2.3 二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機過程的分布函數(shù)和數(shù)字特征 實際問題中，我們有時必須同時研究兩個或兩實際問題中，我們有時必須同時研究兩個或兩 個以上

34、隨機過程及它們之間的統(tǒng)計聯(lián)系。例如：某個以上隨機過程及它們之間的統(tǒng)計聯(lián)系。例如：某 地在時段地在時段(0, t內(nèi)的最高溫度內(nèi)的最高溫度X(t)和最低溫度和最低溫度Y(t)都是都是 隨機過程，需研究它們的統(tǒng)計聯(lián)系。又如：輸入到隨機過程，需研究它們的統(tǒng)計聯(lián)系。又如：輸入到 一個系統(tǒng)的信號和噪聲可都是隨機過程，這時，輸一個系統(tǒng)的信號和噪聲可都是隨機過程，這時，輸 出也是隨機過程。我們需要研究輸出與輸入之間的出也是隨機過程。我們需要研究輸出與輸入之間的 統(tǒng)計聯(lián)系等等。對于這類問題，我們除了對各個隨統(tǒng)計聯(lián)系等等。對于這類問題，我們除了對各個隨 機過程的統(tǒng)計特征加以研究外，還必須將幾個隨機機過程的統(tǒng)計特征

35、加以研究外，還必須將幾個隨機 過程作為整體研究其統(tǒng)計特征。過程作為整體研究其統(tǒng)計特征。 第30頁/共69頁 設(shè)設(shè) X(t), tT 和和Y(t), tT 是同一參數(shù)空間是同一參數(shù)空間 上的兩個不同的隨機過程，稱上的兩個不同的隨機過程，稱(X(t),Y(t), tT 是是 二維隨機過程。二維隨機過程。 設(shè)設(shè) (X(t),Y(t), tT 是二維隨機過程，如果對是二維隨機過程，如果對 任意正整數(shù)任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組，任意數(shù)組 t1, t2, tn T， t1, t2, , tm T，稱，稱n+m 維隨機變量維隨機變量 (X(t1), X(t2), X(tn), Y(t1), Y(t2),Y

36、(tm) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x1, x2, xn; t1, t2, tn: y1, y2,ym ;t1, t2, , tm) 為隨機過程為隨機過程X(t)與與Y(t)的的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。維聯(lián)合分布函數(shù)。 第31頁/共69頁 如果對任意正整數(shù)如果對任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組，任意數(shù)組 t1, t2, tn T; t1, t2, , tm T，n維隨機變量維隨機變量 (X(t1), X(t2), X(tn) 與與 m維隨機變量維隨機變量(Y(t1), Y(t2),Y(tm)相互獨相互獨 立，則稱隨機過程立，則稱隨機過程X(t)和和 Y(t)是是相互獨立的相互獨立的。 第32頁/共6

37、9頁 關(guān)于數(shù)字特征，除關(guān)于數(shù)字特征，除X(t), Y(t)的均值和自相關(guān)函的均值和自相關(guān)函 數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是X(t)和和Y(t)的二階混的二階混 合原點矩，記作合原點矩，記作 并稱它為并稱它為X(t)和和Y(t)的的互相關(guān)函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)。 類似地，還有如下定義的類似地，還有如下定義的X(t)和和Y(t)的的互協(xié)方差互協(xié)方差 函數(shù)函數(shù) 如果對任意的如果對任意的 t1, t2T，恒有，恒有 則稱隨機過程則稱隨機過程X(t)和和Y(t)是是不相關(guān)的不相關(guān)的。 (2.9) ,),()(),( 212121 TtttXtXEttRXY (2.10) ,),()(

38、),( )()()()(),( 212121 221121 T.ttttttR ttYttXEttC YXXY YXXY (2.11) , 0),( 21 ttCXY 第33頁/共69頁 由第四章由第四章3可推知，兩個隨機過程如果是相可推知，兩個隨機過程如果是相 互獨立的互獨立的, 且它們的二階矩存在且它們的二階矩存在, 則它們必然不相則它們必然不相 關(guān)。反之關(guān)。反之, 從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨 立。立。 當同時考慮當同時考慮 n(n2)個隨機過程或個隨機過程或 n維隨機過程維隨機過程 時時, 我們可類似地引入它們的多維分布，以及均值我們可類似地引入

39、它們的多維分布，以及均值 函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù)函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù) (或互協(xié)方差函數(shù)或互協(xié)方差函數(shù))。 第34頁/共69頁 在許多應(yīng)用問題中，經(jīng)常要研究幾個隨機過程在許多應(yīng)用問題中，經(jīng)常要研究幾個隨機過程 之和之和 (例如，將信號和噪聲同時輸入到一個線性系例如，將信號和噪聲同時輸入到一個線性系 統(tǒng)的情形統(tǒng)的情形) 的統(tǒng)計特征?，F(xiàn)考慮三個隨機過程的統(tǒng)計特征?，F(xiàn)考慮三個隨機過程 X(t), Y(t)和和Z(t)之和的情形，令之和的情形，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t). 顯然，均值函數(shù)顯然，均值函數(shù) 而而W(t)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運算規(guī)則和相關(guān)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運

40、算規(guī)則和相關(guān) 函數(shù)的定義得到，函數(shù)的定義得到， ).()()()(tttt ZYXW ).,(),(),( ),(),(),( ),(),(),( )()(),( 212121 212121 212121 2121 ttRttRttR ttRttRttR ttRttRttR tWtWEttR XZXY WW ZZZYZX YZYYYX XX 第35頁/共69頁 此式表明：幾個隨機過程之和的自相關(guān)函數(shù)可此式表明：幾個隨機過程之和的自相關(guān)函數(shù)可 以表示為各個隨機過程的自相關(guān)函數(shù)以及各對隨機以表示為各個隨機過程的自相關(guān)函數(shù)以及各對隨機 過程的互相關(guān)函數(shù)之和。過程的互相關(guān)函數(shù)之和。 如果上述三個隨機過

41、程是兩兩不相關(guān)的，且各如果上述三個隨機過程是兩兩不相關(guān)的，且各 自的均值函數(shù)都為零，則由自的均值函數(shù)都為零，則由(2.11)是可知諸互相關(guān)函是可知諸互相關(guān)函 數(shù)均等于零，此時數(shù)均等于零，此時W(t)的自相關(guān)函數(shù)簡單地等于各的自相關(guān)函數(shù)簡單地等于各 個過程的自相關(guān)函數(shù)之和，即個過程的自相關(guān)函數(shù)之和，即 特別地，令特別地，令t1=t2=t, 由由(2.12)式，得式，得W(t)的方差函數(shù)的方差函數(shù)( 此處即均方值函數(shù)此處即均方值函數(shù))為為 (2.12) ).,(),(),(),( 21212121 ZZYYXX ttRttRttRttRWW ).()()()()( 22222 ttttt ZYXW

42、W 第36頁/共69頁 10.3 泊松過程及維納過程泊松過程及維納過程 泊松泊松 (Poission) 過程及維納過程及維納 (Wiener) 過程是兩個過程是兩個 典型的隨機過程，在隨機過程理論和應(yīng)用中都占重典型的隨機過程，在隨機過程理論和應(yīng)用中都占重 要地位，都屬于要地位，都屬于獨立增量過程獨立增量過程。下面首先介紹獨立。下面首先介紹獨立 增量過程。增量過程。 給定二階矩過程給定二階矩過程X(t), t 0, 稱稱X(t)- -X(s), 0st 為隨機過程在區(qū)間為隨機過程在區(qū)間(s, t上的增量。如果對任意正整數(shù)上的增量。如果對任意正整數(shù) n 和任意和任意 0t0 t1 t2 tn, n

43、個增量個增量 X(t1)- -X(t0), X(t2)- -X(t1), , X(tn)- -X(tn-1) 相互獨立，則稱相互獨立，則稱X(t), t 0為為獨立增量過程獨立增量過程。 直觀地說：直觀地說： 就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增 量相互獨立。量相互獨立。 第37頁/共69頁 對于獨立增量過程，可以證明：在對于獨立增量過程，可以證明：在 X(0)=0 的條的條 件下件下, 過程的有限維分布函數(shù)族可以由增量過程的有限維分布函數(shù)族可以由增量 X(t)- -X(s) (0st)的分布所確定。的分布所確定。 特別地，若對任意的實數(shù)特別地，若對任意的實數(shù) h

44、和和 0 s+ h t+ h, X(t + h)- -X(s + h) 與與 X(t)- -X(s) 具有相同的分布，則稱具有相同的分布，則稱 增量具有平穩(wěn)性。增量具有平穩(wěn)性。這時，增量這時，增量 X(t)- -X(s) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 實際上只依賴于時間差實際上只依賴于時間差 t - - s (0st)，而不依賴于，而不依賴于t和和 s 本身本身 (事實上，令事實上，令h=- -s即知即知)。 當增量具有平穩(wěn)性時，稱相應(yīng)的獨立增量過程當增量具有平穩(wěn)性時，稱相應(yīng)的獨立增量過程 是是齊次的齊次的或或時齊的時齊的。 第38頁/共69頁 在在 X(0)=0 和方差函數(shù)和方差函數(shù) DX(t) 已

45、知條件下，可計算已知條件下，可計算 獨立增量過程獨立增量過程X(t), t 0的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù)CX(s, t)。 記記 Y(t)= X(t)- -X(t)。首先注意到：當。首先注意到：當 X(t) 具有獨具有獨 立增量時立增量時, Y(t)也具有獨立增量也具有獨立增量; 其次其次注意到注意到: Y(0)=0, EY(t)=0，且方差函數(shù)，且方差函數(shù) DY(t)= EY2(t)= DX(t)。利用。利用 這些性質(zhì)，當這些性質(zhì)，當 0st 時，就有時，就有 ).( )0()()()()0()( )0()()()()0()( )()(),( 2 sD YsYEsYtYEYsYE YsYsYt

46、YYsYE tYsYEtsC X X 故，對任意故，對任意s, t0，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。 (3.1) ).,(min(),( tsDtsC XX 第39頁/共69頁 10.3.1 泊松過程泊松過程 考慮下列隨時間推移遲早會重復出現(xiàn)的事件：考慮下列隨時間推移遲早會重復出現(xiàn)的事件： (1). 自電子管陰極發(fā)射的電子到達陽極；自電子管陰極發(fā)射的電子到達陽極； (2). 意外事故或意外差錯的發(fā)生；意外事故或意外差錯的發(fā)生； (3). 要求服務(wù)的顧客到達服務(wù)站。要求服務(wù)的顧客到達服務(wù)站。 此處此處“顧客顧客”與與“服務(wù)站服務(wù)站”的含義是相當廣泛的含義是相當廣泛 的

47、。如的。如: “顧客顧客”可以是電話的呼叫，可以是電話的呼叫， “服務(wù)站服務(wù)站” 是是120急救臺；急救臺； “顧客顧客”可以是聯(lián)網(wǎng)的個人電腦，可以是聯(lián)網(wǎng)的個人電腦， “服務(wù)站服務(wù)站”是某網(wǎng)站的主頁是某網(wǎng)站的主頁; “顧客顧客”可以是等待可以是等待 起飛的飛機，起飛的飛機， “服務(wù)站服務(wù)站”是機場跑道是機場跑道等。等。 第40頁/共69頁 為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作 時間軸上的質(zhì)點，電子到達陽極、顧客到達服務(wù)時間軸上的質(zhì)點，電子到達陽極、顧客到達服務(wù) 站等事件的發(fā)生相當于質(zhì)點出現(xiàn)。于是，抽象地站等事件的發(fā)生相當于質(zhì)點出現(xiàn)。于是，抽象地 說，我們

48、研究的對象將是隨時間推移，陸續(xù)出現(xiàn)說，我們研究的對象將是隨時間推移，陸續(xù)出現(xiàn) 在時間軸上的許多質(zhì)點所構(gòu)成的隨機的質(zhì)點流。在時間軸上的許多質(zhì)點所構(gòu)成的隨機的質(zhì)點流。 以以N(t), t 0表示在時間間隔表示在時間間隔(0, t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì) 點數(shù)。點數(shù)。N(t), t 0是一狀態(tài)取非負整數(shù)、時間連是一狀態(tài)取非負整數(shù)、時間連 續(xù)的隨機過程，稱為續(xù)的隨機過程，稱為計數(shù)過程計數(shù)過程。 第41頁/共69頁 計數(shù)過程計數(shù)過程的樣本函數(shù)如圖的樣本函數(shù)如圖10- -5所示，圖中所示，圖中t1, t2, 是質(zhì)點依次出現(xiàn)的時刻。是質(zhì)點依次出現(xiàn)的時刻。 圖圖10- -5 將增量將增量 N(t)- -N(t0)

49、 記成記成 N(t0, t), 0 t0 0 稱為過程稱為過程 N(t) 的強度，而的強度，而 當當 時是關(guān)于時是關(guān)于t的高階無窮??；的高階無窮??； (3). 對于充分小的對于充分小的t, (4). N(0)=0。 (3.3) ),(1),(),( 1 tottttNPtttP )( t 0 t (3.4) , )(),(),( 22 jj j tjtttNPtttP 第43頁/共69頁 我們把滿足條件我們把滿足條件(1) (4)的計數(shù)過程的計數(shù)過程N(t), t 0 稱作稱作強度為強度為 的泊松過程的泊松過程。相應(yīng)的質(zhì)點流，即質(zhì)點。相應(yīng)的質(zhì)點流，即質(zhì)點 出現(xiàn)的隨機時刻出現(xiàn)的隨機時刻 t1,

50、t2, 稱作稱作強度為強度為 的泊松流的泊松流。 以下首先來求增量的分布律以下首先來求增量的分布律 (3.2)。對于泊松。對于泊松 過程，注意到過程，注意到 =1，結(jié)合條件，結(jié)合條件(2)和和(3)，有，有 (3.5) ).(1 ),(),(1),( 2 10 tt tttPtttPtttP k k 0 0 ),( k k ttP 第44頁/共69頁 下面就泊松過程來計算概率下面就泊松過程來計算概率(3.2)。 首先確定首先確定P0(t0, t)。為此，對。為此，對t 0，考慮，考慮 ，0),(0),( 0),(),( 0),(),( 0 0 00 ttt，NttNP tttNttNP ttt

51、NPtttP 0 由條件由條件(1)和和(3.5)式，上式可寫成式，上式可寫成 )(1),( 0),(0),(),( 0 0 ttttP tttNPttNPtttP 0 00 ).(),(),(),( 000 ttttPttPtttP 000 或 第45頁/共69頁 用用t 除上式兩邊，并令除上式兩邊，并令 ，即得，即得P0(t0, t)滿滿 足的微分方程足的微分方程 0 t (3.6) ).,( ),( 0 0 0 0 ttP dt ttdP 因為因為N(t0, t0)=0，故，故P0(t0, t0)=1。把它看作初始條。把它看作初始條 件即可從方程件即可從方程 (3.6) 解得解得 (3.

52、7) .,e),( 0 )( 0 0 0 ttttP tt ).(),(),(),( 000 ttttPttPtttP 000 或 第46頁/共69頁 再來計算再來計算Pk(t0, t), k1。根據(jù)并事件概率公式。根據(jù)并事件概率公式 和條件和條件(1)，有，有 .),(),( ),(),(),( 0 0 00 jkttNPjtttNP ktttNttNPktttNP k j 由由(3.2) (3.5)式，并注意到式，并注意到 , 2),(),(),(),( 22 0 kttttPttPtttP j j k j jkj 上式可表示成上式可表示成 . 1),(),()( ),()(1 ),(),

53、(),( 01 0 0 00 ktttPtt ttPtt ttPtttPtttP k k k j jkjk 第47頁/共69頁 將此式適當整理后，兩邊除以將此式適當整理后，兩邊除以t，并令，并令 ， 可得到可得到 Pk(t0, t) 滿足的滿足的微分微分- -差分方程差分方程 0 t (3.8) .),(),( ),( 00-1k0k 0k ttttPttP dt ttdP ， 又因又因 N(t0, t0) = 0，故有初始條件，故有初始條件 (3.9) . 10),( 00 kttP k ， . 1),(),()( ),()(1 ),(),(),( 01 0 0 00 ktttPtt ttP

54、tt ttPtttPtttP k k k j jkjk 在在(3.8)與與(3.9)中令中令k=1, 利用求出的利用求出的P0(t0, t), 可解出可解出 .)(),( )( 0001 0 ttettttP tt ， 第48頁/共69頁 如此重復，即逐次令如此重復，即逐次令 k=2, 3, ，就得到，就得到(t0, t 時間段內(nèi)出現(xiàn)時間段內(nèi)出現(xiàn) k 個質(zhì)點的概率為個質(zhì)點的概率為 (3.10)., 2, 1, 0, ! )( ),(),( )( 0 0 0 0k 0 ktte k tt kttNPttP tt k ， 由上式易見：增量由上式易見：增量 N(t0, t) = N(t) - - N

55、(t0)的概率分的概率分 布是參數(shù)為布是參數(shù)為 (t- -t0) 的泊松分布的泊松分布, 且只與時間差且只與時間差 t- -t0 有關(guān)。所以，強度為有關(guān)。所以，強度為 的的泊松分布是一齊次的獨立泊松分布是一齊次的獨立 增量過程。增量過程。 第49頁/共69頁 在一些文獻中，泊松過程也用另一種形式定義。在一些文獻中，泊松過程也用另一種形式定義。 若計數(shù)過程若計數(shù)過程 N(t), t 0 滿足下列三個條件：滿足下列三個條件： . .過程過程是獨立增量過程；是獨立增量過程； . .對任意對任意 t t00，N(t)- -N(t0) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 (t -t0) 的的 泊松分布泊松分布; .

56、N(0)=0, 則稱則稱N(t), t 0是強度為是強度為 的泊松過程。的泊松過程。 從前面的推導不難看到：從條件從前面的推導不難看到：從條件(1)(4)可推出可推出 。反之。反之, 在在中令中令 t- -t0= t，并利用并利用e- t的泰勒 的泰勒 展開式，就能得到條件展開式，就能得到條件(2)、(3)。由此可知：定義泊。由此可知：定義泊 松過程的兩組條件是等價的。松過程的兩組條件是等價的。 第50頁/共69頁 由由(3.10)式，式， t t00，可知，可知 ).()()()()( 000 tttNtNDtNtNE 特別地，令特別地，令t0=0，由于假設(shè)，由于假設(shè)N(0)=0，可推出泊松

57、過，可推出泊松過 程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為 (3.11) .)()( ttDttNE N ， 從從(3.11)可看到可看到: =EN(t)/t，即泊松過程的強度，即泊松過程的強度 ( 常數(shù)常數(shù))等于單位時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)的期望值。等于單位時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)的期望值。 第51頁/共69頁 泊松過程的協(xié)方差函數(shù)，則可由泊松過程的協(xié)方差函數(shù)，則可由(3.1), (3.11) 式直接推得：式直接推得： . 0,),min(),(tststsC N . 0,),min()()(),( 2 tstssttNsNEtsRN 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 第52頁/共69頁 若條件

58、若條件(3.3)式中的強度為非均勻的，即式中的強度為非均勻的，即 是是 時間時間 t 的函數(shù)的函數(shù) = (t), t0。則稱泊松過程為非齊。則稱泊松過程為非齊 次的。對于非齊次泊松過程，用類似的方法，可次的。對于非齊次泊松過程，用類似的方法，可 得得 .)(1)(),( ;)()( ;, 2, 1, 0, 0 , ! )( )()( ),min( 0 ),min( 0 0 0 )( 0 0 0 ddtsR dtNE ktt k ed ktNtNP tsts N t d k t t t t 下面介紹與泊松過程有關(guān)的兩個隨機變量，下面介紹與泊松過程有關(guān)的兩個隨機變量， 即等待時間和點間間距，以及它

59、們的概率分布。即等待時間和點間間距，以及它們的概率分布。 第53頁/共69頁 在一些實際問題中，在一些實際問題中，觀察觀察質(zhì)點時，質(zhì)點時，通常通常不是對不是對 時間間隔時間間隔 (t1, t2 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點進行計數(shù)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點進行計數(shù), 而是對達到而是對達到 一定數(shù)量的質(zhì)點所需要的時間進行計時。一定數(shù)量的質(zhì)點所需要的時間進行計時。 例如：例如： 為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對它發(fā)射出來為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對它發(fā)射出來 的粒子作如下計時試驗。的粒子作如下計時試驗。 設(shè)質(zhì)點設(shè)質(zhì)點(或事件或事件)依次重復出現(xiàn)的時刻依次重復出現(xiàn)的時刻 t1, t2, tn, 是一強度為是一強度為 的泊松流，的泊松流，