數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程數(shù)理統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過(guò)程 第1頁(yè)/共69頁(yè) 第2頁(yè)/共69頁(yè) 熱噪聲電壓熱噪聲電壓: 電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子電子元件或器件由于內(nèi)部微觀粒子 (如電子如電子)的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)所引起的端電壓稱(chēng)為熱噪聲電壓的隨機(jī)運(yùn)動(dòng)所引起的端電壓稱(chēng)為熱噪聲電壓 ,它在任一確定時(shí)刻它在任一確定時(shí)刻 t 的值都是一隨機(jī)變量的值都是一隨機(jī)變量, 記為記為V(t) 。不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的隨機(jī)變量。當(dāng)時(shí)間在某個(gè)區(qū)。不同時(shí)刻對(duì)應(yīng)不同的隨機(jī)變量。當(dāng)時(shí)間在某個(gè)區(qū) 間間, 如如0, )上變化時(shí)，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī)上變化時(shí)，熱噪聲電壓表現(xiàn)為一族隨機(jī) 變量變量,記為記為 V(t), t0。 第3頁(yè)/共69頁(yè)

2、在無(wú)線(xiàn)電通訊技術(shù)中，接收機(jī)在接收信號(hào)時(shí)，機(jī)在無(wú)線(xiàn)電通訊技術(shù)中，接收機(jī)在接收信號(hào)時(shí)，機(jī) 內(nèi)的熱噪聲電壓要對(duì)信號(hào)產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這內(nèi)的熱噪聲電壓要對(duì)信號(hào)產(chǎn)生持續(xù)的干擾，為消除這 種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時(shí)間變化的過(guò)程。種干擾，就必須掌握熱噪聲電壓隨時(shí)間變化的過(guò)程。 為此，我們通過(guò)某種裝置對(duì)元件為此，我們通過(guò)某種裝置對(duì)元件( (或器件或器件) )兩端的熱噪兩端的熱噪 聲電壓進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量，并把結(jié)果自動(dòng)記錄下來(lái)。聲電壓進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量，并把結(jié)果自動(dòng)記錄下來(lái)。 電壓電壓時(shí)間時(shí)間函數(shù)函數(shù)v1(t) , t 0 (如圖如圖10-1)。 這個(gè)這個(gè)電壓電壓時(shí)間時(shí)間函數(shù)在試驗(yàn)前是不可能預(yù)先確知的函數(shù)

3、在試驗(yàn)前是不可能預(yù)先確知的 ，只有通過(guò)測(cè)量才能得到。，只有通過(guò)測(cè)量才能得到。 圖圖10- -1 如果在相同條件下獨(dú)如果在相同條件下獨(dú) 立地再進(jìn)行一次測(cè)量，得立地再進(jìn)行一次測(cè)量，得 到的記錄可能是不同的。到的記錄可能是不同的。 第4頁(yè)/共69頁(yè) 事實(shí)上，在相同條件下每次測(cè)量都將產(chǎn)生不同事實(shí)上，在相同條件下每次測(cè)量都將產(chǎn)生不同 的的電壓電壓時(shí)間時(shí)間函數(shù)。這樣，不斷獨(dú)立地一次次重復(fù)函數(shù)。這樣，不斷獨(dú)立地一次次重復(fù) 測(cè)量，就得到一族不同的測(cè)量，就得到一族不同的電壓電壓時(shí)間時(shí)間函數(shù)，這族函函數(shù)，這族函 數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。數(shù)從另一角度規(guī)劃了熱噪聲電壓。 第5頁(yè)/共69頁(yè) 隨機(jī)過(guò)程：依賴(lài)于一個(gè)變

4、動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。隨機(jī)過(guò)程：依賴(lài)于一個(gè)變動(dòng)參量的一族隨機(jī)變量。 設(shè)設(shè) T 是一個(gè)無(wú)限實(shí)數(shù)集。我們把依賴(lài)于參數(shù)是一個(gè)無(wú)限實(shí)數(shù)集。我們把依賴(lài)于參數(shù) t T 的一族的一族 (無(wú)限多個(gè)無(wú)限多個(gè)) 隨機(jī)變量收集在一起，稱(chēng)為隨機(jī)變量收集在一起，稱(chēng)為隨隨 機(jī)過(guò)程機(jī)過(guò)程，記成記成 X(t), t T 。 這里，對(duì)每一個(gè)這里，對(duì)每一個(gè)t T，X(t) 都是一個(gè)隨機(jī)變量都是一個(gè)隨機(jī)變量 。 T 稱(chēng)為稱(chēng)為參數(shù)集參數(shù)集。常把。常把 t 看作為時(shí)間，稱(chēng)看作為時(shí)間，稱(chēng) X(t) 為為 t 時(shí)時(shí) 刻刻 過(guò)程的過(guò)程的狀態(tài)狀態(tài)，稱(chēng)，稱(chēng) X(t1)x (實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)) 為為t t1 時(shí)過(guò)程時(shí)過(guò)程處處 于狀態(tài)于狀態(tài) x。 對(duì)于一切

5、對(duì)于一切 t , X(t) 所有可能取得一切值的全所有可能取得一切值的全 體稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的體稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間狀態(tài)空間。 第6頁(yè)/共69頁(yè) 對(duì)隨機(jī)過(guò)程對(duì)隨機(jī)過(guò)程 X(t)，t T 進(jìn)行一次試驗(yàn)進(jìn)行一次試驗(yàn) (即在即在 T上上 進(jìn)行一次全程觀測(cè)進(jìn)行一次全程觀測(cè))，其結(jié)果是，其結(jié)果是 t 的函數(shù)，記為的函數(shù)，記為x(t)， tT， 稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)樣本函數(shù)或或樣本曲線(xiàn)樣本曲線(xiàn)。 所有不同的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一族所有不同的試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成一族 (可以只包括有限個(gè)，可以只包括有限個(gè)， 如本節(jié)例如本節(jié)例1) 樣本函數(shù)。樣本函數(shù)。 隨機(jī)過(guò)程可以看作是多維隨機(jī)變量的延伸。隨機(jī)隨機(jī)過(guò)

6、程可以看作是多維隨機(jī)變量的延伸。隨機(jī) 過(guò)程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計(jì)中總體與樣本過(guò)程與其樣本函數(shù)的關(guān)系就像數(shù)理統(tǒng)計(jì)中總體與樣本 的關(guān)系一樣。的關(guān)系一樣。 依照上面的說(shuō)法，熱噪聲電壓的變化過(guò)程依照上面的說(shuō)法，熱噪聲電壓的變化過(guò)程(t)， t是一隨機(jī)過(guò)程，它的狀態(tài)空間是是一隨機(jī)過(guò)程，它的狀態(tài)空間是(- -, +)，一次，一次 觀測(cè)到的觀測(cè)到的電壓電壓時(shí)間時(shí)間函數(shù)就是這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣函數(shù)就是這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣 本函數(shù)。本函數(shù)。 第7頁(yè)/共69頁(yè) 在以后的敘述中，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)：常以在以后的敘述中，為簡(jiǎn)便起見(jiàn)：常以 X(t)，t 表示隨機(jī)過(guò)程。在上下文不致混淆的情形下，一表示隨機(jī)過(guò)程。在上下文不

7、致混淆的情形下，一 般略去記號(hào)中的參數(shù)集般略去記號(hào)中的參數(shù)集 T。 第8頁(yè)/共69頁(yè) 例例1 拋一枚硬幣試驗(yàn)，樣本空間是拋一枚硬幣試驗(yàn)，樣本空間是 S=H,T，定義，定義 , ).( 出現(xiàn) 出現(xiàn)cos )( ， ， ， t Tt Ht tX 其中其中 P(H) = P(T)=1/2。對(duì)任意。對(duì)任意 固定的固定的 t, X(t)是一定義在是一定義在S上的上的 隨機(jī)變量；對(duì)不同的隨機(jī)變量；對(duì)不同的 t， X(t)是是 不同的隨機(jī)變量不同的隨機(jī)變量(見(jiàn)圖見(jiàn)圖10-2)， 所以所以 X(t)， t (- -, +) 是是 一族隨機(jī)變量，即是隨機(jī)過(guò)程一族隨機(jī)變量，即是隨機(jī)過(guò)程 。 作一次試驗(yàn)，若出現(xiàn)作一

8、次試驗(yàn)，若出現(xiàn)H，樣本函數(shù)，樣本函數(shù) x1(t) = cos t ；若出現(xiàn)；若出現(xiàn)T，樣本函數(shù)，樣本函數(shù) x2(t)=t。故，隨機(jī)過(guò)程對(duì)應(yīng)的。故，隨機(jī)過(guò)程對(duì)應(yīng)的 一族樣本函數(shù)僅包含兩個(gè)函數(shù)一族樣本函數(shù)僅包含兩個(gè)函數(shù): cos t, t 。顯然，這。顯然，這 個(gè)隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間為個(gè)隨機(jī)過(guò)程的狀態(tài)空間為(- -, +)。 圖圖10-2 第9頁(yè)/共69頁(yè) 例例2 考慮考慮 式中式中 , , 是正常數(shù)，是正常數(shù)， 是在是在(0,2(0,2 ) )上服從均勻分布的上服從均勻分布的 隨機(jī)變量。隨機(jī)變量。 顯然，對(duì)任一固定的時(shí)刻顯然，對(duì)任一固定的時(shí)刻 t1, X(t1) = cos( t1+ )是一個(gè)隨機(jī)

9、變量。因而，由是一個(gè)隨機(jī)變量。因而，由(1.1)式確定的式確定的 X(t)是一是一 隨機(jī)過(guò)程，通常稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程，通常稱(chēng)它為隨機(jī)相位正弦波隨機(jī)相位正弦波。其狀態(tài)空間。其狀態(tài)空間 是是- , 。在。在(0, 2)內(nèi)隨機(jī)地取一數(shù)內(nèi)隨機(jī)地取一數(shù) i , 相應(yīng)的樣本函相應(yīng)的樣本函 數(shù)是數(shù)是 圖圖10-3中畫(huà)出了這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的兩條樣本曲線(xiàn)。中畫(huà)出了這個(gè)隨機(jī)過(guò)程的兩條樣本曲線(xiàn)。 (1.1) )(),(),cos(tttX ).2, 0(),cos()( i ii ttx 圖圖10-3 第10頁(yè)/共69頁(yè) 例例3 在測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離時(shí)，存在隨機(jī)誤差。若在測(cè)量運(yùn)動(dòng)目標(biāo)的距離時(shí)，存在隨機(jī)誤差。若 以以 (t)

10、表示在時(shí)刻表示在時(shí)刻 t 的測(cè)量誤差，則它是一個(gè)隨機(jī)的測(cè)量誤差，則它是一個(gè)隨機(jī) 變量。當(dāng)目標(biāo)隨時(shí)間變量。當(dāng)目標(biāo)隨時(shí)間 t 按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)量誤按一定規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)，測(cè)量誤 差差 (t) 也隨時(shí)間也隨時(shí)間 t 而變化。換句話(huà)說(shuō)而變化。換句話(huà)說(shuō), (t)是依賴(lài)于是依賴(lài)于 t 的一族隨機(jī)變量，亦即的一族隨機(jī)變量，亦即 (t), t0是一隨機(jī)過(guò)程，是一隨機(jī)過(guò)程， 狀態(tài)空間是狀態(tài)空間是(- -, +)。 第11頁(yè)/共69頁(yè) 例例4 設(shè)某市設(shè)某市120急救電話(huà)臺(tái)不斷地接到用戶(hù)的呼叫，急救電話(huà)臺(tái)不斷地接到用戶(hù)的呼叫， 若以若以X(t)表示時(shí)間間隔表示時(shí)間間隔 (0, t內(nèi)接到的呼叫次數(shù)，則它內(nèi)接到的呼叫次數(shù)

11、，則它 是一個(gè)隨機(jī)變量，且對(duì)不同的是一個(gè)隨機(jī)變量，且對(duì)不同的 t0, X(t)可能是不同可能是不同 的隨機(jī)變量。故，的隨機(jī)變量。故，X(t), t 是一隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài)是一隨機(jī)過(guò)程，狀態(tài) 空間是空間是0, 1, 2, 。 例例5 考慮擲一顆考慮擲一顆骰子骰子試驗(yàn)。試驗(yàn)。 (1). 設(shè)設(shè)Xn是第是第 n 次次(n1)擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于擲的點(diǎn)數(shù)，對(duì)于n=1, 2, 的的 不同值不同值, Xn是不同的隨機(jī)變量，因而是不同的隨機(jī)變量，因而Xn, n1 構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程構(gòu)成一隨機(jī)過(guò)程, 稱(chēng)為伯努力過(guò)程稱(chēng)為伯努力過(guò)程, 或伯努力隨或伯努力隨 機(jī)序列。狀態(tài)空間都是機(jī)序列。狀態(tài)空間都是1, 2, 3, 4, 5, 6

12、。 (2). 設(shè)設(shè)Xn是前是前n次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，則次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，則Xn, n 1也也 是一隨機(jī)過(guò)程。狀態(tài)空間是是一隨機(jī)過(guò)程。狀態(tài)空間是1, 2, 3, 4, 5, 6。 第12頁(yè)/共69頁(yè) 隨機(jī)過(guò)程可依其在任意時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī)隨機(jī)過(guò)程可依其在任意時(shí)刻的狀態(tài)是連續(xù)型隨機(jī) 變量或離散型隨機(jī)變量而分成變量或離散型隨機(jī)變量而分成連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程或或離散離散 型隨機(jī)過(guò)程型隨機(jī)過(guò)程。 熱噪聲電壓、例熱噪聲電壓、例2和例和例3是連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程，例是連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程，例1, 例例4和例和例5是離散型隨機(jī)過(guò)程。是離散型隨機(jī)過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程還可依時(shí)間隨機(jī)過(guò)程還可依時(shí)間(參數(shù)參數(shù))是連續(xù)或離散

13、進(jìn)行分是連續(xù)或離散進(jìn)行分 類(lèi)。當(dāng)時(shí)間集類(lèi)。當(dāng)時(shí)間集T是有限或無(wú)限區(qū)間時(shí)，稱(chēng)是有限或無(wú)限區(qū)間時(shí)，稱(chēng)X(t), t T 為為連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程 (以下如無(wú)特別指明，隨機(jī)過(guò)程以下如無(wú)特別指明，隨機(jī)過(guò)程 總是指連續(xù)參數(shù)而言的總是指連續(xù)參數(shù)而言的)；如果；如果T是離散集合，例如是離散集合，例如 T= 0, 1, 2, ，則稱(chēng)，則稱(chēng)X(t), tT為離散參數(shù)隨機(jī)過(guò)為離散參數(shù)隨機(jī)過(guò) 程或隨機(jī)序列，此時(shí)常記成程或隨機(jī)序列，此時(shí)常記成 Xn, n =0,1,2, 等，如等，如 例例5。 第13頁(yè)/共69頁(yè) 有時(shí)，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實(shí)際中也常有時(shí)，為了適應(yīng)數(shù)字化的需要，實(shí)際中也常 將連續(xù)參數(shù)隨機(jī)

14、過(guò)程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)序列處理。例如將連續(xù)參數(shù)隨機(jī)過(guò)程轉(zhuǎn)化為隨機(jī)序列處理。例如, 我們只在時(shí)間集我們只在時(shí)間集T=t, 2t, , nt, 上觀察上觀察 電阻的熱噪聲電壓電阻的熱噪聲電壓(t)，這時(shí)就得到一個(gè)隨機(jī)序這時(shí)就得到一個(gè)隨機(jī)序 列列V1, V2, ,Vn, ，其中，其中Vn=V(nt)。 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)t充分小時(shí)，這個(gè)隨機(jī)序列能夠近充分小時(shí)，這個(gè)隨機(jī)序列能夠近 似地描述連續(xù)時(shí)間情況下的熱噪聲電壓。似地描述連續(xù)時(shí)間情況下的熱噪聲電壓。 需注意的是：參數(shù)需注意的是：參數(shù) t 雖然通常解釋為時(shí)間，但雖然通常解釋為時(shí)間，但 它也可以表示其它的量。諸如：序號(hào)、距離等。它也可以表示其它的量。諸如：序號(hào)、

15、距離等。 如例如例5中，假定每隔一個(gè)單位時(shí)間擲中，假定每隔一個(gè)單位時(shí)間擲一次一次骰子骰子，則，則 第第n次擲出的點(diǎn)數(shù)次擲出的點(diǎn)數(shù) Xn就相當(dāng)于就相當(dāng)于 t=n時(shí)時(shí)骰子骰子出現(xiàn)的點(diǎn)出現(xiàn)的點(diǎn) 數(shù)。數(shù)。 第14頁(yè)/共69頁(yè) 10.2 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)描述 隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量，隨機(jī)過(guò)程在任一時(shí)刻的狀態(tài)是隨機(jī)變量， 由此可以利用隨機(jī)變量由此可以利用隨機(jī)變量(一維或多維一維或多維)的統(tǒng)計(jì)描述的統(tǒng)計(jì)描述 方法來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。方法來(lái)描述隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。 10.2.1 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族 給定隨機(jī)過(guò)程給定隨機(jī)過(guò)程 X(t), t T ，對(duì)每個(gè)固

16、定的，對(duì)每個(gè)固定的 t T, 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X(t)的分布函數(shù)一般與的分布函數(shù)一般與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 .,)(),(RxxtXPtxFX 稱(chēng)其為隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)其為隨機(jī)過(guò)程 X(t), t T 的的一維分布函數(shù)一維分布函數(shù)， 稱(chēng)稱(chēng)Fx(x, t), t T為為一維分布函數(shù)族一維分布函數(shù)族。 第15頁(yè)/共69頁(yè) 一維分布函數(shù)族刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的一維分布函數(shù)族刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程在各個(gè)時(shí)刻的 統(tǒng)計(jì)特征。為描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的統(tǒng)計(jì)特征。為描述隨機(jī)過(guò)程在不同時(shí)刻狀態(tài)之間的 相關(guān)關(guān)系，一般要對(duì)任意相關(guān)關(guān)系，一般要對(duì)任意 n個(gè)個(gè)(n=2, 3, ) 不同時(shí)刻不同時(shí)刻 t1, t2,

17、, tnT, 引入引入 n 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), , X(tn), 其聯(lián)合分布函數(shù)記為其聯(lián)合分布函數(shù)記為 ., 2, 1, ,)(,)(,)( ),;,( 2211 2121 niRx xtXxtXxtXP tttxxxF i nn nnX 對(duì)固定的對(duì)固定的n, 稱(chēng)稱(chēng)FX(x1, x2, , xn; t1, t2,tn), tiT為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t), t T的的 n 維分布函數(shù)族。維分布函數(shù)族。 第16頁(yè)/共69頁(yè) 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，n 維分布函數(shù)族能近似地描述維分布函數(shù)族能近似地描述 隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。顯然，隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。顯然，n 取得

18、愈大，則取得愈大，則n維維 分布函數(shù)族描述隨機(jī)過(guò)程的特征也愈趨于完善。一分布函數(shù)族描述隨機(jī)過(guò)程的特征也愈趨于完善。一 般地般地,可以指出可以指出(科爾莫戈羅夫定理科爾莫戈羅夫定理): 有限維分布函有限維分布函 數(shù)族，數(shù)族，即即FX(x1, x2, , xn; t1, t2, , tn), n=1, 2, , tiT完全地確定了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。完全地確定了隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。 上一節(jié)，我們?cè)鴮㈦S機(jī)過(guò)程按其狀態(tài)或時(shí)間的上一節(jié)，我們?cè)鴮㈦S機(jī)過(guò)程按其狀態(tài)或時(shí)間的 連續(xù)或離散進(jìn)行了分類(lèi)。然而，隨機(jī)過(guò)程本質(zhì)的分連續(xù)或離散進(jìn)行了分類(lèi)。然而，隨機(jī)過(guò)程本質(zhì)的分 類(lèi)方法乃是按其分布特征進(jìn)行分類(lèi)的。具體地說(shuō)：類(lèi)

19、方法乃是按其分布特征進(jìn)行分類(lèi)的。具體地說(shuō)： 就是依照過(guò)程在不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的特殊統(tǒng)計(jì)依就是依照過(guò)程在不同時(shí)刻的狀態(tài)之間的特殊統(tǒng)計(jì)依 賴(lài)方式，抽象出一些不同類(lèi)型的模型。如：賴(lài)方式，抽象出一些不同類(lèi)型的模型。如：獨(dú)立增獨(dú)立增 量過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、平穩(wěn)過(guò)程量過(guò)程、馬爾可夫過(guò)程、平穩(wěn)過(guò)程等。我們將在以等。我們將在以 后的章節(jié)中對(duì)它們作不同程度的介紹。后的章節(jié)中對(duì)它們作不同程度的介紹。 第17頁(yè)/共69頁(yè) 10.2.2 隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征 隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族能完善地刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)族能完善地刻畫(huà)隨機(jī)過(guò)程 的統(tǒng)計(jì)特征。但是，人們?cè)趯?shí)際中，根據(jù)觀察往往的統(tǒng)計(jì)特征。但是，

20、人們?cè)趯?shí)際中，根據(jù)觀察往往 只能得到隨機(jī)過(guò)程的部分資料只能得到隨機(jī)過(guò)程的部分資料(樣本樣本)，用它來(lái)確定，用它來(lái)確定 有限維分布函數(shù)族是困難的，甚至是不可能的。因有限維分布函數(shù)族是困難的，甚至是不可能的。因 而，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入而，像引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征那樣，有必要引入 隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征隨機(jī)過(guò)程的基本數(shù)字特征均值函數(shù)均值函數(shù)和和相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)等等 。這些數(shù)字特征在一定條件下是便于測(cè)量的。這些數(shù)字特征在一定條件下是便于測(cè)量的。 第18頁(yè)/共69頁(yè) 給定隨機(jī)過(guò)程給定隨機(jī)過(guò)程 X(t), t T，固定，固定 t T, X(t) 是一隨機(jī)變量，它的均值一般與是一隨機(jī)變

21、量，它的均值一般與 t 有關(guān)，記為有關(guān)，記為 (2.1),()( tXEt X 稱(chēng)稱(chēng) X(t)為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)，t T的的均值函數(shù)均值函數(shù)。 注意注意, X(t)是隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻是隨機(jī)過(guò)程的所有樣本函數(shù)在時(shí)刻 t 的函數(shù)值的平均，通常稱(chēng)這種平均為的函數(shù)值的平均，通常稱(chēng)這種平均為集平均集平均或或統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)平均計(jì)平均, 以區(qū)分第十二章中引入的時(shí)間平均概念以區(qū)分第十二章中引入的時(shí)間平均概念 。 均值函數(shù)均值函數(shù)X(t)表示了表示了 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程 X(t)在各個(gè)時(shí)刻在各個(gè)時(shí)刻 的擺動(dòng)中心，如圖的擺動(dòng)中心，如圖10-4所所 示。示。 第19頁(yè)/共69頁(yè) 其次，把隨機(jī)變量其次，

22、把隨機(jī)變量X(t)的二階原點(diǎn)矩和二階中的二階原點(diǎn)矩和二階中 心矩分別記作心矩分別記作 (2.2) ),()( 22 tXEt X )3(2 ,)()( )()()( 2 2 .ttXE tXVartDt X XX 并分別稱(chēng)它們?yōu)殡S機(jī)過(guò)程并分別稱(chēng)它們?yōu)殡S機(jī)過(guò)程X(t), t T的的均方值函數(shù)均方值函數(shù) 和和方差函數(shù)方差函數(shù)。方差函數(shù)的算術(shù)平方根。方差函數(shù)的算術(shù)平方根 X(t)稱(chēng)為隨機(jī)稱(chēng)為隨機(jī) 過(guò)程的過(guò)程的標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差函數(shù)，它表示隨機(jī)過(guò)程，它表示隨機(jī)過(guò)程X(t)在時(shí)刻在時(shí)刻 t 對(duì)對(duì) 于均值于均值X(t)的平均偏離程度。見(jiàn)圖的平均偏離程度。見(jiàn)圖10-4。 第20頁(yè)/共69頁(yè) 又，又， 對(duì)任意對(duì)

23、任意 t1, t2T，把隨機(jī)變量，把隨機(jī)變量X(t1)和和X(t2)的二的二 階原點(diǎn)混合矩記作階原點(diǎn)混合矩記作 (2.4) ),()(),( 2121 tXtXEttR XX 并稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程并稱(chēng)它為隨機(jī)過(guò)程X(t)，t T的的自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù)，簡(jiǎn)，簡(jiǎn) 稱(chēng)稱(chēng)相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù)。記號(hào)。記號(hào)RXX(t1,t2)在不致混淆時(shí)，常簡(jiǎn)記在不致混淆時(shí)，常簡(jiǎn)記 成成RX(t1,t2)。 類(lèi)似地，將類(lèi)似地，將X(t1)和和X(t2)的二階混合中心矩記成的二階混合中心矩記成 (2.5) ),()()()( )(),(),( 2211 2121 ttXttXE tXtXCovttC XX XX 并稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程并

24、稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程X(t), t T的的自協(xié)方差函數(shù)自協(xié)方差函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)，簡(jiǎn)稱(chēng) 協(xié)方差函數(shù)協(xié)方差函數(shù)。CXX(t1,t2)也常簡(jiǎn)記為也常簡(jiǎn)記為CX(t1,t2)。 第21頁(yè)/共69頁(yè) 由多維隨機(jī)變量數(shù)字特征的知識(shí)可知，自相由多維隨機(jī)變量數(shù)字特征的知識(shí)可知，自相 關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是可劃隨機(jī)過(guò)程自身在兩關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)是可劃隨機(jī)過(guò)程自身在兩 個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系的數(shù)字特征個(gè)不同時(shí)刻的狀態(tài)之間統(tǒng)計(jì)依賴(lài)關(guān)系的數(shù)字特征 。 現(xiàn)把現(xiàn)把(2.1) (2.5)式定義的諸數(shù)字特征之間的式定義的諸數(shù)字特征之間的 關(guān)系簡(jiǎn)述如下：關(guān)系簡(jiǎn)述如下： 由由(2.2)和和(2.4)式知式知 (2.6) ).,()

25、( 2 ttRt XX 由由(2.5)式展開(kāi)，得式展開(kāi)，得 (2.7) ).()(),(),( 212121 ttttRttC XXxX 特別地，當(dāng)特別地，當(dāng)t1=t2=t時(shí)，由時(shí)，由(2.7)式，得式，得 (2.8) ).(),(),()( 22 tttRttCt XXXX 第22頁(yè)/共69頁(yè) 由由(2.6) (2.8)式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要式可知，以上諸數(shù)字特征中最主要 的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。的是均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 從理論的角度來(lái)看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān)從理論的角度來(lái)看，僅僅研究均值函數(shù)和自相關(guān) 函數(shù)當(dāng)然是不能代替對(duì)整個(gè)隨機(jī)過(guò)程的研究的，但是函數(shù)當(dāng)然是不能代替對(duì)整個(gè)隨機(jī)

26、過(guò)程的研究的，但是 由于它們確實(shí)刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特征，而且由于它們確實(shí)刻畫(huà)了隨機(jī)過(guò)程的主要統(tǒng)計(jì)特征，而且 遠(yuǎn)較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實(shí)際計(jì)算，因而對(duì)遠(yuǎn)較有限維分布函數(shù)族易于觀察和實(shí)際計(jì)算，因而對(duì) 于應(yīng)用課題而言于應(yīng)用課題而言, 它們常常能夠起到重要作用。據(jù)此它們常常能夠起到重要作用。據(jù)此, 在隨機(jī)過(guò)程的專(zhuān)著中都著重研究了所謂二階矩過(guò)程。在隨機(jī)過(guò)程的專(zhuān)著中都著重研究了所謂二階矩過(guò)程。 隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t)， t T，如果對(duì)于每一個(gè)，如果對(duì)于每一個(gè)t T， 二階矩二階矩EX2(t)都存在，那么稱(chēng)它為都存在，那么稱(chēng)它為二階矩過(guò)程二階矩過(guò)程。 第23頁(yè)/共69頁(yè) 二階矩過(guò)程的相關(guān)函數(shù)總

27、存在。事實(shí)上，由于二階矩過(guò)程的相關(guān)函數(shù)總存在。事實(shí)上，由于 EX2(t1), EX2(t2)存在，根據(jù)柯西存在，根據(jù)柯西施瓦茲不等式施瓦茲不等式( 參見(jiàn)第四章習(xí)題參見(jiàn)第四章習(xí)題33)，有，有 .,),()(|)()(| 212 2 1 22 21 TtttXEtXEtXtXE 即知：即知：RX(t1,t2)=EX(t1)X(t2)存在。存在。 在實(shí)際中，常遇到一種特殊的二階矩過(guò)程在實(shí)際中，常遇到一種特殊的二階矩過(guò)程 正態(tài)過(guò)程。正態(tài)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程隨機(jī)過(guò)程X(t), t T稱(chēng)為正態(tài)過(guò)程，稱(chēng)為正態(tài)過(guò)程， 如果對(duì)任意如果對(duì)任意 n1及任意及任意 t1, t2, , tnT, (X(t1), X(t2)

28、, , X(tn)服從服從 n 維正態(tài)分布維正態(tài)分布。由第四章由第四章3、4知知 ，正態(tài)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)特征完全由它的均值函數(shù)，正態(tài)過(guò)程的全部統(tǒng)計(jì)特征完全由它的均值函數(shù) 和自協(xié)方差函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自相關(guān)函數(shù)或自相關(guān)函數(shù))所確定。所確定。 第24頁(yè)/共69頁(yè) 例例1 設(shè)設(shè)A, B是兩個(gè)隨機(jī)變量是兩個(gè)隨機(jī)變量, 求隨機(jī)過(guò)程求隨機(jī)過(guò)程X(t)=At+B, t T=(- -, +)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。如果A, B 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 AN(0,1), BU(0,2)，問(wèn)，問(wèn) X(t) 的均值的均值 函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)又是怎樣的？ 解解

29、 X(t)的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為的均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為 .,)( )()()(),( 21 2 21 2 21 212121 TttBEABEttAEt t BAtBAtEtXtXEttRX 當(dāng)當(dāng)AN(0,1)時(shí)，時(shí)，EA=0，EA2=1；當(dāng)；當(dāng)BU(0,2) 時(shí)，時(shí)，EB=1，EB2=4/3；又因；又因A、B獨(dú)立時(shí)，有獨(dú)立時(shí)，有 EAB=EAEB=0。故。故 ., 3/4),(, 1)( 212121 Tttt tttRt XX ,)()(BEAtEBAtEtXEt X 第25頁(yè)/共69頁(yè) 例例2 求求10.1例例2中隨機(jī)相位正弦波的均值函數(shù)、中隨機(jī)相位正弦波的均值函數(shù)、 方差函

30、數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 其他. , 0 ,20, 2 1 )( f , 0 2 1 )cos( )cos()()( 2 0 dwt tEtXEt X 由定義，得由定義，得 解解 由假設(shè)，知由假設(shè)，知的概率密度為的概率密度為 第26頁(yè)/共69頁(yè) ,cos 2 )cos()2cos( 4 2 1 )cos()cos( )cos()cos()()(),( 2 2 0 1221 2 2 0 21 2 21 2 2121 X dtttt dtt ttEtXtXEttR . 2 ),()(),( 2 2 ttRtttR XXX 2 X 自相關(guān)函數(shù)自相關(guān)函數(shù) 特別地，特別地，令令t1=t2=

31、t, 即得方差函數(shù)即得方差函數(shù) 其中其中 = t2- -t1。 第27頁(yè)/共69頁(yè) 例例3 設(shè)設(shè) X(t) = Acos t + Bsin t, tT= =(- -, +)，其，其 中中A, B相互獨(dú)立，且均是服從正態(tài)分布相互獨(dú)立，且均是服從正態(tài)分布N(0, 2) 的隨的隨 機(jī)變量，機(jī)變量， 是實(shí)常數(shù)。證明是實(shí)常數(shù)。證明: X(t)是正態(tài)過(guò)程，并求是正態(tài)過(guò)程，并求 其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。其均值函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。 解解 由題設(shè)，由題設(shè)，A, B是相互獨(dú)立的正態(tài)變量，所以是相互獨(dú)立的正態(tài)變量，所以(A, B) 是二維正態(tài)變量。對(duì)任意一組實(shí)數(shù)是二維正態(tài)變量。對(duì)任意一組實(shí)數(shù)t1, t2, , tnT

32、, X(ti)=Acosti+Bsinti, i=1, 2, , n 都是都是A, B的線(xiàn)性組合。于是，根據(jù)第四章的線(xiàn)性組合。于是，根據(jù)第四章4, n維正維正 態(tài)變量的性質(zhì)態(tài)變量的性質(zhì)3。 。, (X(t 1), X(t2), ,X(tn)是是n維維正態(tài)變正態(tài)變 量量。因?yàn)橐驗(yàn)閚, ti是任意的，由定義，是任意的，由定義，X(t)是正態(tài)過(guò)程。是正態(tài)過(guò)程。 第28頁(yè)/共69頁(yè) 另由題設(shè)，有另由題設(shè)，有E(A)=E(B)=E(AB)=0, E(A2)=E(B2)= 2. 由此，可算得由此，可算得X(t)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)的均值函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)(或自或自 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù))分別為：分別為：

33、X(t) = EAcost+Bsint=0, CX(t1,t2) = RX(t1,t2) = E(Acost1+Bsint1) (Acost2+Bsint2) = (cos t1 cos t2)E(A2)+(sin t1 sin t2)E(B2) + (cos t1 sin t2+ sin t1 cos t2)E(AB) = 2(cost1cost2+sint1sint2) = 2cos(t2- -t1). 第29頁(yè)/共69頁(yè) 10.2.3 二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征二維隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)和數(shù)字特征 實(shí)際問(wèn)題中，我們有時(shí)必須同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩實(shí)際問(wèn)題中，我們有時(shí)必須同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩 個(gè)以上

34、隨機(jī)過(guò)程及它們之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。例如：某個(gè)以上隨機(jī)過(guò)程及它們之間的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。例如：某 地在時(shí)段地在時(shí)段(0, t內(nèi)的最高溫度內(nèi)的最高溫度X(t)和最低溫度和最低溫度Y(t)都是都是 隨機(jī)過(guò)程，需研究它們的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。又如：輸入到隨機(jī)過(guò)程，需研究它們的統(tǒng)計(jì)聯(lián)系。又如：輸入到 一個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)和噪聲可都是隨機(jī)過(guò)程，這時(shí)，輸一個(gè)系統(tǒng)的信號(hào)和噪聲可都是隨機(jī)過(guò)程，這時(shí)，輸 出也是隨機(jī)過(guò)程。我們需要研究輸出與輸入之間的出也是隨機(jī)過(guò)程。我們需要研究輸出與輸入之間的 統(tǒng)計(jì)聯(lián)系等等。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，我們除了對(duì)各個(gè)隨統(tǒng)計(jì)聯(lián)系等等。對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題，我們除了對(duì)各個(gè)隨 機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征加以研究外，還必須將幾個(gè)隨機(jī)機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征

35、加以研究外，還必須將幾個(gè)隨機(jī) 過(guò)程作為整體研究其統(tǒng)計(jì)特征。過(guò)程作為整體研究其統(tǒng)計(jì)特征。 第30頁(yè)/共69頁(yè) 設(shè)設(shè) X(t), tT 和和Y(t), tT 是同一參數(shù)空間是同一參數(shù)空間 上的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)上的兩個(gè)不同的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)(X(t),Y(t), tT 是是 二維隨機(jī)過(guò)程。二維隨機(jī)過(guò)程。 設(shè)設(shè) (X(t),Y(t), tT 是二維隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì)是二維隨機(jī)過(guò)程，如果對(duì) 任意正整數(shù)任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組，任意數(shù)組 t1, t2, tn T， t1, t2, , tm T，稱(chēng)，稱(chēng)n+m 維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), X(tn), Y(t1), Y(t2),Y

36、(tm) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) F(x1, x2, xn; t1, t2, tn: y1, y2,ym ;t1, t2, , tm) 為隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)過(guò)程X(t)與與Y(t)的的n+m維聯(lián)合分布函數(shù)。維聯(lián)合分布函數(shù)。 第31頁(yè)/共69頁(yè) 如果對(duì)任意正整數(shù)如果對(duì)任意正整數(shù)n, m，任意數(shù)組，任意數(shù)組 t1, t2, tn T; t1, t2, , tm T，n維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量 (X(t1), X(t2), X(tn) 與與 m維隨機(jī)變量維隨機(jī)變量(Y(t1), Y(t2),Y(tm)相互獨(dú)相互獨(dú) 立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程立，則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X(t)和和 Y(t)是是相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的。 第32頁(yè)/共6

37、9頁(yè) 關(guān)于數(shù)字特征，除關(guān)于數(shù)字特征，除X(t), Y(t)的均值和自相關(guān)函的均值和自相關(guān)函 數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是數(shù)外，在應(yīng)用課題中感興趣的是X(t)和和Y(t)的二階混的二階混 合原點(diǎn)矩，記作合原點(diǎn)矩，記作 并稱(chēng)它為并稱(chēng)它為X(t)和和Y(t)的的互相關(guān)函數(shù)?；ハ嚓P(guān)函數(shù)。 類(lèi)似地，還有如下定義的類(lèi)似地，還有如下定義的X(t)和和Y(t)的的互協(xié)方差互協(xié)方差 函數(shù)函數(shù) 如果對(duì)任意的如果對(duì)任意的 t1, t2T，恒有，恒有 則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程則稱(chēng)隨機(jī)過(guò)程X(t)和和Y(t)是是不相關(guān)的不相關(guān)的。 (2.9) ,),()(),( 212121 TtttXtXEttRXY (2.10) ,),()(

38、),( )()()()(),( 212121 221121 T.ttttttR ttYttXEttC YXXY YXXY (2.11) , 0),( 21 ttCXY 第33頁(yè)/共69頁(yè) 由第四章由第四章3可推知，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果是相可推知，兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程如果是相 互獨(dú)立的互獨(dú)立的, 且它們的二階矩存在且它們的二階矩存在, 則它們必然不相則它們必然不相 關(guān)。反之關(guān)。反之, 從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨(dú)從不相關(guān)一般并不能推斷出它們相互獨(dú) 立。立。 當(dāng)同時(shí)考慮當(dāng)同時(shí)考慮 n(n2)個(gè)隨機(jī)過(guò)程或個(gè)隨機(jī)過(guò)程或 n維隨機(jī)過(guò)程維隨機(jī)過(guò)程 時(shí)時(shí), 我們可類(lèi)似地引入它們的多維分布，以及均值我們可類(lèi)似地引入

39、它們的多維分布，以及均值 函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù)函數(shù)和兩兩之間的互相關(guān)函數(shù) (或互協(xié)方差函數(shù)或互協(xié)方差函數(shù))。 第34頁(yè)/共69頁(yè) 在許多應(yīng)用問(wèn)題中，經(jīng)常要研究幾個(gè)隨機(jī)過(guò)程在許多應(yīng)用問(wèn)題中，經(jīng)常要研究幾個(gè)隨機(jī)過(guò)程 之和之和 (例如，將信號(hào)和噪聲同時(shí)輸入到一個(gè)線(xiàn)性系例如，將信號(hào)和噪聲同時(shí)輸入到一個(gè)線(xiàn)性系 統(tǒng)的情形統(tǒng)的情形) 的統(tǒng)計(jì)特征?，F(xiàn)考慮三個(gè)隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特征。現(xiàn)考慮三個(gè)隨機(jī)過(guò)程 X(t), Y(t)和和Z(t)之和的情形，令之和的情形，令 W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t). 顯然，均值函數(shù)顯然，均值函數(shù) 而而W(t)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運(yùn)算規(guī)則和相關(guān)的自相關(guān)函數(shù)可以根據(jù)均值運(yùn)

40、算規(guī)則和相關(guān) 函數(shù)的定義得到，函數(shù)的定義得到， ).()()()(tttt ZYXW ).,(),(),( ),(),(),( ),(),(),( )()(),( 212121 212121 212121 2121 ttRttRttR ttRttRttR ttRttRttR tWtWEttR XZXY WW ZZZYZX YZYYYX XX 第35頁(yè)/共69頁(yè) 此式表明：幾個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和的自相關(guān)函數(shù)可此式表明：幾個(gè)隨機(jī)過(guò)程之和的自相關(guān)函數(shù)可 以表示為各個(gè)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)以及各對(duì)隨機(jī)以表示為各個(gè)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)以及各對(duì)隨機(jī) 過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)之和。過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)之和。 如果上述三個(gè)隨機(jī)過(guò)

41、程是兩兩不相關(guān)的，且各如果上述三個(gè)隨機(jī)過(guò)程是兩兩不相關(guān)的，且各 自的均值函數(shù)都為零，則由自的均值函數(shù)都為零，則由(2.11)是可知諸互相關(guān)函是可知諸互相關(guān)函 數(shù)均等于零，此時(shí)數(shù)均等于零，此時(shí)W(t)的自相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)單地等于各的自相關(guān)函數(shù)簡(jiǎn)單地等于各 個(gè)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)之和，即個(gè)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)之和，即 特別地，令特別地，令t1=t2=t, 由由(2.12)式，得式，得W(t)的方差函數(shù)的方差函數(shù)( 此處即均方值函數(shù)此處即均方值函數(shù))為為 (2.12) ).,(),(),(),( 21212121 ZZYYXX ttRttRttRttRWW ).()()()()( 22222 ttttt ZYXW

42、W 第36頁(yè)/共69頁(yè) 10.3 泊松過(guò)程及維納過(guò)程泊松過(guò)程及維納過(guò)程 泊松泊松 (Poission) 過(guò)程及維納過(guò)程及維納 (Wiener) 過(guò)程是兩個(gè)過(guò)程是兩個(gè) 典型的隨機(jī)過(guò)程，在隨機(jī)過(guò)程理論和應(yīng)用中都占重典型的隨機(jī)過(guò)程，在隨機(jī)過(guò)程理論和應(yīng)用中都占重 要地位，都屬于要地位，都屬于獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程。下面首先介紹獨(dú)立。下面首先介紹獨(dú)立 增量過(guò)程。增量過(guò)程。 給定二階矩過(guò)程給定二階矩過(guò)程X(t), t 0, 稱(chēng)稱(chēng)X(t)- -X(s), 0st 為隨機(jī)過(guò)程在區(qū)間為隨機(jī)過(guò)程在區(qū)間(s, t上的增量。如果對(duì)任意正整數(shù)上的增量。如果對(duì)任意正整數(shù) n 和任意和任意 0t0 t1 t2 tn, n

43、個(gè)增量個(gè)增量 X(t1)- -X(t0), X(t2)- -X(t1), , X(tn)- -X(tn-1) 相互獨(dú)立，則稱(chēng)相互獨(dú)立，則稱(chēng)X(t), t 0為為獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程。 直觀地說(shuō)：直觀地說(shuō)： 就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增就是在互不重疊的區(qū)間上，狀態(tài)的增 量相互獨(dú)立。量相互獨(dú)立。 第37頁(yè)/共69頁(yè) 對(duì)于獨(dú)立增量過(guò)程，可以證明：在對(duì)于獨(dú)立增量過(guò)程，可以證明：在 X(0)=0 的條的條 件下件下, 過(guò)程的有限維分布函數(shù)族可以由增量過(guò)程的有限維分布函數(shù)族可以由增量 X(t)- -X(s) (0st)的分布所確定。的分布所確定。 特別地，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)特別地，若對(duì)任意的實(shí)數(shù) h

44、和和 0 s+ h t+ h, X(t + h)- -X(s + h) 與與 X(t)- -X(s) 具有相同的分布，則稱(chēng)具有相同的分布，則稱(chēng) 增量具有平穩(wěn)性。增量具有平穩(wěn)性。這時(shí)，增量這時(shí)，增量 X(t)- -X(s) 的分布函數(shù)的分布函數(shù) 實(shí)際上只依賴(lài)于時(shí)間差實(shí)際上只依賴(lài)于時(shí)間差 t - - s (0st)，而不依賴(lài)于，而不依賴(lài)于t和和 s 本身本身 (事實(shí)上，令事實(shí)上，令h=- -s即知即知)。 當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)，稱(chēng)相應(yīng)的獨(dú)立增量過(guò)程當(dāng)增量具有平穩(wěn)性時(shí)，稱(chēng)相應(yīng)的獨(dú)立增量過(guò)程 是是齊次的齊次的或或時(shí)齊的時(shí)齊的。 第38頁(yè)/共69頁(yè) 在在 X(0)=0 和方差函數(shù)和方差函數(shù) DX(t) 已

45、知條件下，可計(jì)算已知條件下，可計(jì)算 獨(dú)立增量過(guò)程獨(dú)立增量過(guò)程X(t), t 0的協(xié)方差函數(shù)的協(xié)方差函數(shù)CX(s, t)。 記記 Y(t)= X(t)- -X(t)。首先注意到：當(dāng)。首先注意到：當(dāng) X(t) 具有獨(dú)具有獨(dú) 立增量時(shí)立增量時(shí), Y(t)也具有獨(dú)立增量也具有獨(dú)立增量; 其次其次注意到注意到: Y(0)=0, EY(t)=0，且方差函數(shù)，且方差函數(shù) DY(t)= EY2(t)= DX(t)。利用。利用 這些性質(zhì)，當(dāng)這些性質(zhì)，當(dāng) 0st 時(shí)，就有時(shí)，就有 ).( )0()()()()0()( )0()()()()0()( )()(),( 2 sD YsYEsYtYEYsYE YsYsYt

46、YYsYE tYsYEtsC X X 故，對(duì)任意故，對(duì)任意s, t0，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。，協(xié)方差函數(shù)可用方差函數(shù)表示。 (3.1) ).,(min(),( tsDtsC XX 第39頁(yè)/共69頁(yè) 10.3.1 泊松過(guò)程泊松過(guò)程 考慮下列隨時(shí)間推移遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的事件：考慮下列隨時(shí)間推移遲早會(huì)重復(fù)出現(xiàn)的事件： (1). 自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽(yáng)極；自電子管陰極發(fā)射的電子到達(dá)陽(yáng)極； (2). 意外事故或意外差錯(cuò)的發(fā)生；意外事故或意外差錯(cuò)的發(fā)生； (3). 要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站。要求服務(wù)的顧客到達(dá)服務(wù)站。 此處此處“顧客顧客”與與“服務(wù)站服務(wù)站”的含義是相當(dāng)廣泛的含義是相當(dāng)廣泛 的

47、。如的。如: “顧客顧客”可以是電話(huà)的呼叫，可以是電話(huà)的呼叫， “服務(wù)站服務(wù)站” 是是120急救臺(tái)；急救臺(tái)； “顧客顧客”可以是聯(lián)網(wǎng)的個(gè)人電腦，可以是聯(lián)網(wǎng)的個(gè)人電腦， “服務(wù)站服務(wù)站”是某網(wǎng)站的主頁(yè)是某網(wǎng)站的主頁(yè); “顧客顧客”可以是等待可以是等待 起飛的飛機(jī)，起飛的飛機(jī)， “服務(wù)站服務(wù)站”是機(jī)場(chǎng)跑道是機(jī)場(chǎng)跑道等。等。 第40頁(yè)/共69頁(yè) 為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作為建立一般模型，我們把電子、顧客等看作 時(shí)間軸上的質(zhì)點(diǎn)，電子到達(dá)陽(yáng)極、顧客到達(dá)服務(wù)時(shí)間軸上的質(zhì)點(diǎn)，電子到達(dá)陽(yáng)極、顧客到達(dá)服務(wù) 站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)。于是，抽象地站等事件的發(fā)生相當(dāng)于質(zhì)點(diǎn)出現(xiàn)。于是，抽象地 說(shuō)，我們

48、研究的對(duì)象將是隨時(shí)間推移，陸續(xù)出現(xiàn)說(shuō)，我們研究的對(duì)象將是隨時(shí)間推移，陸續(xù)出現(xiàn) 在時(shí)間軸上的許多質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的隨機(jī)的質(zhì)點(diǎn)流。在時(shí)間軸上的許多質(zhì)點(diǎn)所構(gòu)成的隨機(jī)的質(zhì)點(diǎn)流。 以以N(t), t 0表示在時(shí)間間隔表示在時(shí)間間隔(0, t內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì) 點(diǎn)數(shù)。點(diǎn)數(shù)。N(t), t 0是一狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時(shí)間連是一狀態(tài)取非負(fù)整數(shù)、時(shí)間連 續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為續(xù)的隨機(jī)過(guò)程，稱(chēng)為計(jì)數(shù)過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程。 第41頁(yè)/共69頁(yè) 計(jì)數(shù)過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程的樣本函數(shù)如圖的樣本函數(shù)如圖10- -5所示，圖中所示，圖中t1, t2, 是質(zhì)點(diǎn)依次出現(xiàn)的時(shí)刻。是質(zhì)點(diǎn)依次出現(xiàn)的時(shí)刻。 圖圖10- -5 將增量將增量 N(t)- -N(t0)

49、 記成記成 N(t0, t), 0 t0 0 稱(chēng)為過(guò)程稱(chēng)為過(guò)程 N(t) 的強(qiáng)度，而的強(qiáng)度，而 當(dāng)當(dāng) 時(shí)是關(guān)于時(shí)是關(guān)于t的高階無(wú)窮小；的高階無(wú)窮?。?(3). 對(duì)于充分小的對(duì)于充分小的t, (4). N(0)=0。 (3.3) ),(1),(),( 1 tottttNPtttP )( t 0 t (3.4) , )(),(),( 22 jj j tjtttNPtttP 第43頁(yè)/共69頁(yè) 我們把滿(mǎn)足條件我們把滿(mǎn)足條件(1) (4)的計(jì)數(shù)過(guò)程的計(jì)數(shù)過(guò)程N(yùn)(t), t 0 稱(chēng)作稱(chēng)作強(qiáng)度為強(qiáng)度為 的泊松過(guò)程的泊松過(guò)程。相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流，即質(zhì)點(diǎn)。相應(yīng)的質(zhì)點(diǎn)流，即質(zhì)點(diǎn) 出現(xiàn)的隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的隨機(jī)時(shí)刻 t1,

50、t2, 稱(chēng)作稱(chēng)作強(qiáng)度為強(qiáng)度為 的泊松流的泊松流。 以下首先來(lái)求增量的分布律以下首先來(lái)求增量的分布律 (3.2)。對(duì)于泊松。對(duì)于泊松 過(guò)程，注意到過(guò)程，注意到 =1，結(jié)合條件，結(jié)合條件(2)和和(3)，有，有 (3.5) ).(1 ),(),(1),( 2 10 tt tttPtttPtttP k k 0 0 ),( k k ttP 第44頁(yè)/共69頁(yè) 下面就泊松過(guò)程來(lái)計(jì)算概率下面就泊松過(guò)程來(lái)計(jì)算概率(3.2)。 首先確定首先確定P0(t0, t)。為此，對(duì)。為此，對(duì)t 0，考慮，考慮 ，0),(0),( 0),(),( 0),(),( 0 0 00 ttt，NttNP tttNttNP ttt

51、NPtttP 0 由條件由條件(1)和和(3.5)式，上式可寫(xiě)成式，上式可寫(xiě)成 )(1),( 0),(0),(),( 0 0 ttttP tttNPttNPtttP 0 00 ).(),(),(),( 000 ttttPttPtttP 000 或 第45頁(yè)/共69頁(yè) 用用t 除上式兩邊，并令除上式兩邊，并令 ，即得，即得P0(t0, t)滿(mǎn)滿(mǎn) 足的微分方程足的微分方程 0 t (3.6) ).,( ),( 0 0 0 0 ttP dt ttdP 因?yàn)橐驗(yàn)镹(t0, t0)=0，故，故P0(t0, t0)=1。把它看作初始條。把它看作初始條 件即可從方程件即可從方程 (3.6) 解得解得 (3.

52、7) .,e),( 0 )( 0 0 0 ttttP tt ).(),(),(),( 000 ttttPttPtttP 000 或 第46頁(yè)/共69頁(yè) 再來(lái)計(jì)算再來(lái)計(jì)算Pk(t0, t), k1。根據(jù)并事件概率公式。根據(jù)并事件概率公式 和條件和條件(1)，有，有 .),(),( ),(),(),( 0 0 00 jkttNPjtttNP ktttNttNPktttNP k j 由由(3.2) (3.5)式，并注意到式，并注意到 , 2),(),(),(),( 22 0 kttttPttPtttP j j k j jkj 上式可表示成上式可表示成 . 1),(),()( ),()(1 ),(),

53、(),( 01 0 0 00 ktttPtt ttPtt ttPtttPtttP k k k j jkjk 第47頁(yè)/共69頁(yè) 將此式適當(dāng)整理后，兩邊除以將此式適當(dāng)整理后，兩邊除以t，并令，并令 ， 可得到可得到 Pk(t0, t) 滿(mǎn)足的滿(mǎn)足的微分微分- -差分方程差分方程 0 t (3.8) .),(),( ),( 00-1k0k 0k ttttPttP dt ttdP ， 又因又因 N(t0, t0) = 0，故有初始條件，故有初始條件 (3.9) . 10),( 00 kttP k ， . 1),(),()( ),()(1 ),(),(),( 01 0 0 00 ktttPtt ttP

54、tt ttPtttPtttP k k k j jkjk 在在(3.8)與與(3.9)中令中令k=1, 利用求出的利用求出的P0(t0, t), 可解出可解出 .)(),( )( 0001 0 ttettttP tt ， 第48頁(yè)/共69頁(yè) 如此重復(fù)，即逐次令如此重復(fù)，即逐次令 k=2, 3, ，就得到，就得到(t0, t 時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn)時(shí)間段內(nèi)出現(xiàn) k 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率為個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率為 (3.10)., 2, 1, 0, ! )( ),(),( )( 0 0 0 0k 0 ktte k tt kttNPttP tt k ， 由上式易見(jiàn)：增量由上式易見(jiàn)：增量 N(t0, t) = N(t) - - N

55、(t0)的概率分的概率分 布是參數(shù)為布是參數(shù)為 (t- -t0) 的泊松分布的泊松分布, 且只與時(shí)間差且只與時(shí)間差 t- -t0 有關(guān)。所以，強(qiáng)度為有關(guān)。所以，強(qiáng)度為 的的泊松分布是一齊次的獨(dú)立泊松分布是一齊次的獨(dú)立 增量過(guò)程。增量過(guò)程。 第49頁(yè)/共69頁(yè) 在一些文獻(xiàn)中，泊松過(guò)程也用另一種形式定義。在一些文獻(xiàn)中，泊松過(guò)程也用另一種形式定義。 若計(jì)數(shù)過(guò)程若計(jì)數(shù)過(guò)程 N(t), t 0 滿(mǎn)足下列三個(gè)條件：滿(mǎn)足下列三個(gè)條件： . .過(guò)程過(guò)程是獨(dú)立增量過(guò)程；是獨(dú)立增量過(guò)程； . .對(duì)任意對(duì)任意 t t00，N(t)- -N(t0) 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 (t -t0) 的的 泊松分布泊松分布; .

56、N(0)=0, 則稱(chēng)則稱(chēng)N(t), t 0是強(qiáng)度為是強(qiáng)度為 的泊松過(guò)程。的泊松過(guò)程。 從前面的推導(dǎo)不難看到：從條件從前面的推導(dǎo)不難看到：從條件(1)(4)可推出可推出 。反之。反之, 在在中令中令 t- -t0= t，并利用并利用e- t的泰勒 的泰勒 展開(kāi)式，就能得到條件展開(kāi)式，就能得到條件(2)、(3)。由此可知：定義泊。由此可知：定義泊 松過(guò)程的兩組條件是等價(jià)的。松過(guò)程的兩組條件是等價(jià)的。 第50頁(yè)/共69頁(yè) 由由(3.10)式，式， t t00，可知，可知 ).()()()()( 000 tttNtNDtNtNE 特別地，令特別地，令t0=0，由于假設(shè)，由于假設(shè)N(0)=0，可推出泊松

57、過(guò)，可推出泊松過(guò) 程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為 (3.11) .)()( ttDttNE N ， 從從(3.11)可看到可看到: =EN(t)/t，即泊松過(guò)程的強(qiáng)度，即泊松過(guò)程的強(qiáng)度 ( 常數(shù)常數(shù))等于單位時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的期望值。等于單位時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)的期望值。 第51頁(yè)/共69頁(yè) 泊松過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)，則可由泊松過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)，則可由(3.1), (3.11) 式直接推得：式直接推得： . 0,),min(),(tststsC N . 0,),min()()(),( 2 tstssttNsNEtsRN 相關(guān)函數(shù)相關(guān)函數(shù) 第52頁(yè)/共69頁(yè) 若條件

58、若條件(3.3)式中的強(qiáng)度為非均勻的，即式中的強(qiáng)度為非均勻的，即 是是 時(shí)間時(shí)間 t 的函數(shù)的函數(shù) = (t), t0。則稱(chēng)泊松過(guò)程為非齊。則稱(chēng)泊松過(guò)程為非齊 次的。對(duì)于非齊次泊松過(guò)程，用類(lèi)似的方法，可次的。對(duì)于非齊次泊松過(guò)程，用類(lèi)似的方法，可 得得 .)(1)(),( ;)()( ;, 2, 1, 0, 0 , ! )( )()( ),min( 0 ),min( 0 0 0 )( 0 0 0 ddtsR dtNE ktt k ed ktNtNP tsts N t d k t t t t 下面介紹與泊松過(guò)程有關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量，下面介紹與泊松過(guò)程有關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量， 即等待時(shí)間和點(diǎn)間間距，以及它

59、們的概率分布。即等待時(shí)間和點(diǎn)間間距，以及它們的概率分布。 第53頁(yè)/共69頁(yè) 在一些實(shí)際問(wèn)題中，在一些實(shí)際問(wèn)題中，觀察觀察質(zhì)點(diǎn)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)時(shí)，通常通常不是對(duì)不是對(duì) 時(shí)間間隔時(shí)間間隔 (t1, t2 內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù)內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)數(shù), 而是對(duì)達(dá)到而是對(duì)達(dá)到 一定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí)。一定數(shù)量的質(zhì)點(diǎn)所需要的時(shí)間進(jìn)行計(jì)時(shí)。 例如：例如： 為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對(duì)它發(fā)射出來(lái)為研究含某放射性元素的物質(zhì)，常對(duì)它發(fā)射出來(lái) 的粒子作如下計(jì)時(shí)試驗(yàn)。的粒子作如下計(jì)時(shí)試驗(yàn)。 設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn)(或事件或事件)依次重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)刻依次重復(fù)出現(xiàn)的時(shí)刻 t1, t2, tn, 是一強(qiáng)度為是一強(qiáng)度為 的泊松流，的泊松流，