吉林省長春市北京師范大學(xué)長春附屬學(xué)校2020―2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題（含答案）

1、吉林省長春市北京師范大學(xué)長春附屬學(xué)校2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期第一次月考試題考試時間：90分鐘 滿分：120分 2021年4月2日一、單選題1如果，的方差為2，則的方差為（ ）A2B4C8D162下列關(guān)于命題的說法中正確的是（ ） 對于命題P：，使得，則，均有 “”是“”的充分不必要條件 命題“若，則”的逆否命題是“若，則” 若為假命題，則均為假命題A B C D 3為了評價某個電視欄目的改革效果，在改革前后分別從居民點抽取了100位居民進行調(diào)查，經(jīng)過計算K20.99，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下列說法正確的是( )A有99%的人認為該欄目優(yōu)秀B有99%的人認為該欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系C在

2、犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系D沒有理由認為電視欄目是否優(yōu)秀與改革有關(guān)系附：P(K2k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.8284下列問題中，最適合用簡單隨機方法抽樣的是()A某學(xué)校有學(xué)生1320人，為了了解學(xué)生身體發(fā)育情況，準備從中抽取一個容量為300的樣本B從全班30名學(xué)生中，任意選取5名進行家訪C為了準備省政協(xié)會議，某政協(xié)委員計劃從1135個村莊中抽取50個進行收入調(diào)查D為了解某地區(qū)癌癥的發(fā)病情況，從該地區(qū)的5000人中抽取200人進行統(tǒng)計510名同學(xué)參加投籃比賽，每人投20球，投中的次數(shù)

3、用莖葉圖表示（如圖），設(shè)其平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則有（ ）ABCD6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（ ）ABCD67一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔數(shù)而得名，塔群隨山勢鑿石分階而建，由下而上逐層增高，依山勢自上而下各層的塔數(shù)分別為1，3，3，5，5，7，若該數(shù)列從第5項開始成等差數(shù)列，則該塔群共有（ ）A12層B13層C14層D15層8在極坐標系中，點到直線的距離為（ ）A5B1C2D39對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量和，測得一組數(shù)據(jù)如下表：若已求得它們的回歸直線方程的斜率為，則這條回歸直線

4、的方程為（ ）245683040605070Ay=6.5x+17By=6.5x+18Cy=6.5x+27.5Dy=6.5x+17.5 10我國是世界上嚴重缺水的國家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對居民用水情況進行了調(diào)查，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照，分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.則估計全市居民月均用水量的中位數(shù)是（ ）A2.25噸B2.24噸C2.06噸D2.04噸11已知三棱錐的所有頂點都在球O的球面上，且平面，則球O的表面積為（ ）ABCD12雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖，從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過

5、左焦點我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖，其方程為為其左右焦點，若從右焦點發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點和點反射后，滿足，則該雙曲線的離心率為（ ）ABCD二、填空題13若實數(shù)滿足約束條件x+y1xy1x0，則的最大值是_14秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學(xué)家，普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進的算法.已知一個次多項式為，用秦九韶算法求這個多項式當時的值為_.15如圖，在矩形ABCD中，AB，BC2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若，則的值是_16在三角形ABC中，角A

6、，B，C的對邊為a，b，c，且，則三角形ABC面積的最大值為_三、解答題17設(shè)命題實數(shù)滿足，；命題實數(shù)滿足.（1）若，均為真命題，求的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.18為響應(yīng)習(xí)近平總書記在黨的十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，某市旅游局籌劃共投入4千萬元，對全市各旅游景區(qū)的環(huán)境進行綜合治理，并且對各旅游景區(qū)收益的增加值作了初步的估計，根據(jù)旅游局的治理規(guī)劃方案，針對各旅游景區(qū)在治理后收益的增加值繪制出如圖所示頻率分布直方圖，由于操作失誤，橫軸的數(shù)據(jù)丟失，但可以確定橫軸是從0開始計數(shù)的.（1）旅游局在投入4千萬元的治理經(jīng)費下，估計全市旅游景區(qū)收益增加值的平

7、均數(shù)為多少萬元(以各組的區(qū)間中點值代表該組的取值)；（2）若旅游局投入不同數(shù)額的經(jīng)費，按照以上的研究方法，得到以下數(shù)據(jù)：投入的治理經(jīng)費x(單位：千萬元)1234567收益的增加值y(單位：萬元)232779將第（1）問結(jié)果填入表格后，數(shù)據(jù)顯示x與y之間存在線性相關(guān)關(guān)系.在優(yōu)化環(huán)境的同時，旅游局還謀劃使全市旅游景區(qū)收益的總額至少增加10萬元，試估計在此目標下，旅游局應(yīng)該對全市旅游景區(qū)至少投入多少千萬元的治理經(jīng)費？(答案精確到0.01).參考公式：回歸直線方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為19如圖，四棱錐中，四邊形是邊長為的正方形，為等邊三角形，分別為和的中點，且.（1）證明:平面;（2）

8、（文科）求三棱錐CPBD的體積。（理科）求二面角EBDA余弦值的大小.20已知橢圓的左右焦點分別為，離心率為，過橢圓右焦點的直線交橢圓于兩點，的周長為為坐標原點，（1）求橢圓的方程；（2）求面積AOB的最大值答案1C【分析】設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，利用方差的定義，進行整體代換即可.【詳解】設(shè)原數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則原數(shù)據(jù)的方差為，新數(shù)據(jù)的方差為故選：C.2A【分析】由特稱命題的否定為全稱命題，即可判斷；運用充分必要條件的定義，即可判斷；由原命題若則的逆否命題為若非則非，即可判斷；由為假命題，可得，中至少一個為假命題，即可判斷【詳解】對于命題，使得，則均有，故正確

9、；由“”可推得“”，反之由“”可能推出，則“”是“”的充分不必要條件，故正確；命題“若，則”的逆否命題是“若，則”，故正確；若為假命題，則，至少有一個為假命題，故錯誤則正確的命題的有故選：A3D4B5D【分析】根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，分別求出的值即可.【詳解】根據(jù)莖葉圖得：，中位數(shù)，眾數(shù).所以.故選：D【點睛】本題主要考查莖葉圖，同時考查了平均數(shù)，中位數(shù)和眾數(shù)的求法，屬于簡單題.6B【詳解】第一次循環(huán)，；第二次循環(huán)，；以此類推得第七次循環(huán)，；結(jié)束循環(huán)輸出，選B.點睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件

10、、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項.7A【分析】利用已知條件將每一層有的塔的數(shù)目設(shè)為，依題意可知，成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式以及前項和公式即可得出結(jié)論.【詳解】設(shè)該數(shù)列為，依題意可知，成等差數(shù)列，且公差為2，設(shè)塔群共有層，則，解得，所以該塔共有12層，故選：A8C【分析】將點的極坐標化為直角坐標，將直線的極坐標方程化為直角坐標方程，由點到直線的距離公式可得結(jié)果.【詳解】設(shè)點的直角坐標為，則，所以，由得，即，將代入得，即直線的直角坐標方程為，所以點到直線的距離為.所以在極坐標系中，點到直線的距離為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：將極坐標化為直

11、角坐標是解題關(guān)鍵.9D【分析】先求得樣本中心，然后由回歸直線方程過樣本中心求解.【詳解】因為,所以樣本中心為：，設(shè)回歸直線方程為,又直線過樣本中心，解得,所以這條回歸直線方程為故選：D10D【分析】利用中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的求解即可.【詳解】由頻率分布直方圖可知，月用水量在的頻率為.同理，在，等組的頻率分布為，.由，解得，設(shè)中位數(shù)為噸.因為前5組的頻率之和為，前4組的頻率之和為，所以.由，解得.故選：D【點睛】利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)時，應(yīng)注意三點：最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數(shù)；中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；平均數(shù)是頻率分布直方圖的“

12、重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和.11A【分析】根據(jù)平面BCD，得到，再由，得到，則三棱錐截取于一個長方體，然后由長方體的外接球即為三棱錐的外接球求解.【詳解】因為平面BCD，所以，在中，.如圖所示：三棱錐的外接球即為長方體AGFH-BCED的外接球，設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以球O的表面積為，故選：A.12C【分析】連接，已知條件為，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則，由得，又，所以，則，所以，由得，因為，

13、故解得，則，在中，即，所以故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是求出的關(guān)系，解題方法是利用雙曲線的性質(zhì)及已知條件得出的性質(zhì)，從而在這個三角形中把結(jié)合雙曲線定義用表示，然后再用勾股定理求得出的關(guān)系式133【分析】作出可行域，作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，平移該直線可得最優(yōu)解【詳解】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，由得，直線向下平移時，縱截距減小，增大，所以平移直線，當直線過點時，故答案為：3【點睛】方法點睛：本題考查簡單的線性規(guī)劃，解題方法是作出可行域，作出目標函數(shù)對應(yīng)的直線，函數(shù)方程變形觀察與直線截距的關(guān)系可得最值在哪個點取得，從而求得結(jié)論14【分析】根據(jù)秦九韶算法

14、的計算過程可得時的值.【詳解】根據(jù)秦九韶算法可知：，.故答案為：24.15【分析】根據(jù)矩形的垂直關(guān)系和長度關(guān)系，先利用平面向量加法的運算律求解，再利用運算律轉(zhuǎn)化求即可.【詳解】，, ,，故答案為：.16 317（1）；（2）.【分析】解一元二次不等式求出，均為真命題時的取值范圍.（1）將代入，根據(jù)交集運算求解即可；（2）根據(jù)題意，是的充分不必要條件，只需，解不等式即可求解.【詳解】解：由題意得，當為真命題時，；當為真命題時，（1）若時，若，均為真命題，則解得，所以的取值范圍為.（2）若是的充分不必要條件，則得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法：（1）解決此類問題

15、一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解；（2）求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象.18（1）(萬元)；（2）旅游局對全市旅游景區(qū)至少投入8.12千萬元的治理經(jīng)費.【分析】（1）根據(jù)小長方形面積總和為1可列式求得組距，然后列出式子可求出平均數(shù)；（2）根據(jù)公式分別求出，即可根據(jù)公式求出回歸方程，將代入可求.【詳解】（1）設(shè)各小長方形的寬度為，由頻率分布直方圖中各小長方形面積總和為1可得，解得各

16、小組依次是0，2)，2，4)，4，6)，6，8)，8，10)，10，12，其中點分別是1，3，5，7，9，11，對應(yīng)的頻率分別為，故估計全市家庭年均用氣量為(萬元（2）空白欄中填5.由題意可知，根據(jù)公式可求得，所以回歸直線方程為，當時，解得，即旅游局對全市旅游景區(qū)至少投入8.12千萬元的治理經(jīng)費.19（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）連接，分別證得和，利用線面垂直的判定，即可求解.（2）利用等積法，即可求解.【詳解】（1）如圖所示，連接，由是邊長為的正方形，因為是的中點，可得的中點，在中，因為分別是的中點，可得，又因為，所以，又由，且，所以平面.（2）如圖所示，取中點，連接，因為是邊長為的等邊三角形，所以且，由（1）知平面平面，所以平面，可得，連接，則，所以，又，又，所以,設(shè)點到平面的距離為，則，即，解得.20（1）；（2）（3）77【