數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法(已打)

1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請指正。數(shù)列求通項公式的常見題型與解題方法數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)高考對本章的考查比較全面，等差數(shù)列，等比數(shù)列的考查每年都不會遺漏有關(guān)數(shù)列的試題經(jīng)常是綜合題，經(jīng)常把數(shù)列知識和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數(shù)列、等比數(shù)列，求極限和數(shù)學(xué)歸納法綜合在一起探索性問題是高考的熱點，常在數(shù)列解答題中出現(xiàn)本章中還蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想，在主觀題中著重考查函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數(shù)法等基本數(shù)學(xué)方法數(shù)列這一章的主要章節(jié)結(jié)構(gòu)為：近幾年來，高考關(guān)于數(shù)列方面的命題主要有以下三個方面：（

2、1）數(shù)列本身的有關(guān)知識，其中有等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項公式及求和公式（2）數(shù)列與其它知識的結(jié)合，其中有數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式、三角、幾何的結(jié)合（3）數(shù)列的應(yīng)用問題，其中主要是以增長率問題為主試題的難度有三個層次，小題大都以基礎(chǔ)題為主，解答題大都以基礎(chǔ)題和中檔題為主，只有個別地方用數(shù)列與幾何的綜合與函數(shù)、不等式的綜合作為最后一題難度較大我僅對數(shù)列求通項公式這一部分內(nèi)容做一個淺顯的分析與提煉題型1 已知數(shù)列前幾項求通項公式在我們的教材中，有這樣的題目：1 數(shù)列的通項2數(shù)列的通項3數(shù)列的通項此題主要通過學(xué)生觀察、試驗、合情推理等活動，且在此基礎(chǔ)上進一步通過比較、分析、概括、證明去揭示事

3、物的本質(zhì)，從而培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力相對于填空題或是選擇題只需利用不完全歸納法進行猜想即可；對于解答題，往往還需要我們進一步加以證明例如（2003年全國高考）已知數(shù)列滿足()求：；()證明：分析：問題（）主要滲透一般化特殊化，利用已知的遞推公式求具體問題（）與問題（）緊密相連，可以從特殊入手，歸納論證相結(jié)合，求一般當(dāng)然還可用后面介紹的方法即注意到進行，由特殊化歸為等比數(shù)列等加以證明本題貫穿特殊化與一般化的思維方法，實質(zhì)上是歸納中的綜合課堂中我們還可以設(shè)計如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能例1.寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：例2.觀察下面數(shù)列的特點，寫出每個數(shù)列的一個通

4、項公式：練習(xí):寫出下面數(shù)列的一個通項公式：練習(xí)在某報自測健康狀況的報道中，自測血壓結(jié)果與相應(yīng)年齡的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 觀察表中數(shù)據(jù)的特點，用適當(dāng)?shù)臄?shù)填入表中空白（ ）內(nèi)年齡（歲）30 35 40 45 50 55 60 65收縮壓（水銀柱 毫米）110 115 120 125 130 135 （140）145舒張壓（水銀柱 毫米）70 73 75 78 80 83 （ 85）88。練習(xí)根據(jù)下列5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)的變化規(guī)律，猜測第個圖中有_n2-n+1_個點（1） （2） （3） （4） （5）相關(guān)的高考試題有：（2004年全國卷）已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)

5、an1(n2)，則an的通項 分析：由已知，由 生成兩式相減得：，即為商型的，用累乘法可得即（2006年廣東卷）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商店櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第堆最底層（第一層）分別按圖4所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第堆第層就放一個乒乓球，以表示第堆的乒乓球總數(shù)，則；（答案用表示）. 題型2 由an與Sn的關(guān)系求通項公式在我們的教材中，有這樣的題目： 已知數(shù)列的前項和，則 n 已知數(shù)列的前項和，則 這類題目主要注意與之間關(guān)系的轉(zhuǎn)化即：= =一般已知條件中含an與Sn的關(guān)系的數(shù)列題

6、均可考慮用上述公式例如：（04年浙江）設(shè)數(shù)列an的前項的和Sn=（an-1） (n)()求a1；a2； ()求證數(shù)列an為等比數(shù)列解: ()由,得 又,即,得. ()當(dāng)n1時, 得所以是首項,公比為的等比數(shù)列課堂中我們還可以設(shè)計如下例題及練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生這方面的技能例3.數(shù)列an的前n項和 Sn=32n-3,求數(shù)列的通項公式.練習(xí)1：設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n2+3n+2，求通項an的表達式，并指出此數(shù)列是否為等差數(shù)列. 練習(xí)2：已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a12，且nan+1=Sn+n(n+1)，求an相關(guān)的高考試題有：(2004全國卷)已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足：Sn=2an +

7、(-1)n,n1（）寫出求數(shù)列an的前3項a1,a2,a3；（）求數(shù)列an的通項公式；（）證明：對任意的整數(shù)m4，有.解：當(dāng)n=1時,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當(dāng)n=2時,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0；當(dāng)n=3時,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡得：上式可化為：故數(shù)列是以為首項, 公比為2的等比數(shù)列.故 數(shù)列的通項公式為：.由已知得：.故( m4).（2006年湖北卷）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)，是數(shù)

8、列的前n項和，求使得對所有都成立的最小正整數(shù)m點評：本小題考查二次函數(shù)、等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題的能力和推理能力解：（）設(shè)這二次函數(shù)f(x)ax2+bx (a0) ,則 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2, 所以 f(x)3x22x.又因為點均在函數(shù)的圖像上，所以3n22n.當(dāng)n2時，anSnSn1（3n22n）6n5.當(dāng)n1時，a1S13122615，所以，an6n5 （）.（2006年安徽卷）數(shù)列的前項和為，已知（）寫出與的遞推關(guān)系式，并求關(guān)于的表達式；（）設(shè)，求數(shù)列的前項和解：由得：，即，所以，對成立由，相加得：，又

9、，所以，當(dāng)時，也成立（）由，得而，題型3 已知數(shù)列遞推公式求通項公式在我們的教材中，還有這樣的類型題：1 已知數(shù)列的首項，且，則 3n-2 2已知數(shù)列的首項，且，則 3已知數(shù)列的，且，則 1 4 已知數(shù)列的，且,則 n 這類問題是通過題目中給定的初始值和遞推公式，在熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生的一系列變式我們應(yīng)清楚的意識到：1證明數(shù)列是等差或等比數(shù)列常用定義，即通過證明 或而得2在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時，“基本量法”是常用的方法，但有時靈活地運用性質(zhì)，可使運算簡便，而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列求解3.等差數(shù)列、等比數(shù)列求通項公式涉及的迭代、

10、累加、累乘、構(gòu)造等方法我們具體進行如下分析：一、由等差，等比演化而來的“差型”，“商型”遞推關(guān)系題組一：數(shù)列中，求的通項公式 變式1：數(shù)列中，求的通項公式 變式2：數(shù)列中，求的通項公式 變式3：已知數(shù)列滿足，求變式4：數(shù)列中，求的通項公式 分析：等差數(shù)列：生成：，累加： =由此推廣成差型遞推關(guān)系：累加：= ，于是只要可以求和就行題組二、已知數(shù)列的首項，且，則 變式1：已知數(shù)列的首項，且，則 變式2：數(shù)列中，求的通項公式變式3：數(shù)列是首項為1的正項數(shù)列，且，求的通項公式分析：等比數(shù)列：生成：，累乘：=由此推廣成商型遞推關(guān)系：累乘：為了提高，我們還可以引用下列例題：例1、 若數(shù)列滿足：求證：； 是

11、偶數(shù) 證明：由已知可得：又=而=所以，而為偶數(shù)例2、已知數(shù)列，且, 其中k=1,2,3,.（I） 求；（II）求 an的通項公式. 解（）（略） (II) 所以 ，為差型 故=所以an的通項公式為：當(dāng)n為奇數(shù)時，；當(dāng)n為偶數(shù)時， 二由差型，商型類比出來的和型，積型：即例如：數(shù)列中相鄰兩項，是方程的兩根，已知，求的值 分析：由題意：+生成： +：所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項成等差，所有的偶數(shù)項也成等差其基本思路是，生成，相減；與“差型”的生成，相加的思路剛好相呼應(yīng)到這里本題的解決就不在話下了特別的，若+，則即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項均相等，所有的偶數(shù)項也相等若 則 ：所以該數(shù)列的所有的奇數(shù)項成等比，所有

12、的偶數(shù)項也成等比其基本思路是，生成，相除；與“商型”的生成，相乘的思路剛好相呼應(yīng)特別地，若，則即該數(shù)列的所有的奇數(shù)項均相等，所有的偶數(shù)項也相等三可以一次變形后轉(zhuǎn)化為差型，商型的1例如：設(shè)是常數(shù)，且，（）證明：分析：這道題目是證明型的，最簡單的方法當(dāng)然要數(shù)數(shù)學(xué)歸納法，現(xiàn)在我們考慮用推導(dǎo)的方法來處理的三種方法：方法（1）：構(gòu)造公比為2的等比數(shù)列，用待定系數(shù)法可知方法（2）：構(gòu)造差型數(shù)列，即兩邊同時除以 得：，從而可以用累加的方法處理方法（3）：直接用迭代的方法處理：說明：當(dāng)時，上述三種方法都可以用；當(dāng)時，若用方法1，構(gòu)造的等比數(shù)列應(yīng)該是 而用其他兩種方法做則都比較難用迭代法關(guān)鍵是找出規(guī)律，除含外的

13、其它式子，常常是一個等比數(shù)列的求和問題2型例如：已知，首項為，求（2003年江蘇卷22題改編）方法1：兩端取常用對數(shù)，得，令，則，轉(zhuǎn)化如上面類型的特別的，a=1，則轉(zhuǎn)化為一個等比數(shù)列方法2：直接用迭代法：四型的利用轉(zhuǎn)化為型，或型即混合型的轉(zhuǎn)化為純粹型的例如： 已知數(shù)列的前n項和Sn滿足()寫出數(shù)列的前3項 ()求數(shù)列的通項公式分析：-由得-由得，得-由得，得 -用代得 -：即- -又如：數(shù)列的前n項和記為，已知證明：數(shù)列是等比數(shù)列方法1 整理得 所以 故是以2為公比的等比數(shù)列.方法2：事實上，我們也可以轉(zhuǎn)化為，為一個商型的遞推關(guān)系，由=當(dāng)然，還有一些轉(zhuǎn)化的方法和技巧，如基本的式的變換，象因式分

14、解，取倒數(shù)等還是要求掌握的生成與迭代是遞推關(guān)系的最重要特征遞推關(guān)系一般說來，是對任意自然數(shù)或大于等于2的自然數(shù)總成立的一個等式，自然數(shù)n可以取1，2，3n，n+1等等，這樣就可以衍生出很多的等式這就是所謂的生成性對于生成出來的等式，我們往往選一些有用的進行處理比如相加，相減，相乘，相除等，但用的最多的還是由后往前一次又一次的代入，直到已知項這種方法就叫迭代上面的很多例題都可以體現(xiàn)這一點這種很樸素的思想，對于相關(guān)的其他數(shù)列問題也是非常有效的這類的高考試題也比比皆是，如：（2004年全國卷）已知數(shù)列an，滿足a1=1，an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項 分析：由已知，

15、;由 生成兩式相減得，即為商型的，用累乘法可得;即2.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，()設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；()設(shè)數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （）求數(shù)列的通項公式及前項和分析：由于b和c中的項都和a中的項有關(guān)，a中又有S=4a+2，可由S-S作切入點探索解題的途徑解：(1)由S=4a，S=4a+2，兩式相減，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根據(jù)b的構(gòu)造，如何把該式表示成b與b的關(guān)系是證明的關(guān)鍵，注意加強恒等變形能力的訓(xùn)練)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，數(shù)列b是首項為

16、3，公比為2的等比數(shù)列，故b=32當(dāng)n2時，S=4a+2=2(3n-4)+2；當(dāng)n=1時，S=a=1也適合上式綜上可知，所求的求和公式為S=2(3n-4)+2說明：1本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差，等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前項和解決本題的關(guān)鍵在于由條件得出遞推公式2解綜合題要總攬全局，尤其要注意上一問的結(jié)論可作為下面論證的已知條件，在后面求解的過程中適時應(yīng)用3.（04年重慶）設(shè)a1=1,a2=,an+2=an+1-an (n=1,2,-),令bn=an+1-an (n=1,2-)()求數(shù)列bn的通項公式；()求數(shù)列nan的前n項的和解：（I）因故bn是公比為的等比數(shù)列，且

17、（II）由注意到可得記數(shù)列的前n項和為Tn，則4.（04年全國）已知數(shù)列an中，a1=1，a2k=a2k-1+(-1)K,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3，（I）求a3,a5； （II）求an的通項公式解：（I）a2=a1+(1)1=0, a3=a2+31=3.a4=a3+(1)2=4 a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1) =

18、(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1, 于是a2k+1=a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1. an的通項公式為： 當(dāng)n為奇數(shù)時，an= 當(dāng)n為偶數(shù)時，5.（2004年全國）已知數(shù)列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通項公式 6.(2004年天津理)已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件： ，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)（I）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的通項公式；（）當(dāng)時，求7.(2006年重慶卷)在數(shù)列an中，若a1=1,an+1=2an+3 (n1),則該數(shù)列的通項an=_解析：在數(shù)列中，若， ，即是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以該數(shù)列的通項