小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下學(xué)期思維訓(xùn)練卷

1、第一講 最不利原則例 1. 盒子里有 5 支紅筆， 3 支藍(lán)筆， 10 支黑筆?，F(xiàn)在隨意抓一把筆要確保其中至少有1 支紅筆，則一把必須不少于幾支？分析： 抓得巧， 只要抓 1 支即可。 然而并不能保證實(shí)現(xiàn)這種情況。最不利的情況是抓了 13 支，都是不想要的黑筆與藍(lán)筆。不過，只要 再多抓 1 支就必定包含紅的了。解：10 + 3+1 = 14 （支）例 2. 一列 2 個小方格，每個方格中隨意涂紅黑兩種顏色中的一種， 當(dāng)涂畢第幾列時， 至少有 2 列是相同的？ （有一列與另一列重復(fù)）分析： 不妨這樣想： 要實(shí)現(xiàn)兩列所用顏色一樣， 涂的順序也相同。然而， 由于是任意選的， 據(jù)最不利原則總是先考慮已

2、涂各列沒有重復(fù)的。如：紅紅黑黑八、八、紅黑黑紅 八、八、實(shí)際上各不相同的列數(shù)總共只有4 列。 到第 5 列就必定重復(fù)前面涂過的 4種中的某一種。 如果并非遇到最不利情況， 那么在前 5 列中重復(fù)的列數(shù)就不止2 列。這與“至少 2 列”并不矛盾。解：4+1=5 （列）練習(xí)一1. 盒子里有 3支紅筆， 6支藍(lán)筆， 10支黑筆。 現(xiàn)在隨意抓一把筆要確保其中至少有1 支紅筆，則一把必須不少于幾支？2. 魚池中有 30條白鱗魚， 50條黑鱗魚， 50條金鱗魚。 至少在多 少名釣魚者中才可保證他們一次釣出的魚中，必有金鱗魚？3. 在一個口袋中有10 個黑球、 6 個白球、 4 個紅球。問：至少從中取出多少

3、個球，才能保證其中有白球？4. 口袋中有三種顏色的筷子各10 根，問：至少取多少根才能保證三種顏色都取到？5. 在三個口袋中各有10 個黑球、 10 個白球、 10 個紅球。問：至少從中取出多少個球，才能保證其中有白球？第二講 抽屜原理專題簡析：如果給你 5 盒餅干， 讓你把它們放到 4 個抽屜里， 那么可以肯定有一個抽屜里至少有2 盒餅干。 如果把 4 封信投到 3 個郵箱中， 那么可以肯定有一個郵箱中至少有2 封信。 如果把 3 本聯(lián)練習(xí)冊分給兩位同學(xué)， 那么可以肯定其中有一位同學(xué)至少分到 2 本練習(xí)冊。 這些簡單內(nèi)的例子就是數(shù)學(xué)中的“抽屜原理” ?；镜某閷显碛袃蓷l：(1)如果把x+k

4、 (k1)個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有2 個或 2 個以上的元素。 ( 2)如果把mxxk (xk1)個元素放到x個抽屜里，那么至少有一個抽屜里含有m 1 個或更多個元素。例 . 某校六年級有學(xué)生367 人，請問有沒有兩個學(xué)生的生日是同一天？為什么？分析與解： 把一年中的天數(shù)看成是抽屜， 把學(xué)生人數(shù)看成是元素。把 367個元素放到 366個抽屜中， 至少有一個抽屜中有2 個元素， 即至少有兩個學(xué)生的生日是同一天。平年一年有365 天，閏年一年有366 天。把天數(shù)看做抽屜，共366 個抽屜。把367個人分別放入 366個抽屜中，至少在一個抽屜里有兩個人，因此，肯定有兩個學(xué)生的生

5、日是同一天。練習(xí)二1. 某校有 370名 2002年出生的學(xué)生，其中至少有幾個學(xué)生的生日是同一天？2. 某校有 30 名學(xué)生是 2 月份出生的，至少有幾個學(xué)生生日是在同一天？3.15 個小朋友中，至少有幾個小朋友在同一個月出生？4. 小明家有 5 口人， 小明媽媽至少要買幾個蘋果分給大家， 才能 保證至少有一人能得兩個蘋果？第三講 巧算 24 點(diǎn)同學(xué)們， 看過王小丫主持的“開心辭典”節(jié)目嗎？我記得上臺答題者有 3 道必做題， 其中有一道有關(guān)數(shù)學(xué)的是： 用四個數(shù)， 通過加減乘除計算出 24?！扒伤?4 點(diǎn)”是一種數(shù)學(xué)游戲，正如象棋、圍棋一樣是人們喜聞樂見的娛樂活動。 它對于培養(yǎng)我們快捷的心算能力

6、和反應(yīng)能力很有幫助。相信你會很快喜歡上它的！假如， 你手中就只有兩張牌要算出 24， 你希望是哪兩張？ 3 和 8 ， 4和 6， 12和2， 11和 13。1 .利用 3x8=24、4x6= 24 求解?，F(xiàn)在我們有四張牌， 該怎么辦呢？把牌面上的四個數(shù)想辦法湊成3和8、4和6,再相乘求解。如3、3、6、10可組成(10 6 + 3)= 24等。又如2、3、3、7可組成(7+ (3 2) x 3=24等。實(shí)踐證明， 這種方法是利用率最大、命中率最高的一種方法。2 . 利用 0、 1 的運(yùn)算特性求解。同數(shù)相減得0， 0 加任何數(shù)的原數(shù)。 相同數(shù)相除的 1， 1 乘任何數(shù)得原數(shù)等。如3、4、4、8

7、可組成3x8+44=24等。又如4、5、j、 k 可組成 11x (5 4) +13 = 24 等。練習(xí)三3 3 5 64 2 4 81 4 4 56 8 8 95 7 12 122 2 6 93 6 9 91 4 4 72 2 5 7第四講相遇問題例1.甲、乙兩車同時從東、西兩地相向開出，甲車每小時行 56 千米，乙車每小時行48千米。兩車在距中點(diǎn)32千米處相遇，東、西 兩地相距多少千米？東西甲車i亍的乙車行的分析與解答：從圖中可以看出，兩車相遇時，甲車比乙車多行了 32x2 = 64 （千米）。兩車同時出發(fā)，為什么甲車會比乙車多行 64千 米呢？因?yàn)榧总嚸啃r比乙車多行 56 48= 8

8、（千米）。64里包含8 個8,所以此時兩車各行了 8小時，東、西兩地的路程只要用（56 + 48） x 8就能得出。32x2+ （56 48） =8 （小時）（56+ 48） x 8=832 （千米）答：東、西兩地相距832千米。練習(xí)四1. 小玲每分鐘行100米，小平每分鐘行80米，兩人同時從學(xué)校和少年宮出發(fā)， 相向而行， 并在離中點(diǎn) 120 米處相遇。 學(xué)校到少年宮有多少米？2. 一輛汽車和一輛摩托車同時從甲、 乙兩地相對開出， 汽車每小時行 40千米， 摩托車每小時行65千米， 當(dāng)摩托車行到離兩地中點(diǎn)處50 千米時和汽車相遇。甲、乙兩地相距多少千米？3. 甲、乙二人同時從東、西村相向出發(fā)，

9、甲每分鐘行120 米，乙每分鐘行 100 米， 甲和乙在過中點(diǎn) 200 米處相遇。 東村到西村的路程是多少米？4. 兩車同時從甲乙兩地相對開出，甲每小時行48 千米，乙車每小時行 54千米， 相遇時兩車離中點(diǎn) 36千米， 甲乙兩地相距多少千米？第五講 追及問題本周的主要問題是“追及問題” 。追及問題一般是指兩個物體同方向運(yùn)動，由于各自的速度不同，后者追上前者的問題。追及問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度差x追及時間=追及路程解答追及問題， 一定要懂得運(yùn)動快的物體之所以能追上運(yùn)動慢的物體， 是因?yàn)閮烧咧g存在著速度差。 抓住 “追及的路程必須用速度差來追”這一道理， 結(jié)合題中運(yùn)動物體的地點(diǎn)、 運(yùn)動方向等

10、特點(diǎn)進(jìn)行具體分析，并借助線段圖來理解題意，就可以正確解題。例 . 中巴車每小時行60 千米，小轎車每小時行84 千米。兩車同時從相距 60 千米的兩地同方向開出，且中巴在前。幾小時后小轎車追上中巴車？分析與解：原來小轎車落后于中巴車60 千米，但由于小轎車的速度比中巴車快，每小時比中巴車多行 84 60= 24千米，也就是每 小時小轎車能追中巴車 24千米。60+ 24=2.5小時，所以2.5小時 后小轎車能追上中巴車。練習(xí)五1. 一輛摩托車以每小時80千米的速度去追趕前面30千米處的卡車，卡車行駛的速度是每小時65 千米。摩托車多長時間能夠追上？2. 兄弟二人從100米跑道的起點(diǎn)和終點(diǎn)同時出

11、發(fā)， 沿同一方向跑步，弟弟在前，每分鐘跑120 米；哥哥在后，每分鐘跑140米。幾分鐘后哥哥追上弟弟？3. 小華從家里已走出 200 米，她的姐姐從家里騎自行車去追小華。已知小華每分鐘走70 米，姐姐騎自行車每分鐘行120 米。姐姐追上小華需要多少分鐘？4. 甲騎自行車從a地到b地，每小時行16千米。1小時后，乙 也騎自行車從a地到b地，每小時行20千米，結(jié)果兩人同時到達(dá) b 地。 a、 b 兩地相距多少千米？第六講 過橋問題專題簡析：有關(guān)火車過橋、 火車過隧道、 兩列火車車頭相遇到車尾相離等問題，也是一種行程問題。在考慮速度、時間和路程三種數(shù)量關(guān)系時，必須考慮到火車本身的長度。 如果有些問題

12、不容易一下子看出運(yùn)動過程中的數(shù)量關(guān)系，可以利用作圖或演示的方法來幫助解題。解答火車行程問題可記住以下幾點(diǎn)：1 .火車過橋（或隧道）所用的時間=橋（隧道長）+火車車長 +火車的速度；2 .兩列火車相向而行，從相遇到相離所用的時間=兩火車車身長 度和+兩車速度和；3 .兩車同向而行，快車從追上到超過慢車所用的時間=兩車車身 長度和+兩車速度差。例 1. 甲火車長 210米，每秒行18米；乙火車長140米，每秒行13 米。乙火車在前，兩火車在雙軌車道上行駛。甲火車從后面追上到完全超過乙火車要用多少秒？分析： 甲火車從追上到超過乙火車， 比乙火車多行了甲、 乙兩火車車身長度的和，而兩車速度的差是18-

13、 13= 5米，因此，甲火車從 追上到超過乙火車所用的時間是：（210+140） + （1813） =70秒。練習(xí)六1. 一列火車長200米，它以每秒10米的速度穿過200米長的隧道，從車頭進(jìn)入隧道到車尾離開隧道共需要多少秒？2. 某人沿著鐵路邊的便道步行， 一列客車從身后開來， 在身旁通過的時間是15 秒，客車長105 米，每秒速度為 8 米，求步行人每秒多少米 ?3. 一人以每分鐘 60 米的速度沿鐵路步行，一列長144 米的客車對面開來，從他身邊通過用了 8 秒鐘，列車的速度是多少米/ 秒？4. 一列火車長700 米，以每分鐘 400 米的速度通過一座長900米的大橋 . 從車頭上橋到車

14、尾離要多少分鐘？第七講 流水行船問題當(dāng)你逆風(fēng)騎自行車時有什么感覺？是的，逆風(fēng)時需用很大力氣，因?yàn)槊鎸Φ氖怯娲祦淼娘L(fēng)。 當(dāng)順風(fēng)時， 借著風(fēng)力， 相對而言用里較 少。在你的生活中是否也遇到過類似的如流水行船問題。解答這類題的要素有下列幾點(diǎn)：水速、流速、劃速、距離，解答這類題與和差問題相似。 劃速相當(dāng)于和差問題中的大數(shù)， 水速相當(dāng)于 小數(shù)，順流速相當(dāng)于和數(shù)，逆流速相當(dāng)于差速。順流船速=劃速+水速；逆流船速=劃速-水速；劃速=(順流船速+逆流船速)+ 2;水速=(順流船速逆流船速)+ 2;順流船速=逆流船速+水速x 2;逆流船速=逆流船速-水速x 2。例：一條輪船往返于 a b兩地之間，由a地到b地

15、是順?biāo)叫校?由 b 地到 a 地是逆水航行。 已知船在靜水中的速度是每小時20 千米，由 a 地到 b 地用了 6 小時，由 b 地到 a 地所用的時間是由 a 地到 b 地所用時間的 1.5 倍，求水流速度。解：設(shè)水流速度為每小時x千米，則船由a地到b地行駛的路程 為(20+ x) x6千米，船由b地到a地行駛的路程為(20x) x 6x1.5千米。列方程為(20+ x) x 6= (20 x) x 6x 1.5, x=4練習(xí)七1. 船行于 120千米一段長的江河中，逆流而上用 10小明，順流6 小時，求水速和船速。2. 一只船逆流而上，水速2 千米，船速32 千米， 4 小時行多少（ 船

16、速，水速按每小時算）3. 一只船靜水中每小時行8 千米，逆流行2 小時行 12 千米，求水速。4. 某船在靜水中的速度是每小時 18 千米， 水速是每小時2 千米，這船從甲地到乙地逆水行駛需 15 小時， 則甲、 乙兩地相距多少千米？第八講 質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)專題簡析：一個自然數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)，用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：24= 2x2x2x3, 75=3x5x5。我們數(shù)學(xué)課本上介紹的分解質(zhì)因數(shù)， 是為求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)服務(wù)的。 其實(shí)， 把一個數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)相乘的形式， 能啟發(fā)我們 尋找解答許多難題的突破口，從而順利解題。例 1

17、. 把 18個蘋果平均分成若干份，每份大于 1 個，小于 18個。一共有多少種不同的分法？分析：先把18分解質(zhì)因數(shù)：18= 2x3x3,可以看出：18的約 數(shù)是 1、 2、 3、 6、 9、 18，除去1 和 18，還有 4個約數(shù)，所以，一共有 4 種不同的分法。練習(xí)八1. 有 60個同學(xué)分成人數(shù)相等的小組去慰問解放軍叔叔，每組不少于 6 人，不多于 15 人。有哪幾種分法？2.195 個同學(xué)排成長方形隊(duì)伍做早操，行數(shù)和列數(shù)都大于 1，共有幾種排法？3. 甲數(shù)比乙數(shù)大9，兩個數(shù)的積是792，求甲、乙兩數(shù)分別是多少。4. 有 168顆糖，平均分成若干份，每份不得少于 10顆，也不能多于 50顆。

18、共有多少種分法？5. 把 462 名學(xué)生分成人數(shù)相等的若干組去參加課外活動小組， 每小組人數(shù)在 10 至 25 人之間，求每組的人數(shù)及分成的組數(shù)。第九講 數(shù)的整除特征1. 若一個整數(shù)的末位是0、 2、 4、 6 或 8，則這個數(shù)能被2 整除。2. 若一個整數(shù)的末位是0 或 5，則這個數(shù)能被5 整除。3. 若一個整數(shù)的數(shù)字和能被3 整除，則這個整數(shù)能被3 整除。4. 若一個整數(shù)的數(shù)字和能被9 整除，則這個整數(shù)能被9 整除。5. 若一個整數(shù)的末尾兩位數(shù)能被4 整除，則這個數(shù)能被4 整除。6. 若一個整數(shù)的未尾三位數(shù)能被8 整除，則這個數(shù)能被8 整除。5. 若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是7

19、的倍數(shù)，這個數(shù)就是 7 的倍數(shù)。6. 若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是11 的倍數(shù)，這個數(shù)就是11 的倍數(shù)。7. 若一個整數(shù)的末三位與前幾位的差或反差是13 的倍數(shù)，這個數(shù)就是13 的倍數(shù)。8. 若一個整數(shù)的末三位與3倍的前面的隔出數(shù)的差能被17整除，則這個數(shù)能被17 整除。9. 若一個整數(shù)的末三位與7倍的前面的隔出數(shù)的差能被19整除，則這個數(shù)能被19 整除。10. 若一個整數(shù)的末四位與前面5倍的隔出數(shù)的差能被23（或29）整除，則這個數(shù)能被23 整除。練習(xí)九1. 能被3整除的最小的兩位數(shù)是,能被3整除的最大的兩 位數(shù)是。2. 一個兩位數(shù)， 既能被 3 整除， 又能被 5 整除， 它的十

20、位上的數(shù)是 4，個位上的數(shù)是整整整。3. 能同時被 2， 3， 5 整除的最小的兩位數(shù)是整整整。4. 同時能被 3， 4， 5 整除的最小四位數(shù)是整整整。5. 從 0 ， l ， 2， 3 這四個數(shù)中任選三個，組成能同時被2， 3 ， 5整除的三位數(shù)，這樣的三位數(shù)共有整整整個。6. 一個六位數(shù)12口 34口是88的倍數(shù)，那么這個數(shù)除以88所得 的商是。第十講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)常用的求最大公約數(shù)的方法是分解質(zhì)因數(shù)法和短除法。 幾個自然數(shù)公有的倍數(shù)， 叫做這幾個自然數(shù)的公倍數(shù)。 公倍數(shù)中最小的一個大于零的公倍數(shù)， 叫這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 下面討論幾個與最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)有關(guān)的問題。例

21、1. 將一塊長 3.57 米、寬 1.05 米、高 0.84 米的長方體木料，鋸成同樣大小的正方體小木塊。 問當(dāng)正方體的邊長是多少時， 用料最省且小木塊的體積總和最大？ (不計鋸時的損耗， 鋸?fù)旰竽玖喜辉S有剩余)分析與解：假設(shè)鋸?fù)旰笮∧緣K的邊長為 a,那么把鋸得的所有小 木塊堆起來， 適當(dāng)組合以后一定可以堆成原來長方體木料的形狀。 這 就是說3.57、1.05、0.84都是小木塊邊長a的倍數(shù)，反過來說a就 是 3.57 、 1.05 、 0.84 的公約數(shù)。另外還要求小木塊體積最大，也就 是要求小木塊的邊長a 最大。所以 a 是 3.57 、 1.05 、 0.84 三個數(shù)的最大公約數(shù)。因?yàn)?

22、.57米=357厘米，1.05米=105厘米，0.84米=84厘米， 所以a = (357, 105, 84) =3x7=21。當(dāng)小木塊邊長為21厘米時， 其體積最大。1. 把 1 米 3分米 5厘米長、 1 米 5厘米寬的長方形紙，裁成同樣 大小的正方形，至少能裁多少塊？2. 一塊長 45 厘米、 寬 30 厘米的長方形木板， 把它鋸成若干塊正方形而無剩余，所鋸成的正方形的邊長最長是多少厘米？3. 將一塊長 80 米、 寬 60 米的長方形土地劃分成面積相等的小正 方形，小正方形的面積最大是多少？4. 一個長方體木塊，長2.7 米，寬 1.8 分米，高 1.5 分米。要把它切成大小相等的正方

23、體木塊， 不許有剩余， 正方體的棱長最大是多少分米？第十一講 分?jǐn)?shù)和小數(shù)的互化學(xué)完循環(huán)小數(shù)以后，有同學(xué)會產(chǎn)生以下問題： 為解決這個問題就要研究分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化問題。有限小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另一種表現(xiàn)形式，如0.9和1誰大誰小?所以一個分?jǐn)?shù)只要能變成十進(jìn)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)。 樣的分?jǐn)?shù)能化成十進(jìn)分?jǐn)?shù)呢？就是分母分解質(zhì)因數(shù)后只含有 樣質(zhì)因數(shù)的最簡分?jǐn)?shù)。即一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母除了1351.35=。100那么什么2、5這2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)一定能化成有限小數(shù)，而且有限小數(shù) 中小數(shù)部分的位數(shù)等于分母中質(zhì)因數(shù) 2、5個數(shù)中最大的那個數(shù)。那 么什么樣的分?jǐn)?shù)能化成純循環(huán)小數(shù)、混循環(huán)小數(shù)？它的

24、不循環(huán)部分的 位數(shù)與循環(huán)節(jié)的最少位數(shù)與分母又有什么關(guān)系呢？下面就來研究這 一問題。2 3 5 4 8例1將分?jǐn)?shù)化成小數(shù)一 3 1 1/ n a m f2分析與解用分子除以分母，使得3 = 0 666，因?yàn)?重復(fù)出現(xiàn)，2所以, 二 0 6萬3+ 11=0,272727，因?yàn)?7重復(fù)出現(xiàn)，所以力。.加4 = 4 + 33 = 0 1212 338一 二8+ 27 = 0 296296274 ,因?yàn)?2重復(fù)出現(xiàn)，所以力=0 121 = 57 = 0.714285714285-,因?yàn)?14285重復(fù)出現(xiàn)，所以?= 0.)142點(diǎn)q_ _ ；三 b0,那么a的平方b的平方；如果ab0,那么1 1, b0

25、,a b b那么a b等等。比較大小時，如果要比較的分?jǐn)?shù)都接近1時，可先用1減去原分 數(shù)，再根據(jù)被減數(shù)相等（都是 1）,減數(shù)越小，差越大的道理判斷原 分?jǐn)?shù)的大小。如果兩個數(shù)的倒數(shù)接近，可以先用1分別除以這兩個數(shù)。再根據(jù) 被除數(shù)相等，商越小，除數(shù)越大的道理判斷原數(shù)的大小。除了將比較大小轉(zhuǎn)化為比差、比商等形式外，還常常要根據(jù)算式 的特點(diǎn)將它作適當(dāng)?shù)淖冃魏笤龠M(jìn)行判斷?？?7 777773 *888884 , 例.比較777778和888889的大小。因?yàn)? 777773888884777778 = 777778 1 888889 = 88888955777778 888889777773888884

26、所以 777778 88888937o275練習(xí)十二1 .比較下面兩個分?jǐn)?shù)的大?。?12752 .分?jǐn)?shù)也包1011033 .如果a =里，b =旦,那么a與b中較小的分?jǐn)?shù)是101654 .分?jǐn)?shù)3與4中較大的一個是455 .分?jǐn)?shù)9_6。17196 .把分?jǐn)?shù)3,5,7,7,按照從大到小的順序排列起來7 9 8 67 .把分?jǐn)?shù)1,2,3,4,5,6按照從小到大的順序排列起來:2 3 4 5 6 78 .分?jǐn)?shù)2,9,旦，140中，最大的數(shù)是,最小的數(shù)是5 11 17 41 839 .把下列分?jǐn)?shù)按從小到大的順序排列起來：5 6 10 15一，13 17 23 3310 .比較大小：666665777776666667777778第十三講裂項(xiàng)法專題簡析：前面我們介