江蘇省蘇州市常熟市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷及答

1、2015-2016學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、填空題：1設(shè)集合a=x|1x2，b=x|0x4，則ab=2函數(shù)y=ln（x2x2）的定義域是3已知sin=，（，），則tan=4定義在r上的奇函數(shù)f（x），當x0時，f（x）=2xx2，則f（1）+f（0）+f（3）=5函數(shù)y=sinxcosx2（x0）的值域是6等差數(shù)列an中，前n項和為sn，若s4=8a1，a4=4+a2，則s10=7設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（a）f（1），則實數(shù)a的取值范圍是8等比數(shù)列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，則a3=9將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移（0）個單位后，得到函數(shù)f（

2、x）的圖象，若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則的值等于10已知函數(shù)f（x）=ax+（b0）的圖象在點p（1，f（1）處的切線與直線x+2y1=0垂直，且函數(shù)f（x）在區(qū)間，+）上是單調(diào)遞增，則b的最大值等于11已知f（m）=（3m1）a+b2m，當m0，1時，f（m）1恒成立，則a+b的最大值是12在abc中，若tana=2tanb，a2b2=c，則c=13已知x+y=1，x0，y0，則+的最小值為14設(shè)f（x）和g（x）分別是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）g（x）0在區(qū)間i上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間i上單調(diào)性相反若函數(shù)f（x）=x32ax與g（x）=x2+2bx在開區(qū)間（a，b）

3、上單調(diào)性相反（a0），則ba的最大值為二、解答題：15已知函數(shù)f（x）=2cos（cossin）（0）的最小正周期為2（1）求函數(shù)f（x）的表達式；（2）設(shè)（0，），且f（）=+，求cos的值16設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，滿足2sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1，a2的值；（2）求證：an+2n是等比數(shù)列并求數(shù)列an的通項公式17已知函數(shù)f（x）=x22ax+1（1）若函數(shù)g（x）=logaf（x）+a（a0，a1）的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當x0時，恒有不等式lnx成立，求實數(shù)a的取值范圍18如圖，在海岸線l一側(cè)c處有一個美麗的小島，某旅

4、游公司為方便游客，在l上設(shè)立了a，b兩個報名點，滿足a，b，c中任意兩點間的距離為10千米公司擬按以下思路運作：先將a，b兩處游客分別乘車集中到ab之間的中轉(zhuǎn)點d處（點d異于a，b兩點），然后乘同一艘游輪前往c島據(jù)統(tǒng)計，每批游客a處需發(fā)車2輛，b處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費4元，游輪每千米耗費24元設(shè)cda=，每批游客從各自報名點到c島所需運輸成本s元（1）寫出s關(guān)于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；（2）問中轉(zhuǎn)點d距離a處多遠時，s最?。?9設(shè)函數(shù)f（x）=x|x1|+m，g（x）=lnx（1）當m1時，求函數(shù)y=f（x）在0，m上的最大值；（2）記函數(shù)p（x）=f（x）g（x），若函數(shù)p

5、（x）有零點，求m的取值范圍20已知數(shù)列an的奇數(shù)項是公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是公差為d2的等差數(shù)列，sn是數(shù)列an的前n項和，a1=1，a2=2（1）若s5=16，a4=a5，求a10；（2）已知s15=15a8，且對任意nn*，有anan+1恒成立，求證：數(shù)列an是等差數(shù)列；（3）若d1=3d2（d10），且存在正整數(shù)m、n（mn），使得am=an求當d1最大時，數(shù)列an的通項公式2015-2016學(xué)年江蘇省蘇州市常熟市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題：1設(shè)集合a=x|1x2，b=x|0x4，則ab=x|0x2【考點】交集及其運算【專題】計算題【分析】由題意通過數(shù)軸直

6、接求出a和b兩個集合的公共部分，通過數(shù)軸求出就是ab即可【解答】解：集合a=x|1x2，b=x|0x4，所以ab=x|1x2x|0x4=x|0x2故答案為：x|0x2【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查集合間的交集及其運算，考查觀察能力，計算能力2函數(shù)y=ln（x2x2）的定義域是（，1）（2，+）【考點】對數(shù)函數(shù)的定義域【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義，真數(shù)大于0，列出不等式，求出解集即可【解答】解：函數(shù)y=ln（x2x2），x2x20，即（x+1）（x2）0，解得x1，或x2；函數(shù)y的定義域是（，1）（2，+）故答案為：（，1）（2，+）【點評】本題考查了對數(shù)函

7、數(shù)的定義與不等式的解法和應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目3已知sin=，（，），則tan=【考點】同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用【專題】三角函數(shù)的求值【分析】由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得tan的值【解答】解：sin=，（，），cos=，則tan=，故答案為：【點評】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題4定義在r上的奇函數(shù)f（x），當x0時，f（x）=2xx2，則f（1）+f（0）+f（3）=2【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；函數(shù)的值【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】根據(jù)奇函數(shù)f（x），當x0時，f（x）=2xx2，先求出f（1），f（0），f（3），進而求出f（1），相加可得答案【解答】解：定義在

8、r上的奇函數(shù)f（x），當x0時，f（x）=2xx2，f（1）=1，f（0）=0，f（3）=1，f（1）=1，f（1）+f（0）+f（3）=2，故答案為：2【點評】本題考查的知識點是函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題5函數(shù)y=sinxcosx2（x0）的值域是4，0【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】由條件利用輔助角公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)的值域【解答】解：函數(shù)y=sinxcosx2=2sin（x）2 的值域為4，0，故答案為：4，0【點評】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎(chǔ)題6等差數(shù)列an中，前n項和為sn

9、，若s4=8a1，a4=4+a2，則s10=120【考點】等差數(shù)列的前n項和【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】由題意可得首項和公差的方程組，解方程組代入等差數(shù)列的求和公式可得【解答】解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，s4=8a1，a4=4+a2，4a1+d=8a1，a1+3d=4+a1+d，聯(lián)立解得a1=3，d=2s10=103+2=120故答案為：120【點評】本題考查等差數(shù)列的求和公式，求出數(shù)列的公差d是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題7設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（a）f（1），則實數(shù)a的取值范圍是a1或a1【考點】其他不等式的解法【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】把不等式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，解不等式組可

10、得【解答】解：由題意可得f（1）=214=2，f（a）f（1）可化為或，分別解不等式組可得a1或a1故答案為：a1或a1【點評】本題考查分段不等式的解法，轉(zhuǎn)化為不等式組是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題8等比數(shù)列an的公比大于1，a5a1=15，a4a2=6，則a3=4【考點】等比數(shù)列的通項公式【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn1求出a1和q得到通項公式即可求出a3【解答】解：等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn1由a5a1=15，a4a2=6得：a1q4a1=15，a1q3a1q=6解得：q=2或q=則a3=a1q2=4或4等比數(shù)列an的公比大于1，則a3=a1q

11、2=4故答案為4【點評】考查學(xué)生利用等比數(shù)列性質(zhì)的能力9將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移（0）個單位后，得到函數(shù)f（x）的圖象，若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則的值等于【考點】函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】由條件利用函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得的值【解答】解：將函數(shù)y=sin（2x+）的圖象向右平移（0）個單位后，得到函數(shù)f（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）的圖象，若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則2+=k+，即 =，kz，=，故答案為：【點評】本題主要考查函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換規(guī)律，正弦

12、函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題10已知函數(shù)f（x）=ax+（b0）的圖象在點p（1，f（1）處的切線與直線x+2y1=0垂直，且函數(shù)f（x）在區(qū)間，+）上是單調(diào)遞增，則b的最大值等于【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得ab=2，再由題意可得a0在區(qū)間，+）上恒成立，即有x2的最小值，解b的不等式即可得到最大值【解答】解：函數(shù)f（x）=ax+（b0）的導(dǎo)數(shù)為f（x）=a，在點p（1，f（1）處的切線斜率為k=ab，由切線與直線x+2y1=0垂直，可得k=ab=2

13、，即a=b+2，由函數(shù)f（x）在區(qū)間，+）上是單調(diào)遞增，可得a0在區(qū)間，+）上恒成立，即有x2的最小值，由x可得x2的最小值為即有，由b0，可得b則b的最大值為故答案為：【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)性，考查兩直線垂直的條件和不等式恒成立恒成立問題的解法，屬于中檔題11已知f（m）=（3m1）a+b2m，當m0，1時，f（m）1恒成立，則a+b的最大值是【考點】函數(shù)恒成立問題【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用【分析】把已知函數(shù)解析式變形，結(jié)合當m0，1時，f（m）1恒成立，得到關(guān)于a，b的約束條件，然后利用線性規(guī)劃知識求得a+b的最大值【解答】解：f（m）=（3m1）

14、a+b2m=（3a2）ma+b，當m0，1時，f（m）1恒成立，即畫出可行域如圖，聯(lián)立，解得a（），令z=a+b，化為b=a+z，由圖可知，當直線b=a+z過a時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為故答案為：【點評】本題考查函數(shù)恒成立問題，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用線性規(guī)劃知識求最值，是中檔題12在abc中，若tana=2tanb，a2b2=c，則c=1【考點】余弦定理；同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運用【專題】解三角形【分析】由tana=2tanb，可得，利用正弦定理可得：acosb=2bcosa，由余弦定理化簡整理可得：a2b2=c2，結(jié)合a2b2=c，即可解得c的值【解答】解：tana

15、=2tanb，可得：，利用正弦定理可得：acosb=2bcosa，由余弦定理可得：a=2b，整理可得：a2b2=c2，又a2b2=c，c=c2，解得：c=1故答案為：1【點評】本題主要考查了同角三角函數(shù)關(guān)系式，正弦定理，余弦定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)公式及定理是解題的關(guān)鍵，屬于基本知識的考查13已知x+y=1，x0，y0，則+的最小值為【考點】基本不等式【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】消元可得+=1+，然后換元令3x+2=t，x=（t2），代入要求的式子由基本不等式可得【解答】解：x+y=1，x0，y0，y=1x+=+=1+，令3x+2=t，則t（2，5）且x=（t2），1+=1+=1+=

16、1+，由基本不等式可得2t=2（t+）22=16，當且僅當t=即t=3x+2=4即x=時取等號，2t+204，1+，故答案為：【點評】本題考查基本不等式求最值，涉及消元和換元的思想，屬中檔題14設(shè)f（x）和g（x）分別是f（x）和g（x）的導(dǎo)函數(shù)，若f（x）g（x）0在區(qū)間i上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區(qū)間i上單調(diào)性相反若函數(shù)f（x）=x32ax與g（x）=x2+2bx在開區(qū)間（a，b）上單調(diào)性相反（a0），則ba的最大值為【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】由條件知g（x）0恒成立，得f（x）0恒成立，從而求出a、b的取值范圍，建立ba的表達式，求出最大值【解

17、答】解：f（x）=x32ax，g（x）=x2+2bx，f（x）=x22a，g（x）=2x+2b；由題意得f（x）g（x）0在（a，b）上恒成立，a0，ba0，2x+2b0恒成立，x22a0恒成立，即x；又0axb，b，即0a，解得0a2；baa=+，當a=時，取“=”，ba的最大值為故答案為：【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性問題，也考查了不等式的解法問題，是易錯題二、解答題：15已知函數(shù)f（x）=2cos（cossin）（0）的最小正周期為2（1）求函數(shù)f（x）的表達式；（2）設(shè)（0，），且f（）=+，求cos的值【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象【專題】三角函數(shù)的圖像

18、與性質(zhì)【分析】（1）把已知的函數(shù)解析式變形，結(jié)合其最小正周期求出，則函數(shù)解析式可求；（2）把f（）=+代入函數(shù)解析式求得，結(jié)合的范圍得到cos（），再由cos=cos展開兩角和的余弦得答案【解答】解：（1）f（x）=2cos（cossin）=f（x）的最小正周期為2，=1，f（x）=；（2）f（）=+，（0，），（），則cos（）=則cos=cos=cos（）cossin（）sin=【點評】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了三角恒等變換中的應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計算題16設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn，滿足2sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1）求a1，a2的值；（2）求證：

19、an+2n是等比數(shù)列并求數(shù)列an的通項公式【考點】等比數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的性質(zhì)【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列【分析】（1）由已知得a1+a3=2（a2+5），2a1=a23，2（a1+a2）=a37，由此能求出a1，a2的值（2）由2sn=an+12n+1+1，得2sn1=an2n+1，（n2），兩式相減整理得an+2n是首項為3，公比為3的等比數(shù)列由此能求出an=3n2n【解答】（1）解：數(shù)列an的前n項和為sn，滿足2sn=an+12n+1+1，且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列，a1+a3=2（a2+5），當n=1時，2a1=a23，當n=2時，2（a1+a2）=a37，聯(lián)立解得，a1=

20、1，a2=5，a3=19（2）證明：由2sn=an+12n+1+1，得2sn1=an2n+1，（n2），兩式相減得2an=an+1an2n（n2），=3（n2）=3，an+2n是首項為3，公比為3的等比數(shù)列an+1+2n+1=3（an+2n），又a1=1，a1+21=3，an+2n=3n，即an=3n2n【點評】本題考查數(shù)列中前兩項的求法，考查等比數(shù)列的證明，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意構(gòu)造法的合理運用17已知函數(shù)f（x）=x22ax+1（1）若函數(shù)g（x）=logaf（x）+a（a0，a1）的定義域為r，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當x0時，恒有不等式lnx成立，

21、求實數(shù)a的取值范圍【考點】函數(shù)恒成立問題；二次函數(shù)的性質(zhì)【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1）由題可知x22ax+1+a0在r上恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得a的范圍；（2）整理不等式得x+lnx2a，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x+lnx，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值即可【解答】（1）由題意可知，x22ax+1+a0在r上恒成立，=4a244a0，0a，且a1；（2）lnx，x+lnx2a，令f（x）=x+lnx，f（x）=+1，令f（x）=+1=0，x=，x（，+）時，f（x）0，f（x）遞增；x（0，）時，f（x）0，f（x）遞減；f（x）f（）=ln，a（ln）【點評】考查了對數(shù)函數(shù)

22、，二次函數(shù)的性質(zhì)和恒成立問題的轉(zhuǎn)換難點是利用導(dǎo)函數(shù)求出構(gòu)造函數(shù)的最小值18如圖，在海岸線l一側(cè)c處有一個美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在l上設(shè)立了a，b兩個報名點，滿足a，b，c中任意兩點間的距離為10千米公司擬按以下思路運作：先將a，b兩處游客分別乘車集中到ab之間的中轉(zhuǎn)點d處（點d異于a，b兩點），然后乘同一艘游輪前往c島據(jù)統(tǒng)計，每批游客a處需發(fā)車2輛，b處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費4元，游輪每千米耗費24元設(shè)cda=，每批游客從各自報名點到c島所需運輸成本s元（1）寫出s關(guān)于的函數(shù)表達式，并指出的取值范圍；（2）問中轉(zhuǎn)點d距離a處多遠時，s最??？【考點】在實際問題中建立三角函數(shù)模

23、型【專題】應(yīng)用題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用【分析】（1）由題在acd中，由余弦定理求得cd、ad的值，即可求得運輸成本s的解析式（2）利用導(dǎo)數(shù)求得cos=時，函數(shù)s取得極小值，由此可得中轉(zhuǎn)點d到a的距離以及s的最小值【解答】解：（1）由題在acd中，cad=abc=acb=，cda=，acd=又ab=bc=ca=10，acd中，由正弦定理知，得cd=，ad=s=8ad+16bd+24cd=+160=40+120（）（2）s=40，令s=0，得cos=當cos時，s0；當cos時，s0，當cos=時s取得最小值此時，sin=，ad=5+，中轉(zhuǎn)站距a處5+千米時，運輸成本s最小【點評】本題主要考查正弦定理，

24、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性求極值，屬于中檔題19設(shè)函數(shù)f（x）=x|x1|+m，g（x）=lnx（1）當m1時，求函數(shù)y=f（x）在0，m上的最大值；（2）記函數(shù)p（x）=f（x）g（x），若函數(shù)p（x）有零點，求m的取值范圍【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義；函數(shù)零點的判定定理【專題】計算題；壓軸題【分析】（1）化簡函數(shù)f（x）的解析式，分別在0，1和（1，m上求函數(shù)的最大值（2）函數(shù)有零點即對應(yīng)方程有解，得到m的解析式m=h（x），通過導(dǎo)數(shù)符號確定h（x）=lnxx|x1|的單調(diào)性，由h（x）的單調(diào)性確定h（x）的取值范圍，即得m的取值范圍【解答】解：（1）當x0，1時，f（x）

25、=x（1x）+m=當時，當x（1，m時，f（x）=x（x1）+m=函數(shù)y=f（x）在（1，m上單調(diào)遞增，f（x）max=f（m）=m2由得：又m1當時，f（x）max=m2；當時，（2）函數(shù)p（x）有零點即方程f（x）g（x）=x|x1|lnx+m=0有解，即m=lnxx|x1|有解令h（x）=lnxx|x1|，當x（0，1時，h（x）=x2x+lnx函數(shù)h（x）在（0，1上是增函數(shù)，h（x）h（1）=0當x（1，+）時，h（x）=x2+x+lnx=0函數(shù)h（x）在（1，+）上是減函數(shù)，h（x）h（1）=0方程m=lnxx|x1|有解時，m0，即函數(shù)p（x）有零點時m0【點評】本題考查用分類討論的方法求函數(shù)最大值，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)值域，及化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法20已知數(shù)列an的奇數(shù)項是公差為d1的等差數(shù)列，偶數(shù)項是公差為d2的等差數(shù)