整式的乘除典型例題賞析

1、整式的乘除典型例題賞析 一、冪的運算法則 例1 計算：（-y3）42 （y2）4 y5 （-y）2. 解析 本題涉及的冪的運算法則有：同底數(shù)冪相乘除，冪的乘方. 在利用法則時要注意指數(shù)的處理. 在運算過程中注意運算順序：先乘方，后乘除，有括號的先算括號里面的. 解 原式 = （-1）4 y3 42 y2 4 y5 （-1）2 y2 = y12 2 （y8 + 5 + 2） = y24 y15 = y24 - 15 = y9. 二、逆用冪的運算性質 例2 已知xa = 2，xb = 3，求x3a + 2b的值. 解析 本題逆用同底數(shù)冪的乘法法則和逆用冪的乘方法則. 先將x3a + 2b化成含有x

2、a，xb的式子再計算. x3a + 2b = x3a x2b = （xa）3 （xb）2 = 23 32 = 8 9 = 72. 例3 若a = 78，b = 87，則5656 = （用a，b的代數(shù)式表式）. 解析 這里的冪78，87，5656三者之間有一定的聯(lián)系，需把“未知”向“已知”轉化，再代入. 解 5656 = （7 8）56 = 756 856 = （78）7 （87）8 = a7b8. 三、整式的運算 例4 先化簡，再求值. 10x （5x - y） - 2x （y + 25x） - 3xy，其中x = 2，y = . 解析 利用整式的乘法進行運算，合并同類項，再代入求值. 解析

3、這是一道整式混合運算題，按運算順序，運用去括號法則與整式運算的法則計算. 四、乘法公式的應用 例6 計 算. （1） （a + 2b - 3c）（a - 2b + 3c）； （2） （a + 2b - 3）2. 解析 （1） 運用平方差公式，當兩個因式都為三項式時，將相同的項作為“一項”，互為相反的項作為“另一項”；（2） 一個三項式的平方，不能直接用完全平方公式，可以用加法結合律將a + 2b - 3化成a + （2b - 3），看成a與（2b - 3）和的平方，再應用公式. 解 （1）原式 = a + （2b - 3c）a - （2b - 3c） = a2 - （2b - 3c）2 = a

4、2 - 4b2 + 12bc - 9c2； （2）原式 = a + （2b - 3）2 = a2 + 2a（2b - 3） + （2b - 3）2 = a2 + 4ab - 6a + 4b2 - 12b + 9. 兩個以上整式的和的平方，等于多個項的平方和加上每項乘積的倍數(shù). 例7 已知x + y = 5，x - y = 3，求x2 + y2和xy的值. 解析 按完全平方公式，將兩式平方后展成都含有x2 + y2和xy的項. 可以看成是關于x2 + y2和xy的二元一次方程組. 再求x2 + y2和xy的值. 解 （x + y）2 = 25，得x2 + 2xy + y2 = 25 （x - y

5、）2 = 9，得x2 - 2xy + y2 = 9 + ，得2（x2 + y2） = 34， x2 + y2 = 17. - ，得4xy = 16， xy = 4. 五、因式分解 例8 將下列各式分解因式. （1）25 - 4a2 + 20ab - 25b2； （2）a3 + a2 - a - 1. 解析 要熟記平方差公式和完全平方公式的結構特點，并且能在較復雜的整式中找到含有這樣特點的式子. 解 （1）原式 = 52 - （2a）2 - 2 2a 5b + （5b）2 = 52 - （2a - 5b）2 = （5 + 2a - 5b）（5 - 2a + 5b）； （2）原式 = （a3 + a2） - （a + 1） = a2 （a + 1） - （a + 1） = （a + 1）（a2 - 1） = （a + 1）（a + 1）（a - 1） = （a + 1）2（a - 1）. 例9 把3ax + 4by + 4ay + 3bx分解因式. 解析 此題多項式的四項中沒有公因式，不能直接提取公因式，但分組后能運用提取公因式法進行分解，并且各組分解后它們的另一個因式正好相同，還能用提取公因式法繼續(xù)分解. 解法一 原式 = （3ax + 4ay） + （3bx + 4by） = a（3x + 4y） + b（3x + 4y） = （3x + 4y）（a +