控制與接口技術狀態(tài)方程(1)課件

1、控制與接口技術狀態(tài)方程(1)1 控制與接口技術控制與接口技術 主講教師：葉春生 Tel: 華中科技大學材料學院 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)2 控制與接口技術控制與接口技術 第一章 緒論 第二章 線性離散系統(tǒng)的分析與校正 第三章 控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 第四章 STM32處理器及其應用 第五章 數控（CNC）系統(tǒng)及其插補原理 第六章 數控機床的伺服驅動系統(tǒng) 第七章 SIMULINK交互式仿真集成環(huán)境 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)3 內容提要內容提要 狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點 建立狀態(tài)方程的方法建立狀態(tài)方程的方法 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)4 1、描述系統(tǒng)的方程具有統(tǒng)

2、一的規(guī)范化的表達方式 xx(t)=Ax=Ax(t)+Bu+Bu(t) y y (t)=Cx=Cx(t)+Du+Du(t) 2、從本質上講，它是一種時域分析方法(一組一階常 微分方程組)，有成熟的解析解和數值解的方法可供使 用。 3、不僅揭示了輸入、輸出之間(激勵與響應)的關系， 而且還揭示了系統(tǒng)內部各物理量(狀態(tài))的變化規(guī)律。 4、該方法是一種統(tǒng)一的分析方法，既可以分析、處理 離散系統(tǒng)，也可以分析、處理連續(xù)系統(tǒng)。 狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點狀態(tài)空間分析系統(tǒng)的優(yōu)點 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)5 建立狀態(tài)方程的方法建立狀態(tài)方程的方法 如果已知描述系統(tǒng)的微分方程，可以通過變量代換的方法建立 狀態(tài)方程。

3、 例：已知系統(tǒng)的微分方程 DuCxy BuAxx 001 1 0 0 432 100 010 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x yu x x x dt dx dt dx dt dx x x x uy dt dy dt yd dt yd 234 2 2 3 3 uy dt dy dt yd dt yd 234 2 2 3 3 3 2 1 y y y x x x x 令 uxxx dt dx x dt dx x dt dx 321 3 3 2 2 1 432 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)6 ub dt du b dt ud bya dt dy a dt yd 01 2 2

4、 201 2 2 逐次變換消去激 勵的導數項。 令：x1= y - b2u y = x1 + b2u 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 dt ud b dt xd dt yd dt du b dt dx dt dy ubab dt du babxa dt dx a dt xd ub dt du b dt ud bubaxa dt du ba dt dx a dt ud b dt xd )()( 00021110 1 1 2 1 2 01 2 2 2201021 1 1 2 2 2 2 1 2 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)7 令：x2= dx1/dt (b1 - a1b2)u dt du

5、bab dt dx dt xd ubabx dt dx )( )( 211 2 2 1 2 2112 1 )()( 21112002110 2 ubabababxaxa dt dx ub x x y u bababab bab x x aa dt dx dt dx x x 01 )()( 10 2 2 1 2111200 211 2 1 10 2 1 2 1 DuCxy BuAxx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)8 串聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數串聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3213 122 11 100y 0 0 1 422 032 001 422 23 x x x u x

6、x x x x x xxxx xxx uxx 4 1 3 5 1 2 12198 102 )( 23 ss s ssss s sH 1/s21/s2 3 1/s 4 x1x2x3 u y 串聯(lián)串聯(lián) 形式形式 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)9 x1 1/s4/3 1/s2 3 x2 u 1/s 4 x3 2/3 4 3/2 3 2 1 3/4 12198 102 )( 23 sss sss s sH 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3213 22 11 100y 0 0 1 422 032 001 3/223/4 3 x x x u x x x x x x xxxx uxx uxx 并聯(lián)并聯(lián)

7、形式形式 并聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數并聯(lián)形式系統(tǒng)傳遞函數 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)10 dbuexetx t taat )()0()( 0 )( 當其變量是一個向量時當其變量是一個向量時x(t)=Ax(t)+Bu(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t) deet t tt )()0()( 0 )( Buxx AA 當其變量是一個標量時 x(t)=ax(t)+bu(t) 若系統(tǒng)的初始條件為x(0)，其解為 1/sC B A (1-e-Ts)/sD(z) r(t) e(k)u(k) u(t) x(t)y(t) ？ x(t) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程x(t)=Ax(t)+Bu(t)x(t)=Ax(t)+Bu(t

8、)表示被控對象表示被控對象 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)11 pn jk pmjk nm ij nmij nn dt tdq dt td tqt dt tdp dt td tpt dt td tt dt td tt dt d eeeeeeee dt d t t t t t te dt d n tt te )( )( )()( )( )( )()( )( )()( )( )()( ) ! 2 ( ) ! 2 ( ! 2 ! 2 ttttttt 222223 2t 22 t Q Q P P P PQ P QP IIAA A A AI A AIA A AA AA AI AAAA0AAA A A 構造

9、函數構造函數 e At x(t)，對其兩端求導： ，對其兩端求導： )()( )()()( ttt t t tetxetet dt de te dt d xAxxx AAA A A 幾個重要的矩陣公式幾個重要的矩陣公式 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)12 對式 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 兩端左乘e At e At x(t)= eAt Ax(t)+ eAt Bu(t) e At x(t) eAt Ax(t)eAt Bu(t) 左端恰為 de At Ax(t)/dteAt Bu(t) 對上式兩端積分，有 系統(tǒng)的時域解系統(tǒng)的時域解 deetdete t tt tt t )()0()( )()(

10、 0 )( 00 BuxxBux AAAA 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)13 狀態(tài)方程的頻域求解 x(t)=Ax(t)+Bu(t) 一組微分方程的矩陣描述！ 兩端進行拉普拉斯變換，其矩陣描述為： sX(s)-x(0)=AX(s)+BU(s) X(s)=(sI-A)-1x(0)+BU(s) =(s)x(0)+BU(s) 如果系統(tǒng)初始狀態(tài)如果系統(tǒng)初始狀態(tài) 為為0， |(s)|是各是各 狀態(tài)傳遞函數的特狀態(tài)傳遞函數的特 征多項式。征多項式。 系統(tǒng)的頻域解系統(tǒng)的頻域解 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)14 有 X(s)=(s)x(t0)+(s)BU(s) x(t)=L 1(s)x(0)+ L1(s)BU(

11、s) 與時域解比較有結論： 系統(tǒng)的時域解與頻域解的比較系統(tǒng)的時域解與頻域解的比較 deet t tt )()0()( 0 )( Buxx AA 狀態(tài)轉移矩陣狀態(tài)轉移矩陣 eAt= L 1(s)= L1 (sI-A)-1 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)15 deekT kT kTkT )()0()( 0 )( Buxx AA 若對狀態(tài)函數進行采樣若對狀態(tài)函數進行采樣 deekTe kT TkTkT )()0()( 0 )1()1( Buxx AAA deeTk Tk TkTk )()0() 1( )1( 0 )1()1( Buxx AA 兩邊乘兩邊乘eAT tkT t(k+1)T 狀態(tài)函數采樣狀態(tài)

12、函數采樣 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)16 兩式相減 dkekTeTk Tk kT TkT )()()1( )1( )1( Buxx AA 令=(k+1)T-，d=d dTTedke T Tk kT Tk / )()( )1( )1( BuBu AA 積分的上下限正好是一個采樣周期。若被控對象前 有一零階保持器：u(t)=u(k) kTt(k+1)Tu(t)=u(k) kTt(k+1)T 則在采樣周期內調節(jié)器的輸出u(t)(被控對象的輸入) 不發(fā)生變化，為一常數。(積分上下限交換抵消負號) 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)17 dkekTeTk T T )()()1( 0 Buxx AA dtee

13、 T t 0 T BGF AA 令 dtee kk kkkT t 0 T )()( )()() 1( BGF Cxy GuFxx AA 其中 對零階保持器和被控對象離散化后的狀態(tài)方程為： 其中： x(kT)n維； u(kT)m維； y y(k)p維； F Fnn維； G Gnm維； C Cpn維； 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)18 在控制工程中，有兩個問題經常引起設計者的 關心。那就是加入適當的控制作用后，能否在有限時 間內將系統(tǒng)從任一初始狀態(tài)控制（轉移）到希望的狀初始狀態(tài)控制（轉移）到希望的狀 態(tài)上態(tài)上，以通過對系統(tǒng)輸出在一段時間內的觀測，能否 判斷（識別）系統(tǒng)的初始狀態(tài)判斷（識別）系統(tǒng)的初

14、始狀態(tài)。這便是控制系統(tǒng)的能 控性與能觀性問題?？刂葡到y(tǒng)的能控性及能觀性是現 代理論中很重要的兩個概念。在多變量最優(yōu)控制系統(tǒng) 中，能控性及能觀性是最優(yōu)控制問題解的存在性問題 中最重要的問題，如果所研究的系統(tǒng)是不可控的，則 最優(yōu)控制問題的解是不存在的。 系統(tǒng)的可控性和可觀性系統(tǒng)的可控性和可觀性 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)19 可控性定義：當系統(tǒng)用狀態(tài)方程描述時，給定系統(tǒng)的任意 初始狀態(tài)，可以找到允許的輸入量，在有限的時間內使系 統(tǒng)的所有狀態(tài)達到任一終止狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可控的 。有狀態(tài)方程xx(t)=AxAx(t)+BuBu(t) 其解為： 系統(tǒng)的可控性系統(tǒng)的可控性 deet t tt )()

15、0()( 0 )( Buxx AA 如果有限的時間內0 t a=-1 0；1 0； b=expm(a) matlab語句語句 368.0 632.0 )s( 1 0 1-1 0 dtLdte T t BAIBG A 設設T T1 1 s sss L ss s ssss s L s s LL 1 0 ) 1( 1 1 1 ) 1( 1 0 ) 1( 1 ) 1( 1 01 )s( 11 1 11 -1 AI 逆矩陣伴隨陣逆矩陣伴隨陣/矩陣行列式矩陣行列式 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)30 )( )( )( 10)(y 2 2 1 kx kx kx k 設系統(tǒng)輸入為單位階躍函數r(t)，控制變量為

16、 u(k)，系統(tǒng)初始條件為：x1(0)=x2(0)=0 )0(368. 0) 1 () 1 ( )0(368. 0) 1 ( )0(632. 0) 1 ( )0()0( )0( 368. 0 632. 0 )0( 368. 0 632. 0 )0( )0( 1632. 0 0368. 0 ) 1 ( ) 1 ( 221 2 2 1 2 1 uxyuxux xyuu x x x x 如果如果u(0)u(0)1/0.3681/0.368，則一拍達到目的。設調節(jié)器，則一拍達到目的。設調節(jié)器 輸出輸出u(0)u(0)1/0.3681/0.368 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)31 最優(yōu)控制最優(yōu)控制 最優(yōu)

17、控制是控制系統(tǒng)設計的一種方法。它所研最優(yōu)控制是控制系統(tǒng)設計的一種方法。它所研 究的中心問題是如何選擇控制信號，才能保證控制究的中心問題是如何選擇控制信號，才能保證控制 系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)。本節(jié)內容為：系統(tǒng)的性能在某種意義下最優(yōu)。本節(jié)內容為： 1. 1. 引言引言 2. 2. 用變分法求解最優(yōu)控制問題用變分法求解最優(yōu)控制問題 3. 3. 極小值原理及其在快速控制中的應用極小值原理及其在快速控制中的應用 4. 4. 用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題用動態(tài)規(guī)劃法求解最優(yōu)控制問題 5. 5. 線性狀態(tài)調節(jié)器線性狀態(tài)調節(jié)器 6. 6. 線性伺服機問題線性伺服機問題 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)32

18、1 1 引言引言 什么是最優(yōu)控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明什么是最優(yōu)控制？以下通過直流他勵電機的控制問題來說明 問題問題1 1電動機的運動方程為電動機的運動方程為 t JTIK DFDm d d （1 1） 其中，其中， 為轉矩系數；為轉矩系數； 為轉動慣量；為轉動慣量； 為恒定的負載轉矩；為恒定的負載轉矩； m K D J F T 希望：在時間區(qū)間希望：在時間區(qū)間0，tf內，電動機從靜止起動，轉過一定角度內，電動機從靜止起動，轉過一定角度 后停止，使電樞電阻后停止，使電樞電阻 上的損耗上的損耗 最小，求最小，求 D RttIRE D t D f d)( 2 0 )(tI D D

19、I因為因為 是時間的函數，是時間的函數，E 又是又是 的函數，的函數，E 是函數的函數，稱為是函數的函數，稱為 泛函。泛函。 D I consttt f t d)( 0 （2 2） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)33 采用狀態(tài)方程表示，令采用狀態(tài)方程表示，令 1 x 1 2 xx D F D D m J T I J K x2 于是于是 F D D D mT J I J K x x x x 1 00 00 10 2 1 2 1 （3 3） 初始狀態(tài)初始狀態(tài) 0 0 )0( )0( 2 1 x x 末值狀態(tài)末值狀態(tài) 0)( )( 2 1 f f tx tx D I 控制控制 不受限制不受限制 性能指

20、標性能指標ttIRE D t D f d)( 2 0 （4 4） )(tI D 本問題的最優(yōu)控制問題是：在數學模型（本問題的最優(yōu)控制問題是：在數學模型（3 3）的約束下，）的約束下，尋求一個尋求一個 控制控制 ，使電動機從初始狀態(tài)轉移到末值狀態(tài)，使電動機從初始狀態(tài)轉移到末值狀態(tài)，性能指標性能指標E 為為 最小。最小。 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)34 問題問題2 2對于問題對于問題1 1中的直流他勵電動機，如果電動機從初始中的直流他勵電動機，如果電動機從初始 )(tID 時刻時刻 的靜止狀態(tài)轉過一個角度的靜止狀態(tài)轉過一個角度 又停下，求控制又停下，求控制 （ 是是 受到限制的），受到限制的），

21、使得所需時間最短。使得所需時間最短。 0 0 t)(tID 這也是一個最優(yōu)控制問題：這也是一個最優(yōu)控制問題： 系統(tǒng)方程為系統(tǒng)方程為 F D D D mT J I J K x x x x 1 00 00 10 2 1 2 1 初始狀態(tài)初始狀態(tài) 0 0 )0( )0( 2 1 x x 末值狀態(tài)末值狀態(tài) 0)( )( 2 1 f f tx tx )(tID maxD I （5 5） 性能指標性能指標 f t ttJ f 0 d（6 6） )0(x 最優(yōu)控制問題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制最優(yōu)控制問題為：在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制 ，將，將 轉移到轉移到 ，使，使J 為極小。為極小。 m

22、axD I)(tID )( f tx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)35 最優(yōu)控制問題的一般性提法最優(yōu)控制問題的一般性提法 系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),(tux,fx 初始狀態(tài)為初始狀態(tài)為)( 0 tx 其中，其中，x 為為n 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； u 為為r 維控制向量；維控制向量； f 為為n 維向量維向量 函數，它是函數，它是 x 、u 和和t 的連續(xù)函數，并且對的連續(xù)函數，并且對x 、t 連續(xù)可微。連續(xù)可微。 最優(yōu)。其中最優(yōu)。其中 是是 x 、u 和和t 的連續(xù)函數的連續(xù)函數),(tuxL )( f tx r Ru 尋求在尋求在 上的上的最優(yōu)控制最優(yōu)控制 或或 ，以將系統(tǒng)狀，以

23、將系統(tǒng)狀 態(tài)從態(tài)從 轉移到轉移到 或或 的一個集合，并使性能指標的一個集合，并使性能指標 , 0f tt r RU u )( 0 tx)( f tx ttttJ f t t ff d),(),( 0 uxLx 最優(yōu)控制問題就是最優(yōu)控制問題就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)36 補充：泛函與變分法補充：泛函與變分法 一、泛函與變分一、泛函與變分 1 1、泛函的基本定義：、泛函的基本定義： )(tx 如果對于某個函數集合如果對于某個函數集合 中的每一個函數中的每一個函數 ，變量，變量J 都有一個都有一個 值與之對應，則

24、稱變量值與之對應，則稱變量J 為依賴于函數為依賴于函數 的泛函，記作的泛函，記作 )(tx )(tx )(txJ 可見，泛函為標量，可以理解為可見，泛函為標量，可以理解為“函數的函數函數的函數” 例如：例如： ttxxJd)( 3 0 （其中，（其中， 為在為在 上連續(xù)可積函數）上連續(xù)可積函數）)(tx 3,0 當當 時，有時，有 ；當；當 時，有時，有 。 ttx)( 5 . 4J t etx)( 1 3 eJ 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)37 泛函泛函 如果滿足以下條件時，稱為線性泛函：如果滿足以下條件時，稱為線性泛函：)(tJ x 1 1） ，其中，其中c 為任意常數；為任意常數； 2

25、2） )()(tcJtcJxx )()()()( 2121 tJtJttJxxxx )()( 0 ttxx 對于一個任意小正數對于一個任意小正數 ，總是可以找到，總是可以找到 ，當，當 時，有時，有 就稱泛函就稱泛函 在在 處是連續(xù)的。處是連續(xù)的。 )()( 0 ttxx )()( 0 tJtJxx)(tJ x 2 2、泛函的變分、泛函的變分 )(tx所謂泛函所謂泛函 的宗量的宗量 的變分是指兩個函數間的差。的變分是指兩個函數間的差。)(tJ x )()( 0 ttxxx n Rtt)(),( 0 xx 定義：設定義：設 是線性賦泛空間是線性賦泛空間 上的連續(xù)泛函，其增量可表示為上的連續(xù)泛函，

26、其增量可表示為xJ n R ,xxxxxxxxrLJJJ ,xxr 其中，其中， 是關于是關于 的線性連續(xù)泛函，的線性連續(xù)泛函， 是關于是關于 的高階的高階 無窮小。則無窮小。則 稱為泛函稱為泛函 的變分。的變分。 ,xxL xx ,xxLJ xJ 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)38 3 3、泛函變分的規(guī)則、泛函變分的規(guī)則 1 1） 2121 )(LLLL 2 2） 122121 )(LLLLLL 3 3）ttLttL b a b a d,d,xxxx 4 4） x x d d d d tt 泛函的變分等于泛函的變分等于 0 )( xtxJ 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)39 0 xx 定理定理：

27、設：設 是在線性賦泛空間是在線性賦泛空間 上某個開子集上某個開子集D 中定義的可中定義的可 微泛函，且在微泛函，且在 處達到極值，則泛函處達到極值，則泛函 在在 處必有處必有 xJ xJ n R 0 xx 0, 0 xxJ 4 4、泛函的極值、泛函的極值 0 x xJ 設設 是在線性賦泛空間是在線性賦泛空間 上某個子集上某個子集D 中的線性連續(xù)泛函，中的線性連續(xù)泛函， ，若在，若在 的某領域內的某領域內 n R D 0 x n RUxxxxx,),( 00 在在 時，均有時，均有 DU),( 0 xx 0 xxxJJJ 0 0 xxxJJJ 0 或或 則稱則稱 在在 處達到極大值或極小值。處達

28、到極大值或極小值。 )(xJ 0 xx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)40 歐拉方程：歐拉方程： ff txx)( f t 定理：設有如下泛函極值問題：定理：設有如下泛函極值問題： 其中，其中， 及及 在在 上連續(xù)可微，上連續(xù)可微， 和和 給定，給定， 已知已知 ， ， ，則極值軌線，則極值軌線 滿足如下歐滿足如下歐 拉方程拉方程 dttLJ f t tt 0 ),(min )( xxx x ),(tLx x )(tx , 0f tt 0 t 00) (xxt n Rt )(x)( * tx 0 d d xx L t L 及橫截條件及橫截條件 0)()( 0 0 tx L tx L t T f

29、t T f xx 注意：滿足歐拉方程是必要條件，不是充分條件。注意：滿足歐拉方程是必要條件，不是充分條件。 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)41 2 2 用變分法求解最優(yōu)控制問題用變分法求解最優(yōu)控制問題 2.1 2.1 末值時刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制末值時刻固定、末值狀態(tài)自由情況下的最優(yōu)控制 非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),(tux,fx （6 6） 初始狀態(tài)初始狀態(tài) )()( 0 0 tt tt xx （7 7） 其中，其中，x 為為n 維狀態(tài)向量；維狀態(tài)向量； u 為為r 維控制向量；維控制向量； f 為為n 維向量函維向量函 數。數。 要求在控制空間中尋求一

30、個最優(yōu)控制向量要求在控制空間中尋求一個最優(yōu)控制向量 ，使以下性能指標，使以下性能指標)(tu tttJ f t t f d),()( 0 uxLx （8 8） 沿最優(yōu)軌線沿最優(yōu)軌線 取極小值。取極小值。)(tx （性能指標如（性能指標如（8 8）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的波爾扎）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的波爾扎 問題問題） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)42 引入拉格朗日乘子引入拉格朗日乘子 )( )( )( )( 2 1 t t t t n （9 9） 將性能指標（將性能指標（8 8）式改寫為其等價形式）式改寫為其等價形式 tttttJ T t t f f d),()(),()

31、( 0 xuxfuxLx ),()(),(),(ttttH T uxfuxLux 定義哈密頓函數定義哈密頓函數 （1010） 則則 tttHtJ T t t f f d)(),()( 0 xuxx ttttHt T t t t t f ff d)(d),()( 00 xuxx （1111） 由（6）式可知 為零 xux,f),(t 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)43 （1212） 對（對（1111）式中的第三項進行分部積分，得）式中的第三項進行分部積分，得 tttttHtJ T t t t t T t t f f f f d)()(d),()( 0 0 0 xxuxx 當泛函當泛函J 取極值時，

32、其一次變分等于零。取極值時，其一次變分等于零。 即即 0J 可以變分的量：可以變分的量：uuu)()(ttxxx)()(tt )()()( fff tttxxx 不可以變分的量：不可以變分的量： 0 t f t)( 0 tx)(t 求出求出J 的一次變分并令其為零的一次變分并令其為零 0d)()()( )( 0 t HH ttt t J T TT t t ff T f T f f xu u x x xx x 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)44 將上式改寫成將上式改寫成 0d)()( )( 0 t HH tt t J TT t t f T f f f u u x x x x （1313） )( f

33、 tx)(t由于由于 未加限制，可以選擇未加限制，可以選擇 使上式中使上式中 和和 的系數的系數 等于零。于是有等于零。于是有 )(t x x H （1515） （1414） （1616） )( )( f f t t x 0d 0 t H J T t t f u u 由于由于 是任意的變分，根據變分法中的輔助引理，由（是任意的變分，根據變分法中的輔助引理，由（1616）式得）式得u 0 u H （1717） （1414）式稱為伴隨方程，）式稱為伴隨方程， 為伴隨變量，（為伴隨變量，（1717）式為控制方程。）式為控制方程。)(t 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)45 幾點說明：幾點說明： 1 1）

34、實際上，（）實際上，（1414）式和（）式和（1717）式就是歐拉方程。）式就是歐拉方程。 x f x L x H （1818）因為因為 0 u H 0 u f u L （1919） 如果令如果令),()(),(),(xuxfuxLuxttttH T 簡記成簡記成xfL T H（2020） x f x L 由歐拉方程得到由歐拉方程得到 0 d d xx H t H 0)( x f x L 即即（2121） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)46 可見（可見（2121）式和（）式和（1818）式相同，（）式相同，（2222）式和（）式和（1919）式相同。因此，）式相同。因此， （1414）式和（）式

35、和（1717）就是歐拉方程，而（）就是歐拉方程，而（7 7）式和（）式和（1515）就是橫截條）就是橫截條 件。件。 0 d d uu H t H 0 u f u L （2222） 2 2） 是泛函取極值的必要條件是否為極小值還需要二次變分是泛函取極值的必要條件是否為極小值還需要二次變分 來判斷，來判斷， 則泛函則泛函J 取極小值。取極小值。 0J J 2 0 2 J 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)47 3 3） 哈密頓函數沿最優(yōu)軌線隨時間的變化率哈密頓函數沿最優(yōu)軌線隨時間的變化率 t HHHH t H TTT u u x x d d 在最優(yōu)控制在最優(yōu)控制 、最優(yōu)軌線、最優(yōu)軌線 下，有下，有 和

36、和 * u * x0 u H （10）式的哈密頓函數對 求 偏導，結果為 xux,f),(t 由（14）式可得 0 xx x x HHHHHH TTTT 因為減號兩邊是相等標量 （行向量與列向量相乘） （2323） （2424） 這兩個等于零的式子代入（這兩個等于零的式子代入（2323）式，于是）式，于是 t H t H d d 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)48 即哈密頓函數即哈密頓函數H 沿最優(yōu)軌線對時間的全導數等于它對時間的偏沿最優(yōu)軌線對時間的全導數等于它對時間的偏 導數。記為導數。記為 則則 )(),( * tHtHux t t H Hdd （2525） 對上式積分，得到對上式積分，得到

37、 d H tHtH f t t f * * 0 * 0 )()(（2626） 當哈密頓函數不顯含當哈密頓函數不顯含 t t 時，由（時，由（2525）式得）式得 consttHtH f )()( * 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)49 初始條件初始條件例例6-1 6-1 系統(tǒng)狀態(tài)方程為系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ux )( 0 tx 性能指標性能指標tutcxJ f t t f d 2 1 )( 2 1 22 0 0c 試求最優(yōu)控制試求最優(yōu)控制 ，使，使J 取極小值。取極小值。 * u 解解 哈密頓函數哈密頓函數 uutuxH 2 2 1 ),( 由伴隨方程由伴隨方程 0 x H const )()()(

38、ff tcxtt )()( 2 1 )( )( 2 ff f f tcxtcx tx t 因為因為 const 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)50 由控制方程由控制方程 0 u u H 即即 )()( * f tcxtu 將將 代入狀態(tài)方程代入狀態(tài)方程 * u )( f tcxux 解為解為 10) )()(ctttcxtx f 當當 時，代入上式，求得時，代入上式，求得 ，所以，所以 0 tt )( 01 txc )()()( 00 txtttcxtx f 當當 時，時， f tt )(1 )( )( 0 0 tt tx tx f f )(1 )( 2 1 d 2 1 )( 2 1 0 0 2

39、 22* 0ttc tcx tutcxJ f t t f f 最優(yōu)性能指標為最優(yōu)性能指標為 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)51 2.2 2.2 末值時刻固定，末端狀態(tài)固定情況下的最優(yōu)控制末值時刻固定，末端狀態(tài)固定情況下的最優(yōu)控制 非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),(tux,fx （2727） 初始狀態(tài)初始狀態(tài) )()( 0 0 tt tt xx （2828） 末值狀態(tài)末值狀態(tài) )()( f tt tt f xx （2929） 性能指標性能指標 ttLJ f t t d),( 0 ux （3030） )( f tx 尋求最優(yōu)控制尋求最優(yōu)控制 ，在，在 內，將系統(tǒng)從內，將系統(tǒng)從

40、轉移到轉移到 ， 同時使性能指標同時使性能指標J 取極小值。取極小值。 * u, 0f tt )( 0 tx （性能指標如（性能指標如（3030）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的拉格朗）式所示的最優(yōu)控制問題，是變分法中的拉格朗 日問題日問題） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)52 引入哈密頓函數引入哈密頓函數 ),()(),(),(ttttH T uxfuxLux )( )( )( )( 2 1 t t t t n 其中其中 ttHJ T t t f d),( 0 xux 于是于是 因為因為 xux uxfuxuxL )(),( ),()(),(),( ttH tttHt T T 對上式右邊第對

41、上式右邊第2 2項進行分部積分，可以得到項進行分部積分，可以得到 ttHttttJ T t t ff TT f d),()()()()( 0 00 xuxxx 上式中可以變分的量：上式中可以變分的量：uuu)()(ttxxx)()(tt )(t 不可以變分的量：不可以變分的量： 0 t f t)( 0 tx)( f tx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)53 令性能指標令性能指標J 的一次變分等于零，得的一次變分等于零，得 0d 0 t HH J TT t t f u u x x （3131） 選擇選擇 ，使其滿足，使其滿足 )(t x H （3232） 則則 0d 0 t H J T t t f

42、 u u （3333） 在末端狀態(tài)固定情況下，在末端狀態(tài)固定情況下， 不是任意的。只有在系統(tǒng)能控的情況不是任意的。只有在系統(tǒng)能控的情況 下，才有控制方程下，才有控制方程 u 0 u H 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)54 例例2 2 問題問題1 1的系統(tǒng)狀態(tài)方程為的系統(tǒng)狀態(tài)方程為 F D D D mT J I J K x x x x 1 00 00 10 2 1 2 1 末值狀態(tài)末值狀態(tài) 0)( )( 2 1 f f tx tx 初始狀態(tài)初始狀態(tài) 0 0 )0( )0( 2 1 x x 性能指標性能指標ttIREJ D t D f d)( 2 0 1 D R設設 ttIEJ D tf d)( 2

43、 0 )( f tx 最優(yōu)控制問題就是在狀態(tài)方程的約束下，尋求最優(yōu)控制問題就是在狀態(tài)方程的約束下，尋求 ，使，使 轉轉 移到移到 ，并使，并使J 取極小值。取極小值。 )(tID)0(x 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)55 解解 根據能控性判據知，該系統(tǒng)是能控的根據能控性判據知，該系統(tǒng)是能控的 2 0 0 rankrank D m D m J K J K C Q 1 1）哈密頓函數為）哈密頓函數為 F D D D m T D T J I J K ItH 1 00 00 10 ),( 2 xux 2 2）由控制方程得到）由控制方程得到 0 0 2 21 D m D D J K I I H 即即 0

44、2 2 D m D J K I 2 2 1 D m D J K I 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)56 3 3）由伴隨方程）由伴隨方程 ，得到，得到 x H 0 1 constc 11 112 c 212 ctc （ ， 為積分常數）為積分常數） 1 c 2 c )( 2 1 21 ctc J K I D m D 4 4）由狀態(tài)方程得）由狀態(tài)方程得 21 xx F DD m D m F D D D m T J c J K tc J K T J I J K x 1 2 1 2 11 2 2 2 1 2 2 2 32 2 2 2 1 2 2 2 ) 1 2 1 ( 4 1 ctT J c J K t

45、c J K x F DD m D m 43 22 2 2 2 3 1 2 2 1 1 2 1 4 1 12 1 ctctT J tc J K tc J K x F DD m D m （ ， 為積分常數）為積分常數） 3 c 4 c 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)57 根據邊界條件，確定積分常數，得根據邊界條件，確定積分常數，得 0 43 cc 2 2 3 1 24 m D f K J t c F m D m D f T K J K J t c 22 2 2 2 212 代入代入 和和)()( 2 ttx )(tID 6 )( 2 2 2 ff t t t t xt t t J T t J K t

46、I f D F f D m D 32 1261 )( 它們的曲線如圖所示它們的曲線如圖所示 （圖中（圖中 ，實線是，實線是 理論上的變化，虛線理論上的變化，虛線 是實際的軌線。）是實際的軌線。） )(tID 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)58 2.3 2.3 末值時刻自由情況下的最優(yōu)控制末值時刻自由情況下的最優(yōu)控制 非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為非線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為 ),(tux,fx 初始狀態(tài)初始狀態(tài) )()( 0 0 tt tt xx 初始時刻初始時刻 固定，末值時刻固定，末值時刻 是自由的。是自由的。 自由，性能指標自由，性能指標 0 t f t )( f tx ttttJ f t t ff

47、 d),(),( 0 uxLx （3434） 尋求最優(yōu)控制尋求最優(yōu)控制 以及以及 ，使性能指標，使性能指標J 取極小值。為了求出取極小值。為了求出 最優(yōu)控制，引入哈密頓函數最優(yōu)控制，引入哈密頓函數 * u * f t ),()(),(),(ttttH T uxfuxLux 其中其中 )( )( )( )( 2 1 t t t t n 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)59 tttHttJ T t t ff f d)(),(),( 0 xuxx 于是于是 可以變分的量可以變分的量 f tux)( f tx 不能變分的量不能變分的量 )( 0 tx 0 t )(t ftt T T TT t t f f

48、f T f tH t HH t t t t J f f d)( )( 0 x xu u x x x x ),(tHux上式中上式中H 為為 的簡化表示的簡化表示 對上式中對上式中 進行分部積分，進行分部積分， 成為成為 t f t t T d 0 x J ftt T tt T TT t t f f f T tH t HH t t tJ ff f d)( 0 xx u u x x x x （3535） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)60 )( f tx應當注意，末值時刻應當注意，末值時刻 自由時，自由時， 不等于不等于 f t f tt x ff tt f ttt f )()(xxx 或或 fff

49、 tt ttt f )()(xxx 上式代入（上式代入（3535）式）式 ff f TT t t f T f f ttH t t HH tt t J f )( d)()( )( 0 u u x x x x 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)61 性能指標取極值時，必有性能指標取極值時，必有0J 0)( d)()( )( 0 ff f TT t t f T f f ttH t t HH tt t J f u u x x x x （3636） 選擇選擇 使其滿足使其滿足 )(t x H （3737） )( )( f f t t x （3838） 由于由于 、 是任意的，可得是任意的，可得u f t 0

50、u H （3939） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)62 （4040） f f t tH )( （4141） 而而),(t H uxf x 例例3 3 系統(tǒng)的狀態(tài)方程為系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 ux 1)0(x0)( f tx 性能指標性能指標tutJ f t f d 0 22 求最優(yōu)控制求最優(yōu)控制 和末值時刻和末值時刻 ，使性能指標泛函取極小值。，使性能指標泛函取極小值。)( * tu f t 解解經判斷系統(tǒng)是能控的經判斷系統(tǒng)是能控的 1 1） 構造哈密頓函數構造哈密頓函數 uutx,uH 2 ),( 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)63 2 2）由控制方程）由控制方程 ，得，得0 u H 02 * u或

51、或 2 1 * u 3 3）由伴隨方程）由伴隨方程 0 x H 1 cconst 1 * 2 1 cu 4 4）將）將 代入狀態(tài)方程代入狀態(tài)方程 * u 1 2 1 cx解為解為 f t c 2 1 21 2 1 ctcx 2 c其中，其中， 、 為積分常數，由為積分常數，由 ， 確定，得確定，得 1 c )0(x )( f tx 1)0( 2 xc 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)64 5 5）由于）由于 自由，自由， ，得到，得到 f t 0)( f f t tH fff ttutu2)()( 2 02)()( 2 fff ttutu 或或 解得解得 3 1 16c 3 1 2 f t 3 1

52、 * 2u 12 3 1 * tx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)65 3 3 極小值原理及其在快速控制中的應用極小值原理及其在快速控制中的應用 3.1 3.1 問題的提出問題的提出 用變分法求解最優(yōu)控制時，認用變分法求解最優(yōu)控制時，認 為控制向量為控制向量 不受限制。但是不受限制。但是 實際的系統(tǒng)，控制信號都是受到實際的系統(tǒng)，控制信號都是受到 某種限制的。某種限制的。 )(tu r RUt)(u 因此，應用控制方程因此，應用控制方程 來確定最優(yōu)控制，可能出錯。來確定最優(yōu)控制，可能出錯。 0 u H a)a)圖中所示，圖中所示，H 最小值出現在最小值出現在 左側，不滿足控制方程。左側，不滿足控制

53、方程。 b)b)圖中不存在圖中不存在 0 u H 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)66 3.2 3.2 極小值原理極小值原理 非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為非線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 （4242）),(uxfx f t初始時刻初始時刻 ，初始狀態(tài)，初始狀態(tài) ，末值時刻，末值時刻 ，末端狀態(tài)，末端狀態(tài) 自由自由 0 t)( 0 tx)( f tx Uu)(t（4343） 性能指標為末值型性能指標性能指標為末值型性能指標 ),( ff ttJx （4444） )( f tx 要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制要求在狀態(tài)方程約束下，尋求最優(yōu)控制 及及 使系統(tǒng)從使系統(tǒng)從 轉移到轉移到 ，并使，并使J 取極小值

54、。取極小值。 Uu * f t)( 0 tx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)67 以下就是用極小值原理解前面的問題：以下就是用極小值原理解前面的問題： 設設 為容許控制，為容許控制， 為對應的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成為對應的狀態(tài)軌線。為了使它們分別成 為最優(yōu)控制為最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線和最優(yōu)軌線 ，存在一個向量函數，存在一個向量函數 ，使得，使得 )(tu)(tx )(t * u)(t * x )(t * x H * （4545） x H * （4646） 其中哈密頓函數：其中哈密頓函數： ),(),(uxfux T tH（4747） )( * t （4949） （4848） 和和 滿足邊界條件

55、滿足邊界條件 )()( 0 * 0 tt tt xx )( )( * f f t t x )( * tx 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)68 則哈密頓函數則哈密頓函數H 相對最優(yōu)控制取極小值，即相對最優(yōu)控制取極小值，即 （5050）,min),( * tHtHuxux Uu 或者或者),( * tHux, * tHux （5151） consttHtH f )()( * 在末值時刻在末值時刻 是自由的情況是自由的情況 f t 哈密頓函數沿最優(yōu)軌線隨時間的變化規(guī)律：哈密頓函數沿最優(yōu)軌線隨時間的變化規(guī)律： 在末值時刻在末值時刻 是固定的情況是固定的情況 f t （5252） （5353）0)()(

56、* f tHtH 幾點說明：幾點說明： 1 1）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應該滿足的必要條件。）極小值原理給出的只是最優(yōu)控制應該滿足的必要條件。 2 2）極小值原理的結果與用變分法求解最優(yōu)問題的結果相比，差別）極小值原理的結果與用變分法求解最優(yōu)問題的結果相比，差別 僅在于極值條件。僅在于極值條件。 4 4）非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。）非線性時變系統(tǒng)也有極小值原理。 3 3）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值）這里給出了極小值原理，而在龐德里亞金著作論述的是極大值 原理。因為求性能指標原理。因為求性能指標J的極小值與求的極小值與求J的極大值等價。的極大值等價。 控制與接

57、口技術狀態(tài)方程(1)69 3.3 3.3 二次積分模型的快速控制二次積分模型的快速控制 在問題在問題2 2中，若中，若 ， ，令，令 。就是二次積分。就是二次積分 模型。模型。 0 F T1/ Dm JK)()(tutID 其狀態(tài)方程模型其狀態(tài)方程模型 ux 2 21 xx （5454） u1（5555） 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為系統(tǒng)的初始狀態(tài)為)0( 1 x)0( 2 x （5656） 末值狀態(tài)為末值狀態(tài)為0)( 1 f tx0)( 2 f tx（5757） 性能指標為性能指標為 f t ttJ f 0 d（5858） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)70 )( f tx 要求在狀態(tài)方程約束下，尋求滿足

58、（要求在狀態(tài)方程約束下，尋求滿足（5555）式的最優(yōu)控制）式的最優(yōu)控制 ，使系統(tǒng)從，使系統(tǒng)從 轉移到轉移到 ，同時使，同時使J 取極小值。取極小值。 )( * tu )0(x 因為在這個最優(yōu)控制問題中，控制信號因為在這個最優(yōu)控制問題中，控制信號 受限制，因此用極小值受限制，因此用極小值 原理來求解。系統(tǒng)是能控的，其解存在且唯一。原理來求解。系統(tǒng)是能控的，其解存在且唯一。 )(tu 1 1）哈密頓函數為）哈密頓函數為uxtuxH 221 ),( （5959） 2 2）根據極值條件（）根據極值條件（5050），來確定最優(yōu)控制。），來確定最優(yōu)控制。 只能用分析的方法確定只能用分析的方法確定u(t)，

59、使哈密頓函數取，使哈密頓函數取 極小值。顯然，在極小值。顯然，在u的限制條件下，選擇的限制條件下，選擇u 使使 H 取得極小。有取得極小。有 0)(1 0)(1 2 2* t t u （6060） 或或 )(sign 2 * tu（6161） 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)71 3 3）伴隨方程為）伴隨方程為 0 1 1 x H 1 2 2 x H 如果如果 的初始值為的初始值為 ， ，則，則 )(t 11 )0(d 22 )0(d 11 d tdd 122 （6262） （6363） 在在0， 內最多變號一次，最優(yōu)控制函數有以下可能的內最多變號一次，最優(yōu)控制函數有以下可能的4種情況種情況)(

60、2 t f t 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)72 4 4）由狀態(tài)方程可知，當）由狀態(tài)方程可知，當 時，求得時，求得1 * utxtx)0()( 22 2 211 2 1 )0()0()(ttxxtx 消去消去t 得得 )( 2 1 )0( 2 1 )0()( 2 2 2 211 txxxtx 或寫成或寫成 2 2 2 211 2 1 )0( 2 1 )0(xxxx 為了形象地表示系統(tǒng)的運動形態(tài)，引用相平面方法，畫出相軌跡如為了形象地表示系統(tǒng)的運動形態(tài)，引用相平面方法，畫出相軌跡如 下圖所示。相軌跡為兩族拋物線。下圖所示。相軌跡為兩族拋物線。 控制與接口技術狀態(tài)方程(1)73 從從 到達到達 的