高中物理競賽輔導(dǎo)3.1.1 幾何光學(xué)基礎(chǔ)

1、 第一講 幾 何 光 學(xué)1.1 幾何光學(xué)基礎(chǔ)1、光的直線傳播：光在同一均勻介質(zhì)中沿直線傳播。2、光的獨立傳播：幾束光在交錯時互不妨礙，仍按原來各自的方向傳播。3、光的反射定律：反射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；反射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；反射角等于入射角。4、光的折射定律：折射光線在入射光線和法線所決定平面內(nèi)；折射光線和入射光線分居法線兩側(cè)；入射角與折射角滿足；當(dāng)光由光密介質(zhì)向光疏介質(zhì)中傳播，且入射角大于臨界角c時，將發(fā)生全面反射現(xiàn)象（折射率為 的光密介質(zhì)對折射率為的光疏介質(zhì)的臨界角）。1.2 光的反射1.2.1、組合平面鏡成像：abss1s2s3o圖1-2-11.組合平面鏡 由兩個以

2、上的平面鏡組成的光學(xué)系統(tǒng)叫做組合平面鏡，射向組合平面鏡的光線往往要在平面鏡之間發(fā)生多次反射，因而會出現(xiàn)生成復(fù)像的現(xiàn)象。先看一種較簡單的現(xiàn)象，兩面互相垂直的平面鏡（交于o點）鏡間放一點光源s（圖1-2-1），s發(fā)出的光線經(jīng)過兩個平面鏡反射后形成了、三個虛像。用幾何的方法不難證明：這三個虛像都位于以o為圓心、os為半徑的圓上，而且s和、s和、和、和之間都以平面鏡（或它們的延長線）保持著ss1s2s3s4s5o圖1-2-2對稱關(guān)系。用這個方法我們可以容易地確定較復(fù)雜的情況中復(fù)像的個數(shù)和位置。圖1-2-3 l1l2ao兩面平面鏡ao和bo成60角放置（圖1-2-2），用上述規(guī)律，很容易確定像的位置：以

3、o為圓心、os為半徑作圓；過s做ao和bo的垂線與圓交于和；過和作bo和ao的垂線與圓交于和；過和作ao和bo的垂線與圓交于，便是s在兩平面鏡中的5個像。雙鏡面反射。如圖1-2-3，兩鏡面間夾角=15,oa=10cm，a點發(fā)出的垂直于的光線射向后在兩鏡間反復(fù)反射，直到光線平行于某一鏡面射出，則從a點開始到最后一次反射點，光線所走的路程是多少？l1l2aocbcod圖1-2-4 如圖1-2-4所示，光線經(jīng)第一次反射的反射線為bc，根據(jù)平面反射的對稱性,，且。上述均在同一直線上，因此光線在、之間的反復(fù)反射就跟光線沿直線傳播等效。設(shè)是光線第n次反射的入射點，且該次反射線不再射到另一個鏡面上，則n值應(yīng)

4、滿足的關(guān)系是90，。取n=5，總路程。2、全反射全反射光從密度媒質(zhì)1射向光疏媒質(zhì)2，當(dāng)入射角大于臨界角iabn1n2圖1-2-5時，光線發(fā)生全反射。全反射現(xiàn)象有重要的實用意義，如現(xiàn)代通訊的重要組成部分光導(dǎo)纖維，就是利用光的全反射現(xiàn)象。圖1-2-5是光導(dǎo)纖維的示意圖。ab為其端面，纖維內(nèi)芯材料的折射率，外層材料的折射率，試問入射角在什么范圍內(nèi)才能確保光在光導(dǎo)纖維內(nèi)傳播？圖1-2-5中的r表示光第一次折射的折射角，表示光第二次的入射角，只要大于臨界角，光在內(nèi)外兩種材料的界面上發(fā)生全反射，光即可一直保持在纖維內(nèi)芯里傳播。 p1p2mnababs圖1-2-6 只要即可。例1、如圖1-2-6所示，ab表

5、示一平直的平面鏡，是水平放置的米尺（有刻度的一面朝著平面鏡），mn是屏，三者相互平行，屏mn上的ab表示一條豎直的縫（即ab之間是透光的）。某人眼睛緊貼米尺上的小孔s（其位置如圖所示），可通過平面鏡看到米尺的一部分刻度。試在本題圖上用三角板作圖求出可看到的部位，并在上把這部分涂以標(biāo)志。分析: 本題考查平面鏡成像規(guī)律及成像作圖。人眼通過小孔看見的是米尺刻度的像。由反射定律可知，米尺刻度必須經(jīng)過平面鏡反射后，反射光線進入人的眼睛，人才會看到米尺刻度的像?？梢酝ㄟ^兩種方法來解這個問題。解法一：相對于平面鏡ab作出人眼s的像。連接sa并延長交平面鏡于點c，連接與點c并延長交米尺于點e，點e就是人眼看到

6、的米尺刻度的最左端；連接并延長交米尺于點f，且 與平面鏡交于d，連接s與點d，則點f就是人眼看到的米尺刻度的最右端。e與f之間的米尺刻度就是人眼可看到部分，如圖1-2-7所示。圖1-2-7圖1-2-8解法二：根據(jù)平面鏡成像的對稱性，作米尺及屏mn的像，分別是及，a、b的像分別為，如圖1-2-8所示。連接sa交ab于點c，延長并交于點，過點作的垂線，交于點e，此點就是人眼看到的米尺刻度的最左端；連接交ab于點d，延長并交于點，過點作（ab）的垂線交于點f，點f就是人眼看到的米尺刻度的最右端。ef部分就是人眼通過平面鏡可看見的米尺部分。點評：平面鏡成像的特點是物與像具有對稱性。在涉及到平面鏡的問題

7、中，利用這一特點常能使問題得以簡潔明晰的解決。abopp1p2120 （d）abop1p2p3p4（a）p5abop1p2p3p460（b）p4abo45p1p2p3p5p6p7 （c）圖1-2-9例2、兩個平面鏡之間的夾角為45、60、120。而物體總是放在平面鏡的角等分線上。試分別求出像的個數(shù)。分析：由第一面鏡生成的像，構(gòu)成第二面鏡的物，這個物由第二面鏡所成的像，又成為第一面鏡的物，如此反復(fù)下去以至無窮。在特定條件下經(jīng)過有限次循環(huán)，兩鏡所成像重合，像的數(shù)目不再增多，就有確定的像的個數(shù)。解：設(shè)兩平面鏡a和b的夾角為2，物p處在他們的角等分線上，如圖1-2-9（a）所示。以兩鏡交線經(jīng)過的o點為

8、圓心，op為半徑作一輔助圓，所有像點都在此圓周上。由平面鏡a成的像用表示，由平面鏡b成的像用表示。由圖不難得出：在圓弧上的角位置為在圓弧上的角位置為。其中k的取值為k=1，2， 若經(jīng)過k次反射，a成的像與b成的像重合，則 即 abcpo圖1-2-10aocp圖1-2-11當(dāng)時，k=4，有7個像，如圖1-2-9（a）所示；當(dāng)時，k=3，有5個像，如圖1-2-9（b）所示；當(dāng)時，k=1.5，不是整數(shù)，從圖1-2-10（d）可直接看出，物p經(jīng)鏡a成的像在鏡b面上，經(jīng)鏡b成的像則在鏡a面上，所以有兩個像。例3、要在一張照片上同時拍攝物體正面和幾個不同側(cè)面的像，可以在物體的后面放兩個直立的大平面鏡ao和

9、bo，使物體和它對兩個平面鏡所成的像都攝入照像機，如圖1-2-11所示。圖中帶箭頭的圓圈p代表一個人的頭部（其尺寸遠(yuǎn)小于oc的長度），白色半圓代表人的臉部，此人正面對著照相機的鏡頭；有斜線的半圓代表腦后的頭發(fā)；箭頭表示頭頂上的帽子，圖1-2-11為俯視圖，若兩平面鏡的夾角aob=72，設(shè)人頭的中心恰好位于角平分線oc上，且照相機到人的距離遠(yuǎn)大于到平面鏡的距離。1、 試在圖1-2-11中標(biāo)出p的所有像的方位示意圖。2、在方框中畫出照片上得到的所有的像（分別用空白和斜線圖1-2-13abpo圖1-2-12表示臉和頭發(fā)，用箭頭表示頭頂上的帽子）。本題只要求畫出示意圖，但須力求準(zhǔn)確。解: 本題的答案如

10、圖1-2-13所示。例4、五角樓是光學(xué)儀器中常用的一種元件，如圖1-2-14所示。棱鏡用玻璃制成，bc、cd兩平面高度拋光，ab、de兩平面高度拋光后鍍銀。試證明：經(jīng)bc面入射的光線，不管其方向如何，只要它能經(jīng)歷兩次反射（在abcaebd112.5112.5112.590圖1-2-14 與de面上），與之相應(yīng)的由cd面出射的光線，必與入射光線垂直。解: 如圖1-2-15所示，以i表示入射角,表示反射角，r表示折射角，次序則以下標(biāo)注明。光線自透明表面的a 點入射，在棱鏡內(nèi)反射兩次，由cd面的e點出射。可以看得出，在de面的b點；入射角為 反射角為 在四邊形beac中，i1abcde112.511

11、2.5112.5901i2i2i3i345i44f圖1-2-15 而 =于是， 在cdb中cdb=180 =180這就證明了：進入棱鏡內(nèi)的第一條光線ab總是與第三條光線ce互相垂直。由于棱鏡的c角是直角，=360-270-dec=90-dec=。設(shè)棱鏡的折射率為n，根據(jù)折射定律有 總是成立的，而與棱鏡折射率的大小及入射角的大小無關(guān)。只要光路符合上面的要求，由bc面的法線與cd面的法線垂直，又有出射光線總是與入射光線垂直，或者說，光線經(jīng)過這種棱鏡，有恒點的偏轉(zhuǎn)角90。圖1-2-16例6、橫截面為矩形的玻璃棒被彎成如圖1-2-16所示的形狀，一束平行光垂直地射入平表面a上。試確定通過表面a進入的光

12、全部從表面b射出的r/d的最小值。已知玻璃的折射為1.5。分析: 如圖1-2-17所示，從a外側(cè)入射的光線在外側(cè)圓界面上的入射角較從a內(nèi)側(cè)入射的光線入射角要大，最內(nèi)側(cè)的入射光在外側(cè)圓界面上的入射角最小。如果最內(nèi)側(cè)光在界面上恰好發(fā)生全反射，并且反射光線又剛好與內(nèi)側(cè)圓相切，則其余的光都能保證不僅在外側(cè)圓界面上，而且在后續(xù)過程中都能夠發(fā)生全反射，并且不與內(nèi)側(cè)圓相交。因此，抓住最內(nèi)側(cè)光線進行分析，使其滿足相應(yīng)條件即可。圖1-2-17解: 當(dāng)最內(nèi)側(cè)光的入射角大于或等于反射臨界角時，入射光線可全部從b表面射出而沒有光線從其他地方透出。即要求 而 所以 即 故 點評 對全反射問題，掌握全反射產(chǎn)生的條件是基礎(chǔ)

13、，而具體分析臨界條件即“邊界光線”的表現(xiàn)是解決此類問題的關(guān)鍵。圖1-2-18例7 普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細(xì)絲，由具有圓形截面的纖芯a和包層b組成，b的折射率小于a的折射率，光纖的端面與圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯a和包層b的分界面上發(fā)生多次全反射?，F(xiàn)在利用普通光纖測量流體f的折射率。實驗方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體f中。令與光纖軸平行的單色平行光束經(jīng)凸透鏡折射后會聚在光纖入射端面的中心o。經(jīng)端面折射進入光纖，在光纖中傳播。由于o點出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為，如圖1-2-18所示。最后光從另一端面出射進入流體f。在距出射端面

14、處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏d，在d上出現(xiàn)一圓形光斑，測出其直徑為，然后移動光屏d至距光纖出射端面 處，再測出圓形光斑的直徑，如圖1-2-19所示。（1）若已知a和b的折射率分別為與。求被測流體f的折射率的表達式。（2）若、和均為未知量，如何通過進一步的實驗以測出的值？圖1-2-19分析 光線在光纖中傳播時，只有在纖芯a與包層b的分界面上發(fā)生全反射的光線才能射出光纖的端面，據(jù)此我們可以作出相應(yīng)的光路圖，根據(jù)光的折射定律及幾何關(guān)系，最后可求出。解: （1）由于光纖內(nèi)所有光線都從軸上的o點出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內(nèi)，圖1-2-20為縱面內(nèi)的光路圖。設(shè)由o點發(fā)出的與軸

15、的夾角為的光線，射至a、b分界面的入射角為i，反射角也為i，該光線在光纖中多次反射時的入射角均為i，射至出射端面時的入射角為。若該光線折射后的折射角為，則由幾何關(guān)系和折射定可得 90 當(dāng)i大于全反射臨界角時將發(fā)生全反射，沒有光能損失，相應(yīng)的光線將以不變的光強射向出射端面。而的光線則因在發(fā)生反射時有部分光線通過折射進入b，反射光強隨著反射次數(shù)的增大而越來越弱，以致在未到達出射端面之前就已經(jīng)衰減為零了。因而能射向出射端面的光線的i的數(shù)值一定大于或等于，的值由下式?jīng)Q定：圖1-2-20 與對應(yīng)的值為 當(dāng)，即時，或時，由o發(fā)出的光束中，只有的光線才滿足的條件下，才能射向端面，此時出射端面處的最大值為 若

16、，即時，則由o發(fā)出的光線都能滿足的條件，因而都能射向端面，此時出射端面處的最大值為 端面處入射角最大時，折射角也達最大值，設(shè)為，由式可知 由、式可得，當(dāng)時， 由至式可得，當(dāng)時，圖1-2-21 的數(shù)值可由圖1-2-21上的幾何關(guān)系求得為 于是的表達式應(yīng)為 （11） （12）（2）可將輸出端介質(zhì)改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測量，可測得 、 、，這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同。已知空氣的折射率等于1，故有當(dāng)時， （13）當(dāng)時 （14）將（11）（12）兩式分別與（13）（14）相除，均得 （15）此結(jié)果適用于為任何值的情況。1.4、光在球面上的反射與折射1.4.1、球面鏡成像（1

17、）球面鏡的焦距球面鏡的反射仍遵從反射定律，法線是球面圖1-4-1圖1-4-2的半徑。一束近主軸的平行光線，經(jīng)凹鏡反射后將會聚于主軸上一點f（圖1-4-1），這f點稱為凹鏡的焦點。一束近主軸的平行光線經(jīng)凸面鏡反射后將發(fā)散，反向延長可會聚于主軸上一點f（圖1-4-2），這f點稱為凸鏡的虛焦點。焦點f到鏡面頂點o之間的距離叫做球面鏡的焦距f。可以證明，球面鏡焦距f等于球面半徑r的一半，即（2）球面鏡成像公式 根據(jù)反射定律可以推導(dǎo)出球面鏡的成像公式。下面以凹鏡為例來推導(dǎo)：（如圖1-4-3所示）設(shè)在凹鏡的主軸上有一個物體s，由s發(fā)出的射向凹鏡的光線鏡面a點反射后與主軸交于點，半徑ca為反射的法線，即s的

18、像。根據(jù)反射定律，則ca為角a的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)有 由為sa為近軸光線，所以，式可改寫為 式中os叫物距u，叫像距v，設(shè)凹鏡焦距為f，則 代入式 化簡 這個公式同樣適用于凸鏡。使用球面鏡的成像公式時要注意：凹鏡焦距f取正，凸鏡焦距f取負(fù)；實物u取正，虛物u取負(fù)；實像v為正，虛像v為負(fù)。上式是球面鏡成像公式。它適用于凹面鏡成像和凸面鏡成像，各量符號遵循“實取正，虛取負(fù)”的原則。凸面鏡的焦點是虛的，因此焦距為負(fù)值。在成像中，像長 和物長h之比為成像放大率，用m表示，由成像公式和放大率關(guān)系式可以討論球面鏡成像情況，對于凹鏡，如表所列；對于凸鏡，如表所列。表 凹鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的

19、位置像的大小像的正倒像的虛實實物同側(cè)f縮小倒實2f同側(cè)f2f縮小倒實2f同側(cè)2f等大倒實2ff同側(cè)f2f放大倒實f放大f0異側(cè)0放大正虛虛物異側(cè)0f縮小正實表 凸鏡成像情況物的性質(zhì)物的位置像的位置像的大小像的正倒像的性質(zhì)實物f同側(cè)0f縮小正虛虛物2f同側(cè)f2f縮小倒虛2f同側(cè)2f等大倒虛f2f同側(cè)2f放大倒虛ff0異側(cè)0放大正實（3）球面鏡多次成像 球面鏡多次成像原則：只要多次運用球面鏡成像公式即可，但有時前一個球面鏡反射的光線尚未成像便又遇上了后一個球面鏡，此時就要引進虛像的概念。圖1-4-4如圖1-4-4所示，半徑為r的凸鏡和凹鏡主軸相互重合放置，兩鏡頂點o1 、 o2 相距2.6r，現(xiàn)于

20、主軸上距凹鏡頂點o1為0.6r處放一點光源s。設(shè)點光源的像只能直接射到凹鏡上，問s經(jīng)凹鏡和凸鏡各反射一次后所成的像在何處？s在凹鏡中成像， 可解得 ,根據(jù)題意：所以凹鏡反射的光線尚未成像便已又被凸鏡反射，此時可將凹鏡原來要成像作為凸鏡的虛物來處理， ， 可解得 說明凸鏡所成的像和s在同一位置上。1.4.2、球面折射成像（1）球面折射成像公式 （a）單介質(zhì)球面折射成像圖1-4-5如圖1-4-5所示，如果球面左、右方的折射率分別為1和n，為s的像。因為i、r均很小，行以 因為 ，代入式可有 對近軸光線來說，、同樣很小，所以有 ，代入式可得 當(dāng)時的v是焦距f，所以 （b）雙介質(zhì)球面折射成像如圖1-4

21、-6所示，球形折射面兩側(cè)的介質(zhì)折射率分別n1和n2，c是球心，o是頂點，球面曲率半徑為r，s是物點，是像點，對于近軸光線 ， ，聯(lián)立上式解得 圖1-4-6這是球面折射的成像公式，式中u、的符號同樣遵循“實正虛負(fù)”的法則，對于r；則當(dāng)球心c在出射光的一個側(cè)，（凸面朝向入射光）時為正，當(dāng)球心c在入射光的一側(cè)（凹面朝向入射光）時為負(fù)。若引入焦點和焦距概念，則當(dāng)入射光為平行于主軸的平行光（u=）時，出射光（或其反向延長線）的交點即為第二焦點，（也稱像方焦點），此時像距即是第二焦距，有。當(dāng)出射光為平行光時，入射光（或其延長線）的交點即第一焦點（即物方焦點），這時物距即為第一焦距，有，將、代入成像公式改寫

22、成 反射定律可以看成折射定律在時的物倒，因此，球面鏡的反射成像公式可以從球面鏡折射成像公式中得到，由于反射光的行進方向逆轉(zhuǎn)，像距和球面半徑r的正負(fù)規(guī)定應(yīng)與折射時相反，在上述公式中令，即可得到球面鏡反射成像公式，對于凹面鏡，對于凸面鏡，厚透鏡成像。（c）厚透鏡折射成像圖1-4-7t設(shè)構(gòu)成厚透鏡材料的折射率為n，物方介質(zhì)的折射率為，像方介質(zhì)的折射率為，前后兩邊球面的曲率半徑依次為和，透鏡的厚度為，當(dāng)物點在主軸上的p點時，物距，現(xiàn)在來計算像點的像距。，首先考慮第一個球面aob對入射光的折射，這時假定第二個球面aob不存在，并認(rèn)為球aob右邊，都為折射率等于n的介質(zhì)充滿，在這種情況下，p點的像將成在處

23、，其像距，然后再考慮光線在第二個球面的折射，對于這個球面來說，便是虛物。因此對于球面aob，物像公式為 對于球面aob，物像公式為這樣就可以用二個球面的成像法來求得透鏡成像的像距u。（2）光焦度 60cm30cm圖1-4-8折射成像右端僅與介質(zhì)的折射率及球面的曲率半徑有關(guān)，因而對于一定的介質(zhì)及一定形狀的表面來說是一個不變量，我們定義此量為光焦度，用表示： 它表征單折射球面對入射平行光束的屈折本領(lǐng)。的數(shù)值越大，平行光束折得越厲害；0時，屈折是會聚性的；0時，屈折是發(fā)散性的。=0時，對應(yīng)于，即為平面折射。這時，沿軸平行光束經(jīng)折射后仍是沿軸平行光束，不出現(xiàn)屈折現(xiàn)象。光焦度的單位是米-1，或稱屈光度，

24、將其數(shù)值乘以100，就是通常所說的眼鏡片的“度數(shù)”。（3）鍍銀透鏡與面鏡的等效 圖1-4-9有一薄平凸透鏡，凸面曲率半徑r=30cm，已知在近軸光線時：若將此透鏡的平面鍍銀，其作用等于一個焦距是30cm的凹面鏡；若將此透鏡的凸面鍍銀，其作用也等同于一個凹面鏡，其其等效焦距。當(dāng)透鏡的平面鍍銀時，其作用等同于焦距是30cm的凹面鏡，即這時透鏡等效面曲率半徑為60cm的球面反射鏡。由凹面鏡的成像性質(zhì)，當(dāng)物點置于等效曲率中心 時任一近軸光線經(jīng)凸面折射，再經(jīng)平面反射后將沿原路返回，再經(jīng)凸面折射后，光線過 點，物像重合。如圖1-4-8所示。，。依題意，故。凸面鍍銀，光路如圖1-4-9所示。關(guān)鍵尋找等效曲率

25、中心，通過凸面上任一點a作一垂直于球面指向曲率中心c的光線。此光線經(jīng)平面折射后交至光軸于，令則，得。圖1-4-10由光的可逆性原理知，是等效凹面鏡的曲率中心，f=10cm。例1、如圖1-4-10所示，一個雙凸薄透鏡的兩個球面的曲率半徑均為r，透鏡的折射率為n，考察由透鏡后表面反射所形成的實像。試問物放于何處，可使反射像與物位于同一豎直平面內(nèi)（不考慮多重反射）。解: 從物點發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面（即左表面）反射后形成虛像，不合題意，無須考慮。從物點發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后，再經(jīng)透鏡后表面反射折回，又經(jīng)前表面折射共三次成像，最后是實像，符合題意。利用球面折射成像公式和球面反射成像公式，結(jié)合物與像共

26、面的要求。就可求解。球面反射的成像公式為：，其中反射面的焦距為（r為球面半徑），對凹面鏡，f取正值，對凸面鏡，f取負(fù)值。圖1-4-11甲球面折射的成像公式為：。當(dāng)入射光從頂點射向球心時，r取正值，當(dāng)入射光從球心射向頂點時，r取負(fù)值。如圖1-4-11甲所示，當(dāng)物點q發(fā)出的光經(jīng)透鏡前表面折射后成像于，設(shè)物距為u，像距為v，根據(jù)球面折射成像公式： 這里空氣的折射率，透鏡介質(zhì)的折射率，入射光從頂點射向球心，r=r取正值，所以有 （1）圖1-4-11乙圖1-4-11丙這是第一次成像。對凸透鏡的后表面來說，物點q經(jīng)透鏡前表面折射所成的風(fēng)點是它的物點，其物距（是虛物），經(jīng)透鏡后表面反射后成像于，像距為（如圖

27、1-4-11乙所示），由球面反射成像公式 將前面數(shù)據(jù)代入得 （2）這是第二次成像。由透鏡后表面反射成的像點又作為透鏡前表面折射成像的物點，其物距（是虛物），再經(jīng)過透鏡前表面折射成像于，像距為，（見圖1-4-11丙所示），再由球面折射成像公式 這時人射光一側(cè)折射率，折射光一側(cè)折射率(是空氣），入射光由球心射向頂點，故r值取負(fù)值。所以可寫出 代入前面得到的關(guān)系可得 （3）這是第三次成像，由（1）、（2）兩式可解得 （4）再把（4）式和（3）式相加，可得 （5）為使物點q與像點在同一豎直平面內(nèi)，這就要求 代入（5）是可解得物距為 圖1-4-12說明 由本題可見，觀察反射像，調(diào)整物距，使反射像與物同在

28、同一豎直平面內(nèi)，測出物距p，根據(jù)上式就可利用已知的透鏡折射率n求出透鏡球面的半徑r，或反過來由已咋的球面半徑r求出透鏡的折射率n。例2、顯微鏡物鏡組中常配有如圖1-4-12所示的透鏡，它的表面是球面，左表面的球心為，半徑為，右表面的球心為，半徑為，透鏡玻璃對于空氣的折射率為n，兩球心間的距離為 。在使用時，被觀察的物位于處，試證明1、從物射向此透鏡的光線，經(jīng)透鏡折射后，所有出射光線均相交于一點q。2、 。解: 首先考慮面上的折射，由于物在球心處，全部入射光線無折射地通過面，所以對來說，物點就在處。再考慮到面上的折射。設(shè)入射光線與主軸的夾角為，入射點為p，入射角為i，折射角為r，折射線的延長線與

29、主軸的交點為q如圖1-4-13，則由折射定律知圖1-4-13 在中應(yīng)用正弦定理得已知 由此得 所以 設(shè)cp與主軸的夾角為，則有 顯然，0時，r，因此出射線與主軸相交之點q必在透鏡左方。為的外角 在中應(yīng)用正弦定理，得 的數(shù)值與無關(guān)，由此可見，所有出射線的延長線都交于同一點，且此點與的距離為。圖1-4-14例3、有一薄透鏡如圖1-4-14，面是旋轉(zhuǎn)橢球面（橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面），其焦點為和；面是球面，其球心c與 重合。已知此透鏡放在空氣中時能使從無窮遠(yuǎn)處于橢球長軸的物點射來的全部入射光線（不限于傍軸光線）會聚于一個像點上，橢圓的偏心率為e。(1)求此透鏡材料的折射率n（要論證）；(2)如果將此

30、透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達到上述的同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足什么條件？圖1-4-15分析: 解此題的關(guān)鍵在于是正確地運用橢圓的幾何性質(zhì)及折射定律。解: (1)根據(jù)題設(shè)，所有平行于旋轉(zhuǎn)橢球長軸的入射光線經(jīng)旋轉(zhuǎn)橢球面和球面兩次折射后全部都能會聚于同一像點，可作出如下論證：如果經(jīng)橢球面折射后射向球面的光線都射向球心c，即射向旋轉(zhuǎn)橢球面的第二焦點，則可滿足題設(shè)要求。光路圖如圖1-4-15所示：pa為入射線，ac為經(jīng)橢球面折射后的折射線，bn為a點處橢球面的法線，i為入射角，r為折射角。根據(jù)橢圓的性質(zhì)，法線bn平分 ，故與法線的夾角也是r，由正弦定律可得 ，從而可求得 2a為長軸的長度，2c為焦點間的

31、距離；即只要n滿足以上條件，任意入射角為i的平行于旋轉(zhuǎn)橢球長軸的入射光線都能會聚于c（即）點。（2）如果透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，則要求 即橢圓的偏心率e應(yīng)滿足 圖1-4-16圖1-4-17由于橢圓的e1，如果就無解。只要 ，總可以找到一個橢球面能滿足要求。例4、（1）圖1-4-16所示為一凹球面鏡，球心為c，內(nèi)盛透明液體。已知c至液面高度ce為40.0cm，主軸co上有一物a，物離液面高度ae恰好為30.0cm時，物a的實像和物處于同一高度。實驗時光圈直徑很小，可以保證近軸光線成像。試求該透明液體的折射率n。（2）體溫計橫截面如圖1-4-17所示，已知細(xì)水銀柱a離圓柱面頂點o的距離為2r，r

32、為該圓柱面半徑，c為圓柱面中心軸位置。玻璃的折射率n=3/2，e代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛像、正倒和放大倍數(shù)。圖1-4-18解: （1）主軸上物a發(fā)出的光線ab，經(jīng)液體界面折射后沿bd方向入射球面鏡時，只要bd延長線經(jīng)過球心c，光線經(jīng)球面反射后必能沿原路折回。按光的可逆性原理，折回的光線相交于a（圖1-4-18）。對空氣、液體界面用折射定律有 當(dāng)光圈足夠小時，be，因此有 圖1-4-19（2）先考慮主軸上點物a發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向acoe入射界面，無偏折地出射，進入人眼e。其二沿ap方向以入射角i斜入射界面p點，折射角為r。折射光線pq要能進入人眼e，p點應(yīng)非

33、常靠近o點，或說入射角i 折射角r應(yīng)很小。若角度以弧度量度，在小角（近軸）近似下，折射定律可寫為。這兩條光線反向延長，在主軸上相交于，即為物a之虛像點（圖1-4-19）對用正弦定律，得 在小角（近軸）近似下：，上式可寫為 解上式得 為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體ab，即然是一對共軛點，只要選從b發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長線與過垂軸線相交于，是點物b虛像點，即是物ab之正立虛像。圖1-4-20選從b點發(fā)出過圓柱面軸心c之光線bc。該光線對界面來說是正入射（入射角為零），故無偏折地出射，反向延長bc線交過垂軸線于，從得放大率=例5、有一半徑為r=0.128m的玻璃半球，過球心o并與其平面部分相垂直的直線為其主軸，在主軸上沿