第4章習(xí)題解答

1、第4章 周期信號的頻域分析 97第4章 周期信號的頻域分析習(xí)題詳解4-1試比較0所示的四種周期方波信號，說明每種信號的對稱特性并寫出fourier級數(shù)展開式。(a) (b)(c) (d)【解】 (a)所以 實偶對稱，fourier級數(shù)展開式中只含有直流分量與余弦分量。減去直流分量后為半波鏡像信號，fourier級數(shù)展開式中只有奇次諧波。(b) 從圖形觀察：所以 減去直流分量實奇對稱，fourier級數(shù)展開式中只含有直流分量與正弦分量。減去直流分量后為半波鏡像信號，fourier級數(shù)展開式中只有奇次諧波。(c) 從圖形觀察：所以 實偶對稱，且是半波鏡像信號，fourier級數(shù)展開式中只含有奇次諧

2、波的余弦分量。(d) 從圖形觀察：所以 實奇對稱，且是半波鏡像信號，fourier級數(shù)展開式中只含有奇次諧波的正弦分量。 4-2試求0所示的周期信號的fourier級數(shù)展開式。【解】 所以 4-3求下列信號的指數(shù)形式fourier級數(shù)展開式。(1)(2)(3)(4)【解】(1) 即 ， 。(2)即 (3) ，所以 ，。(4) ，即 ，4-4應(yīng)用對稱性質(zhì)求0所示周期沖激信號的三角形式和指數(shù)形式的fourier級數(shù)展開式。 (a) (b)【解】 (a) 所以(b) 其中：所以 4-5若f1(t)和f2(t)是基波周期為t0的周期信號，它們的指數(shù)傅里葉級數(shù)表示式為： 證明：證：，證畢。4-6(a)

3、已知周期信號f(t)波形如0(a)所示，試求出周期信號f(t)的指數(shù)形式的fourier級數(shù)表達式。(b) 周期信號g(t)=f(-t)波形如0(b)所示，試求出周期信號g(t)的指數(shù)形式的fourier級數(shù)表達式(c) 找出(a)和(b)中fourier系數(shù)的關(guān)系,并證明此關(guān)系在一般情況下亦成立。(d) 周期信號h(t)=f(2t)波形如0(b)所示，試求出周期信號h(t)的指數(shù)形式的fourier級數(shù)表達式(e) 找出(a)和(e)中fourier系數(shù)的關(guān)系,并證明此關(guān)系在一般情況下亦成立。(a)(b)(c)【解】 (a) 從圖中可以看出 , 所以 因此 (b) g(t)=f(-t)，為的

4、fourier級數(shù)系數(shù)。所以 因此 (c)從和的關(guān)系式可以看出：。若和分別是周期為t的周期信號f(t)和g(t)的fourier系數(shù)，當(dāng)g(t)=f(-t)，則有。證明： ，由于g(t)=f(-t)，所以，證畢。(d) h(t)=f(2t) 設(shè) ，其中，是h(t)的fourier系數(shù)。因此 (e) 若和分別是周期信號f(t)和h(t)的fourier系數(shù)，當(dāng)h(t)=f(2t)，且f(t)周期為t，則有。證明：由于f(t)周期為t，所以h(t)周期為t/2， ，所以，令，所以，證畢。4-7已知連續(xù)周期信號的頻譜如0所示，試寫出實數(shù)形式的fourier級數(shù)（）?！窘狻?從圖中可知，其它項為0。所

5、以4-8已知周期信號的f(t)為，試求f(t)的fourier級數(shù)表示式，并畫出其頻譜?！窘狻?，根據(jù)歐拉公式，f(t)可以寫為所以，（）。 將用模和相角表示為，可得，；，。由此可畫出信號f(t)的幅度頻譜和相位頻譜，分別如0(a)(b)所示。(a) (b) 題4-8信號頻譜圖4-9已知周期信號f(t)波形如0所示，試求利用周期信號的對稱性求出f(t)的fourier級數(shù)表達式?！窘狻?將復(fù)雜信號分解為簡單信號，設(shè)。如0所示。從圖形上看，信號和周期為，所以。設(shè) 其中 利用fourier級數(shù)的時移特性和線性特性，可得 4-10已知周期為t0的周期信號f(t)的fourier系數(shù)為cn，即，試求下

6、列周期信號的的fourier系數(shù)。(a) x(t)=f(t-1)(b) (c) (d) 【解】 (a) 設(shè)，x(t)=f(t-1)所以 。(b) 設(shè)，所以 。(c) 設(shè)， (d) 利用(c)的結(jié)論可得 4-11如果用fourier級數(shù)表示一個在有限區(qū)間內(nèi)定義的信號，而不是周期信號，則fourier級數(shù)的表示形式是不唯一的。例如要表示在區(qū)間0t1定義的函數(shù)f(t)=t，可以選用周期t0=p, w0=2的fourier級數(shù)來表示，如0(a)所示。如果要fourier級數(shù)表示中無正弦項，可以構(gòu)造一個周期t0=p，在區(qū)間-1t1上f(t)=|t|的信號，如0(b)所示。則該信號的fourier級數(shù)表示

7、中就沒有正弦項。已知(a)(b)根據(jù)下面的不同要求，畫出f(t)在其它區(qū)間的波形。(a) w0=p /2，含有各次諧波，但只有余弦項。(b) w0=2， 含有各次諧波，但只有正弦項。(c) w0=p /2，含有各次諧波，既有余弦項也有正弦項。(d) w0=1， 含有奇次諧波和余弦項。(e) w0=p /2，含有奇次諧波，和有正弦項。(f) w0=1，含有奇次諧波，既有余弦項也有正弦項?！窘狻?根據(jù)對稱信號的fourier級數(shù)性質(zhì)，偶對稱信號含有余弦分量，奇對稱信號含有正弦分量，半波重疊函數(shù)含有偶次諧波分量，半波鏡像信號含有奇次諧波分量。(a) 信號是偶對稱信號，周期 t0=2pw0 =4，如圖

8、(a)所示。(b) 信號是奇對稱信號，周期 t0=2p/w0 =p，如圖(b)所示。(c) 信號不具有奇、偶對稱性，周期 t0=2p/w0 =4，如圖(c)所示。(d) 信號既是半波鏡像對稱又是偶對稱信號，周期 t0=2p/w0 =2p，如圖(d)所示。(e) 信號既是半波鏡像對稱又是奇對稱信號，周期 t0=2p/w0 =4，如圖(e)所示。(f) 信號是半波鏡像，除此之外不具有奇、偶對稱性。周期 t0=2p/w0 =2p，如圖(f)所示。(a) t0=4(b)t0=p(c) t0=4 不唯一(d) t0=2p(e) t0=4(f) t0=2p 不唯一 題4-11解答圖4-12試確定下列周期為

9、4的序列的dfs系數(shù)。, 【解】 序列的周期n=4，寫成矩陣形式為 ，寫成矩陣形式為4-13試計算下列周期為4的序列的周期卷積, 【解】 周期卷積，設(shè)，在n=4時，兩個周期為4的周期序列的周期卷積可表示為 4-14在0中畫出了幾個周期序列，它們的dfs表示可以寫成(1)哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有成實序列？(2)哪些序列能夠通過選擇時間原點使所有(除外)成虛序列？(3)哪些序列能夠做到等？【解】 是實序列，且周期n=8。(1) 若滿足，必須實部偶對稱，虛部奇對稱。由于是實序列，所以是偶對稱函數(shù)，只有0(b)可以。如0(a)(b)所示，=1,1,0,0,0,0,0,1是偶對稱序列，=0,0

10、 ,0,1,1,1,0,0也是偶對稱序列。(a)(b) 題4-14(1)解答圖(2) 若滿足， 必須實部奇對稱，虛部偶對稱。由于是實序列，所以是奇對稱序列。由于沒有奇對稱序列，所以滿足條件的序列不存在。(3) ，所以. 所以，所以，綜上所述，0(a)與(c)滿足條件。4-15試確定下列周期序列的周期及dfs系數(shù)(1)(2)【解】 如果序列是周期的，則(m，n是整數(shù))，互質(zhì)時，則是序列的周期。周期序列的dfs系數(shù)，對于正弦類信號也可以通過與idfs 對比求解dfs系數(shù)。(1)，是有理數(shù)，因此序列是周期的，且周期。，而，對比得, (2)的周期為6，的周期為8，所以的周期為n=24。，而，所以，根據(jù)

11、的周期性，可得其在上的值為，。4-16已知 ，試求?！窘狻?可見 。4-17如果是一個周期為n的序列，它也是周期為2n的周期序列。令周期為n，而周期為2n，試根據(jù)來確定。【解】 方法一： 方法二：所以 4-18試確定以下周期離散序列的dfs表示，并畫出dfs系數(shù)fm的幅度譜和相位譜。(a)(b)(c) fk的周期為8，且(d) fk的周期為6，且(e) 【解】 (a) 計算序列周期 ， ，所以周期。，而 ，對比可得 f3=f5=4。(b) 可見的周期為n=12, 。根據(jù)的周期性，可得其在上的值為f1=12j, f5=12j, f7= -12j , f11= -12j。(c) ,所以 =4, 1

12、-2.4142j, 0, 1-0.4142j, 0, 1+0.4142j, 0, 1+2.4142j。(d) =6, -3.5-2.5981j, 1.5+0.866j, -2, 1.5-0.866j, -3.5+2.5981j 。(e) =,周期n=6。 =0, 0, 6, 6, 6, 0 。4-19已知周期序列fk的dfs系數(shù)fm如下, 試確定周期序列fk:(a)(b) (c),(d)【解】 (a) 判斷周期的方法和判斷周期的方法相同，周期n=8。所以有，根據(jù)的周期性，可得其在上的值為。(b) ，周期n=8。所以 =0.5, 0.125+0.3018j, 0 , 0.125+0.0518j, 0, 0.125-0.0518j, 0 ,