人教A高中數(shù)學(xué)必修五導(dǎo)練課件：3.3.2第二課時(shí)簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用

1、第二課時(shí)簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求素養(yǎng)達(dá)成1 .會從實(shí)際情境中列舉出一些簡單的二元線性規(guī) 戈u問題，并能加以解決.2 . 了解簡單的線性規(guī)劃最優(yōu)整數(shù)解的求解方法.通過對簡單線性規(guī)劃應(yīng)用的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù) 處理能力及數(shù)學(xué)建模能力.課堂探究素養(yǎng)提升題型一求最大值的實(shí)際應(yīng)用問題例1某公司計(jì)劃在甲、乙兩個(gè)電視臺做總 時(shí)間不超過300分鐘的廣告，廣告總費(fèi)用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告 收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)分別為500元/分 鐘和200元/分鐘，假定甲、乙兩個(gè)電視臺為該公司 所做的每分鐘廣告，能給公司帶來的收益分別為03萬元和02萬元問該 公司如何分配在甲、乙兩個(gè)電視臺的廣告時(shí)間，才能使公司的收益最大，

2、最 大收益是多少萬元？規(guī)范解答:設(shè)該公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時(shí)間分別為x分鐘和y分 鐘，總收益為z元，由題意得x + y 300,500 兀 + 200y 90000, x0, j2 0.目標(biāo)函數(shù)為z=3 ooox+2 oooy5分x + y300,二元-次不等式組等價(jià)于：v觀作出二元-次不等式組所表示的平面區(qū)域，即可行域，如圖陰影部分.作直線1： 3 ooox+2 000y=0,即3x+2y二0 .平移直線1,由圖可知，當(dāng)直線1過m點(diǎn) 時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.聯(lián)立f + = 解得x=100,尸200.5x + 2y = 900,所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為(100,200) 1。分所以z 口奐二

3、3 000x100+2 000x200=700 000(元).11分因此,該公司在甲電視臺做100分鐘廣告,在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大5最大收益是70萬兀12分規(guī)律總結(jié)利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的步驟（1）設(shè)出未知數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)較多時(shí)，可以列表格來分析數(shù)據(jù)）；（2）列出約束 條s,確立目標(biāo)函數(shù)；（3）作出可行域；（4）利用圖解法求出最優(yōu)解；（5）得 出論-即時(shí)訓(xùn)練一仁某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用a原料3 噸,b原料2噸;生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用a原料1噸,b原料3噸-銷售每噸甲產(chǎn)品 可獲得利潤5萬元，每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期 內(nèi)消耗a原料不超過13

4、噸,b原料不超過18噸，求該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周 期內(nèi)可 獲得的最大利潤.解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，生產(chǎn)乙產(chǎn)品y噸，則有關(guān)系a原料b原料甲產(chǎn)品x噸3x2x3y乙產(chǎn)品y噸兀0,目標(biāo)函數(shù)為z=5x+3y,作出可行域如圖所示，把z=5x+3y變形為3x+y 13, 2x + 3y 18,p l4)尸*得到斜率曙，在y軸上的截距為含內(nèi)z變化 與里 j的-組平行直線，由圖可以看出，當(dāng)直線尸+ x+ j經(jīng)過可行域上的a點(diǎn)時(shí)，截嗎最大，即z最大.解方程組忙雷得a的坐標(biāo)為陽)所心如xm.故可獲得最大利潤為27萬元.備用例1某公司計(jì)劃同時(shí)出售電子琴和洗衣機(jī)，由于兩種產(chǎn)品的市場需 求量非常大，有多少就能銷售多少，因此該公

5、司要根據(jù)實(shí)際情況（如 資金、勞 動力等）確定產(chǎn)品的月供應(yīng)量，以使得總利潤達(dá)到最大,已知對 這兩種產(chǎn)品有 直接限制的因素是資金和勞動力，通過調(diào)查，得到關(guān)于兩 種產(chǎn)品的有關(guān)數(shù)據(jù) 如下表：電子琴 （架）洗衣機(jī)（臺）月供應(yīng)量成本（百元）3020300勞動力510110貨的供應(yīng)量， 才使總利禍最大,f的a點(diǎn)時(shí),z=6x+8y取得最大值,解方程組；of,得 am,代入滬 5x + 10y = 110,解:設(shè)電子琴和洗衣機(jī)月供應(yīng)量分別為x架、y臺，總利潤為z百元則根據(jù)題u，有30x + 20y 300,且z=6x+8y,作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中所示5x + 10y 110,兀，y gn 的陰影部分

6、令z=0,作直線lo : 6x+8y=o,即3x+4y=0 當(dāng)移動直線1。平移至過圖中6x+8y得26x4+8x9=96 ,所以當(dāng)供應(yīng)量為電 子琴4架、洗衣機(jī)9臺時(shí),公司可 獲得最大利潤，最大利潤是96百元.(2) (2016 天津卷)某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要a, b, c三種 主要原料-生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙種肥料所需三種原料的噸 數(shù) 如下表所示：原 料肥料abc甲483現(xiàn)有a種請料200 nifl b種原嗨360噸,c種原料照0噸，在tt:基礎(chǔ)上壟產(chǎn)甲、乙兩種肥料-已知生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元;生產(chǎn)1車皮乙 種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元-分別用x, y表示

7、計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙兩種肥 料的車 皮數(shù).用x, y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域；4x+5y200, 8x + 5y 360,解：(2)由已知,x,y滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式為3x + 10y0,所表不的平面區(qū)域?yàn)閳D1中的陰影部分.100&rf5a36010 xsx+10a3004x+5 尸 200 圖 1問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤?并求出此最 大利潤-9解:設(shè)利潤為z萬元,則目標(biāo)函數(shù)為2x+3y考慮z=2x+3y,將它變形為尸-亍x+1，它的圖象是斜率為一”變化的一族平行直線,1為直線在y軸上的截距，當(dāng)4x + 5y = 200,(取最大值時(shí),z的值最大-

8、又因?yàn)閤, y滿足約束條件，所以由圖2可知,當(dāng)直線 z=2x+3y經(jīng)過可行域上的點(diǎn)m時(shí)，截距才最大，即z最大.解方程組得點(diǎn)m的坐標(biāo)為(20,24),所以z肪2x20+3x24=112.3x + 10y =答:生產(chǎn)甲種肥料20車皮、乙種肥料24車皮時(shí)利潤最大,且最大利潤為112萬元.&c+5y=3602x+3y=0、103n0y=3004x+5?=200圖2題型二求最小值的實(shí)際應(yīng)用問題 例2 （2019.山東荷澤檢測）某公司的倉庫a存有貨物12 t,倉庫b存有 貨物8 t 現(xiàn)按7 t,8 t和5 t把貨物分別調(diào)運(yùn)給甲、乙、丙三個(gè)商店，從倉 庫a運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為8元、6

9、元、9元；從 倉庫b運(yùn)貨物到商店甲、乙、丙，每噸貨物的運(yùn)費(fèi)分別為3元、4元、5元 應(yīng)如何安排調(diào)運(yùn)方案，才能使得從兩個(gè)倉庫運(yùn)貨物到三個(gè)商店的總運(yùn)費(fèi)最 少？解:設(shè)倉庫a運(yùn)給甲、乙商店的貨物分別是xt,yt,則倉庫a運(yùn)給丙商店的貨物為、(12-x-y)t,倉庫b運(yùn)給甲、乙、丙商店的貨物分別為(7.x) t, (8-y) t, 5- (12-x-y) t,總運(yùn)費(fèi)為 z=8x+6y+9 (12-x-y) +3 (7-x) +4 (8-y) +5 (x+y-7)=x-2y+126,約束條件為12-x-y 0,7-x0,8-y-0）即0,x0,yo,0x7,0 y 8,x+y7,x + y 5, j +(2

10、x+y)個(gè)，由題意可得0,y0, mgn,題型三實(shí)際問題中的整數(shù)解問題aj3 （2019河南鄭州檢測）某人有一幢房子，室內(nèi)面積共180有,擬分隔成 兩類房間作為游客住房-大房間每間面積為18 m2,可住游客5名,每名游 客每 天住宿費(fèi)為40元;小房間每間面積為15 m2,可住游客3名，每名游客每天住宿 費(fèi)為50元;裝修大房間每間需1 000元，裝修小房間每間需600元.如果他只能 籌款8 000元用于裝修，且游客能住滿客房，他應(yīng)隔出大房間和小房間各參少 間,才能獲得最去收益？解:設(shè)他應(yīng)隔出大房間x間,小房間18x + 15j180, 則由題意可知1000% + 600y 0,y 0,x,y g

11、n 目標(biāo)函數(shù)z=200x+150y -6x+5y 60,約束條件化簡為5x + 3y 0,y 0,x,ygn,可行域如圖陰影部分所示.y間，獲得收益為z元5x+3y=401002 4 6 pl、/zx+3y=。6+5y=60收益.方法技巧對于線性規(guī)劃中最優(yōu)整數(shù)解的問題，當(dāng)解方程組得到的解不是整數(shù)解 時(shí)，可 用下面的方法求解：(1)平移直線法:先在可行域內(nèi)打網(wǎng)格，再描整點(diǎn)，平移直線1,最先經(jīng) 過 或最后經(jīng)過的整點(diǎn)坐標(biāo)是整點(diǎn)最優(yōu)解.(2)檢驗(yàn)優(yōu)值法:當(dāng)可行域內(nèi)整點(diǎn)個(gè)數(shù)較少時(shí)，也可將整點(diǎn)坐標(biāo)逐一代 人 目標(biāo)函數(shù)求值,經(jīng)比較得出最優(yōu)解.(3)調(diào)整優(yōu)值法:先求非整點(diǎn)最優(yōu)解及最優(yōu)值，再借助不定方程知識調(diào)整

12、最 優(yōu)值,最后篩選出最優(yōu)解.解：設(shè)每天從該公司調(diào)出a型卡車x輛,b型卡車y輛，公司每天所花成本為z元，則z=320x+504y,其中x, y滿足約束條件0x8,qx &0y4,0y4, x+ y180, 4x + 5y 30,作可行域如圖（陰影內(nèi)的整點(diǎn)）所示.作直線i ： 320x+504y=0 作一組與r平行的直線i :320x+504y=t(tgr)f由題設(shè)x5y是可行域內(nèi)的整點(diǎn)的橫.縱坐標(biāo).在可行域內(nèi)的整點(diǎn)中，點(diǎn)(&0)使域最小值，即當(dāng)i過點(diǎn)(8,0)時(shí),t最小，答:每天從公司調(diào)a型卡車8輛就能完成任務(wù)，且 公司所花成本費(fèi)最低.即 zgin 3 320=2 560.備用例2 (2019山

13、東煙臺高二檢測)某營養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐.已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì) 和6個(gè) 單位的維生素c; 一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物,6個(gè)單位的蛋白質(zhì) 和10個(gè)單位的維生素c.另外，該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的 碳水化合物,42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素c-如 果一個(gè)單位的午 、晚餐的費(fèi)用分別是25元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費(fèi) 最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和 晚餐?作出可行域如圖所示,0工 2 3 4 5、78 9三也=7 3升5尸272.5r+4v=03%+2y=16解:法一設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午

14、餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花的費(fèi)用為z元則依題意得z二25x+4y且x, y滿足x0, y 05 12x + 8y64 3x + 2y 16,，即6x + 6y 42,x+y7,6x + loy54,/3x + 5y27.則z在可行域的四個(gè)頂點(diǎn)a （9,0） ,b （4工5） ,d8）處的值分別是za=2.5x9+4xo=22.5fzb=2.5x4+4x3 = 22fze=2,5x2+4x5 = 25f zd=2.5x0+4x8=32. zb 最 小，因此，應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐，就可滿足 要求.法二設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花

15、 的 費(fèi)用為z元，則依題意得z二2.5x+4y且x, y滿足心+ 8沱64,即 6x + 6y 42,6x +10y 54,作出可行域如圖,讓直線？5x+4y二0在可行域上平移，由此可知z二2.5x+4y 在b (4,3)處取得最小值.因此應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個(gè)單位的午餐和3個(gè)單位的晚餐就可滿足要求.題型錯(cuò)辨析尋找可行域內(nèi)整點(diǎn)致誤例4有一-批鋼管長度都是4 000 mm要截成500 nun和600 mm兩種毛坯,且這兩種毛坯數(shù)量比大于!要使鋼管截得的毛坯最多，怎樣截最合理？錯(cuò)解：設(shè)每根鋼管截500 mm的毛坯x根,600 mm的毛坯y根，則x, y滿足約500附 600y 4000,5x + 6

16、y 40,y0y 3 兀o, j0,其中x,y均為正整數(shù)，作出5x+6-=40可行域，如圖所示.目標(biāo)函數(shù)為z二x+y作一組平行線y二-x+z,經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)且和原點(diǎn)距離j7x = j最大的直線為過a點(diǎn)的直線，求出a點(diǎn)的坐標(biāo)由得一 23jx + 包/ = 40,23175所以a （1石,5刃）由于x, y均為正整數(shù)，故調(diào)整為x=2,尸5.所以x+p3.經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件，所以每根鋼管截500加的毛坯兩根,600 mm的毛坯五根最合理糾錯(cuò)：（i）本題錯(cuò)誤的原因是沒能準(zhǔn)確作出一組平行直線y=x+z ；可 行域內(nèi)的整點(diǎn)尋找不準(zhǔn)確-準(zhǔn)確作圖，充分考慮實(shí)際問題的特殊性-當(dāng)圖上的整點(diǎn)不好分辨時(shí)，應(yīng)將 幾個(gè)有可

17、能符合題意的整點(diǎn)的坐標(biāo)都求出來然后逐一檢驗(yàn)，而不能采取“四 舍五人”的辦法.正解：設(shè)每根鋼管截500 mm的毛坯x根,600 nun的毛坯y根根據(jù)題意，得 y 3 ?兀0,j0,且x,y均為正整數(shù)-作出可行域，如圖所示.5oox+ 600y(5f2)f(6d)均為最優(yōu)解.答:每根鋼管截500 mm的毛坯兩根,600 mm的毛壞五根f或截500mm的毛坯三根f600 mm的毛坯四根咸截500 mm的毛坯四根,600 mm的毛坯三根”或截500 mm的毛坯五根,600 mtn的毛坯兩根成截500 mm的毛坯六根,600 mm的毛坯一根最合理.學(xué)霸經(jīng)驗(yàn)分享區(qū) 利用線性規(guī)劃求最大值、最小值問題，主要是

18、利潤最大、效率最高、省工、省材料等問題，要將求最值的變量設(shè)為z,將z表示成其他變量的 的關(guān)系，不妨用列表法.函數(shù)，求其最大值或最1小值.在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解（比如人數(shù)、車輛 數(shù) 等）而直接根據(jù)約束條件得到的不一定是整數(shù)解，可以運(yùn)用枚舉法驗(yàn)證求 最優(yōu)整啜解,或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解最優(yōu)整數(shù)解有時(shí)并非 只有一個(gè)，應(yīng)具體情況具體分析.課堂達(dá)標(biāo)1 .現(xiàn)有5輛載重6噸的汽車,4輛載重4噸的汽車，設(shè)需x輛載重6噸汽車和y 輛載重4噸汽車，要運(yùn)送最多的貨物，完成這項(xiàng)運(yùn)輸任務(wù)的線性目標(biāo)函數(shù) 為()(a)z=6x+4y(b)z=5x+4y(c)z=x+y(d)z=4x+5y解析:由題意

19、，要運(yùn)送最多的貨物，先找到兩類型汽車運(yùn)送的總貨物量, 即z=6x+4y選a.2 .某服裝制造商有10 m2的棉布料,10 m2的羊毛料和6的絲綢料做一條褲子需 要1 m2的棉布料,2 m2的羊毛料和1 m2的絲綢料,做一條裙子需要1 m2的棉布 料,1 m2的羊毛料和1 m2的絲綢料，做一條褲子的純收益是20元，一條裙子的 純收益是40元,為了使收益達(dá)到最大，若生產(chǎn)褲子x條，裙子y條,利潤為z 元，則生產(chǎn)這兩種服裝所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式與目標(biāo)函數(shù)分別為（）x + y109(8) 2x + mio，zx + y 6.x,ywn,x+y10,/ix 2x + y 10,(a)z 二 20x+40yx+ y 6.兀，ywn,x + y 10,x + y10,一2x+y10,(c) 2x + y 10, z 二 2