方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)_第1頁(yè)
方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)設(shè)計(jì)_第2頁(yè)
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1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)試講稿趙躍環(huán)節(jié)一:明確目標(biāo)教師活動(dòng):這節(jié)課我們來(lái)學(xué)習(xí)第三章函數(shù)的應(yīng)用。通過(guò)第二章的學(xué)習(xí),我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等函數(shù)的圖象和性質(zhì),而這一章我們就要運(yùn)用函數(shù)思想,建立函數(shù)模型,去解決現(xiàn)實(shí)生活中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。方程的根,我們?cè)诔踔幸呀?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)了,而我們?cè)诔踔醒芯康摹胺匠痰母敝皇莻?cè)重“數(shù)”的一面來(lái)研究,那么,我們這節(jié)課就主要從“形”的角度去研究方程與函數(shù)的關(guān)系。環(huán)節(jié)二:輕松滲透教師活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們思考這個(gè)問(wèn)題。(板書(shū))一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)有什么聯(lián)系?學(xué)生活動(dòng):思考作答。教師活動(dòng):他們看起來(lái)是不是很

2、相像,當(dāng)二次函數(shù)的值為0時(shí),二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),那么,他們究竟存在怎樣的內(nèi)在聯(lián)系呢?好的,這節(jié)課我們一起來(lái)探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)教師活動(dòng):板書(shū)標(biāo)題(方程的根與函數(shù)的零點(diǎn))。教師活動(dòng):先觀察幾個(gè)具體的一元二次方程和對(duì)應(yīng)的二次函數(shù),板書(shū)(x2-2x-3=0與y=x2-2x-3)教師活動(dòng):容易知道x2-2x-3=0的根是x1=-1,x2=3(板書(shū))函數(shù)y=x2-2x-3的圖像(畫(huà)出圖像)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)(-1,0),(3,0);觀察圖像,容易得出方程x2-2x-3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根就是函數(shù)y=x2-2x-3的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。我

3、們?cè)賮?lái)看第二組方程和對(duì)應(yīng)的函數(shù)是不是也存在這樣的關(guān)系,方程x2-2x+1=0的根x1=x2=1對(duì)應(yīng)函數(shù)y=x2-2x+1的圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)(1,0),再看一下x2-2x+3=0與y=x2-2x+3,我們發(fā)現(xiàn)方程無(wú)實(shí)數(shù)根而對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖像也與x軸無(wú)交點(diǎn)。板書(shū)效果:(1)x2-2x-3=0y=x2-2x-3(2)x2-2x+1=0 y=x2-2x+1(3)x2-2x+3=0 y=x2-2x+3教師活動(dòng):那么這是幾個(gè)具體的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù),實(shí)際上,上述關(guān)系對(duì)一般的一元二次方程ax2+bx+c =0(a0)和對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a0)也是成立的。我們知道2-4ac,

4、我們有:(板書(shū))2-4acf(x)=0的根y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)x1x2(x1,0),(x2,0)=0x1=x2(x1,0)無(wú)實(shí)數(shù)根無(wú)交點(diǎn)那么我們可以看出方程f(x)=0的根x與函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x是相同的,因此我們把方程f(x)=0的根x與函數(shù)y=f(x)建立起了關(guān)系。對(duì)于這樣的x我們給它取個(gè)名字函數(shù)的零點(diǎn)。教師活動(dòng):接下來(lái),我請(qǐng)位同學(xué)給我們的零點(diǎn)下個(gè)定義。學(xué)生活動(dòng):思考作答。環(huán)節(jié)三:形成概念教師活動(dòng):引導(dǎo)學(xué)生給出零點(diǎn)定義,(板書(shū))一、函數(shù)的零點(diǎn):對(duì)于函數(shù)y=f(x),使方程f(x)=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn))。教師活動(dòng):我可不可以這樣認(rèn)為,零點(diǎn)就是使

5、函數(shù)值為0的點(diǎn)?學(xué)生活動(dòng):對(duì)比定義,思考作答。教師活動(dòng):結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)的定義和我們剛才的探究過(guò)程,你認(rèn)為方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)究竟是什么關(guān)系?學(xué)生活動(dòng):思考作答:方程的根與對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)是一樣的。教師活動(dòng):這是我們本節(jié)課的第二個(gè)知識(shí)點(diǎn)。板書(shū)(方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系)。教師活動(dòng):如果已知函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn),你怎樣理解它?學(xué)生活動(dòng):思考作答。教師活動(dòng):對(duì)于函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn),從“數(shù)”的角度理解,就是方程f(x)=0有實(shí)根,從“形”的角度理解,就是圖象與x軸有交點(diǎn)。從我們剛才的探究過(guò)程中,我們知道,方程f(x)=0有實(shí)根和圖象與x軸有交點(diǎn)也是等價(jià)的關(guān)系。所以函數(shù)零點(diǎn)實(shí)際上是方程f(x)=0

6、有實(shí)根和圖象與x軸有交點(diǎn)的一個(gè)統(tǒng)一體。(板書(shū))二、方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)教師活動(dòng):下面就檢驗(yàn)一下大家的實(shí)際應(yīng)用能力。例1:已知函數(shù)y=x+a的零點(diǎn)是2,求函數(shù)y=x2+ax的零點(diǎn)?學(xué)生活動(dòng):思考作答。教師活動(dòng):請(qǐng)同學(xué)們看看我們得出的等價(jià)關(guān)系這個(gè)題就迎刃而解了,y=x+a的零點(diǎn)是2則方程x+a=0的根是2,從而a=-2代入y=x2+ax并令y=0解出x1=0,x2=2則函數(shù)y=x2+ax的零點(diǎn)是0和2。環(huán)節(jié)四:探究新知教師活動(dòng):我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)零點(diǎn)的定義,還學(xué)習(xí)了方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的等價(jià)關(guān)系,在這些知識(shí)的探究發(fā)現(xiàn)中,我們也有了一些收獲

7、,那我們來(lái)看看能不能解決的根的存在性問(wèn)題?學(xué)生活動(dòng):可受到化歸思想的啟發(fā)應(yīng)用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解教師活動(dòng):這種解法充分運(yùn)用了我們前面的解題思想,現(xiàn)在最棘手的問(wèn)題是y=的圖象不會(huì)畫(huà),那我們能不能不畫(huà)圖象就判斷出零點(diǎn)的存在呢?教師活動(dòng):我們還是從簡(jiǎn)單的開(kāi)始,觀察函數(shù)y=x2-2x-3的圖像;我們看到,當(dāng) 函數(shù)圖象穿過(guò)x軸時(shí),圖象就與x軸產(chǎn)生了交點(diǎn),圖象穿過(guò)x軸這是一種幾何現(xiàn)象,那么如何用代數(shù)形式來(lái)描述呢?學(xué)生活動(dòng):通過(guò)觀察圖象,得出函數(shù)零點(diǎn)的左右兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)的結(jié)論.教師活動(dòng):好!我們明確一下這個(gè)結(jié)論,函數(shù)y=f(x)具備什么條件時(shí),能在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)?學(xué)生活動(dòng):得出f(a)f(b)0的結(jié)論

8、。教師活動(dòng):若f(a)f(b)0,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上就存在零點(diǎn)嗎?學(xué)生活動(dòng):可從黑板上的圖象中受到啟發(fā),得出只有在a,b上連續(xù)不斷的函數(shù),在滿足f(a)f(b)0的條件時(shí),才會(huì)存在零點(diǎn)的結(jié)論。教師活動(dòng):(板書(shū))三、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線,并且有f(a) f(b)0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b) 內(nèi)有零點(diǎn) 即存在c(a,b),使得f(c)=0,這個(gè)c也就是方程f(x)=0的根教師活動(dòng):這個(gè)定理比較長(zhǎng),找個(gè)同學(xué)給大家讀一下,讓大家更好地體會(huì)定理的內(nèi)容。學(xué)生活動(dòng):讀出定理。教師活動(dòng):大家注意到了么,定理中,開(kāi)始時(shí)是在閉

9、區(qū)間a,b上連續(xù),結(jié)果推出時(shí)卻是在開(kāi)區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn)。你怎樣理解這種差異?學(xué)生活動(dòng):思考作答。教師活動(dòng):雖然我們已經(jīng)得到了零點(diǎn)存在性定理,但同學(xué)們真的那么坦然么?結(jié)合黑板上的圖象,再結(jié)合定理的敘述形式,你對(duì)定理的內(nèi)容可有疑問(wèn)?學(xué)生活動(dòng):通過(guò)觀察黑板上的板書(shū)圖象,大致說(shuō)出以下問(wèn)題:1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)f(b)0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)就一定沒(méi)有零點(diǎn)么?3.在什么條件下,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點(diǎn)?教師活動(dòng):那我們就來(lái)解決一下這些問(wèn)題。學(xué)生活動(dòng):通過(guò)黑板上的圖象舉出反例,得出結(jié)論。1.若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù),且f(a)

10、f(b)0,則f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)也可能有零點(diǎn)。3.在零點(diǎn)存在性定理的條件下,如果函數(shù)再具有單調(diào)性,函數(shù)yf(x)在區(qū)間(a,b)上可存在唯一零點(diǎn)。環(huán)節(jié)五:應(yīng)用所學(xué)教師活動(dòng):現(xiàn)在我們不用畫(huà)出圖象也能判斷函數(shù)零點(diǎn)是否存在,存在幾個(gè)了。那解決的根的存在性問(wèn)題應(yīng)該是游刃有余了,大家看一下88頁(yè)的解決方法。學(xué)生活動(dòng):看p88例1。教師活動(dòng):是不是代入數(shù)字來(lái)探究出函數(shù)值變號(hào)從而得有零點(diǎn)繼而得出根的呀。那么我們?cè)倏匆粋€(gè)選擇題。例2:方程2x+x-2=0根的存在區(qū)間,A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)先轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2x+x-2,將答案代入求函數(shù)值看區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值是否異號(hào),即得,f(0)=-2,f(1)=1,那么在區(qū)間(0,1)上有零點(diǎn),即,方程2x+x-2=0根的存在區(qū)間A(0,1)。教師活動(dòng):本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)已經(jīng)在黑板上呈現(xiàn)出來(lái)了,但最重要的,也是貫穿本節(jié)課始終,起到靈魂作用的卻是三大數(shù)學(xué)思想,即化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思

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