《幾何概型及均勻隨機數的產生》教學設計

1、幾何概型及均勻隨機數的產生教學設計一、教學目標：1、知識與技能：（1）正確理解幾何概型的概念；（2）掌握幾何概型的概率公式（3）會根據古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型；（4）了解均勻隨機數的概念；（5）掌握利用計算器（計算機）產生均勻隨機數的方法；（6）會利用均勻隨機數解決具體的有關概率的問題2、過程與方法：（1）發(fā)現法教學，通過師生共同探究，體會數學知識的形成，學會應用數學知識來解決問題，體會數學知識與現實世界的聯系，培養(yǎng)邏輯推理能力；（2）通過模擬試驗，感知應用數字解決問題的方法，自覺養(yǎng)成動手、動腦的良好習慣。3、情感態(tài)度與價值觀：本節(jié)課的主要特點是隨機試

2、驗多，學習時養(yǎng)成勤學嚴謹的學習習慣。二、重點與難點：1、幾何概型的概念、公式及應用；2、利用計算器或計算機產生均勻隨機數并運用到概率的實際應用中三、學法與教學用具：1、通過對本節(jié)知識的探究與學習，感知用圖形解決概率問題的方法，掌握數學思想與邏輯推理的數學方法；2、教學用具：投燈片，計算機及多媒體教學四、教學設想：1、創(chuàng)設情境：在概率論發(fā)展的早期，人們就已經注意到只考慮那種僅有有限個等可能結果的隨機試驗是不夠的，還必須考慮有無限多個試驗結果的情況。例如一個人到單位的時間可能是8：00至9：00之間的任何一個時刻；往一個方格中投一個石子，石子可能落在方格中的任何一點這些試驗可能出現的結果都是無限多

3、個。2、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式（3）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現的可能性相等3、例題分析：課本例題略例1判下列試驗中事件a發(fā)生的概度是古典概型，還是幾何概型。（1）拋擲兩顆骰子，求出現兩個“4點”的概率；（2）如課本p132圖33-1中的(2)所示，圖中有一個轉盤，甲乙兩人玩轉盤游戲，規(guī)定當指針指向b區(qū)域時，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率。分析：本題考查的幾何概型與古典概型的特點，古典概型具有有限性

4、和等可能性。而幾何概型則是在試驗中出現無限多個結果，且與事件的區(qū)域長度有關。解：（1）拋擲兩顆骰子，出現的可能結果有66=36種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；（2）游戲中指針指向b區(qū)域時有無限多個結果，而且不難發(fā)現“指針落在陰影部分”，概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域長度有關，因此屬于幾何概型例2某人欲從某車站乘車出差，已知該站發(fā)往各站的客車均每小時一班，求此人等車時間不多于10分鐘的概率分析：假設他在060分鐘之間任何一個時刻到車站等車是等可能的,但在0到60分鐘之間有無窮多個時刻,不能用古典概型公式計算隨機事件發(fā)生的概率.可以通過幾何概型的求概率公式得到事件發(fā)

5、生的概率.因為客車每小時一班,他在0到60分鐘之間任何一個時刻到站等車是等可能的,所以他在哪個時間段到站等車的概率只與該時間段的長度有關,而與該時間段的位置無關,這符合幾何概型的條件.解:設a=等待的時間不多于10分鐘,我們所關心的事件a恰好是到站等車的時刻位于50,60這一時間段內,因此由幾何概型的概率公式,得p(a)=1/6，即此人等車時間不多于10分鐘的概率為1/6小結：在本例中，到站等車的時刻x是隨機的，可以是0到60之間的任何一刻，并且是等可能的，我們稱x服從0,60上的均勻分布，x為0,60上的均勻隨機數練習：1已知地鐵列車每10min一班，在車站停1min，求乘客到達站臺立即乘上

6、車的概率。2兩根相距6m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，求燈與兩端距離都大于2m的概率解：1由幾何概型知，所求事件a的概率為p(a)=1/112記“燈與兩端距離都大于2m”為事件a，則p(a)=1/3例3在1萬平方千米的海域中有40平方千米的大陸架儲藏著石油，假設在海域中任意一點鉆探，鉆到油層面的概率是多少？分析：石油在1萬平方千米的海域大陸架的分布可以看作是隨機的而40平方千米可看作構成事件的區(qū)域面積，有幾何概型公式可以求得概率。解：記“鉆到油層面”為事件a，則p(a)=0.004答：鉆到油層面的概率是0.004例4在1升高產小麥種子中混入了一種帶麥誘病的種子，從中隨機取出10毫升，

7、則取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是多少？分析：病種子在這1升中的分布可以看作是隨機的，取得的10毫克種子可視作構成事件的區(qū)域，1升種子可視作試驗的所有結果構成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算其概率。解：取出10毫升種子，其中“含有病種子”這一事件記為a，則 p(a)=0.01答：取出的種子中含有麥誘病的種子的概率是0.01例5取一根長度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長都不小于1m的概率有多大？分析：在任意位置剪斷繩子，則剪斷位置到一端點的距離取遍0，3內的任意數，并且每一個實數被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結果（基本事件）對應0，3上的均勻隨機數，其中取

8、得的1，2內的隨機數就表示剪斷位置與端點距離在1，2內，也就是剪得兩段長都不小于1m。這樣取得的1，2內的隨機數個數與0，3內個數之比就是事件a發(fā)生的概率。解法1：（1）利用計算器或計算機產生一組0到1區(qū)間的均勻隨機數a1=rand（2）經過伸縮變換，a=a1*3（3）統(tǒng)計出1，2內隨機數的個數n1和0，3內隨機數的個數n（4）計算頻率fn(a)即為概率p（a）的近似值解法2：做一個帶有指針的圓盤，把圓周三等分，標上刻度0，3（這里3和0重合）轉動圓盤記下指針在1，2（表示剪斷繩子位置在1，2范圍內）的次數n1及試驗總次數n，則fn(a)即為概率p（a）的近似值小結：用隨機數模擬的關鍵是把實際

9、問題中事件a及基本事件總體對應的區(qū)域轉化為隨機數的范圍。解法2用轉盤產生隨機數，這種方法可以親自動手操作，但費時費力，試驗次數不可能很大；解法1用計算機產生隨機數，可以產生大量的隨機數，又可以自動統(tǒng)計試驗的結果，同時可以在短時間內多次重復試驗，可以對試驗結果的隨機性和規(guī)律性有更深刻的認識4、課堂小結：1、幾何概型是區(qū)別于古典概型的又一概率模型，使用幾何概型的概率計算公式時，一定要注意其適用條件：每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度成比例；2、均勻隨機數在日常生活中，有著廣泛的應用，我們可以利用計算器或計算機來產生均勻隨機數，從而來模擬隨機試驗，其具體方法是：建立一個概率模型，它與某些我們感興趣的量（如概率值、常數）有關，然后設計適當的試驗，并通過這個試驗的結果來確定這些量5、自我評價與課堂練習：1在500ml的水中有一個草履蟲，現從中隨機取出2ml水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現