數(shù)學建模論文衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控

1、 2009高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽題目（請先閱讀“全國大學生數(shù)學建模競賽論文格式規(guī)范”）c題 衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控衛(wèi)星和飛船在國民經(jīng)濟和國防建設中有著重要的作用，對它們的發(fā)射和運行過程進行測控是航天系統(tǒng)的一個重要組成部分，理想的狀況是對衛(wèi)星和飛船（特別是載人飛船）進行全程跟蹤測控。測控設備只能觀測到所在點切平面以上的空域，且在與地平面夾角3度的范圍內測控效果不好，實際上每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域。在一個衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運行過程中，往往有多個測控站聯(lián)合完成測控任務，如神州七號飛船發(fā)射和運行過程中測控站的分布如下圖所示：圖片來源 請利用模型分析衛(wèi)星或飛船的測控情況

2、，具體問題如下：1. 在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面的情況下至少應該建立多少個測控站才能對其進行全程跟蹤測控？2.如果一個衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固定的夾角，且在離地面高度為h的球面s上運行?？紤]到地球自轉時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應該建立多少個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的？3. 收集我國一個衛(wèi)星或飛船的運行資料和發(fā)射時測控站點的分布信息，分析這些測控站點對該衛(wèi)星所能測控的范圍。 衛(wèi)星和飛船的跟蹤測控摘 要：本論文研究了應至少建立多少個測控站才能對衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋，以達到全程跟蹤測控

3、的目的。我們的思路是先求得一個站點能覆蓋衛(wèi)星或飛船軌道的最大弧長；然后計算衛(wèi)星或飛船軌道的周長；最后用周長除以弧長，取整加1，即。就得到了應至少建立多少個測控站才能實現(xiàn)對衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋。對問題一，由于所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面，故我們把衛(wèi)星軌道放到赤道平面上來分析，分地球靜止和自轉兩種情況對衛(wèi)星軌道的測控作了討論，得到測控點數(shù)。同時，還討論了當軌道為橢圓時，可轉化為對圓的討論。對問題二，我們對衛(wèi)星軌道平面與赤道平面有固定夾角分三種情況，（1） ；（2）； (3). 結合地球的自轉分別作了討論。首先建立了空間直角坐標系，得到了地球面的參數(shù)方程 ： 和衛(wèi)星運行軌道的參

4、數(shù)方程：利用這兩個參數(shù)方程，結合測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域的條件，我們可以確定測控站開始測控衛(wèi)星時的位置、結束測控衛(wèi)星時的位置、以及衛(wèi)星進入和離開測控區(qū)域的位置和；其次利用曲線積分求得一個站點能覆蓋衛(wèi)星或飛船軌道的最大弧長。最后得到 個測控站。 對問題三 用具體的實例來檢驗我們的方法，吻合較好，說明了本論文具有可操作性。關鍵詞： 測控站點；測控站點數(shù)；軌道平面；地球自轉；一、問題重述隨著我國航天事業(yè)在空間技術、空間應用和空間科學三大領域實現(xiàn)的跨越式發(fā)展，建立航空航天測控系統(tǒng)工程極為重要。因此，合理布局測控站、建立衛(wèi)星導航系統(tǒng)測控網(wǎng)對衛(wèi)星發(fā)射和運行有著重要作用。所謂布局是指

5、測控網(wǎng)為完成對衛(wèi)星或飛船的跟蹤、觀測、定軌和控制，地面站的布設測控站的位置要合理，所需的地面測控站要盡量少，實質上是解決對衛(wèi)星或飛船的運行軌道的覆蓋問題。當衛(wèi)星或飛船飛入測控站點切平面以上區(qū)域，可以實現(xiàn)測控站對衛(wèi)星或飛船的跟蹤。但為保證觀測精度及測控效果，觀測仰角應大于3度，即最小仰角為3度，測控站對衛(wèi)星或飛船才能跟蹤，此時才能將觀測數(shù)據(jù)作為有效數(shù)據(jù)進行衛(wèi)星的定軌。在一個衛(wèi)星或飛船的發(fā)射與運行過程中，往往有多個測控站聯(lián)合完成測控任務。要求：（1）在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面的情況下至少應該建立多少個監(jiān)控站才能對其進行全程跟蹤測控？(2)如果一個衛(wèi)星或飛船的運行軌道與地球赤道平面有固

6、定的夾角，且在離地面高度為h的球面s上運行?？紤]到地球自轉時該衛(wèi)星或飛船在運行過程中相繼兩圈的經(jīng)度有一些差異，問至少應該建立多少個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的？（3）收集我國一個衛(wèi)星或飛船的運行資料和發(fā)射時測控站點的分布信息，分析這些測控站點對該衛(wèi)星所能測控的范圍。二、模型假設和符合說明1模型假設 衛(wèi)星或飛船的運行周期小于地球自轉運行周期。 衛(wèi)星或飛船的運行方向與地球自轉方向一致。 衛(wèi)星或飛船的運行的軌道是圓。 地面觀測站點的設備完好。 地理、氣候、干擾等因素對測控精確度無影響。2.符合說明 ：地球的半徑6371.004千米。：衛(wèi)星離地面的高度。 ：一

7、個測控點檢測的最大弧長。 ：地球自轉的角速度。 ：衛(wèi)星軌道平面與赤道平面的夾角。：衛(wèi)星轉動的角速度。 ：地球赤道上自轉線速度465 m/s 。 ：地面測控站的個數(shù)。 ： 衛(wèi)星運行的速度 。 三、問題分析我們要解決的問題是，用最少的監(jiān)測站來對衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋。我們的思路是先找到一個測控站點能測控衛(wèi)星運行軌道的最大弧長，然后用衛(wèi)星軌道的周長除以，取整加1，即，可得到最少測控站點的個數(shù)。對問題一，我們分地球自轉和不自轉兩種情況作了討論，由于所有測控站都與衛(wèi)星或飛船的運行軌道共面，所以我們以赤道面為基準來做分析討論。對問題二，由于衛(wèi)星運行的軌道面與赤道面有固定夾角，所以，我們分三種情況

8、（1） ；（2） ；（3），并結合地球的自轉來作討論和分析。我們先建立了地球面和衛(wèi)星運行軌道的參數(shù)方程；然后根據(jù)參數(shù)方程確定出衛(wèi)星進入和離開測控區(qū)域位置的坐標，建立了相應的模型；最后采用曲線積分計算出一個測控站點測控衛(wèi)星軌道的最大弧長,用衛(wèi)星軌道的周長除以，取整加1，即，可得到最少測控站點的個數(shù)。對問題三，我們選擇神州七號載人航天飛船作為參考，從網(wǎng)上查找的數(shù)據(jù)來驗證模型的可靠性。并結合實際情況來討論分析。四、模型的建立與求解1問題一的模型 我們要解決的問題是在所有測控站都與衛(wèi)星或飛船共面的情況下，計算出用最少的測控站對衛(wèi)星運行軌道進行全程跟蹤測控，由于所有的測控站都與衛(wèi)星或飛船共面，所以我們選

9、擇在赤道面上來分析；下面我們分地球靜止和地球自轉兩種情況來討論建立模型。 （1） 考慮地球靜止的情況 由于測控設備只能觀測到所在點切平面以上的空域。測控的區(qū)域視為一個圓錐內部，圖1是其過球心的側面圖。在點處的測控站能測控衛(wèi)星運行軌道的最大弧長就是。(i). 求弧長用初等數(shù)學的方法，很容易求得弧長。 （ii）. 求最少測控站點數(shù) 衛(wèi)星軌道周長, 所以在地球靜止時，全程跟蹤測控衛(wèi)星的最少的站點數(shù)為：= （）, 表示對除以取整。（iii）. 模型驗證取 ， ，把 代入計算得12.所以要全程跟蹤測控該衛(wèi)星至少需要建立12個測控站。取， ， 把 代入計算得 4. 所以要全程跟蹤測控該衛(wèi)星至少需要建立4個

10、測控站.(2). 考慮地球自轉的情況 如圖2.設地球自轉的角速度是，且與衛(wèi)星運行的方向相同，衛(wèi)星運行的速度是；衛(wèi)星在點處進入測控站點的測控區(qū)域，設衛(wèi)星經(jīng)過時間離開該測控站點的測控區(qū)域，此時，衛(wèi)星在軌道上點處?；【褪窃摐y控站點在衛(wèi)星運行的軌道上，測控得到的最大弧長。(i) 求弧長 建立方程，得 解得 該站點測控的最大測控弧長為： (ii) 求最少測控站點數(shù) （其中 =） (iii). 模型驗證取,= 弧度 , =7.7, 把代入上式中計算得11. 所以要全程跟蹤測控該衛(wèi)星至少需要建立11個測控站。與實際需要建立測控點的個數(shù)大致相同。 （3）.當衛(wèi)星軌道是橢圓時當衛(wèi)星軌道是橢圓時，如圖3所示，我們

11、以地心為圓心，以地心到近地點的距離為半徑作圓。在地球上設兩個測控站點和，能全程跟蹤圓上各點的站點必能跟蹤橢圓上的各點。所以，我們對衛(wèi)星軌道為橢圓的研究就轉化為對軌道為圓的研究。2問題二的模型（1）.建立幾個必用的方程 建立空間直角坐標系，如圖4。 設地球的半徑是，衛(wèi)星離地面的高度是，衛(wèi)星運行軌道平面與地球赤道平面固定的夾角是，則：（i）地球面的參數(shù)方程 地球面的參數(shù)方程是： （ii）衛(wèi)星運行軌道所在球面的方程衛(wèi)星運行軌道球面的方程是： （iii）衛(wèi)星運行軌道平面的方程 由于衛(wèi)星運行軌道平面過軸，故可設其平面方程為：又衛(wèi)星運行軌道平面與地球赤道平面固定的夾角是，故可得，衛(wèi)星運行軌道平面的方程是：

12、 （iiii）衛(wèi)星運行軌道的參數(shù)方程 衛(wèi)星運行軌道所在球面與衛(wèi)星運行軌道平面的交線就是衛(wèi)星運行軌道的方程，所以有： 把方程（2）代入方程(1),經(jīng)整理有： 令，為參數(shù)，得： 故可得，衛(wèi)星運行軌道的參數(shù)方程： （2）問題二模型的建立根據(jù)衛(wèi)星運行軌道平面與赤道平面夾角的大小，分三種情況討論：（i） ； （ii）； (iii). 問題二解決的思路：找一測控站點能測控衛(wèi)星軌道的最大弧長，然后用衛(wèi)星軌道的周長除以，對取整加1，即得全程跟蹤測控的最少站點數(shù) 。（i） 時的情況 在此種情況下，衛(wèi)星運行方向與地球自轉方向同向。此時稱為順行軌道，在這種軌道上運行的衛(wèi)星，絕大多數(shù)離地面較近，高度僅為數(shù)百公里，故又

13、將其稱為近地軌道。如圖5所示，設初始時，測控站在點處監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處升起，經(jīng)過時間之后，由于地球自轉，測控站到達點，此時監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處降下。設地球自轉的角速度是，則。于是、的坐標可表示為： （，視為定值）設衛(wèi)星的速度是設，其平均角速度為：，為衛(wèi)星運行的周期。于是、的坐標可表示為： 視為定值） 由于每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域，如圖6，測控站測控范圍只能是以內的區(qū)域。測控站在處的測控區(qū)域的邊界向量的單位向量： =為一參數(shù)，測控站由點旋轉角度至點，單位向量 亦旋轉角度，其坐標變?yōu)椋?即得在點處測控區(qū)域的邊界向量： 向量可表示為： 衛(wèi)星脫離測控區(qū)域的臨界線必須滿

14、足：向量與向量重合，即對應分量成比例：由上等式確定出時間和參數(shù)。從而可以確定的坐標。 令，得在這段?。▓D7）上，其坐標可表示如下： 弧長可用曲線積分求得： 即得一個測控站點能測控的最大弧長。 衛(wèi)星軌道的周長為： ，表示取整。所以至少應該建立 個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的。（ii）. 時的情況在此種情況下，衛(wèi)星運行方向與地球自轉方向反向。此時稱為逆行軌道。 如圖8所示，設初始時，測控站在點處監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處升起，經(jīng)過時間之后，由于地球自轉，測控站到達點，此時監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處降下。設地球自轉的角速度是，則。于是、的坐標可表示為： （，視為定值

15、）設衛(wèi)星的速度是設，其平均角速度為：，為衛(wèi)星運行的周期。于是、的坐標可表示為： 視為定值）由于每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域，如圖10，測控站測控范圍只能是以內的區(qū)域。測控站在處的測控區(qū)域的邊界向量的單位向量： =為一參數(shù)，測控站由點旋轉角度至點，單位向量 亦旋轉角度，其坐標變?yōu)椋?即得在點處測控區(qū)域的邊界向量向量： 向量可表示為： 衛(wèi)星脫離測控區(qū)域的臨界線必須滿足：向量與向量重合，即對應分量成比例：由上等式確定出時間和參數(shù)。從而可以確定的坐標。 令，得在這段弧（圖10）上，其坐標可表示如下： 弧長可用曲線積分求得： 即得一個測控站點能測控的最大弧長。 衛(wèi)星軌道的周長為：

16、 ，表示取整。所以至少應該建立 個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的。（iii） 時的情況在此種情況下，衛(wèi)星運行方向與地球自轉方向垂直。此時稱極地軌道。在極軌道上運行的衛(wèi)星，每一圈內都可以經(jīng)過任何緯度和南北兩極的上空。 如圖11所示，設初始時，測控站在點處監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處升起，經(jīng)過時間之后，由于地球自轉，測控站到達點，此時監(jiān)測到衛(wèi)星在軌道上點處降下。 由于每個測控站的測控范圍只考慮與地平面夾角3度以上的空域，測控站測控范圍只能是以內的區(qū)域如圖12， 當?shù)厍蜢o止不動時，一個測控站能測控的最大弧長為： 當?shù)厍蜃赞D時，設其角速度是，設衛(wèi)星的速度是設，角速度為

17、，并設，此時，一個測控站能測控的最大弧長為：衛(wèi)星軌道的周長為： ，表示取整。所以至少應該建立 個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋以達到全程跟蹤測控的目的。 3問題三的模型我們收集神州七號載人航天飛船的運行資料: 神七載人航天飛船便布全球的16個測控站。它從我國的酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心用長征2號f型運載火箭發(fā)射升空，經(jīng)過了東風測控站（位于陜西的渭南測控站），可以從青海測控站遠望5號測量船和遠望2號測量船。其他設置于國內外的11個測控站，從納米比亞到青島跨越大西洋，印度洋和太平洋長達一萬多公里的飛行區(qū)域內共布置了九個測控站，入軌時的橢圓軌道進入距地球表面343公里的近圓軌道。神州七號運行平

18、均線速度約為7.7千米每秒。飛船送入近地點200公里到遠地點347公里的橢圓軌道，入軌飛行速度7820.185米/秒，軌道傾度(軌道平面與地球赤道平面的夾角)42.2度。飛船在橢圓軌道飛行第1至5圈，由于大氣阻力的影響，每圈軌道降低近1公里，飛船遠地點高度從347公里降為343公里，第5圈，飛船遠地點點火變軌，抬升近地點，軌道由橢圓軌道變成高度343公里圓軌道。神州七號飛船發(fā)射時測控站點的分布信息：神舟七號飛船測控通信系統(tǒng)是由5艘“遠望號”測控船和11個地面測控站共16個測控站組成的對神七測控通信天網(wǎng)。其中“遠望一號”、“遠望二號”、“遠望三號”“遠望五號”“遠望六號”是遍布在太平洋和大西洋的

19、巨輪。而11個地面測控站中有7個在國內，它們是：主場站、喀什站、和田站、東風站、青島站、渭南站和廈門站。有4個在國外：卡拉奇站、馬林迪站、納米比亞站和圣地亞哥站。同時列出各測控站點的位置（即各測控站點經(jīng)度緯度圖表），神舟七號的各個測控站點分布 從以上信息，可以得知神舟七號發(fā)射時有5測控點對衛(wèi)星進行監(jiān)控，測控點的地面?zhèn)€數(shù)為16個，測控點緯度相差不大，緯度最大的東風站與納米比亞站相差（），而經(jīng)度卻從（）相差較大。以神舟七號的數(shù)據(jù)驗證模型：（i）我們從資料上得到的數(shù)據(jù)： （ii）已知：地球半徑和自轉角速度： （iii）以渭南站來分析，用問題二的模型來求解；其中，為該站的維度，為神舟七號運行軌跡與赤道面的夾角 ； 把（i）（ii）的數(shù)據(jù)代入問題二中的模型求解： 據(jù) 可求得：= =335520042185000 所以，至少應該建立13個測控站才能對該衛(wèi)星或飛船可能飛行的區(qū)域全部覆蓋， 這和實際情況16個測控站點比較接近，這說明我們這個模型是可信的。五、模型的評價與推廣1、優(yōu)點（1）、對于問題一的模型，巧妙利用正弦定理的計算方法，同時借助matlab軟件對模型中的計算進行求解。從而可以求出觀測點可觀測到的衛(wèi)星或飛船的區(qū)域大小，進而求出測控站的數(shù)目，簡單明了，通俗易懂。（2）、問題二運用的模型綜合了多種方法對問題進行求解，其中運用衛(wèi)星或飛船運行軌道球面和平面方程，向量旋轉公式，地球