中考?jí)狠S題歸類(lèi)總結(jié)代數(shù)幾何綜合板塊1

1、代幾綜合知識(shí)點(diǎn)精一、二次函數(shù)的定義黑體小四一般地，形如（為常數(shù)，）的函數(shù)稱(chēng)為的二次函數(shù)，其中為自變量，為因變量，、分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)、一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)系數(shù)注意：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)，而、可以為零二次函數(shù)的自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)黑體小四二、二次函數(shù)的圖象黑體小四1二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（1）決定拋物線的開(kāi)口方向當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下反之亦然決定拋物線的開(kāi)口大?。涸酱?，拋物線開(kāi)口越??；越小，拋物線開(kāi)口越大溫馨提示：幾條拋物線的解析式中，若相等，則其形狀相同，即若相等，則開(kāi)口及形狀相同，若互為相反數(shù)，則形狀相同、開(kāi)口相反（2）和共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置（拋物線

2、的對(duì)稱(chēng)軸：）當(dāng)時(shí)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為軸；當(dāng)、同號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸的左側(cè)；當(dāng)、異號(hào)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸的右側(cè)（3）的大小決定拋物線與軸交點(diǎn)的位置（拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為）當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的交點(diǎn)為原點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的正半軸；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)在軸的負(fù)半軸2.二次函數(shù)圖象的畫(huà)法五點(diǎn)繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)，左右對(duì)稱(chēng)地描點(diǎn)畫(huà)圖一般我們選取的五點(diǎn)為：頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)，（若與軸沒(méi)有交點(diǎn)，則取兩組關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)）畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)3.點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)法 一次函數(shù)（）圖像上的

3、任意點(diǎn)可設(shè)為.其中時(shí)，該點(diǎn)為直線與軸交點(diǎn). 二次函數(shù)（）圖像上的任意一點(diǎn)可設(shè)為.時(shí)，該點(diǎn)為拋物線與軸交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，該點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn) 點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為4.二次函數(shù)的圖象信息 根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向判斷的正負(fù)性 根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸判斷的大小 根據(jù)拋物線與軸的交點(diǎn)，判斷的大小 根據(jù)拋物線與軸有無(wú)交點(diǎn)，判斷的正負(fù)性 根據(jù)拋物線所經(jīng)過(guò)的已知坐標(biāo)的點(diǎn)，可得到關(guān)于的等式 根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)，判斷的大小三、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)1 二次函數(shù)的性質(zhì)：拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），對(duì)稱(chēng)軸是（ 軸）函數(shù)的圖像與的符號(hào)關(guān)系當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；當(dāng)時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)；的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

4、向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值2二次函數(shù)的性質(zhì)的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值3 二次函數(shù)或（）的性質(zhì)開(kāi)口方向： 對(duì)稱(chēng)軸：（或）頂點(diǎn)坐標(biāo)：（或）最值： 時(shí)有最小值（或）（如圖1）； 時(shí)有最大值（或）（如圖2）；單調(diào)性：二次函數(shù)（）的變化情況（增減性）如圖1所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，隨著的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸的右側(cè) ，隨的增大而增大；如圖2所示，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)， y隨著x的增大而增大，在對(duì)稱(chēng)軸的右

5、側(cè)，隨的增大而減?。慌c坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：與軸的交點(diǎn)：（0，c）；與軸的交點(diǎn)：使方程（或）成立的值點(diǎn)睛提分一、動(dòng)點(diǎn)與特殊圖形的存在性問(wèn)題這部分壓軸題的主要特別是先求函數(shù)的解析式，然后在函數(shù)的圖象上探求符合幾何條件的點(diǎn)。1、動(dòng)點(diǎn)與等腰三角形問(wèn)題兵法：1.畫(huà)出圖形，需要分類(lèi)討論，已知邊為底，則利用中垂線找出另一個(gè)點(diǎn)已知邊為腰時(shí)，有兩種情況，分兩個(gè)端點(diǎn)去畫(huà)圓，交點(diǎn)即為要求的點(diǎn)2.設(shè)出要求點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間距離公式求出點(diǎn)的坐標(biāo)或者作出高線利用相似三角形來(lái)求解【例1】 已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，邊長(zhǎng)為2的等邊oab的頂點(diǎn)b在第一象限，頂點(diǎn)a在x軸的正半軸上另一等腰oca的頂點(diǎn)c在第四象限，o

6、cac，c120現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)p，q分別從a，o兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)q以每秒1個(gè)單位的速度沿oc向點(diǎn)c運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)p以每秒3個(gè)單位的速度沿aob運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨即停止.（1）求在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中形成的opq的面積s與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍；（2）在等邊oab的邊上（點(diǎn)a除外）存在點(diǎn)d，使得ocd為等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)d的坐標(biāo)；（3）如圖，現(xiàn)有mcn60，其兩邊分別與ob，ab交于點(diǎn)m，n，連接mn將mcn繞著c點(diǎn)旋轉(zhuǎn)（0旋轉(zhuǎn)角60），使得m，n始終在邊ob和邊ab上試判斷在這一過(guò)程中，bmn的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若沒(méi)變化，請(qǐng)求出其周長(zhǎng)；若發(fā)

7、生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由aqcbpoaxy圖amcbnoaxy圖aqcbpoaxy圖ed【解析】 （1）如圖，過(guò)點(diǎn)c作cdoa于點(diǎn)docac，aco120，aocoac30ocac，cdoa，odda1在rtodc中，oc （）當(dāng)0t 時(shí)，oqt，ap3t，op23t過(guò)點(diǎn)q作qeoa于點(diǎn)e，則eqtsopq opeq(23t)tt 2taqcbpoaxy圖即s t 2t （）當(dāng)t 時(shí)，如圖，oqt，op3t2boa60，aoc30，poq90sopq oqopt(3t2)t 2t即s t 2t故當(dāng)0t 時(shí)，s t 2t，當(dāng)t 時(shí)，s t 2t （2）d（，1）或（，0）或（，0）或（，）amcbno

8、axy圖f（3）bmn的周長(zhǎng)不發(fā)生變化如圖，延長(zhǎng)ba至點(diǎn)f，使afom，連結(jié)cfmocfac90，ocac，mocfacmccf，mcofca fcnfcancamconcaocamcn60fcnmcn又mccf，cncn，mcnfcnmnnf bmmnbnbmnfbnboombaafbabo4bmn的周長(zhǎng)不變，其周長(zhǎng)為4 【例2】 如圖，在矩形abcd中，abm（m是大于0的常數(shù)），bc8，e為線段bc上的動(dòng)點(diǎn)（不與b、c重合）連結(jié)de，作efde，ef與射線ba交于點(diǎn)f，設(shè)cex，bfy（1）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）若m8，求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？（3）若y，要使de

9、f為等腰三角形，m的值應(yīng)為多少？abcdef【解析】 （1）efde，def90，befced90befbfe90，bfeced又bc90，rtbfertcedabcdef，即yx 2x （2）若m8，則yx 2x( x4)22當(dāng)x4時(shí)，y的值最大，y最大2 （3）若y，則x 2xx 28x120，解得x12，x26 def中fed是直角，要使def為等腰三角形，只能deef此時(shí)rtbfertced當(dāng)ec2時(shí)，mcdbe6 當(dāng)ec6時(shí)，mcdbe2即m的值應(yīng)為6或2時(shí)，def是等腰三角形 【例3】 已知拋物線yax 2bxc（a0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)b（12，0）和c（0，6），對(duì)稱(chēng)軸為x2（1）求

10、該拋物線的解析式：（2）點(diǎn)d在線段ab上且adac，若動(dòng)點(diǎn)p從a出發(fā)沿線段ab以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)q以某一速度從c出發(fā)沿線段cb勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存在某一時(shí)刻，使線段pq被直線cd垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）的結(jié)論下，直線x1上是否存在點(diǎn)m，使mpq為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由cabyxopdq【解析】 （1）方法一：拋物線過(guò)c（0，6），c6，即yax 2bx6由 解得a，bcabyxopdqhefm2m4m5m3m1x1該拋物線的解析式為yx 2x6 方法二：a、

11、b關(guān)于x2對(duì)稱(chēng)，a（8，0）設(shè)ya(x8)(x12)，c（0，6）在拋物線上6a(08)(012)，a該拋物線的解析式為y(x8)(x12)即yx 2x6 （2）存在，設(shè)直線cd垂直平分pq在rtaoc中，ac10ad點(diǎn)d在對(duì)稱(chēng)軸上，連結(jié)dq，顯然pdcqdc由已知pdcacdqdcacd，dqac dbabad201010dq為abc的中位線，dqac5 apadpdaddq1055，t515（秒）存在t5秒時(shí)，線段pq被直線cd垂直平分在rtboc中，bc，cq點(diǎn)q的運(yùn)動(dòng)速度為每秒單位長(zhǎng)度（3）存在 過(guò)點(diǎn)q作qhx軸于h，則qh3，ph9在rtpqh中，pq 當(dāng)mpmq，即m為頂點(diǎn)時(shí)設(shè)直線

12、cd的解析式為ykxm（k0）則： 解得 y3x6當(dāng)x1時(shí)，y3，m1（1，3）當(dāng)pq為等腰mpq的腰且p為頂點(diǎn)時(shí)設(shè)直線x1上存在點(diǎn)m（1，y），由勾股定理得：4 2y 2()2，ym2（1，），m3（1，）當(dāng)pq為等腰mpq的腰且q為頂點(diǎn)時(shí)過(guò)點(diǎn)q作qey軸于e，交直線x1于f，則f（1，3）設(shè)直線x1上存在點(diǎn)m（1，y），由勾股定理得：5 2( y3)2()2，y3m4（1，3），m5（1，3）綜上所述，存在點(diǎn)m，使mpq為等腰三角形，點(diǎn)m的坐標(biāo)為：m1（1，3），m2（1，），m3（1，），m4（1，3），m5（1，3）【例4】 如圖，在rtabc中，a90，ab6，ac8，d，e分別是邊

13、ab，ac的中點(diǎn)，點(diǎn)p從點(diǎn)d出發(fā)沿de方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)p作pqbc于q，過(guò)點(diǎn)q作qrba交ac于r，當(dāng)點(diǎn)q與點(diǎn)c重合時(shí)，點(diǎn)p停止運(yùn)動(dòng)設(shè)bqx，qry（1）求點(diǎn)d到bc的距離dh的長(zhǎng)；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)p，使pqr為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由abcdpqehr【解析】 （1）a90，ab6，ac8，bc10點(diǎn)d為ab中點(diǎn)，bdab3dhba90，bbbhdbac，dhac8 （2）qrab，qrca90 abcdpqehr圖2又cc，rqcabc，即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為yx68分（3）存在，分三種

14、情況：當(dāng)pqpr時(shí)，過(guò)點(diǎn)p作pmqr于m（如圖1），則qmrmabcdpqehr圖3pqmrqc90，crqc90，pqmccospqmcosc，x 當(dāng)pqrq時(shí)（如圖2），x6，x6 當(dāng)prqr時(shí)（如圖3），則r為pq中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)r為ec的中點(diǎn)crceac2tanc，x綜上所述，當(dāng)x或6或時(shí)，pqr為等腰三角形【例5】 如圖，已知拋物線yx 2bxc與y軸相交于c，與x軸相交于a、b，點(diǎn)a的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，1）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)e是線段ac上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)e作dex軸于點(diǎn)d，連結(jié)dc，當(dāng)dce的面積最大時(shí)，求點(diǎn)d的坐標(biāo)；（3）在直線bc上是否存在一點(diǎn)p

15、，使acp為等腰三角形，若存在，求點(diǎn)p的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由dbcoayxebcoa備用圖yx【解析】 （1）拋物線yx 2bxc經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（2，0），c（0，1）解得：b，c1 拋物線的解析式為yx 2x1 （2）設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為（m，0）（0m2），則odm，ad2m由adeaoc得，de dce的面積mm 2m(m1)2當(dāng)m1時(shí)，dce的面積最大點(diǎn)d的坐標(biāo)為（1，0）bcoa圖1yxp2p1h（3）存在在yx 2x1中，令y0，得x 2x10解得x11，x22，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（1，0）設(shè)直線bc的解析式為ykxb則 解得k1，b1直線bc的解析式為yx1在rtaoc中，由勾股定理得：ac點(diǎn)

16、b（1，0），點(diǎn)c（0，1），oboc bco45bcoa圖2yxp3ga當(dāng)以c為頂點(diǎn)且pcac時(shí)，如圖1設(shè)p（n，n1），過(guò)點(diǎn)p作phy軸于h則hcpbco45，chph| n |在rtpch中，n 2n 2()2，解得n1，n2p1（，1），p2（，1）當(dāng)以a為頂點(diǎn)且acap時(shí)，如圖2設(shè)p（t，t1），過(guò)點(diǎn)p作pgx軸于g則ag| 2t|，gp| t1|bcoa圖3yxmnp4在rtapg中，ag 2pg 2ap 2(2t)2(t1)25，解得：t11，t20（舍去）p3（1，2）當(dāng)以p為頂點(diǎn)時(shí)，pcpa，如圖3設(shè)p（x，x1），過(guò)點(diǎn)p作pmy軸于m，pnx軸于n則n（x，0）c為等腰直角

17、三角形，pmcmx，papcxan| x2|，pn| x1|在rtpan中，an 2pn 2pa 2(x2)2(x1)2(x)2，解得：xp4（，）綜上所述，在直線bc上存在點(diǎn)p，使acp為等腰三角形，點(diǎn)p的坐標(biāo)為：p1（，1），p2（，1），p3（1，2），p4（，）2、動(dòng)點(diǎn)與直角三角形問(wèn)題兵法：1分直角頂點(diǎn)進(jìn)行討論，分別畫(huà)出圖形2利用相似或勾股定理逆定理3.利用直線垂直，斜率k相乘為-1【例1】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形oabc的兩邊oa、oc分別在x軸、y軸的正半軸上，oa4，oc2點(diǎn)p從點(diǎn)o出發(fā)，沿x軸以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)a勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)p到達(dá)點(diǎn)a時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的時(shí)

18、間是t秒將線段cp的中點(diǎn)繞點(diǎn)p按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90得點(diǎn)d，點(diǎn)d隨點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，連接dp、da（1）請(qǐng)用含t的代數(shù)式表示出點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）求t為何值時(shí)，dpa的面積最大，最大為多少？（3）在點(diǎn)p從o向a運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，dpa能否成為直角三角形？若能，求t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4）請(qǐng)直接寫(xiě)出隨著點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)d運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)adcboapxy【解析】 （1）過(guò)d作dex軸于e，則pedcopadcboa，peco1，depot故d（t1，）（2）spade(4t)t 2t(t2)21 當(dāng)t2時(shí)，s最大，最大值為1 （3）cpd90，dpacpo90，dpa90，故有以下兩種情況：當(dāng)pda9

19、0時(shí)，由勾股定理得pd 2da 2pa 2又pd 2pe 2de 21t 2，da 2de 2ea 2t 2(3t)2，pa 2(4t)21t 2t 2(3t)2(4t)2， 即t 24t120，解得t12，t26（不合題意，舍去）當(dāng)pad90時(shí)，點(diǎn)d在ba上，故ae3t0，得t3綜上所述，當(dāng)t2秒或3秒時(shí)，dpa為直角三角形 （4） 【例2】 如圖，直線yx1與拋物線yax 2bx4都經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1，0）、c（3，4）（1）求拋物線的解析式；（2）動(dòng)點(diǎn)p在線段ac上，過(guò)點(diǎn)p作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)e，求線段pe長(zhǎng)度的最大值；（3）當(dāng)線段pe的長(zhǎng)度取得最大值時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)q，使pc

20、q是以pc為直角邊的直角三角形？若存在，請(qǐng)求出q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由xycbaoecpc（1）拋物線yax 2bx4經(jīng)過(guò)點(diǎn)a（1，0）、c（3，4）xycbaoecpcdcq1q2(q3)fcgch 解得 拋物線的解析式為yx 23x4（2）設(shè)p（m，m1），則e（m，m 23m4）pem1(m 23m4)m 22m3(m1)24 當(dāng)m1時(shí)，線段pe的長(zhǎng)度有最大值4 （3）假設(shè)存在符合條件的q點(diǎn)，有兩種情況：設(shè)直線pe交x軸于點(diǎn)d，由（2）知點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，2），dp2，過(guò)點(diǎn)p作ac的垂線，交拋物線于點(diǎn)q1、q2，交x軸于點(diǎn)f在rtadp中，addp2，dap45afp45，dfd

21、p2點(diǎn)f的坐標(biāo)為（3，0）直線pf的解析式為yx3 令x3x 23x4，解得 q1（2，1），q2（2，1）過(guò)點(diǎn)c作ac的垂線，交拋物線于點(diǎn)q3、交y軸于點(diǎn)g，過(guò)點(diǎn)c作y軸的垂線，垂足為h則hghc3，og437點(diǎn)g的坐標(biāo)為（0，7）直線cg的解析式為yx7 令x7x 23x4，解得 （即為c點(diǎn)，舍去）q3（1，6）綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)q有三個(gè)：q1（2，1），q2（2，1），q3（1，6）【例3】 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線yx 2xm 23m2與x軸的交點(diǎn)分別為原點(diǎn)o和點(diǎn)a，點(diǎn)b（2，n）在這條拋物線上（1）求點(diǎn)b的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)p在線段oa上，從o點(diǎn)出發(fā)向a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過(guò)p點(diǎn)作x軸的

22、垂線，與直線ob交于點(diǎn)e，延長(zhǎng)pe到點(diǎn)d，使得edpe，以pd為斜邊，在pd右側(cè)作等腰直角三角形pcd（當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，c點(diǎn)、d點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）當(dāng)?shù)妊苯侨切蝡cd的頂點(diǎn)c落在此拋物線上時(shí)，求op的長(zhǎng)；若p點(diǎn)從o點(diǎn)出發(fā)向a點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位，同時(shí)線段oa上另一個(gè)點(diǎn)q從a點(diǎn)出發(fā)向o點(diǎn)作勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位（當(dāng)q點(diǎn)到達(dá)o點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，p點(diǎn)也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)）過(guò)q點(diǎn)作x軸的垂線，與直線ab交于點(diǎn)f，延長(zhǎng)qf到點(diǎn)m，使得fmqf，以qm為斜邊，在qm的左側(cè)作等腰直角三角形qmn（當(dāng)q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，m點(diǎn)、n點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)）若p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，

23、求此刻t的值yxo11【解析】 （1）拋物線yx 2xm 23m2經(jīng)過(guò)原點(diǎn)m 23m20，解得m11，m22由題意知m11，m2拋物線的解析式為yx 2x點(diǎn)b（2，n）在拋物線yx 2x上，n4點(diǎn)b的坐標(biāo)為（2，4）2分（2）設(shè)直線ob的解析式為yk1x求得直線ob的解析式為y2xa點(diǎn)是拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，可求得a點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0）設(shè)p點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），則e點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，2a）根據(jù)題意作等腰直角三角形pcd，如圖1 dbcoa11圖1yxpe可求得點(diǎn)c的坐標(biāo)為（3a，2a）由c點(diǎn)在拋物線上，得2a(3a)23a即a 2a0，解得a1，a20（舍去）op 依題意作等腰直角三角形qm

24、n設(shè)直線ab的解析式為yk2xb由點(diǎn)a（10，0），點(diǎn)b（2，4），求得直線ab的解析式為yx5當(dāng)p點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到t秒時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形分別有一條邊恰好落在同一條直線上，有以下三種情況：第一種情況：cd與nq在同一條直線上，如圖2所示dbcoa11圖2yxemqnfp可證dpq為等腰直角三角形此時(shí)op、dp、aq的長(zhǎng)可依次表示為t、4t、2t個(gè)單位pqdp4t，t4t2t10t第二種情況：pc與mn在同一條直線上，如圖3所示dbcoa11圖3yxmqnfp(e)(c)可證pqm為等腰直角三角形此時(shí)op、aq的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位oq102tf點(diǎn)在直線ab上，fqt，mq2tpqmqcq2

25、t，t2t2t10t2第三種情況：點(diǎn)p、q重合時(shí)，pd與qm在同一條直線上，如圖4所示dbcoa11圖4yxmefnq(p)此時(shí)op、aq的長(zhǎng)可依次表示為t、2t個(gè)單位t2t10t綜上，符合題意的t值分別為，2，【例4】 如圖，對(duì)稱(chēng)軸為x3的拋物線yax 22x與x軸相交于點(diǎn)b、o（1）求拋物線的解析式，并求出頂點(diǎn)a的坐標(biāo)；（2）連結(jié)ab，把a(bǔ)b所在的直線平移，使它經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o，得到直線l，點(diǎn)p是l上一動(dòng)點(diǎn)設(shè)以點(diǎn)a、b、o、p為頂點(diǎn)的四邊形面積為s，點(diǎn)p的橫坐標(biāo)為t，當(dāng)0s18時(shí)，求t的取值范圍；（3）在（2）的條件下，當(dāng)t取最大值時(shí)，拋物線上是否存在點(diǎn)q，使opq為直角三角形且op為直角邊，若

26、存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由xyoab（1）點(diǎn)b與o（0，0）關(guān)于x3對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)b的坐標(biāo)為（6，0）把b（6，0）代入yax 22x得：36a120a拋物線的解析式為yx 22x當(dāng)x3時(shí)，y3 2233頂點(diǎn)a的坐標(biāo)為（3，3）（說(shuō)明：可用對(duì)稱(chēng)軸為x求a的值，用頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)a的坐標(biāo)）（2）設(shè)直線ab的解析式為ykxba（3，3），b（6，0）xyoabpm圖1 解得yx6直線lab且過(guò)點(diǎn)o，直線l的解析式為yx點(diǎn)p是l上一動(dòng)點(diǎn)且橫坐標(biāo)為t點(diǎn)p的坐標(biāo)為（t，t）當(dāng)p在第四象限時(shí)（t0），如圖1ssaob sbop 636|t|93t0s18，093t18xyoabpmn圖23t3，又

27、t00t3 5分當(dāng)p在第二象限時(shí)（t0），如圖2ssaob saop saob sbop636|t|3t90s18，03t9183t3，又t03t0 t的取值范圍是3t0或0t3（3）存在，點(diǎn)q的坐標(biāo)為（3，3）或（6，0）或（3，9）【例5】 如圖，拋物線ymx 22mx3m（m0）與x軸交于a、b兩點(diǎn)，與y軸交于c點(diǎn)（1）請(qǐng)求出拋物線頂點(diǎn)m的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示），a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）經(jīng)探究可知，bcm與abc的面積比不變，試求出這個(gè)比值；（3）是否存在使bcm為直角三角形的拋物線？若存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由mcboayx【解析】 （1）ymx 22mx3mm(x1)2

28、4m拋物線頂點(diǎn)m的坐標(biāo)為（1，4m）拋物線ymx 22mx3m（m0）與x軸交于a、b兩點(diǎn)當(dāng)y0時(shí)，mx 22mx3m0m0，x 22x30解得x11，x23a、b兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，0）、（3，0）（2）當(dāng)x0時(shí)，y3m，點(diǎn)c的坐標(biāo)為（0，3m）sabc|3(1)|3m|6|m|6m mcboayxnd過(guò)點(diǎn)m作mdx軸于點(diǎn)d，則od1，bdobod2，md|4m|4msbcmsbdms梯形ocmdsobcbddm(ocdm)odoboc24m(3m4m)133m3m sbcm : sabc1 : 2 （3）存在使bcm為直角三角形的拋物線過(guò)點(diǎn)c作cndm于點(diǎn)n，則cmn為直角三角形，cnod1

29、，dnoc3mmndmdnm，cm 2cn 2mn21m 2在rtobc中，bc 2ob 2oc299m 2在rtbdm中，bm 2bd 2dm2416m 2如果bcm是直角三角形，且bmc90，那么cm 2bm2bc 2即1m 2416m 299m 2，解得mm0，m存在拋物線yx 2x使bcm為直角三角形如果bcm是直角三角形，且bcm90，那么bc 2cm2bm 2即99m 21m 2416m 2，解得m1m0，m1存在拋物線yx 22x3使bcm為直角三角形如果bcm是直角三角形，且cbm90，那么bc 2bm2cm 2即99m 2416m 21m 2，整理得m 2，此方程無(wú)解以cbm

30、為直角的直角三角形不存在綜上所述，存在拋物線yx 2x和yx 22x3使bcm為直角三角形3、動(dòng)點(diǎn)與相似三角形問(wèn)題兵法：1確定分類(lèi)的角，直角或鈍角，然后進(jìn)行分類(lèi)討論，畫(huà)出圖形 2設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，算出線段長(zhǎng)度，利用對(duì)應(yīng)邊成比例，列出方程 3如果出現(xiàn)直角三角形的相似問(wèn)題，則常用銳角函數(shù)【例1】 如圖，拋物線與x軸交于a（1，0）、b（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)c（0，3），設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為d（1）求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)d的坐標(biāo)；（2）以b、c、d為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形嗎？為什么？（3）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)p，使得以p、a、c為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似？若存在，請(qǐng)指出符合條件的點(diǎn)p的位置，并直接

31、寫(xiě)出點(diǎn)p的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由oabxycd【解析】 （1）設(shè)該拋物線的解析式為yax 2bxc由拋物線與y軸交于點(diǎn)c（0，3），可知c3即拋物線的解析式為yax 2bx3 把a(bǔ)（1，0）、b（3，0）代入，得解得a1，b2，拋物線的解析式為yx 22x3 yx 22x3(x1 )24，頂點(diǎn)d的坐標(biāo)為（1，4）（2）以b、c、d為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形 ，理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)d分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為e、f在rtboc中，oboc3，bc 218在rtcdf中，df1，cfofoc431，cd 22在rtbde中，de4，beoboe312，bd 220 bc 2cd 2c

32、e 2，bcd為直角三角形 （3）如圖2，連接ac，可知rtcoartbcd，得符合條件的點(diǎn)為o（0，0）oabxycd圖1efoabxycd圖2p2p1過(guò)a作ap1ac交y軸正半軸于p1，可知rtcap1rtcoartbcd求得符合條件的點(diǎn)為p1（0，）過(guò)c作cp2ac交x軸正半軸于p2，可知rtp2cartcoartbcd求得符合條件的點(diǎn)為p2（9，0）符合條件的點(diǎn)有三個(gè)：o（0，0），p1（0，），p2（9，0）【例2】 如圖，拋物線yax 2bx1與x軸交于兩點(diǎn)a（1，0），b（1，0），與y軸交于點(diǎn)c（1）求拋物線的解析式；（2）過(guò)點(diǎn)b作bdca與拋物線交于點(diǎn)d，求四邊形acbd的面

33、積；（3）在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)m，過(guò)m作mnx軸于點(diǎn)n，使以a、m、n為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似？若存在，則求出點(diǎn)m的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由cabdyxo【解析】 （1）把a(bǔ)（1，0），b（1，0）代入yax 2bx1得： 解得拋物線的解析式為yx 21 （2）令x0，得y1，c（0，1）oaoboc1，bacacobcoabc45bdca，abdbac45如圖1，過(guò)點(diǎn)d作dex軸于e，則edb為等腰直角三角形設(shè)eox，則edx1，d（x，x1）點(diǎn)d在拋物線yx 21上，x1(x )21解得x12，x21（不合題意，舍去）ed3（說(shuō)明：先求出直線bd的解析式，再用兩個(gè)解析式聯(lián)立求

34、解得到點(diǎn)d的坐標(biāo)也可）s四邊形acbdabocabed21234 （說(shuō)明：也可直接求直角梯形acbd的面積為4）cabdyxoe圖1（3）存在，abcabd45，dbc90mnx軸，mnadbc90bc，bd設(shè)m點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則m（m，m 21）當(dāng)點(diǎn)m在y軸左側(cè)時(shí)，如圖2，則m1)若nmabcd，則即，整理得3m 2m20解得m11（舍去），m2（舍去）)若nambcd，則即，整理得m 23m20解得m11（舍去），m22m 21(2) 213m1（2，3）當(dāng)點(diǎn)m在y軸右側(cè)時(shí)，如圖2，則m1cabdyxo圖2(m1)n1m2n2)若nmabcd，則即，整理得3m 2m40解得m11（舍去），

35、m2m 21()1m2（，）)若nambcd，則即，整理得m 23m40解得m11（舍去），m24m 214115m3（4，15）存在點(diǎn)m，使以a、m、n為頂點(diǎn)的三角形與bcd相似，m點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：m1（2，3），m2（，），m3（4，15）【例3】 如圖1，已知梯形oabc，拋物線分別過(guò)點(diǎn)o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸、解析式及頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa、cb以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1設(shè)梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、b1的坐標(biāo)分別為（x

36、1，y1）、（x2，y2）用含s的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)s36時(shí)點(diǎn)a1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)d坐標(biāo)為（1，3），動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著線段bc運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)d出發(fā)，以與點(diǎn)p相同的速度沿著線段dm運(yùn)動(dòng)p、q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)m時(shí)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)p、q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線pq、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由omaxybcd圖1omxyd圖2a1o1c1b1【解析】 （1）對(duì)稱(chēng)軸：直線x1解析式：yx 2x或y(x1)2 頂點(diǎn)

37、坐標(biāo)：m（1，）（2）由題意得y2y13即x 22x2x 12x13整理得：(x2x 1)(x2x 1)3 s2(x 11x 21)33(x1x 2)6x1x 22 把代入并整理得：x2x 1（s0）（事實(shí)上，更確切為s）當(dāng)s36時(shí)， 解得： （注：s0或s不寫(xiě)不扣分）把x 16代入拋物線解析式得y13 點(diǎn)a1（6，3）（3）存在，解法一：易知直線ab的解析式為yx可得直線ab與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)e的坐標(biāo)為（1，）omaxybcdegqpfbd5，de，dp5t，dqt當(dāng)pqab時(shí)，得t 下面分兩種情況討論：設(shè)直線pq與直線ab、x軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)f、g當(dāng)0t時(shí)fqefag，fgafeqdpqdeb，dpqdeb，得t，t舍去當(dāng)t時(shí)fqefag，fagfqedqpfqe，fagdbedqpdbe，dpqdeb，得t故當(dāng)t秒時(shí)，使直線、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對(duì)稱(chēng)軸圍成的三角形相似（注：未求出t能得到正確答案不扣分）解法二：可將yx 2x向左平移一個(gè)單位得到y(tǒng)x 2，再用解法一類(lèi)似的方法可求得x2x 1，點(diǎn)a1（5，3），tx2x 1，點(diǎn)a1（6，3），t【例4】 如圖，已知abc中，acb90，以ab所在直線為x軸