歐拉積分及其應(yīng)用

1、歐拉積分及其應(yīng)用摘 要: beta函數(shù)與gamma函數(shù)是數(shù)學(xué)分析中兩個重要的積分，靈活應(yīng)用這兩個積分可以很好的解決數(shù)學(xué)計(jì)算中的一些問題，本文重點(diǎn)闡述了beta函數(shù)、gamma函數(shù)的性質(zhì)和關(guān)關(guān)系，通過舉一些典型的例子來說明他們的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: gamma函數(shù)；beta函數(shù)；含參量積分abstract: beta function and gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problem

2、s in mathematical calculations, this paper focuses on the beta function, gamma function, the nature and relationship, through the give some a typical example to illustrate their application.key words: the gamma function; the beta function; contain the parameter integral引言 歐拉是18世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學(xué)界作

3、出貢獻(xiàn)，更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理的領(lǐng)域.歐拉對數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.歐拉(euler)積分是其重要貢獻(xiàn)之一，它廣義積分定義的特殊函數(shù)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及數(shù)理方程等學(xué)科中經(jīng)常用到，本文重點(diǎn)闡述beta函數(shù)、gamma函數(shù)的性質(zhì)，揭示二者所具有的關(guān)系及在數(shù)學(xué)分析、概率統(tǒng)計(jì)等學(xué)科中的應(yīng)用，從而使復(fù)雜的題目有了更簡單易懂的解決方法，同時這也揭示了數(shù)學(xué)的不同學(xué)科之間的密切聯(lián)系，在提高解題能力的同時，也加深對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用. 稱為貝塔（beta）函數(shù)，（或?qū)懽骱瘮?shù)）.稱為格馬（gamma）函數(shù)，（或?qū)懽骱瘮?shù)）.貝塔函數(shù)與格馬函數(shù)在應(yīng)

4、用中經(jīng)常出現(xiàn)，它們統(tǒng)稱為歐拉積分，前者是第一類歐拉積分，后者是第二類歐拉積分.1. 函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)1.1 函數(shù)的定義域 = ，當(dāng)時為瑕點(diǎn)，當(dāng)時為瑕點(diǎn)，定義域?yàn)槿魏?，在?nèi)，一致收斂，故函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).1.2 函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1.2.1 (對稱性).作變換，=. 性質(zhì)1.2.2 （遞推公式）= ,， （1）， （2），. （3）當(dāng)時，有=+= ，移項(xiàng)整理即得（1）.公式（2）可由對稱性及公式（1)推得，而公式（3）則可由公式（1），（2）推得. 性質(zhì)1.2.3 （其他形式）在應(yīng)用上， 也常以如下形式出現(xiàn)(1) 令，則有=；(2) 令,則有=；(3) 考察.令，則有=.2. 函數(shù)及其相關(guān)性質(zhì)2

5、.1 函數(shù)的定義域， 1、積分區(qū)間為無窮； 2、當(dāng)時，為瑕點(diǎn)； 3、當(dāng)時，收斂.寫函數(shù)為如下兩積分之和： =，其中，. 當(dāng)時，為正常積分；當(dāng)時，為收斂的無界函數(shù)反常積分.對任何實(shí)數(shù)，都是收斂的，特別是時收斂. 所以，函數(shù)在時收斂.2.2 函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)2.2.1 對任意，且.性質(zhì)2.2.2 對任意成立.證明 有分部積分法得：=+=.性質(zhì)2.2.3 是上的凸函數(shù).證明 只要證明對，=1，有不等式+.事實(shí)上，由holder不等式即得=，性質(zhì)得證.出乎意料的是，函數(shù)的以上三條性質(zhì)完全確定了函數(shù).這就是說，任意定義在上的函數(shù)，如果具有上面三條性質(zhì)，那么它一定是函數(shù).這個意想不到的結(jié)果是由bohr和mo

6、llerup首先發(fā)現(xiàn)的. 性質(zhì)2.2.4（圖像）設(shè)，即，應(yīng)用性質(zhì)2可得到 （1）若為正整數(shù)，則（1）式可以寫成. （2）對一切，和恒大于0，因此的圖形位于軸上方，且是向下凸的.因?yàn)椋栽谏洗嬖谖ㄒ坏臉O小點(diǎn)且.又在內(nèi)嚴(yán)格減；在內(nèi)嚴(yán)格增.由于= （）及，故有.由（2）式及在上嚴(yán)格增可推得.綜上所述，函數(shù)的圖像如下圖部分所示. 性質(zhì)2.2.5 （延拓）改寫遞推公式為.當(dāng)時，有意義，于是可應(yīng)用它來定義左端函數(shù)在內(nèi)的值，并且可推得這時. 用同樣的方法，利用已在內(nèi)有定義這一事實(shí)，由又可定義在內(nèi)的值，而且這時.依此下去可把延拓到整個數(shù)軸（除以外），其圖像如上圖所示. 性質(zhì)2.2.6 （其他形式）在應(yīng)用上，

7、 也常以如下形式出現(xiàn) (1) 令，則有= ； (2) 令，可得= .3. 函數(shù)與函數(shù)的關(guān)系當(dāng)為正整數(shù)時，反復(fù)應(yīng)用函數(shù)的遞推公式可得 =.又由于，所以 ，即 .對于任何實(shí)數(shù)也有關(guān)系式：. 4. 歐拉積分的應(yīng)用4.1 歐拉積分在定積分中的應(yīng)用例 1 計(jì)算積分，.分析 這道題目被積函數(shù)形式復(fù)雜，若變化技巧使用不當(dāng)，則導(dǎo)致計(jì)算過程極為復(fù)雜，甚至無從下手.這里，我們不妨轉(zhuǎn)化為歐拉積分計(jì)算.解 令，則有.利用三角恒等式可得，.將其代入原式得 . 4.2 歐拉積分在級數(shù)計(jì)算中的應(yīng)用例 2 計(jì)算級數(shù)的和.分析 這是一道級數(shù)的計(jì)算問題，采用普通方法計(jì)算，其過程將會很復(fù)雜，我們可以利用歐拉積分試一試.解 = =

8、=由于當(dāng)時，所以 因而級數(shù)在0,1上一致收斂，于是有= = = =.4.3 歐拉積分在概率和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用 例 3 設(shè)，求. 分析 這是一道求卡方分布的期望的問題，我們可以令，將其轉(zhuǎn)化為歐拉積分. 解 .例 4 證明概率積分.分析 我們知道，著名的概率積分及其推廣形式的計(jì)算是至關(guān)重要的，其計(jì)算多數(shù)采用泰勒公式或轉(zhuǎn)化成二重積分來處理，一般來說，過程比較復(fù)雜.但若令，將其轉(zhuǎn)化成歐拉積分，再利用拉積分的性質(zhì)，則可以迅速獲得結(jié)果.解 令，則，所以 .結(jié)束語通過以上對函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、特點(diǎn)及其應(yīng)用的探討，我們對函數(shù)函數(shù)已經(jīng)有了一些大致的了解，這些都是最基本的.在數(shù)學(xué)分析中，函數(shù)與函數(shù)是兩個非常重要的非初等函數(shù)，人們曾經(jīng)對此進(jìn)行了細(xì)致的研究，如同三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)那樣，還專門制作了函數(shù)和函數(shù)表.在以后的學(xué)習(xí)中我們將繼續(xù)研究函數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì),這次就簡單介紹到這里.參考文獻(xiàn)1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析.m. 北京:高等教育出版社,2001.2 毛信實(shí),董延新. 數(shù)學(xué)分析.m. 北京:北京師范大學(xué)出版社,1900.3 鄭英元,毛羽輝,宋國棟. 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析.m. 北京:高等教育出版社,1900.4 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系