歐拉積分及其應用

1、歐拉積分及其應用摘 要: beta函數(shù)與gamma函數(shù)是數(shù)學分析中兩個重要的積分，靈活應用這兩個積分可以很好的解決數(shù)學計算中的一些問題，本文重點闡述了beta函數(shù)、gamma函數(shù)的性質和關關系，通過舉一些典型的例子來說明他們的應用. 關鍵詞: gamma函數(shù)；beta函數(shù)；含參量積分abstract: beta function and gamma function is a mathematical analysis of two important points, flexible application of these two points can solve some problem

2、s in mathematical calculations, this paper focuses on the beta function, gamma function, the nature and relationship, through the give some a typical example to illustrate their application.key words: the gamma function; the beta function; contain the parameter integral引言 歐拉是18世紀數(shù)學界最杰出的人物之一，他不但為數(shù)學界作

3、出貢獻，更把數(shù)學推至幾乎整個物理的領域.歐拉對數(shù)學的研究如此廣泛，因此在許多數(shù)學的分支中也可經(jīng)常見到以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理.歐拉(euler)積分是其重要貢獻之一，它廣義積分定義的特殊函數(shù)，在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及數(shù)理方程等學科中經(jīng)常用到，本文重點闡述beta函數(shù)、gamma函數(shù)的性質，揭示二者所具有的關系及在數(shù)學分析、概率統(tǒng)計等學科中的應用，從而使復雜的題目有了更簡單易懂的解決方法，同時這也揭示了數(shù)學的不同學科之間的密切聯(lián)系，在提高解題能力的同時，也加深對數(shù)學的理解和應用. 稱為貝塔（beta）函數(shù)，（或寫作函數(shù)）.稱為格馬（gamma）函數(shù)，（或寫作函數(shù)）.貝塔函數(shù)與格馬函數(shù)在應

4、用中經(jīng)常出現(xiàn)，它們統(tǒng)稱為歐拉積分，前者是第一類歐拉積分，后者是第二類歐拉積分.1. 函數(shù)及其相關性質1.1 函數(shù)的定義域 = ，當時為瑕點，當時為瑕點，定義域為任何，在內(nèi)，一致收斂，故函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù).1.2 函數(shù)的性質 性質1.2.1 (對稱性).作變換，=. 性質1.2.2 （遞推公式）= ,， （1）， （2），. （3）當時，有=+= ，移項整理即得（1）.公式（2）可由對稱性及公式（1)推得，而公式（3）則可由公式（1），（2）推得. 性質1.2.3 （其他形式）在應用上， 也常以如下形式出現(xiàn)(1) 令，則有=；(2) 令,則有=；(3) 考察.令，則有=.2. 函數(shù)及其相關性質2

5、.1 函數(shù)的定義域， 1、積分區(qū)間為無窮； 2、當時，為瑕點； 3、當時，收斂.寫函數(shù)為如下兩積分之和： =，其中，. 當時，為正常積分；當時，為收斂的無界函數(shù)反常積分.對任何實數(shù)，都是收斂的，特別是時收斂. 所以，函數(shù)在時收斂.2.2 函數(shù)的性質性質2.2.1 對任意，且.性質2.2.2 對任意成立.證明 有分部積分法得：=+=.性質2.2.3 是上的凸函數(shù).證明 只要證明對，=1，有不等式+.事實上，由holder不等式即得=，性質得證.出乎意料的是，函數(shù)的以上三條性質完全確定了函數(shù).這就是說，任意定義在上的函數(shù)，如果具有上面三條性質，那么它一定是函數(shù).這個意想不到的結果是由bohr和mo

6、llerup首先發(fā)現(xiàn)的. 性質2.2.4（圖像）設，即，應用性質2可得到 （1）若為正整數(shù)，則（1）式可以寫成. （2）對一切，和恒大于0，因此的圖形位于軸上方，且是向下凸的.因為，所以在上存在唯一的極小點且.又在內(nèi)嚴格減；在內(nèi)嚴格增.由于= （）及，故有.由（2）式及在上嚴格增可推得.綜上所述，函數(shù)的圖像如下圖部分所示. 性質2.2.5 （延拓）改寫遞推公式為.當時，有意義，于是可應用它來定義左端函數(shù)在內(nèi)的值，并且可推得這時. 用同樣的方法，利用已在內(nèi)有定義這一事實，由又可定義在內(nèi)的值，而且這時.依此下去可把延拓到整個數(shù)軸（除以外），其圖像如上圖所示. 性質2.2.6 （其他形式）在應用上，

7、 也常以如下形式出現(xiàn) (1) 令，則有= ； (2) 令，可得= .3. 函數(shù)與函數(shù)的關系當為正整數(shù)時，反復應用函數(shù)的遞推公式可得 =.又由于，所以 ，即 .對于任何實數(shù)也有關系式：. 4. 歐拉積分的應用4.1 歐拉積分在定積分中的應用例 1 計算積分，.分析 這道題目被積函數(shù)形式復雜，若變化技巧使用不當，則導致計算過程極為復雜，甚至無從下手.這里，我們不妨轉化為歐拉積分計算.解 令，則有.利用三角恒等式可得，.將其代入原式得 . 4.2 歐拉積分在級數(shù)計算中的應用例 2 計算級數(shù)的和.分析 這是一道級數(shù)的計算問題，采用普通方法計算，其過程將會很復雜，我們可以利用歐拉積分試一試.解 = =

8、=由于當時，所以 因而級數(shù)在0,1上一致收斂，于是有= = = =.4.3 歐拉積分在概率和數(shù)理統(tǒng)計中的應用 例 3 設，求. 分析 這是一道求卡方分布的期望的問題，我們可以令，將其轉化為歐拉積分. 解 .例 4 證明概率積分.分析 我們知道，著名的概率積分及其推廣形式的計算是至關重要的，其計算多數(shù)采用泰勒公式或轉化成二重積分來處理，一般來說，過程比較復雜.但若令，將其轉化成歐拉積分，再利用拉積分的性質，則可以迅速獲得結果.解 令，則，所以 .結束語通過以上對函數(shù)函數(shù)的性質、特點及其應用的探討，我們對函數(shù)函數(shù)已經(jīng)有了一些大致的了解，這些都是最基本的.在數(shù)學分析中，函數(shù)與函數(shù)是兩個非常重要的非初等函數(shù)，人們曾經(jīng)對此進行了細致的研究，如同三角函數(shù)和對數(shù)函數(shù)那樣，還專門制作了函數(shù)和函數(shù)表.在以后的學習中我們將繼續(xù)研究函數(shù)函數(shù)的重要性質,這次就簡單介紹到這里.參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系. 數(shù)學分析.m. 北京:高等教育出版社,2001.2 毛信實,董延新. 數(shù)學分析.m. 北京:北京師范大學出版社,1900.3 鄭英元,毛羽輝,宋國棟. 華東師范大學數(shù)學系,數(shù)學分析.m. 北京:高等教育出版社,1900.4 北京大學數(shù)學系