2022屆高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總復(fù)習(xí)提升之專題突破詳解專題17創(chuàng)新數(shù)列（含解析）

1、專題17 創(chuàng)新數(shù)列一命題類型1.數(shù)列與函數(shù)的綜合2特殊數(shù)列3.數(shù)列的性質(zhì)4數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的應(yīng)用5.新定義數(shù)列6.找規(guī)律7.項(xiàng)和互化的綜合問題8.分奇偶數(shù)項(xiàng)的討論問題9.數(shù)列不等式知識要點(diǎn)及方法1遞推數(shù)列的概念如果已知數(shù)列an的第1項(xiàng)(或前k項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)(或前若干項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的_；由遞推公式確定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列2已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)一般有三種途徑：一是歸納、猜想，二是轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列；三是逐項(xiàng)迭代遞推數(shù)列求通項(xiàng)的特征歸納：(1)累加法：an1anf(n).(2)累乘法：f(n).(3)化歸法：(常見)an1AanB(A

2、0，A1)an1A(an)；an2pan1qanan2an1(p)(an1an)；an1panpn11.(4)歸納法：計(jì)算a2，a3，a4呈現(xiàn)關(guān)于項(xiàng)數(shù)2，3，4的規(guī)律特征.(5)迭代法：an1pan或an1a或an1panf(n)等.3.求數(shù)列前n項(xiàng)和的基本方法(1)公式求和法(2)裂項(xiàng)相消求和法數(shù)列an滿足通項(xiàng)能分裂為兩項(xiàng)之差，且分裂后相鄰的項(xiàng)正負(fù)抵消從而求得其和(3)倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項(xiàng)的和公式就是用此法推導(dǎo)的(4)錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)

3、等比數(shù)列的對應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的(5)分組轉(zhuǎn)化求和法一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和而后相加減(6)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如，Sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1數(shù)列綜合問題中應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想(1)用函數(shù)的觀點(diǎn)與思想認(rèn)識數(shù)列，將數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式視為定義在正整數(shù)集或其有限子集1，2，n上的函數(shù)(2)用方程的思想處理

4、數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列基本量的方程(3)用轉(zhuǎn)化化歸的思想探究數(shù)列問題，將問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列來研究(4)數(shù)列綜合問題常常應(yīng)用分類討論思想、特殊與一般思想、類比聯(lián)想思想、歸納猜想思想等2解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟(1)審題仔細(xì)閱讀材料，認(rèn)真理解題意(2)建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)(數(shù)列)語言，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么(3)求解求出該問題的數(shù)學(xué)解(4)還原將所求結(jié)果還原到原實(shí)際問題中3數(shù)學(xué)應(yīng)用題常見模型(1)等差模型：如果增加(或減少)的量是一個(gè)固定量時(shí)，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差(2)等比模型：如果后一個(gè)量與前一個(gè)量的比是一個(gè)固定的數(shù)時(shí)，該模型是等

5、比模型，這個(gè)固定的數(shù)就是公比(3)遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項(xiàng)之間的關(guān)系不固定，隨項(xiàng)的變化而變化時(shí)，應(yīng)考慮是an與an1的遞推關(guān)系，還是Sn與Sn1之間的遞推關(guān)系二命題類型分析及防陷阱措施1.數(shù)列與函數(shù)的綜合例1. 設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知，若一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列中第18項(xiàng)（ ）A. B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【方法規(guī)律總結(jié)】本題主要考查抽象函數(shù)的解析式以及數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系以及公式的應(yīng)用，屬于難題.已知求的一般步驟：（1）當(dāng)時(shí)，由求的值；（2）當(dāng)時(shí)，由，求得的表達(dá)式；（3）檢驗(yàn)的值是否滿足（2）中的

6、表達(dá)式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達(dá)式練習(xí)1. 設(shè)函數(shù)是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對于任意正數(shù)有，已知，若一個(gè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足，其中是數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列中第18項(xiàng)（ ）A. B. 9 C. 18 D. 36【答案】C【解析】f（Sn）=f（an）+f（an+1）-1=fan（an+1）函數(shù)f（x）是定義域在（0，+）上的單調(diào)函數(shù)，數(shù)列an各項(xiàng)為正數(shù)Sn=an（an+1）當(dāng)n=1時(shí)，可得a1=1；當(dāng)n2時(shí)，Sn-1=an-1（an-1+1），-可得an= an（an+1）-an-1（an-1+1）（an+an-1）（an-an-1-1）=0an0，an-an-1-1=0即an-a

7、n-1=1數(shù)列an為等差數(shù)列，a1=1，d=1；an=1+（n-1）1=n即an=n所以故選C。練習(xí)2.已知是上的奇函數(shù)， ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】是奇函數(shù)，令， ，令， ，令，令，同理可得，故選練習(xí)3. 設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D所以= = =2016，因?yàn)閒()=1,f()=1,f(x)在R上單調(diào)遞增，所以,即，故選：D.練習(xí)4. 數(shù)列是正整數(shù)的任一排列，且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：；當(dāng)時(shí)， ().記這樣的數(shù)列個(gè)數(shù)為.（I）寫出的值；（II）證明不能被4整除.【答案】(1)詳見解析;(2

8、)詳見解析.【解析】試題分析：（1）依題意，易得： ；（2）把滿足條件的數(shù)列稱為項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列.對于個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于，故或3.分成三類情況，利用已知條件逐一進(jìn)行驗(yàn)證即可.試題解析：（）解： . （）證明：把滿足條件的數(shù)列稱為項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列.對于個(gè)數(shù)的首項(xiàng)最小數(shù)列，由于，故或3.（1）若，則構(gòu)成項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為；（2）若，則必有，故構(gòu)成項(xiàng)的首項(xiàng)最小數(shù)列，其個(gè)數(shù)為；（3）若則或. 設(shè)是這數(shù)列中第一個(gè)出現(xiàn)的偶數(shù)，則前項(xiàng)應(yīng)該是， 是或，即與是相鄰整數(shù).由條件，這數(shù)列在后的各項(xiàng)要么都小于它，要么都大于它，因?yàn)?在之后，故后的各項(xiàng)都小于它.這種情況的數(shù)列只有一個(gè)，即先排遞增的奇數(shù)，后

9、排遞減的偶數(shù).綜上，有遞推關(guān)系： ， .由此遞推關(guān)系和（I）可得， 各數(shù)被4除的余數(shù)依次為：1，1，2，0，2，1，2，1，3，2，0，0，3，0，1，1，2，0，它們構(gòu)成14為周期的數(shù)列，又，所以被4除的余數(shù)與被4除的余數(shù)相同，都是1，故不能被4整除. 2特殊數(shù)列例2.已知數(shù)列,則一定是A. 奇數(shù) B. 偶數(shù) C. 小數(shù) D. 無理數(shù)【答案】A【解析】因?yàn)?所以,則數(shù)列從第3項(xiàng)開始,每一項(xiàng)均為其前兩項(xiàng)的和,因?yàn)榍皟身?xiàng)均為1,是奇數(shù),所以從第三項(xiàng)開始,第3n項(xiàng)均為偶數(shù),第3n+1項(xiàng)均為奇數(shù),第3n+2項(xiàng)均為奇數(shù),所以一定是奇數(shù). (2)具體策略：分式中分子、分母的特征；相鄰項(xiàng)的變化特征；拆項(xiàng)后

10、的特征；各項(xiàng)的符號特征和絕對值特征；化異為同.對于分式還可以考慮對分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿印⒎帜钢g的關(guān)系；對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用處理.練習(xí)1已知數(shù)列滿足，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】，故選C.練習(xí)2. 設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和， ，且.記 為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】由2anan1=32n1（n2），得， 由2anan1=32n1（n2），且3a1=2a2，可得2a2a1=6，即2a1=6，得a1=3數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則 （2+22+23+2n） 22n21n 對nN*，Tnm，m的最小值為故答

11、案為A。【方法總結(jié)】：這個(gè)題目考查的是數(shù)列求通項(xiàng)的常用方法：配湊法，構(gòu)造新數(shù)列。也考查了等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用，數(shù)列和的最值。關(guān)于數(shù)列之和的最值，可以直接觀察，比如這個(gè)題目，一般情況下需要研究和的表達(dá)式的單調(diào)性：構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性，做差和0比研究單調(diào)性，直接研究表達(dá)式的單調(diào)性。3.數(shù)列的性質(zhì)例3. 已知數(shù)列則 （ ）A. B. C. 或1 D. 【答案】B【解析】由條件可知，兩邊去倒數(shù)得 是等差數(shù)列，故 ，故得 故答案選B練習(xí)1. 數(shù)列定義為， ， ， （1）若，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，定義數(shù)列， ， ，是否存在正整數(shù)，使得.如果存在，求出一組，如果不存在，說明理由.【答案】(1)2；(2)答案見

12、解析【解析】試題分析：(1)由題意可得，裂項(xiàng)求和有的值是2；(2)結(jié)合所給的遞推關(guān)系討論可得存在一組滿足題意.試題解析：(1) 所以故所以（2）由得，兩邊平方所以當(dāng)時(shí)，由知又，數(shù)列遞增，所以類似地， 又所以存在正整數(shù)， 存在一組練習(xí)2. 在數(shù)1和2之間插入n個(gè)正數(shù)，使得這n+2個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列，將這n+2個(gè)數(shù)的乘積記為，令 (1)數(shù)列的通項(xiàng)公式為=_； (2) =_【答案】 ; 【解析】設(shè)在數(shù)和之間插入個(gè)正數(shù)，使得這個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增等比數(shù)列則，即為此等比數(shù)列的公比故數(shù)列的通項(xiàng)公式為由可得，又, 故答案為練習(xí)3. 已知兩個(gè)等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且， ， 為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為【答案】9

13、； 【解析】試題分析：由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得，可得的取值。試題解析：即或或或n,從而n即集合為故為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合為4數(shù)學(xué)文化與數(shù)列的應(yīng)用例4某化工廠從今年一月起，若不改善生產(chǎn)環(huán)境，按生產(chǎn)現(xiàn)狀，每月收入為70萬元，同時(shí)將受到環(huán)保部門的處罰，第一個(gè)月罰3萬元，以后每月增加2萬元如果從今年一月起投資500萬元添加回收凈化設(shè)備（改造設(shè)備時(shí)間不計(jì)），一方面可以改善環(huán)境，另一方面也可以大大降低原料成本據(jù)測算，添加回收凈化設(shè)備并投產(chǎn)后的前5個(gè)月中的累計(jì)生產(chǎn)凈收入是生產(chǎn)時(shí)間個(gè)月的二次函數(shù)（是常數(shù)），且前3個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入可達(dá)309萬，從第6個(gè)月開始，每個(gè)月的生產(chǎn)凈收入都與第5個(gè)月相同同時(shí)，

14、該廠不但不受處罰，而且還將得到環(huán)保部門的一次性獎(jiǎng)勵(lì)100萬元（1）求前8個(gè)月的累計(jì)生產(chǎn)凈收入的值；（2）問經(jīng)過多少個(gè)月，投資開始見效，即投資改造后的純收入多于不改造時(shí)的純收入【答案】（1）；（2）經(jīng)過9個(gè)月投資開始見效?！窘馕觥吭囶}分析: （1）根據(jù)g（3）得到k，再計(jì)算g（5）和g（5）g（4），而g（8）=g（5）+3g（5）g（4），從而得到結(jié)果；（2）求出投資前后前n個(gè)月的總收入，列不等式解出n的范圍即可試題解析（1）據(jù)題意，解得， 第5個(gè)月的凈收入為 萬元， 所以， 萬元（2）即要想投資開始見效，必須且只需，即 當(dāng)時(shí)， 即不成立；當(dāng)時(shí)， 即， 驗(yàn)算得， 時(shí)， 所以，經(jīng)過9個(gè)月投資開始

15、見效。練習(xí)1用分期付款的方式購買某家用電器一件，價(jià)格為1 150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月這一天還款一次，每次還款數(shù)額相同，20個(gè)月還清，月利率為1%，按復(fù)利計(jì)算若交付150元后的第一個(gè)月開始算分期付款的第一個(gè)月，全部欠款付清后，請問買這件家電實(shí)際付款多少元？每月還款多少元？(最后結(jié)果保留4個(gè)有效數(shù)字)參考數(shù)據(jù)：(11%)191.208，(11%)201.220，(11%)211.232.【答案】詳見解析.【解析】試題分析: 購買當(dāng)天先付款后，所欠款數(shù)可求，用20個(gè)月還清，月利率為1%，按復(fù)利計(jì)息，分期付款的總款數(shù)，是等比數(shù)列的前20項(xiàng)和，求出可得買這件家電實(shí)際付款數(shù)，以及每個(gè)月應(yīng)還款

16、數(shù).試題解析:由題易得x(11%)19x(11%)18x(11%)x1 000(11%)20，即x1 000(11%)20，所以x55.45，即每月還款55.45元所以買這件家電實(shí)際付款55.45201501 259(元)，每月還款55.45元練習(xí)2.吳敬九章算法比類大全中描述：遠(yuǎn)望魏巍塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，請問塔頂幾盞燈？ （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】設(shè)塔頂 盞燈，則 ，解得 故選C練習(xí)3. 某數(shù)學(xué)大會(huì)會(huì)徽的主體圖案是由一連串直角三角形演化而成的(如圖)，其中，記， ， ， 的長度構(gòu)成的數(shù)列為，則的通項(xiàng)公式_.【答案】練習(xí)4. “中國剩余定理”又稱“孫子

17、定理”1852年，英國來華傳教士偉烈亞力將孫子算經(jīng)中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲1874年，英國數(shù)學(xué)家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理，因而西方稱之為“中國剩余定理”“中國剩余定理”講的是一個(gè)關(guān)于整除的問題，現(xiàn)有這樣一個(gè)整除問題：將1到2016這2016個(gè)數(shù)中，能被3除余1且被5整除余1的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為_【答案】【解析】試題分析：將題目轉(zhuǎn)化為即是的倍數(shù)，也是的倍數(shù)，也即是的倍數(shù)即，當(dāng)， ，當(dāng)時(shí)， ，故，數(shù)列共有項(xiàng).5.新定義數(shù)列例5. 對于給定的正整數(shù)，如果各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足：對任意正整數(shù)，總成立，那么稱是“數(shù)列”

18、 （1）若是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，判斷是否為“數(shù)列”，并說明理由； （2）若既是“數(shù)列”，又是“數(shù)列”，求證： 是等比數(shù)列【答案】（1）見解析；（2）見解析。試題解析：（1）是“數(shù)列”，理由如下：因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為 當(dāng)時(shí)，有 所以是“數(shù)列” （2）因?yàn)榧仁恰皵?shù)列”，又是“數(shù)列”， 所以， ， ， 由得， ， ， ， 得， ， 因?yàn)閿?shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，所以， 所以數(shù)列從第3項(xiàng)起成等比數(shù)列，不妨設(shè)公比為 中，令得， ，所以 中，令得， ，所以 所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列練習(xí)1 記 項(xiàng)正項(xiàng)數(shù)列為，其前n項(xiàng)積為 ，定義 為“相對疊乘積”，如果有2013項(xiàng)的正項(xiàng)數(shù)列的“相對疊乘積

19、”為2013，則有2014項(xiàng)的數(shù)列 的“相對疊乘積”為( )A. 2014 B. 2016 C. 3042 D. 4027【答案】D【方法規(guī)律總結(jié)】：本題屬閱讀型試題，考查利用對數(shù)的運(yùn)算法則解決問題的能力及學(xué)生的閱讀理解能力，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意準(zhǔn)確理解“疊乘積”的概念，利用對數(shù)的運(yùn)算法則可得lg10（10T1）（10T2）（10T3）（10Tn）=lg102014+lg（T1T2Tn）即得解.練習(xí)2. 已知數(shù)列具有性質(zhì)：對任意， ， 與兩數(shù)至少有一個(gè)屬于（）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由（）求證： （）求證： 【答案】（1）具有性質(zhì)（2）見解析（3）見解析【解析】試題分析：（1）直

20、接根據(jù)定義進(jìn)行判斷：由于與均不屬于數(shù)集，所以不具有性質(zhì)，而肯定時(shí)需全面檢驗(yàn)：由于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，都屬于數(shù)集，所以具有性質(zhì)（2）取極端位置的數(shù)： 與中至少有一個(gè)屬于，而，所以，即證（3）從數(shù)列單調(diào)性上尋找條件： ，所以， ， ， ， ，代入即得結(jié)論試題解析：（）由于與均不屬于數(shù)集，所以該數(shù)集不具有性質(zhì)，由于， ， ， ， ， ， ， ， ， ，都屬于數(shù)集，所以該數(shù)集具有性質(zhì)（）因?yàn)榫哂行再|(zhì)，所以與中至少有一個(gè)屬于，由于，所以，故，從而，所以（）因?yàn)?，所以，故由具有性質(zhì)可知，又因?yàn)椋裕?， ， ， ，從而，所以練習(xí)3. 用表示不超過的最大整數(shù)，例如，已知數(shù)列滿足，則 【答

21、案】6.找規(guī)律例6. 一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的的個(gè)數(shù)是（ ）A. 12 B. 13 C. 14 D. 15【答案】D【解析】試題分析： 由圖像可得圖像所示的圈可以用首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列表示，前120個(gè)圈中的的個(gè)數(shù)即為，解得，前120個(gè)圈中的有個(gè)，故選D練習(xí)1. 已知等差數(shù)列an中， 將此等差數(shù)列的各項(xiàng)排成如下三角形數(shù)陣：則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是_.【答案】598【解析】等差數(shù)列an中， ， 而第1行有1個(gè)數(shù)，第2行有2個(gè)數(shù)，依此類推第19行有19個(gè)數(shù)則第19行的最后一個(gè)數(shù)是數(shù)列的第1+2+19

22、=190項(xiàng)，則此數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是該數(shù)列的第200項(xiàng)，=1+1993=598故答案為：598點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)等差數(shù)列中的兩項(xiàng)求出數(shù)列的通項(xiàng)，然后弄清數(shù)陣中第20行從左到右的第10個(gè)數(shù)是該數(shù)列的第幾項(xiàng)，根據(jù)通項(xiàng)公式即求解.練習(xí)2. 觀察如下規(guī)律： ，該組數(shù)據(jù)的前2025項(xiàng)和為_【答案】45【解析】項(xiàng)數(shù)N=1+3+5+2n-1=2025,n=45,相同數(shù)湊成一組和為1，共45個(gè)1，所以，填45.練習(xí)3. 如圖所示的數(shù)陣中，用表示第行的第個(gè)數(shù)，則以此規(guī)律為_【答案】7.項(xiàng)和互化的綜合問題例7. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，前項(xiàng)的和為，且（）（1）求

23、的值；（2）設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)，使得為整數(shù)，若存在求出，若不存在說明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）令n=1可得；（2）由，得，所以，所以，兩式相減整理可得，即，故得數(shù)列是等差數(shù)列；（3）結(jié)合（2）可求得，則，然后根據(jù)，且為12的約數(shù)可求得。試題解析：（1）易得（2）由，得，所以所以，由-，得因?yàn)?，所?所以，即，即，所以數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 因?yàn)?，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為 （3）由（2）知， ，所以，所以，所以數(shù)列是常數(shù)列 由，所以則， 注意到，且為12的約數(shù)，所以，由知8.分奇偶數(shù)項(xiàng)的討論問題例8. 已知數(shù)列、，其中， ，數(shù)列滿足,，數(shù)列

24、滿足 （1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）是否存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）；（2）存在， ；（3）【解析】試題分析：（3）分n是奇數(shù)、n是偶數(shù)兩種情況求出Tn，然后寫成分段函數(shù)的形式。試題解析：（1）由，即 又，所以 . 當(dāng)時(shí)，上式成立，因?yàn)?，所以是首?xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故. (2) 由（1）知，則.假設(shè)存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 所以存在自然數(shù)，使得對于任意有恒成立，此時(shí)， 的最小值為16. （3）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， ；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， . 因此 9.數(shù)列不等式例9. 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知（p、

25、q為常數(shù)， ），又， ， .（1）求p、q的值；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）是否存在正整數(shù)m、n，使成立？若存在，求出所有符合條件的有序?qū)崝?shù)對；若不存在，說明理由.【答案】（1）， ；（2）；（3）存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對： 、.試題解析：（1）由題意，知，解之得（2）由（1）知，Sn+1=Sn+2，當(dāng)n2時(shí)，Sn=Sn1+2，得，an+1=an（n2），又a2=a1，所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以an=（3）由（2）得，=，由，得，即，即，因?yàn)?m+10，所以2n（4m）2，所以m4，且22n（4m）2m+1+4，因?yàn)閙N*，所以m=1或2或3。當(dāng)m=1時(shí)，由得，22n

26、38，所以n=1；當(dāng)m=2時(shí)，由得，22n212，所以n=1或2；當(dāng)m=3時(shí)，由得，22n20，所以n=2或3或4，綜上可知，存在符合條件的所有有序?qū)崝?shù)對（m，n）為：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）練習(xí)1. 記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）若 ，對任意，均有是公差為的等差數(shù)列，求使為整數(shù)的正整數(shù)的取值集合；（3）記，求證： .【答案】（1）見解析（2）（3）見解析【解析】（1）先設(shè)等差數(shù)列的公差為，將，進(jìn)而得到當(dāng)時(shí)， ，依據(jù)定義可知數(shù)列是等差數(shù)列；（2）依據(jù)題設(shè)條件“任意的都是公差為，的等差數(shù)列”求出，然后建立等式，分析探求出滿

27、足條件，當(dāng)時(shí)不滿足，進(jìn)而求出正整數(shù)的取值集合為；（3）先依據(jù)題設(shè)將問題轉(zhuǎn)化為證明不等式。證明時(shí)運(yùn)用了做差比較的方法進(jìn)行推證，進(jìn)而證得 ，使得不等式或獲證。（2）因?yàn)榈娜我獾亩际枪顬椋牡炔顢?shù)列，所以是公差為，的等差數(shù)列，又，所以，所以，顯然， 滿足條件，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以不是整?shù)，綜上所述，正整數(shù)的取值集合為.（3）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以，即數(shù)列是公比大于，首項(xiàng)大于的等比數(shù)列，記公比為.以下證明： ，其中為正整數(shù)，且，因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，因?yàn)闉闇p函數(shù)， ，所以，所以，綜上， ，其中 ，即.例2已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的的前項(xiàng)和為，對，有（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令，設(shè)的

28、前項(xiàng)和為，求證： 【答案】（I）;（）證明過程見解析；所以數(shù)列是以1為首相，1為公差的等差數(shù)列， （）練習(xí)3. 已知曲線 上有一點(diǎn)列過點(diǎn)在x軸上的射影是 ，且123n2n+1n2. （nN*）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)四邊形 的面積是，求（3）在（2）條件下，求證： .【答案】（1） （2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）當(dāng)n2時(shí)，n用n-1代，與原式作差，可解得n=2n1。(2)由點(diǎn)在曲線上得， ，根據(jù)直角梯形面積公式可求。（3）由（2）得，） 累加可證。試題解析：（1）n=1時(shí)， 1=1n2時(shí)， 123n-1=（n1）2 又 123n2n+1n2. 得： n=2n1（n=1仍成立）

29、 故n=2n1 （2）， 又， 故四邊形的面積為： （3）三高考真題演練1.已知數(shù)列 的前n項(xiàng)和Sn=3n2+8n，是等差數(shù)列，且 （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）令 求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.【答案】（）；（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解；（）根據(jù)（）知數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.試題解析：（）由題意知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以.設(shè)數(shù)列的公差為，由，即，可解得，所以.（）由（）知，又，得，考點(diǎn)：1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2.等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和；3.“錯(cuò)位相減法”.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、等比數(shù)列的求和、數(shù)列求和的“錯(cuò)位相減法”.此類題目是

30、數(shù)列問題中的常見題型.本題覆蓋面廣，對考生計(jì)算能力要求較高.解答本題，布列方程組，確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù).本題能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.2【2015高考廣東，理21】數(shù)列滿足， (1) 求的值； (2) 求數(shù)列前項(xiàng)和； (3) 令，證明：數(shù)列的前項(xiàng)和滿足【答案】（1）；（2）；（3）見解析【解析】（1）依題， ；（2）依題當(dāng)時(shí)， ，又也適合此式， ， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故；（3）依題由知， ，【考點(diǎn)定位】前項(xiàng)和關(guān)系求項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮【名師點(diǎn)睛】本題主要考查前項(xiàng)和關(guān)系求

31、項(xiàng)值及通項(xiàng)公式，等比數(shù)列前項(xiàng)和，不等式放縮等，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用和運(yùn)算求解能力，屬于高檔題，此題（1）（2）問難度不大，但第（3）問難度較大，首先應(yīng)能求得，并由得到，再用構(gòu)造函數(shù)（）結(jié)合不等（）放縮方法或用數(shù)學(xué)歸納法證明3.【2016高考江蘇卷】（本小題滿分16分）記.對數(shù)列和的子集T，若,定義;若，定義.例如：時(shí)，.現(xiàn)設(shè)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）對任意正整數(shù)，若，求證：；（3）設(shè),求證：.【答案】（1）（2）詳見解析（3）詳見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)及時(shí)定義，列出等量關(guān)系，解出首項(xiàng)，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式寫出通項(xiàng)公式（2）數(shù)列不等式證明，一般是以算

32、代征，而非特殊數(shù)列一般需轉(zhuǎn)化到特殊數(shù)列，便于求和，本題根據(jù)子集關(guān)系，先進(jìn)行放縮為一個(gè)等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列求和公式得（3）利用等比數(shù)列和與項(xiàng)的大小關(guān)系，確定所定義和的大小關(guān)系：設(shè)則因此由，因此中最大項(xiàng)必在A中，由（2）得，（2）為（3）搭好臺階，只不過比較隱晦，需明晰其含義.試題解析：（1）由已知得.于是當(dāng)時(shí)，.又，故，即.所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所?因此，.（3）下面分三種情況證明.若是的子集，則.若是的子集，則.若不是的子集，且不是的子集.令，則，.于是，進(jìn)而由，得.設(shè)是中的最大數(shù)，為中的最大數(shù)，則.考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和【名師點(diǎn)睛】本題三個(gè)難點(diǎn)，一是數(shù)列新定義，利用

33、新定義確定等比數(shù)列首項(xiàng)，再代入等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解，二是利用放縮法求證不等式，放縮目的，是將非特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，從而可利用特殊數(shù)列性質(zhì)，以算代征，三是結(jié)論含義的應(yīng)用，實(shí)質(zhì)又是一個(gè)新定義，只不過是新定義的性質(zhì)應(yīng)用.4.【2015江蘇高考，20】（本小題滿分16分）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)且公差為d的等差數(shù)列（1）證明：依次成等比數(shù)列；（2）是否存在，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由；（3）是否存在及正整數(shù)，使得依次成等比數(shù)列，并說明理由.【答案】（1）詳見解析（2）不存在（3）不存在【解析】試題分析（1）根據(jù)等比數(shù)列定義只需驗(yàn)證每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都為同一個(gè)不為零的常數(shù)即可（2）本題列式簡單，變形較難

34、，首先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，再分別求解兩個(gè)高次方程，利用消最高次的方法得到方程：，無解，所以不存在（3）同（2）先令將二元問題轉(zhuǎn)化為一元，為降次，所以兩邊取對數(shù)，消去n,k得到關(guān)于t的一元方程。，從而將方程的解轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)零點(diǎn)情況，這個(gè)函數(shù)需要利用二次求導(dǎo)才可確定其在上無零點(diǎn)試題解析：（1）證明：因?yàn)椋ǎ┦峭粋€(gè)常數(shù)，所以，依次構(gòu)成等比數(shù)列（2）令，則，分別為，（，）假設(shè)存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且令，則，且（，），化簡得（），且將代入（）式，則顯然不是上面方程得解，矛盾，所以假設(shè)不成立，因此不存在，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列（3）假設(shè)存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列，則，且分

35、別在兩個(gè)等式的兩邊同除以及，并令（，），則，且將上述兩個(gè)等式兩邊取對數(shù)，得，且化簡得，且再將這兩式相除，化簡得（）令，則令，則令，則令，則由，知，在和上均單調(diào)故只有唯一零點(diǎn)，即方程（）只有唯一解，故假設(shè)不成立所以不存在，及正整數(shù)，使得，依次構(gòu)成等比數(shù)列【考點(diǎn)定位】等差、等比數(shù)列的定義及性質(zhì)，函數(shù)與方程【名師點(diǎn)晴】解決等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問題，關(guān)鍵是理清兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系如果同一數(shù)列中部分項(xiàng)成等差數(shù)列，部分項(xiàng)成等比數(shù)列，要把成等差數(shù)列或等比數(shù)列的項(xiàng)抽出來單獨(dú)研究；如果兩個(gè)數(shù)列通過運(yùn)算綜合在一起，要從分析運(yùn)算入手，把兩個(gè)數(shù)列分割開，弄清兩個(gè)數(shù)列各自的特征，再進(jìn)行求解5. 【2015高考山東，理18

36、】設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（I）求的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列滿足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（I）; （II）.【解析】（II）因?yàn)?，所以 當(dāng) 時(shí)， 所以 當(dāng) 時(shí)， 所以兩式相減，得 所以經(jīng)檢驗(yàn)， 時(shí)也適合，綜上可得： 【考點(diǎn)定位】1、數(shù)列前 項(xiàng)和 與通項(xiàng) 的關(guān)系；2、特殊數(shù)列的求和問題.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的基本概念與運(yùn)算，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力與運(yùn)算求解能力，思維的嚴(yán)密性和運(yùn)算的準(zhǔn)確性，在利用與通項(xiàng)的關(guān)系求的過程中，一定要注意 的情況，錯(cuò)位相減不法雖然思路成熟但也對學(xué)生的運(yùn)算能力提出了較高的要求.6 【2016高考天津理數(shù)】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為，對任意的是和的等差

37、中項(xiàng).()設(shè)，求證：是等差數(shù)列；()設(shè) ，求證：【答案】（）詳見解析（）詳見解析【解析】試題分析：（）先根據(jù)等比中項(xiàng)定義得：，從而，因此根據(jù)等差數(shù)列定義可證：（） 對數(shù)列不等式證明一般以算代證先利用分組求和化簡，再利用裂項(xiàng)相消法求和，易得結(jié)論.試題解析：（I）證明：由題意得，有，因此，所以是等差數(shù)列.（II）證明： 所以.考點(diǎn)：等差數(shù)列、等比中項(xiàng)、分組求和、裂項(xiàng)相消求和【名師點(diǎn)睛】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和7. 【2016高考

38、新課標(biāo)3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，其中（I）證明是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；（II）若 ，求【答案】（）；（）【解析】由，得，所以.因此是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是（）由（）得，由得，即，解得考點(diǎn)：1、數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和為關(guān)系；2、等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)及前項(xiàng)和為【方法總結(jié)】等比數(shù)列的證明通常有兩種方法：（1）定義法，即證明（常數(shù)）；（2）中項(xiàng)法，即證明根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)常常要將遞推關(guān)系變形，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列來求解8. 【2014新課標(biāo)，理17】（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足=1，.（）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（）證明：.【解析】：（）證明：由得，所以，所以是等比數(shù)列，

39、首項(xiàng)為，公比為3，所以，解得.（）由（）知：，所以，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以，于是=，所以.【考點(diǎn)定位】1.等比數(shù)列；2.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；3.放縮法.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的概念，遞推數(shù)列，等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，放縮法證明不等式，屬于中檔題目，本題體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的基本數(shù)學(xué)思想方法，注意放縮的適度.9【2015高考四川，理16】設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，且成等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和，求得成立的n的最小值.【答案】（1）；（2）10.【解析】（1）由已知，有，即.從而.又因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，即.所以，解得.所以，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)

40、列.故.（2）由（1）得.所以.由，得，即.因?yàn)?，所?于是，使成立的n的最小值為10.【考點(diǎn)定位】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力.【名師點(diǎn)睛】凡是有與間的關(guān)系，都是考慮消去或（多數(shù)時(shí)候是消去，得與間的遞推關(guān)系）.在本題中，得到與間的遞推關(guān)系式后，便知道這是一個(gè)等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)公式即可求解.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高考中的必考內(nèi)容，多屬容易題，考生應(yīng)立足得滿分.10. 【2016高考浙江理數(shù)】設(shè)數(shù)列滿足，（I）證明：，；（II）若，證明：，【答案】（I）證明見解析；（II）證明見解析【解析】試題分析：（I）先利用三角形不等式

41、得，變形為，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）可得，進(jìn)而可得，再利用的任意性可證試題解析：（I）由得，故，所以，因此（II）任取，由（I）知，對于任意，故從而對于任意，均有由的任意性得 考點(diǎn)：1、數(shù)列；2、累加法；3、證明不等式【思路點(diǎn)睛】（I）先利用三角形不等式及變形得，再用累加法可得，進(jìn)而可證；（II）由（I）的結(jié)論及已知條件可得，再利用的任意性可證11.【2015高考新課標(biāo)1，理17】為數(shù)列的前項(xiàng)和.已知0，=.（）求的通項(xiàng)公式；（）設(shè) ,求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（）（）【解析】試題分析：（）先用數(shù)列第項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系求出數(shù)列的遞推公式，可以判斷數(shù)列是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)

42、公式即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）根據(jù)（）數(shù)列的通項(xiàng)公式，再用拆項(xiàng)消去法求其前項(xiàng)和.試題解析：（）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所?3，當(dāng)時(shí)，=，即，因?yàn)?，所?2，所以數(shù)列是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，所以=；（）由（）知，=，所以數(shù)列前n項(xiàng)和為= =.【考點(diǎn)定位】數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項(xiàng)公式；拆項(xiàng)消去法【名師點(diǎn)睛】已知數(shù)列前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)關(guān)系，求數(shù)列通項(xiàng)公式，常用將所給條件化為關(guān)于前n項(xiàng)和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第n項(xiàng)的遞推關(guān)系，若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義，用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項(xiàng)公式.12. 【2014課標(biāo)，理17】已知數(shù)列的前

43、項(xiàng)和為，其中為常數(shù)，（I）證明：；（II）是否存在，使得為等差數(shù)列？并說明理由.【答案】（I）詳見解析；（II）存在，.【解析】故，由此可得，是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，；是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，所以，因此存在，使得為等差數(shù)列【考點(diǎn)定位】1、遞推公式；2、數(shù)列的通項(xiàng)公式；3、等差數(shù)列【名師點(diǎn)睛】本題考查了遞推公式、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式和概念、等差數(shù)列的充要條件等基礎(chǔ)知識與基本技能方法, 考查了考生運(yùn)用數(shù)列的有關(guān)知識解題的能力和觀察、分析、歸納、猜想及用數(shù)學(xué)歸納法證明的能力，同時(shí)考查了考生的推理能力和計(jì)算能力、分類討論的思想方法.13. 【2016年高考北京理數(shù)】（本小

44、題13分） 設(shè)數(shù)列A： ， , ().如果對小于()的每個(gè)正整數(shù)都有 ，則稱是數(shù)列A的一個(gè)“G時(shí)刻”.記“是數(shù)列A的所有“G時(shí)刻”組成的集合.（1）對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出的所有元素；（2）證明：若數(shù)列A中存在使得，則 ；（3）證明：若數(shù)列A滿足- 1（n=2,3, ,N）,則的元素個(gè)數(shù)不小于 -.【答案】（1）的元素為和；（2）詳見解析；（3）詳見解析.【解析】試題解析：（1）的元素為和.（2）因?yàn)榇嬖谑沟茫?記，則，且對任意正整數(shù).因此，從而.（3）當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立.以下設(shè).由（）知.設(shè)，記.則.對，記.如果，取，則對任何.從而且.又因?yàn)槭侵械淖畲笤?，所?從而對任意，特

45、別地，.對.因此.所以.考點(diǎn)：數(shù)列、對新定義的理解.【名師點(diǎn)睛】數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用題要注意分析題意，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為常用的數(shù)列模型，數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學(xué)思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉(zhuǎn)化與化歸思想(如：求和或應(yīng)用)、特殊到一般思想(如：求通項(xiàng)公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和，或)等.14. 【2015高考浙江，理20】已知數(shù)列滿足=且=-（）（1）證明：1（）；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明（）.【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.試題分析：（1）首先根據(jù)遞推公式可得，再由遞推公式變形可知，從而得證；（2）由和得，從而可得，即可得證.【考點(diǎn)定位】數(shù)列與不等式結(jié)合綜合題.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的遞推公式，不等式的證明等知識點(diǎn)，屬于較難題，第一小問易證，利用條件中的遞