人教B1.1.1正弦定理教案

1、1.1.1正弦定理知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。過程與方法：讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā)，共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。情感態(tài)度與價(jià)值觀：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù) 學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的 普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和

2、其中一邊的對角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。教學(xué)過程i.課題導(dǎo)入如圖1. 1-1,固定 abc的邊cb及/b,使邊ac繞著頂點(diǎn)c轉(zhuǎn)動(dòng)。思考：/c的大小與它的對邊 ab的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？顯然，邊ab的長度隨著其對角 /c的大小的增大而增大。能否用一個(gè)等式把這批關(guān)系精確地表示出來? n.講授新課探索研究在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形,卜面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系。如圖1.在 rtaabc中,設(shè) bc=a,ac=b,ab=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有 a=sin ac1-2,又sin c = 1 = cc=csin a sin b sin c從而在直角三角形 a

3、bc中,sin a sin bsin c(圖1.1-2)思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立?（由學(xué)生討論、分析）可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：如圖1. 1-3,當(dāng)aabc是銳角三角形時(shí)，設(shè)邊 ab上的高是cd,根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有cd=asinb =bsin a,則 asin b同理可得sin c sin bb從而a_ sin a sin b sin c圖 1. 1-3)思考：是否可以用其它方法證明這等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個(gè)問題。（證法二）：過點(diǎn)a作j j_ac,由向量的加法可得ab =ac cbhtj ab=j (ac cb)=j

4、ac j cbj abcos 900 -a =0 1 jcb?oskc)csina=asinc ,即sin a sinc4）同理，過點(diǎn)c作j_lbc ,可得sinb sinc從而sin a sin b sin c類似可推出，當(dāng) 二abc是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）從上面的研探過程，可得以下定理正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即sin a -sin b - sin c理解定理（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)a =k sin a , b =ksin b , c =ksin c ；(2)si

5、n a sin b sin c等價(jià)于sin a sin bsin c sin bsin a sin c從而知正弦定理的基本作用為:已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如bsin aa = ;sin bsin a=asin b 。b已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。例題分析例 1.在 mbc 中，已知 a=32.00, b=81.80, a=42.9cm,解三角形。解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，c =180 _（a b）=1800 (32.0 81.80) 46.20 根據(jù)正弦定理,a80.1(cm);_

6、asinb _42.9sin81.80sina - sin32.00根據(jù)正弦定理,asincsin a42.9sin66.20一 sin32.00：74.1(cm).評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計(jì)算器。例2.在mbc中，已知a=20cm,b=28cm,a =400,解三角形（角度精確到10,邊長精確到1cm）。解：根據(jù)正弦定理,sinb =bsin a28sin400 二200.8999.因?yàn)?00 v b v 1800 ,所以 b近40,或 b%1160c =1800 -(a +b) m800 -(400 +640)=760 ,：30(cm).asinc 20sin760c 0sina sin400當(dāng)b之1160時(shí),c =1800 (a + b)m800 -(400+1160)=240 ,asincsina=20sin240sin400-13(cm).評述：應(yīng)注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時(shí)，可能有兩解的情形。m.課堂練習(xí) 第5頁練習(xí)第1 (1)、2 (1)題。補(bǔ)充練習(xí)已知 aabc中，sin a:sin b:sin c =1:2:3 ,求 a: b: c(答案：1: 2: 3)w.課時(shí)小結(jié)（由學(xué)生歸納總結(jié)）(1)定理的表示形式:sin a sin b sin c sin a : sin b :卜sin ck(k 0);或2=卜$比慶，b