專題10、平面向量中的范圍和最值問(wèn)題.docx

1、專題十、平面向量中的最值和范圍問(wèn)題平面向量中的最值和范圍問(wèn)題， 是一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題， 也是難點(diǎn)問(wèn)題， 這類試題的基本類型是根據(jù)給出的條件求某個(gè)量的最值、范圍，如：向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)解決這類問(wèn)題的一般思路是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系， 通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題， 同時(shí)，平面向量兼具“數(shù)”與“形”的雙重身份，解決平面向量最值、范圍問(wèn)題的另一個(gè)基本思想是數(shù)形結(jié)合考點(diǎn) 1、向量的模的范圍例 1、(1)已知直角梯形 ABCD 中， AD / BC ,ADC 900, AD2,BC 1, P 是腰 DC 上的動(dòng)點(diǎn)，則PA 3PB 的最小值為 _.(2)（ 2011 遼寧卷理） 若 a,b, c 均為

2、單位向量，且a b0 ， ( ac)(bc)0 ，則 ab c 的最大值為 ()A. 21B 1C.2D 2(3)（2010浙江卷理） 已知平面向量，（0，）1 ，且與-的夾角為滿足120 ，則的取值范圍是 _ .變式：已知平面向量， 滿 足 | |1 ， 且 與的夾角為120， 則| (1t)2t | (tR) 的取值范圍是；小結(jié)1、模的范圍或最值常見(jiàn)方法：通過(guò)2 轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題；數(shù)形結(jié)合；坐標(biāo)法| a |2= a考點(diǎn)2、向量夾角的范圍2cos，)例 2、已知 OB (2,0)， OC (2,2) ， CA (2sin)，則 OA與 OB夾角的取值范圍是 ( 5 55A.12， 3B.4，

3、12C.12， 12D.12，2小結(jié) 2、夾角范圍問(wèn)題的常見(jiàn)方法：公式法；數(shù)形結(jié)合法；坐標(biāo)法考點(diǎn)3、向量數(shù)量積的范圍例 3、(1) 已知圓O 的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A 、B為兩切點(diǎn)，則PA PB 的最小值為 ()(A)42(B)32(C)422(D)322(2) 如右圖， 在梯形ABCD中，DA=AB=BC1=2CD =1.點(diǎn) P 在陰影區(qū)域 （含邊界） 中運(yùn)動(dòng)， 則 APBD的取值范圍是；小結(jié) 3、數(shù)量積問(wèn)題涉及的方法較多，常用的方法有：定義；模與投影之積；坐標(biāo)法； a - b)2a b =( a + b )2-(22考點(diǎn) 4、向量的系數(shù)問(wèn)題：例 4、給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1 的平

4、面向量 120.如圖所示，點(diǎn)C在以 O為圓OA和 OB，它們的夾角為 心的圓弧 AB 上變動(dòng) .若OC=xOA+yOB其中 x， y R，則 x+y 的最大值是 _.小結(jié) 4、向量系數(shù)問(wèn)題的一般處理方法：點(diǎn)乘法；幾何法；整體法變式： 已知點(diǎn) G 是ABC 的重心，點(diǎn) P 是GBC 內(nèi)一點(diǎn)，若 APABAC ,則的取值范圍是（）A (1,1)B (2 ,1)C (1,3)D （1，2）232專題十、平面向量中的最值和范圍問(wèn)題練習(xí)題1、（ 2011 全國(guó)新課標(biāo)理）已知 a， b 均為單位向量，其夾角為，有下列四個(gè)命題p1 :| ab | 10, 2)p2 :| ab |1( 2,33p13 :|

5、a b |10,)p4 :| ab |1(, 33其中真命題是（）A. p1, p4B. p1 , p3C. p2 , p3D.p2 , p42、（2012 廣東卷） 對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和, 定義, 若平面向量a 、 b 滿足 a b0 , a 與 b 的夾角0, 且 ab 和 ba 都在集合n nZ 中,則 ab （）42A 1B 1C 3D 52223、 (2012 寧波市期末 ) 在ABC 中， D為 BC中點(diǎn)，若A120，AB AC1 ，則AD的最小值是（）A.1B.3C.2D.2222xy24、（ 2011福建卷） 已知 O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A （ 1,1）若點(diǎn) M （ x,y）

6、為平面區(qū)域x1，y2上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則OMOA 的取值范圍是（）A 1，0B0， 1C0， 2D 1， 25、（ 2012 浙江會(huì)考） 在棱長(zhǎng)為1 的正方體 ABCD -A B C D1中， M 是 BC 的中點(diǎn)， P, Q 是正方111體內(nèi)部及面上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則AMPQ 的最大值是（）A. 1B.1C. 3D. 52246、（ 2011 全國(guó)大綱理） 設(shè)向量 a,b, c 滿足 ab1， ab1， a c, bc60 0，則 c2的最大值等于（）A 2B 3C2D 17、如圖，在直角梯形 ABCD中，動(dòng)點(diǎn) P在以點(diǎn)C為圓心，且與直線BD相切的圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，設(shè)，則的取值范圍是()A.B.C.D.8、

7、（ 2012 安徽卷） 若平面向量a,b 滿足 :2ab3 ; 則 ab 的最小值是_ ；9、已知向量a = ( x1,2), b= (4, y) , 若 ab，則9 x3 y 的最小值為；10、（ 2012 北京卷） 已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E 是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則DE CB 的值為_(kāi) ， DEDC 的最大值為_(kāi)；11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC 的邊長(zhǎng)為1，E 為AB 的中點(diǎn)，若F為正方形內(nèi)（含邊界）任意一點(diǎn)，則OE OF 的最大值為；12、如圖， 線段AB 長(zhǎng)度為2，點(diǎn) A,B分別在x 非負(fù)半軸和y 非負(fù)半軸上滑動(dòng)，以線段AB 為一邊，在第一象限內(nèi)作矩形ABCD ，BC1， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則OC ?OD的范圍是.yCBFEOAx11題圖12題圖13