計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)：統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)

1、 統(tǒng)計(jì)推斷：估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)n1.統(tǒng)計(jì)推斷的含義n2.參數(shù)估計(jì)n3.假設(shè)檢驗(yàn)一、統(tǒng)計(jì)推斷的含義1.統(tǒng)計(jì)推斷的含義n統(tǒng)計(jì)推斷就是根據(jù)來自總體的某個(gè)樣本對總體的某些特征作出的推斷。更寬泛地說，統(tǒng)計(jì)推斷研究的是總體與來自總體的樣本之間的關(guān)系。估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)：統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)分支n估計(jì)：借助于總體的一個(gè)樣本來估計(jì)總體未知參數(shù)的值的問題稱為參數(shù)的估計(jì)問題。其中，用于估計(jì)總體參數(shù)的樣本統(tǒng)計(jì)量稱為估計(jì)量。估計(jì)包括點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)。n假設(shè)檢驗(yàn)：假設(shè)檢驗(yàn)是首先對總體的參數(shù)值做出一個(gè)先驗(yàn)的假設(shè)或預(yù)期，然后根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)做出接受還是拒絕的判斷。二、參數(shù)估計(jì)n很多情況下，我們只知道隨機(jī)變量X服從某一概率分布，但不

2、知道分布的參數(shù)值。例如：X服從正態(tài)分布，但我們不知道其兩個(gè)參數(shù)，均值 和方差 。為了估計(jì)這些參數(shù)值，一般假定有來自某個(gè)概率分布總體，樣本容量為n的隨機(jī)樣本，參數(shù)估計(jì)就是通過樣本構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量來對總體參數(shù)進(jìn)行估計(jì)的。n參數(shù)估計(jì)可以分為點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)兩種1.點(diǎn)估計(jì)：假設(shè)總體X的分布函數(shù) 的形式已知， 是待估參數(shù)。 是X的一個(gè)樣本， 是相應(yīng)的一個(gè)樣本觀察值。點(diǎn)估計(jì)問題就是要構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量 ，用它的觀察值 來估計(jì)未知參數(shù) 。其中，稱 為 的估計(jì)量，稱 為 的估計(jì)值。 XE X2X( ; )F x123,nXXXX12,nxxx12(,)nXXX12(,)nxxx12(,)nxxx12(,)nXXX

3、（1）常用的估計(jì)量構(gòu)造方法矩估計(jì)法 以樣本矩作為相應(yīng)的總體矩的估計(jì)量，而以樣本矩的連續(xù)函數(shù)作為相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)的估計(jì)量，這種估計(jì)方法稱為矩估計(jì)法。l矩估計(jì)法的理論基礎(chǔ)是：樣本矩 依概率收斂于相應(yīng)的總體矩 ，樣本矩的連續(xù)函數(shù)依概率收斂于相應(yīng)的總體矩的連續(xù)函數(shù)。極大似然估計(jì)法11nlliiAXn(1,2, )llk（2）估計(jì)量的評選標(biāo)準(zhǔn) 線性 若估計(jì)量是樣本觀察值的線性函數(shù)，則稱該估計(jì)量是線性估計(jì)量。 無偏性 如果重復(fù)使用某種方法得到估計(jì)量的均值與真實(shí)參數(shù)值一致，那么這個(gè)估計(jì)量就是無偏估計(jì)量。即若估計(jì)量 的數(shù)學(xué)期望存在，且有： 則稱 是 的無偏估計(jì)量。n例1：令 ， 是來自該總體的某個(gè)隨機(jī)樣

4、本的均值。樣本均值 是真實(shí) 的無偏估計(jì)量嗎？ 有效性12(,)nXXX( )E2(,)iXXXNXXX答案：是 設(shè) 與 都是 的無偏估計(jì)量，若有 則稱 較 有效。最優(yōu)線性無偏估計(jì)量（BLUE） 如果一個(gè)估計(jì)量是線性和無偏的，并且在參數(shù)的所有線性無偏估計(jì)量中，這個(gè)估計(jì)量的方差最小，則稱這個(gè)估計(jì)量是最優(yōu)線性無偏估計(jì)量。一致性n如果隨著樣本容量的增加，估計(jì)量接近參數(shù)的真實(shí)值，或者說估計(jì)量依概率收斂于真實(shí)值，那么這個(gè)估計(jì)量稱為真實(shí)值的一致估計(jì)量。 例如： 假定 ，從該正態(tài)總體中抽取容量為n的隨機(jī)樣本。考慮 的兩個(gè)估計(jì)量：1112(,)nXXX2212(,)nXXX12()()V a rV a r122

5、(,)XXXNX 由以上兩個(gè)估計(jì)量的公式可知，當(dāng)樣本容量增加時(shí)，估計(jì)量 和 的差別就會逐漸縮小，而且同時(shí)接近于真實(shí)的參數(shù)值 。在統(tǒng)計(jì)學(xué)上，稱估計(jì)量 為一致估計(jì)量。2.區(qū)間估計(jì) 對于未知參數(shù) ，有時(shí)我們要求給出以一定置信度包含該參數(shù)真值的區(qū)間，這個(gè)區(qū)間就是置信區(qū)間。 例如：對于隨機(jī)變量 ，如果 未知，并且有一個(gè)容量為28的樣本?，F(xiàn)在求均值 的置信度為95%的置信區(qū)間。 *XX*XX2(,)XXXN2XX(2.0522.052)0.95XXXSSP XXnn稱上式為總體均值的一個(gè)95%的置信區(qū)間。0.95稱為置信系數(shù)。 稱為區(qū)間的下限, 稱為區(qū)間的上限。2 .0 5 2XSXn2 .0 5 2XS

6、XniXXn*1iXXnn例2：設(shè)總體 ， 為已知，為未知，設(shè) 是來自 的樣本，求 的置信度為 的置信區(qū)間。三、假設(shè)檢驗(yàn) 在總體的分布函數(shù)完全未知或只知其形式，但不知其參數(shù)的情況下，為了推斷總體的某些性質(zhì)，首先提出了某些關(guān)于總體的假設(shè)，然后根據(jù)樣本對所提出的假設(shè)作出判斷：是接受，還是拒絕假設(shè)。這就是假設(shè)檢驗(yàn)。 假設(shè)檢驗(yàn)可以分為兩種方法（1）置信區(qū)間法；（2）顯著性檢驗(yàn)法。 1.假設(shè)檢驗(yàn)的置信區(qū)間法 根據(jù)P/E一例表可知樣本均值為22.27，根據(jù)區(qū)間估計(jì)一部分的內(nèi)容可知該例中總體均值有如下一個(gè)95%的置信區(qū)間2(,)XN212,nXXXX119.5726.93X/2/2(,)XzXznn答案：

7、這個(gè)區(qū)間提供了某一個(gè)置信度下，包括真實(shí)的取值范圍。因此，如果這個(gè)區(qū)間不包括零假設(shè)值，比如 ，則會拒絕零假設(shè)。 該置信區(qū)間叫做接受區(qū)域，接受區(qū)域以外的稱為零假設(shè)的臨界區(qū)域或拒絕域接受區(qū)域的上界和下界稱為臨界值。n例1：壇子里的花生重量服從正態(tài)分布，但均值與標(biāo)準(zhǔn)差是未知的，均值和標(biāo)準(zhǔn)差的度量單位為盎司。隨機(jī)選取20個(gè)壇子，得到樣本均值和樣本標(biāo)準(zhǔn)差分別是6.5盎司和2盎司。檢驗(yàn)零假設(shè)：真實(shí)均值為7.5盎司。備擇假設(shè)：真實(shí)均值不是7.5盎司。給定顯著水平。18.5X答案：不能拒絕零假設(shè)，置信區(qū)間為：(5.22,7.78)假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性檢驗(yàn)方法以P/E一例來說明顯著性檢驗(yàn)方法。（）首先提出假設(shè)（）構(gòu)造

8、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量（）計(jì)算t值 由于 ， ， 都是已知的，而依照假設(shè) 也可以取一個(gè)定值，所以可以計(jì)算得到一個(gè)唯一的t值。本例中為2.6486。（）設(shè)定顯著性水平并計(jì)算臨界值如果設(shè)定為，則計(jì)算的臨界值分別為-2.052，2.052。由此得到拒絕域?yàn)椋?。0:18.5XH11:18.5H(27)/XXXttSnXXXSn| 2.052t |n例如：下表給出了2004年2月2日紐約股票交易市場（）上28家上市公司的價(jià)格收益比（P/E）數(shù)據(jù)。假定這是來自一個(gè)NYSE上約3000家上市公司(服從正態(tài)分布的總體)的隨機(jī)樣本。（）判斷統(tǒng)計(jì)顯著性與否 當(dāng) 或者 時(shí)，則拒絕零假設(shè)。當(dāng)計(jì)算的值位于區(qū)間 時(shí)，則接受零假設(shè)。

9、常稱拒絕零假設(shè)為統(tǒng)計(jì)顯著，接受零假設(shè)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)不顯著。由于本例中的值2.6大于2.052，所以拒絕零假設(shè)，或者說統(tǒng)計(jì)顯著。n第一類錯(cuò)誤和第二類錯(cuò)誤 零假設(shè)為真但被拒絕則稱為第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）；零假設(shè)為假但被接受稱為第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）。犯第一類錯(cuò)誤的概率通常用 來表示，稱為顯著水平，犯第二類錯(cuò)誤的概率用 表示。2.052t 2.052t ( 2.052,2.052)自由度為27的t分布P/E一例中：2.63.選擇顯著水平與 值假設(shè)檢驗(yàn)的古典方法的不足之處在于選擇的任意性。雖然一般常用的值有、和，但是這些值并不是固定不變的。n除了選擇外，有時(shí)候也可以用值。n例如：當(dāng)自由度為20時(shí)，計(jì)

10、算得到的t值為3.552。則可以求得得到此t制的概率值（p值）為0.001（單邊）或0.002（雙邊）。4. 分布和F分布的顯著性檢驗(yàn) 用兩個(gè)例子來說明：n例2：假定隨機(jī)樣本來自正態(tài)總體，樣本容量為31，樣本方差 。檢驗(yàn)零假設(shè)：真實(shí)的方差為9；備擇假設(shè)：真實(shí)的方差不等于9。選擇顯著性水平 即：p221 2S20:9;H21:9H 。5 % .答案：不能拒絕原假設(shè)n例3：在平爐上進(jìn)行一項(xiàng)試驗(yàn)以確定改變操作方法的建議是否會增加鋼的得率，試驗(yàn)是在同一支平爐上進(jìn)行的。每煉一爐鋼時(shí)，除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標(biāo)準(zhǔn)方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進(jìn)行，各煉了10爐，其得率分別如下表： 方法 得率標(biāo)準(zhǔn)方法78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3新方法79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1 設(shè)這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，且分別來自正態(tài)總體和，均未知。試對新舊方法檢驗(yàn)假設(shè)（?。?1(,)N 2