最新數(shù)學(xué)與思維的關(guān)系.doc

1、數(shù)學(xué)與思維的關(guān)系人類生活在豐富多彩、變化萬(wàn)千的現(xiàn)實(shí)世界里，無(wú)時(shí)無(wú)刻不在運(yùn)用自己的思維活動(dòng)并結(jié)合數(shù)學(xué)方法去認(rèn)識(shí)、利用、改造這個(gè)世界，從而不斷地創(chuàng)造出日新月異、五彩繽紛的物質(zhì)文明和精神文明?？梢哉f(shuō)，數(shù)學(xué)是一切科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)，一切的科學(xué)都是通過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)發(fā)現(xiàn)并解決問(wèn)題的。然而，知識(shí)是有限的，而想象力才是無(wú)限的，所以數(shù)學(xué)的發(fā)展與思維有著密切相關(guān)的聯(lián)系。從數(shù)學(xué)誕生那天起，它就與思維結(jié)下了不解之緣。創(chuàng)造數(shù)學(xué)，構(gòu)造數(shù)學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)，都是思維的過(guò)程，所以說(shuō)數(shù)學(xué)與思維有著千絲萬(wàn)縷的關(guān)系。數(shù)學(xué)思維分為邏輯思維、形象思維、直覺(jué)思維。人的頭腦分為左右腦，因此，不同的部分也負(fù)責(zé)不同的思維。邏輯思維屬于左腦思維，

2、而形象思維和直覺(jué)思維屬于右腦思維。因此，要討論數(shù)學(xué)與思維的關(guān)系，這三個(gè)方面是必不可少的，它們相互依存、密不可分。對(duì)數(shù)學(xué)思維的深刻理解，必須經(jīng)歷一番深沉的思索。當(dāng)然，這種思索不應(yīng)該是枯燥無(wú)味的，它應(yīng)該充滿機(jī)智、幽默和創(chuàng)造的活力?！吧畛痢钡暮x在于不能淺嘗輒止，而應(yīng)該有一種深入事物內(nèi)部窮追不舍的精神。一.數(shù)學(xué)與邏輯思維邏輯思維，又稱抽象思維， 它是舍棄認(rèn)識(shí)對(duì)象及具體形象，通過(guò)語(yǔ)言表達(dá)反應(yīng)客觀事物本質(zhì)和內(nèi)部規(guī)律性的思維。它是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)過(guò)程中借助概念 、判斷、推理等思維反應(yīng)現(xiàn)實(shí)的過(guò)程，具有抽象概括、間接反應(yīng)、借助語(yǔ)言等特征。在數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中， 邏輯思維常常成為其主線。 數(shù)學(xué)與邏輯思維的關(guān)系至少可以追

3、溯到數(shù)學(xué)還是一門(mén)經(jīng)驗(yàn)性科學(xué)的時(shí)代。 在殘留的古埃及、 古巴比倫、古印度和我國(guó)古代數(shù)學(xué)史料中， 就已經(jīng)有了簡(jiǎn)單的歸納、 演繹、分析、綜合的跡象。經(jīng)過(guò)古希臘數(shù)學(xué)家們， 特別是亞里斯多德和歐幾里德的工作， 數(shù)學(xué)同比較完善的形式邏輯體系結(jié)合起來(lái)， 真正變成了一門(mén)演繹科學(xué)。 從此，數(shù)學(xué)與邏輯總是密不可分地一起發(fā)展，數(shù)學(xué)在整個(gè)科學(xué)知識(shí)體系中成為邏輯性最強(qiáng)的一門(mén)科學(xué)。 當(dāng)然，數(shù)學(xué)與邏輯的結(jié)合程度并不總是一樣的， 有時(shí)十分緊密，有時(shí)卻相對(duì)地松散一些。從思維科學(xué)角度看，數(shù)學(xué)思維與邏輯思維的共同特征主要有以下幾點(diǎn)：(1)(2)數(shù)學(xué)思維與邏輯思維都具有極強(qiáng)的符號(hào)化和形式化特征，并且在現(xiàn)代數(shù)理邏輯中實(shí)現(xiàn)了高度的統(tǒng)一。

4、(3)數(shù)學(xué)的形式結(jié)構(gòu)和邏輯的形式結(jié)構(gòu)都是從人這個(gè)認(rèn)識(shí)主體對(duì)于客體所加的作用和動(dòng)作的最普遍的協(xié)調(diào)作用中抽象出來(lái)的。(4)(5)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和邏輯結(jié)構(gòu)都是具有一定相對(duì)獨(dú)立性的客觀的思想事物，它們的規(guī)律在科學(xué)的各分支領(lǐng)域都是普遍適用的。邏輯思維在數(shù)學(xué)中有著很重要的作用， 它是數(shù)學(xué)證明的工具， 是檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的時(shí)間標(biāo)準(zhǔn)。 我們知道， 在數(shù)學(xué)中邏輯證明起著判斷數(shù)學(xué)命題真?zhèn)蔚淖饔谩?特別是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中， 由于高度的抽象化、 形式化和公理化， 邏輯相容性時(shí)常成為檢驗(yàn)數(shù)學(xué)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。邏輯思維還是數(shù)學(xué)知識(shí)理論化系統(tǒng)化的手段， 起到“濃縮”數(shù)學(xué)知識(shí)的作用。從數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的過(guò)程來(lái)看， 邏輯思維在各個(gè)階段所起的作用是不同

5、的。 最初的數(shù)學(xué)探索往往從一些經(jīng)驗(yàn)性問(wèn)題開(kāi)始， 積累有關(guān)數(shù)學(xué)概念極其關(guān)系的原始線索， 從中追尋規(guī)律性的東西。 等到經(jīng)驗(yàn)性材料積累到一定程度， 理論化系統(tǒng)化的工作才得以進(jìn)行。最后，整個(gè)數(shù)學(xué)理論被加工成一個(gè)高度抽象、簡(jiǎn)潔、優(yōu)美的形式系統(tǒng)。數(shù)學(xué)與邏輯至此也就達(dá)到了相互包容，難分難離的程度。二數(shù)學(xué)與形象思維人們常說(shuō)數(shù)學(xué)是高度抽象的科學(xué)， 抽象性被看做是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征。 仔細(xì)考察數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)的具體過(guò)程， 會(huì)發(fā)現(xiàn)形象思維激勵(lì)著人們的想象力和創(chuàng)造性， 常常導(dǎo)致重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)。數(shù)學(xué)中的形象思維可以分為幾個(gè)不同層次。第一個(gè)層次是幾何思維， 這是最直接的形象思維。 幾何學(xué)以各種平面和空間圖形為研究對(duì)象。 這些圖形

6、雖然已經(jīng)過(guò)抽象思維的初步加工， 具有一定程度的理想化性質(zhì)，但起具體和直觀的特點(diǎn)仍很鮮明。 人們看到幾何圖形， 就可以直接聯(lián)想到現(xiàn)實(shí)事物的各種， 并從幾何思維中體會(huì)到具體和抽象的基本關(guān)系， 了解數(shù)學(xué)抽象化形式化的特點(diǎn)，積累初步的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)。第二個(gè)層次是類幾何思維。 可以借助幾何空間關(guān)系進(jìn)行想想的較為間接的形象思維。它們不具備幾何思維那樣具體和直觀的明顯效果， 但可以形成和幾何思維累死的比較朦朧的形象。 類幾何思維是直觀的幾何思維的變形。 它需要一定程度的抽象性， 需要適當(dāng)拜托感性直觀的局限性。 有些時(shí)候， 為了準(zhǔn)確把握抽象幾何空間的特性，甚至需要采取一些看來(lái)很極端的做法，以防止感性直觀的干擾。數(shù)學(xué)

7、中形象思維的第三個(gè)層次， 是所謂數(shù)覺(jué)， 即對(duì)各種數(shù)量關(guān)系的形象化的感覺(jué)。這種感覺(jué)更為抽象， 更為朦朧，在很多時(shí)候已進(jìn)入了有神秘色彩的直覺(jué)領(lǐng)域。但它可以使人們有效地把握各種數(shù)學(xué)量之間的有機(jī)聯(lián)系， 辨認(rèn)出其中的重要性質(zhì)，把數(shù)學(xué)方法從一個(gè)領(lǐng)域過(guò)渡到另一個(gè)領(lǐng)域。數(shù)學(xué)中形象思維的第四個(gè)層次， 是數(shù)學(xué)觀念的直覺(jué)。 這是對(duì)各種數(shù)學(xué)觀念的性質(zhì)、相互聯(lián)系以及重新組合過(guò)程的形象化感覺(jué)， 它完全是數(shù)學(xué)的直覺(jué)， 雖然很難用邏輯語(yǔ)言完全敘述清楚， 但在數(shù)學(xué)的創(chuàng)造性思維活動(dòng)中明顯存在并發(fā)揮著作用。數(shù)學(xué)想象的各種基本類型在數(shù)學(xué)發(fā)展中都有著十分重要的作用。 想象是數(shù)學(xué)猜測(cè)的一個(gè)重要來(lái)源，而數(shù)學(xué)猜測(cè)是導(dǎo)致數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的思想動(dòng)力的基

8、礎(chǔ)。所以說(shuō)，數(shù)學(xué)想象是數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)活動(dòng)中不可缺少的環(huán)節(jié)， 是數(shù)學(xué)思維中的基本要素。 愛(ài)因斯坦曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“想象力比知識(shí)更重要，因?yàn)橹R(shí)是有限的，而想象力概括著世界上的一切，推動(dòng)著進(jìn)步，并且是知識(shí)進(jìn)化的源泉。嚴(yán)格地說(shuō)，想象力是科學(xué)研究中的實(shí)在因素?！庇纱丝梢?jiàn)數(shù)學(xué)想象在數(shù)學(xué)和自然科學(xué)發(fā)展中何等重要！三數(shù)學(xué)與直覺(jué)思維“直覺(jué)”在這里指的是對(duì)事物本質(zhì)的直接領(lǐng)悟或洞察。 數(shù)學(xué)直覺(jué)就是對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象事物的某種直接領(lǐng)悟或洞察。 這是一種不包含普通邏輯推理過(guò)程的直接悟性，屬于非形式邏輯的思維活動(dòng)范疇。數(shù)學(xué)直覺(jué)的產(chǎn)生是不能用普通形式邏輯的推演解釋清楚的。龐卡萊說(shuō)： “搞算術(shù)，就如搞幾何，或搞任何別的科學(xué)，需要某種與純邏輯

9、不同的東西。 為了表述這個(gè)某種東西， 我們沒(méi)有更好的字眼， 只能用直覺(jué)一詞?！痹谔剿魑粗澜缫?guī)律的過(guò)程中，人們的主觀認(rèn)識(shí)同客觀規(guī)律之間需要經(jīng)過(guò)多次帶有很大偶然性的相互作用才能彼此相符， 這終將有機(jī)遇， 有潛在的經(jīng)驗(yàn)和技巧，有來(lái)自書(shū)本上或和別人談話中的啟示， 有思維過(guò)程中“觀念原子”千變?nèi)f化的分離與組合。所有這些都不是用嚴(yán)格的形式邏輯推演能表達(dá)清楚的。能夠用邏輯語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，只是整個(gè)數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中個(gè)很小的一部分。在邏輯語(yǔ)言無(wú)能為力的地方， 只能以“直覺(jué)” 一言以蔽之。直覺(jué)看來(lái)很神秘，其實(shí)它不是人們創(chuàng)造性思維活動(dòng)的一個(gè)真實(shí)方面。數(shù)學(xué)直覺(jué)的產(chǎn)生往往是下意識(shí)的。它有時(shí)在朦朧中逐漸涌現(xiàn)， 有時(shí)

10、如閃電一般突然誕生。 無(wú)論取漸悟還是頓悟的形式，都是實(shí)現(xiàn)未曾料到， 不知不覺(jué)中即已獲得。其實(shí)，靈感是需要經(jīng)過(guò)充分醞釀的，是要經(jīng)過(guò)下意識(shí)的緊張活動(dòng)積累起思想基礎(chǔ)的，否則就不會(huì)有什么靈氣。 為什么人們長(zhǎng)期鉆研而求之不得，一旦思想放松進(jìn)入下意識(shí)狀態(tài)， 反而以直覺(jué)形式取得突破呢？因?yàn)檫^(guò)度的形式邏輯推演往往是限制人們思路的， 使人們?cè)谂f理論的框架里兜圈子，找不到新思路。 適當(dāng)?shù)姆潘墒顾悸房梢暂p松自由地舒展。 雖然是在下意識(shí)狀態(tài)， 卻容易接近正確的途徑，取得重大突破。 如果事先沒(méi)有通過(guò)邏輯思維接近關(guān)鍵性觀念的邊緣，使人們有可能利用下意識(shí)取得突破，那么靈感或頓悟是永遠(yuǎn)不會(huì)出現(xiàn)的。在數(shù)學(xué)猜測(cè)與數(shù)學(xué)想象中， 或多或少也有情感的作用。 但在直覺(jué)思維過(guò)程中，情感作用得到了充分發(fā)揮， 達(dá)到登峰造極的地步。 一般說(shuō)來(lái)，直覺(jué)的產(chǎn)生前后大體上有這樣一些情感變化。 直覺(jué)產(chǎn)生之前， 情緒躁動(dòng)不安， 對(duì)某個(gè)問(wèn)題長(zhǎng)時(shí)間思索而得不到解決，欲罷不能，欲進(jìn)無(wú)路，就很容易產(chǎn)生這種情緒。等到直覺(jué)出現(xiàn)時(shí)，令人十分欣喜，甚至感到有些神志恍惚