澤尼克多項(xiàng)式ZernikePolynomials,澤尼克系數(shù)

1、澤尼克多項(xiàng)式( Zernike Polynomials )，澤尼克系數(shù)什么是 Zernike Polynomials通常人們會使用冪級數(shù)展開式的形式來描述光學(xué)系統(tǒng)的像差。 由于澤尼克多項(xiàng)式和光學(xué)檢測中觀 測到的像差多項(xiàng)式的形式是一致的，因而它常常被用來描述波前特性(澤尼克， 1934)。但這并 不意味著澤尼克多項(xiàng)式就是用來擬合檢測數(shù)據(jù)的最佳多項(xiàng)式形式。 在某些情況下，用澤尼克多項(xiàng) 式來描述波前數(shù)據(jù)具有很大的局限性。 比如說，當(dāng)需要考慮空氣擾動(dòng)的時(shí)候， 澤尼克多項(xiàng)式幾乎 沒有什么價(jià)值。同樣地，我們也無法找到一組合適的澤尼克多項(xiàng)式來描述單點(diǎn)金剛石車削加工(single point diamond

2、turning process )中的制造誤差。為了準(zhǔn)確地描述圓錐面光學(xué)元件(conicaloptical eleme nts)的對準(zhǔn)誤差，必須對澤尼克多項(xiàng)式進(jìn)行修正。盲目地使用澤尼克多項(xiàng)式來表達(dá) 檢測數(shù)據(jù)只會導(dǎo)致糟糕的結(jié)果。澤尼克多項(xiàng)式是由無窮數(shù)量的多項(xiàng)式完全集組成的，它有兩個(gè)變量，p和e,它在單位圓內(nèi)部是連續(xù)正交的。需要注意的是，澤尼克多項(xiàng)式僅在單位圓的內(nèi)部連續(xù)區(qū)域是正交的， 通常在單位圓 內(nèi)部的離散的坐標(biāo)上是不具備正交性質(zhì)的。澤尼克多項(xiàng)式具有三個(gè)和其他正交多項(xiàng)式集不一樣的性質(zhì)。1.澤尼克多項(xiàng)式z( p , e)可以被化解為徑向坐標(biāo)和角度坐標(biāo) e的函數(shù)，其形式如下：Z ( p , e )

3、= R (G ( pe ) ，這里，關(guān)于角度的函數(shù) g( e是一個(gè)以2弧度為周期的連續(xù)函數(shù)，并且滿足當(dāng)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)a角度之后，其形式不發(fā)生改變，也就是旋轉(zhuǎn)不變性：e )G(其三角函數(shù)集形式如下:g( e)= e i m 9這里m是任意正整數(shù)或02. 澤尼克多項(xiàng)式的第二個(gè)性質(zhì)是徑向函數(shù)R ( p ) Radial Function)必須是 p的n次多項(xiàng)式，并且不包含幕次低于m次的p方項(xiàng)。3. 第三個(gè)性質(zhì)是當(dāng) m為偶數(shù)時(shí)R(曲為偶函數(shù)，m為奇數(shù)時(shí)，R( p也為奇函數(shù)。徑向多項(xiàng)式 R ( 可以看作是雅可比多項(xiàng)式( Jacobi polynomials)的特例，記做卜送蛀T。它們的正 交和歸一化性質(zhì)可由

4、如下式子表示：j農(nóng)(P)琦詁上式中的 弗n，是克羅內(nèi)克符號(Kronecker delta )，即當(dāng)n=n 時(shí)，=1當(dāng)n工n時(shí),=0。并 且它具有歸一化的性質(zhì)：=1.在計(jì)算徑向多項(xiàng)式時(shí)，為了方便起見，我們通常會將其分解成如下形式:其中的次數(shù)為2(n-m),由下式給出:$二0（2打一加 _ $）!s（n-s“一柳一）!光學(xué)原理下冊第 921小節(jié)給岀了上述徑向函數(shù)的前幾個(gè)m, n值的顯函數(shù)形式。通常我們會用實(shí)數(shù)形式的多項(xiàng)式(正弦和余弦函數(shù))來代替復(fù)制數(shù)多項(xiàng)式，這樣的話，波前像差函數(shù) W(p ,0 )的澤尼克展開式就有如下形式：ir（p,e）=jF+Y40； (M+工 0； (P)PHI( B忻 z

5、 恥+G 汕訥)n=0級“項(xiàng)是個(gè)常數(shù)(或者叫平移波前像差函數(shù) W的平均值這里W是平均波前差，An , Bnm, Cnm是多項(xiàng)式展開系數(shù)。由于”項(xiàng))1并且所有其他的澤尼克項(xiàng)在單位圓區(qū)域上的平均值是均為零，就是這個(gè)“ 0級”項(xiàng)的系數(shù)A。，這樣，上述公式就等價(jià)于：0( pH)=出十工出0： (P)十工P) P”迢加審加Y” sin恥)ji-1對于一個(gè)回轉(zhuǎn)對稱的光學(xué)系統(tǒng)來說，物體位于子午面內(nèi)，因而波前像差相對于yz面是對稱的,也就是只有0的偶函數(shù)(余弦項(xiàng))項(xiàng)是非零項(xiàng)。對于一般情況，波前是不對稱的，因而也就是同時(shí)包含兩種三角函數(shù)形式。澤尼克項(xiàng) 下面給岀了 48項(xiàng)澤尼克多項(xiàng)式， 外加一項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)。 需要注意

6、的是，讀者并不需要嚴(yán)格按照下文所 示的順序排列這些澤尼克項(xiàng)，實(shí)際上在不同的應(yīng)用和機(jī)構(gòu)會采用不同的排列順序。表中的#0項(xiàng)是個(gè)常數(shù)或者說是平移項(xiàng)( piston term ),這一項(xiàng)的系數(shù)也代表了平均光程差；而 #1 和#2項(xiàng)分別是x和y方向的傾斜項(xiàng)(tilt terms)，#3代表了聚焦，因此，#1到#3項(xiàng)代表了波前的高斯或者近軸特性；#4和#5項(xiàng)代表了像散和離焦，#6和#7項(xiàng)代表彗差和傾斜，而 #8項(xiàng)代表了 3級像差和離焦，也就是說 #4到#8項(xiàng)為3級相差項(xiàng)；同樣地，#9到#15項(xiàng)代表了 5級像差，而#16到#24項(xiàng)代表了 7級像差，#25到#35項(xiàng)代表了 9級像差，#36到#48項(xiàng)代表了 1

7、1級像差。2.1極坐標(biāo)形式的澤尼克多項(xiàng)式2.1笛卡爾坐標(biāo)系下的澤尼克多項(xiàng)式taj2.1 OSC澤尼克多項(xiàng)式很多早期的用澤尼克多項(xiàng)式來對干涉圖樣做計(jì)算機(jī)分析的工作，是在上個(gè)世紀(jì)七十年代，由亞利桑那大學(xué)光學(xué)科學(xué)中心(OSC，Optical Sciences Center)的John Loomis進(jìn)行的。OSC澤尼克多項(xiàng)式采用了 n從1到5，以及n=6， m=0的項(xiàng)。n=m=0的常數(shù)項(xiàng)(piston term)也用來做干涉圖樣分 析，但是這一項(xiàng)并不包含在澤尼克多項(xiàng)式中。因此，OSC澤尼克多項(xiàng)式包含 36項(xiàng)，外加一項(xiàng)平移項(xiàng)(piston term )。這也是在光學(xué)設(shè)計(jì)軟件OSLO和Code V中采用的

8、形式。澤尼克多項(xiàng)式的圖形n=16，m=0時(shí)的澤尼克多項(xiàng)式的三維圖編輯版word像散：2x2-ay2,其中 a (-4, 4)彗差：2 px+ax，其中 a (5, 3)；2 px+ay，其中 a (-4, 4)球差和離焦：P 2(2 p1.3a)，其中a ( 3)前36個(gè)澤尼克多項(xiàng)式Illi澤尼克多項(xiàng)式常用于干涉測試，而光學(xué)設(shè)計(jì)人員用的更多的則是賽德爾像差多項(xiàng)式。澤尼克多項(xiàng)式和賽德爾像差ZoZ8這波前的初級和3級像差系數(shù)可以用澤尼克多項(xiàng)式來表示。我們將波前函數(shù)用澤尼克項(xiàng)的 九項(xiàng)來表示成如下形式:W(p7 ff = Zo + Npcos護(hù) + Z2psin01 + Z(2p2 I)+ Z3 co

9、s2fl;十 Zsp2 sin 20*+ Z3p2 - 2)p cos + Z7(3p2 一 2)psin &+ S 亠 +這些澤尼克項(xiàng)和像差的對應(yīng)關(guān)系見表四表四：前9個(gè)澤尼克項(xiàng)和像差的對應(yīng)關(guān)系Zo 平移(piston )Zlx軸傾斜Z2y軸傾斜Z3離焦Z4 像散 0& 離焦Z5 像散 45 & 離焦八、Z6 彗差 & x 軸傾斜Z7彗差 & y 軸傾斜Z8球差 & 離焦繼續(xù)將上述波前函數(shù)改寫成如下形式：W( p ,0 )i=cWS 0 +Wp+ W40 p 4 + W p cos 0 + Wp coS 0由于這些澤尼克項(xiàng)中與視場無關(guān)， 它們并非真正的賽德爾像差。 用干涉測試的方法智能得到單個(gè)

10、 視場點(diǎn)的波前數(shù)據(jù)。 這使得場曲看上去像離焦， 而畸變看上去像傾斜。 因此， 要得到賽德爾像差， 就必須測量一定數(shù)量的視場點(diǎn)。我們可以按照初級和 3級像差的形式繼續(xù)改寫上述波前函數(shù)，也就是合并同類項(xiàng)，并用波前相差 系數(shù)做等價(jià)替換，結(jié)果如下：w(p , e + Z8移(Piston)+ ( Z i - 2Z6)p cos e +-(Z Z7) p sin 傾斜(Tilt)+ (2Z 3 - 6 Z8 + Z 4COS2 e Z+sin2 e 2)p離焦 + 像散(focus +astigmatism)+3(Z 6cos e+/Zn e3 ) p彗差(coma)+6Z 8 p球差(Spherica

11、l)對上式中做如下恒等變換:a cos aty/az 4- h2cosi Isn編輯版word便可得到如下所示的視場無關(guān)的波前相差系數(shù):W(P1 ff) = ZQ-Z3-h za+ Py(ZI-2ZJa + Z2-2Z?)2+p2(2Z.-6Z8+土 2p2s/zJ + Z5 cos3+ 3p./zTTz|+ 6pZgLpistontiltfocusastigmatismcomaspberical表五列岀了上述視場無關(guān)像差多項(xiàng)式的度量（Magnitude）,符號和角度（Angle）。注意離焦項(xiàng)的符號選擇原則是使得其系數(shù)的數(shù)值最小，像散符號的選取則相反。表五：用澤尼克多系數(shù)表示的3級像差Term

12、DescriptionVaiiiitLdeAikglerihg -2Z屏十冋-2zJ%(Qtlh2鬲-6Z* + y/Zl + Zl cl】o、en to rniiHuuzt absoluH -aliK oF in呻mu吐知唯）atiniRtkrn土苑 2TR;sign opposite th機(jī) cboscn in Icxus icrniaim%注意：在計(jì)算角度值（表中的Angle）的時(shí)候，如果分母 0 , angle angle + 180編輯版word波前差的RMS值和P-V值如果波前像差可以用 3級像差多項(xiàng)式來表示的話，我們就可以很方便地用每種3級像差所反映岀來的波數(shù)來描述波前像差。這種

13、方法在僅有一種3級像差存在的情況下尤為方便。而對于更加復(fù)雜一些的波前像差，我們也可以很方便地得岀其波前的P-V （ peak-to-valley）值（有時(shí)候也叫做 P-P值），其數(shù)值就是實(shí)際波前和理想波前之間的最大偏差，包括正向和負(fù)向兩個(gè)方向。比如，如果正向的波前最大偏差10.+0.2波長，負(fù)向最大的波前偏差為-0.1波長，那么這個(gè)波前差的P-V值就是0.3波長。雖然用P-V值來描述一個(gè)波前質(zhì)量很簡單方便，但缺容易引起誤導(dǎo)。一個(gè)波前差的P-V值比較大的光學(xué)系統(tǒng)的實(shí)際性能有可能會優(yōu)于一個(gè)波前差的P-V值相對比較小的系統(tǒng)。這樣，用RMS波前差來描述波前質(zhì)量會更有意義一些。e ）是相對于理想球面波的偏差，其下述方程定義了圓形光闌下的波前差b及其方差（oA W （單位通常為波長數(shù)。AW 是平均波前光程差（OPD ）62)1=亠7T卩如血-（麗A0) pdpdO如果將波前像差用澤尼克多項(xiàng)式的形式表示的話,波前差的方差就可以很簡單地通過澤尼克多項(xiàng)式的正